x f(x)

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1 Limites de fonctions I) Limite d une fonction en plus l infini Etudier la ite d une fonction f en + c est étudier le comportement des nombres f(x) lorsque x tend vers +. ) Exemples Exemple : x f(x) On observe que plus le nombre x est grand plus la valeur f(x) est grande. La ite de cette fonction en + est +. Exemple 2: x f(x) On observe que plus le nombre x est grand plus la valeur f(x) est petite (f(x) est négative et sa valeur absolue est grande). La ite de cette fonction en + est -. Exemple 3: x f(x),9524,9756,9836,9877,990,997,9929,9938,9945,995,9955 On observe que plus le nombre x est grand plus f(x) est proche d un nombre fini, dans notre exemple : 2. La ite de cette fonction en + est 2.

2 2) Définition : f est une fonction définie sur un intervalle de la forme: [b ; + [ La fonction f admet + comme ite lorsque x tend vers +, si tout intervalle ouvert du type ]A ; + [ contient f(x) pour tous les nombres x suffisamment grands. f(x) = + x + La fonction f admet - comme ite lorsque x tend vers +, si tout intervalle ouvert du type ] - ; A[, contient f(x) pour tous les nombres x suffisamment grands. f(x) = - x + Soit l un nombre réel. La fonction f admet l comme ite lorsque x tend vers +, si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour tous les nombres suffisamment grands. f(x) = l x + Exemple: x + 3 = + x + Exemple: x 3 = Exemple: ( + 2) = 2 x + x + x Remarques : Comme pour les suites, une ite de fonction lorsqu elle existe est unique. Une fonction peut ne pas avoir de ite : Prenons comme exemple la fonction f définie sur R par: f(x) = cos x. Cette fonction n a pas de ite en +. Elle oscille comme le montre sa représentation graphique ci-dessous :

3 II) Limite d une fonction en moins l infini Etudier la ite d une fonction f en - c est étudier le comportement des nombres f(x) lorsque x tend vers -. ) Exemples Exemple : x f(x) On observe que plus le nombre x est petit (x est négatif et grand en valeur absolue) plus la valeur f(x) est grande. La ite de cette fonction en - est +. Exemple 2: x f(x) E+06 On observe que plus le nombre x est petit (x est négatif et grand en valeur absolue) plus la valeur f(x) est petite (f(x) est négative et sa valeur absolue est grande). La ite de cette fonction en - est -. Exemple 3: x f(x) -2 2,8387 2,98 2,945 2,9587 2,9669 2,9724 2,9763 2,9793 2,985 2,9834 2,9849 On observe que plus le nombre x est petit (x est négatif et grand en valeur absolue), plus f(x) est proche d un nombre fini, dans notre exemple 3. La ite de cette fonction en - est 3.

4 2) Définition : f est une fonction définie sur un intervalle de la forme: ]- ; b] La fonction f admet + comme ite lorsque x tend vers -, si tout intervalle ouvert du type ]A ; + [ contient f(x) pour tous les nombres x négatifs dont la valeur absolue est grande. f(x) = + x La fonction f admet - comme ite lorsque x tend vers -, si tout intervalle ouvert du type ] - ; A[, contient f(x) pour tous les nombres x négatifs dont la valeur absolue est grande. f(x) = - x Soit l un nombre réel. La fonction f admet l comme ite lorsque x tend vers -, si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour tous les nombres x négatifs dont la valeur absolue est grande. f(x) = l x Exemple: x + 3 = + x Exemple: x 3 = Exemple: ( + 2) = 2 x x x Remarques : Comme pour les suites, une ite de fonction lorsqu elle existe est unique. Une fonction peut ne pas avoir de ite : Prenons comme exemple la fonction f définie sur R par: f(x) = cos x. Cette fonction n a pas de ite en. Elle oscille comme le montre sa représentation graphique ci-dessous :

5 III) Limite d une fonction en un réel a. ) Exemples Exemple : x 2,9 2,99 2,9999 2, ,0000 3,000 3,00 3,0 f(x) On observe que plus le nombre x est proche de 3 plus la valeur f(x) est grande. La ite de cette fonction en 3 est +. Exemple 2: x,9,99,9999, ,0000 2,000 2,00 2,0 f(x) On observe que plus le nombre x est proche de 2 plus la valeur f(x) est petite (f(x) est négative et sa valeur absolue est grande). La ite de cette fonction en 2 est -. Exemple 3: x 4,99 4,999 4,9999 4, , , ,0000 5,000 5,00 5,0 f(x) 2,95 2, , , , , , ,005 22,05 On observe que plus le nombre x est proche de 5, plus f(x) est proche du nombre 22. La ite de cette fonction en 5 est 22.

6 2) Définition f est une fonction définie sur un ensemble D ; a est un réel tel que a appartient à D ou est une borne de D La fonction f admet + comme ite lorsque x tend vers a, si tout intervalle ouvert du type ]A ; + [ contient f(x) pour tous les nombres x suffisamment proche de a. f(x) = + x a La fonction f admet - comme ite lorsque x tend vers a, si tout intervalle ouvert du type ] - ; A[, contient f(x) pour tous les nombres x suffisamment proche de a. f(x) = - x a Soit l un nombre réel. La fonction f admet l comme ite lorsque x tend vers a, si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour tous les nombres x suffisamment proche de a. f(x) = l x a Exemple: = + x 3 (x 3)² Exemple: = x 3 (x 3)² Exemple: x ( x 3 4) = 3 Remarques : Une ite de fonction lorsqu elle existe est unique. Une fonction peut ne pas avoir de ite en un nombre fini a. (Voir le paragraphe suivant : ite à gauche, ite à droite) Si f est une fonction définie en a alors x a f(x) = f(a) Exemple : x 3 x = 3

7 2) Limite à droite, ite à gauche a) Exemple: Voici le graphique de la fonction sur R\{0}. Etudions de plus près le comportement de x cette fonction pour x proche de 0. Considérons la fonction f définie sur ]0 ; + [ par f(x) = et la fonction g x définie sur ] ; 0[ par g(x) = x Graphiquement, on observe que: f(x) = + et que g(x) = x 0 x 0 Donc la fonction x ne semble x pas avoir de ite en 0. Mais si x > 0 alors f(x) = x 0 x = +, et x 0 si x < 0 alors g(x) = x 0 x 0 x = On parle alors de ite à droite de 0 et de ite à gauche de 0 et on écrit : = x x x 0 x>0 = + et x 0 x<0 b) définition: f admet une ite à droite de a lorsque f admet une ite lorsque x tend vers a avec x > a que l on note f(x) x > a f admet une ite à gauche de a lorsque f admet une ite lorsque x tend vers a avec x < a que l on note f(x) x < a Remarques: On ne distingue les ites à gauche de a et à droite de a uniquement lorsque celles-ci sont différentes. Si f(x) f(x) alors la fonction f n a pas de ite en a. Dans le cas contraire si x > a f(x) = x > a x < a x < a f(x) = x a f(x) La fonction f a dans ce cas une ite en a.

8 Autres exemples: Soit f la fonction définie sur R\{ 4} par f(x) = Cette fonction n a pas de ite en 4 mais à une ite à gauche et à droite de 4 x 4 x > 4 f(x) = + et x 4 x < 4 f(x) = x + 4 Soit g la fonction définie sur R\{0} par g(x) = x² Cette fonction a une ite en 0 qui est : g(x) = x 0 x > 0 x 0 x < 0 III) Asymptotes parallèles aux axes a) Asymptote horizontale g(x) = x 0 g(x) =+ Lorsque la ite en + (respectivement en - ) d une fonction f est égale à un nombre réel l, la droite d équation y = l est appelée asymptote horizontale à la courbe C en + (respectivement en - ) Exemple : b) Asymptote verticale Lorsque la ite en un réel a d une fonction f est infinie, la droite d équation x = a est appelée asymptote verticale à la courbe C

9 Exemple : IV) Limites de fonctions de références ) Fonction circulaires Fonction Ensemble de définition Limite en + Limite en - Limite en π 2 Limite en π 2 sin x R n existe pas n existe pas - cos x R n existe pas n existe pas 0 0 tan x R n existe pas n existe pas x π 2 x > π 2 x π 2 x < π 2 tanx = tanx = + x π 2 x > π 2 x π 2 x < π 2 tanx = tanx = +

10 2) Fonctions usuelles Fonction Ensemble de définition Limite en + Limite en - Limite en 0 x R x² R x 3 R x n R + + si n pair - si n impair 0 x R\{0} 0 0 x 0 x = + x>0 x 0 x = x<0 x n R\{0} 0 0 Si n pair : + Si n impair : = + x 0 xn x>0 = x 0 xn x<0 x [0 ; + [ + 0 lnx ]0 ; + [ + - e x R + +