4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ;
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- Clementine Michel
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1 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité La fonction cosinus Tracer la courbe représentative du cosinus Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du cosinus sur l intervalle ; La fonction sinus Tracer la courbe représentative du cosinus 4 Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ; Lien entre les deu fonctions trigonométriques 5 Mettre en relation le tableau de signe de la fonction cosinus avec le tableau de variation de la fonction sinus 6 Mettre en relation le tableau de signe de la fonction sinus avec le tableau de variation de la fonction cosinus 7 Qu en déduisez-vous? Soyez précis dans votre réponse Activités Page
2 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Etablir des inégalités à l aide de l étude des fonctions On souhaite établir les quatre inégalités suivantes lorsque 0; sin Première inégalité cos 6 : sin On considère la fonction f sin sur l intervalle Calculer f Etablir l inégalité sin sur l intervalle Deuième inégalité 0; 4 cos 4, étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction 0; On considère la fonction g cos sur l intervalle Calculer g 0;, étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction 0; 4 Etablir l inégalité cos sur l intervalle Troisième inégalité On considère la fonction h sin sur l intervalle 5 Calculer h 6 0;, étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction 6 0; 6 Etablir l inégalité sin sur l intervalle Quatrième inégalité 4 4 0; On considère la fonction k cos sur l intervalle 7 Calculer k, étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction 4 4 0; 8 Etablir l inégalité cos sur l intervalle Encadrement 9 En déduire un encadrement de 0 En déduire un encadrement de sin par deu polynômes sur l intervalle 0; cos par deu polynômes sur l intervalle 0; Activités Page
3 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Le tau d accroissement Le tau d accroissement d une fonction f entre a et a h est défini par : f ( a h) f ( a) h Dérivabilité d une fonction f est dérivable en a si le tau d accroissement admet une unique limite finie quand h 0 De la sécante à la tangente Que représente le tau d accroissement de la fonction f entre a et a h? Quelle est la position limite de la droite AX lorsque h 0? Que représente alors l epression Nombre dérivé de la fonction carré h 0 f a lim h f a La fonction carrée est-elle dérivable en a? Quel est le nombre dérivé? Quel est le domaine de définition de la fonction carrée? Quel est son domaine de dérivabilité? Nombre dérivé de la fonction inverse La fonction inverse est-elle dérivable en a? Quel est le nombre dérivé? Quel est le domaine de définition de la fonction inverse? Quel est son domaine de dérivabilité? h? Activités Page
4 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Nombre dérivé de la fonction racine carrée La fonction racine carrée est-elle dérivable en a? Quel est le nombre dérivé? Quel est le domaine de définition de la fonction racine? Quel est son domaine de dérivabilité? Une fonction construite à partir d une racine carrée f On considère la fonction f définie par Déterminer le tau d accroissement de la fonction entre a et a h a h Montrer que ce tau d accroissement est égal à a h a Calculer la limite du tau d accroissement lorsque h 0 4 La fonction f est-elle dérivable en a? Quel est le nombre dérivé de cette fonction? 5 Quel est le domaine de définition de la fonction étudiée ci-dessus? 6 Quel est son domaine de dérivabilité? Composée de deu fonctions f est la composée des deu fonctions u et v lorsqu elle est définie par : f v u Une telle fonction composée se note v u notation qui se lit «v rond u» Eercice d application directe Déterminer pour chaque fonction proposée, deu fonctions u et v telles que f v u h sin k ² 5 g ² n cos 00 m Dérivation d une fonction composée 6 p f On considère la fonction f définie par et a un nombre réel quelconque Ecrire la fonction f sous la forme v u Déterminer u a Déterminer v u a En vous reportant au travail précédent, rappeler f a En déduire l écriture de f a en fonction de u a et v u a Formule de dérivée d une fonction composée la nombre dérivé de f en a 4 Ecrire la formule donnant la dérivée d une fonction composée 5 Par application de cette formule, déterminer la dérivée des fonctions proposées dans l eercice d application Activités Page 4
5 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Optimisation d un volume Un récipient a la forme d un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD Toutes les dimensions de ce récipient sont fiées sauf la longueur CD On donne AB BC AD et BB, l unité étant le mètre On cherche la valeur à donner à la grande base CD du trapèze ABCD afin que le volume de ce récipient soit maimal On appelle H le projeté orthogonal de A sur CD On note la longueur HD D H C A B D' C' H D A' C B' A B Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable? Déterminer l aire du trapèze ABCD en fonction de Montrer que le volume de ce récipient s eprime en fonction de par V ² 4 Montrer que V ² ² 5 Etudier la fonction V sur l intervalle 0; On étudiera le signe de la dérivée et on en déduira les variations de la fonction 6 Pour quelle valeur de le volume de ce récipient est-il maimal? Quel est alors ce volume? Préciser la valeur de l angle ADH dans un tel cas Activités Page 5
6 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Optimisation d une aire Soit C le cercle trigonométrique et A un point du cercle On se propose d étudier les aires des triangles isocèles de sommet A inscrits dans le cercle C On choisit le repère orthonormal direct O; OA; OB Un triangle AMM inscrit dans le cercle C se présentera alors comme la figure ci-dessous (on choisi pour M l ordonnée positive) B M B M O A O A M' M' Désignons par la mesure principale de l angle OA; OM Quelles sont les valeurs possibles prises par la variable? Montrer que l aire du triangle AMM s eprime en fonction de par l epression A cos sin suivante : A cos cos Montrer que 4 Etudier la fonction A sur l intervalle 0; On étudiera le signe de la dérivée et on en déduira les variations de la fonction 5 Pour quelle valeur de l aire du triangle AMM est-elle maimale? Que peut-on dire de ce triangle? Quelle est son aire? Activités Page 6
7 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Une nouvelle fonction La fonction partie entière notée E est définie par : ; entier si n n avec n alors E n Représentation graphique Tracer dans le repère ci-contre le graphe de la fonction partie entière sur l intervalle ; Résoudre E 0,5 puis E Discuter suivant les valeurs de k du nombre de solutions de l équation E 4 Reprendre les mêmes questions avec la fonction définie par : f E Une fonction polynôme On considère désormais la fonction g définie sur l intervalle ; par g dont on a tracé ci-contre la représentation graphique 5 Discuter suivant les valeurs de k du nombre de solutions de l équation g k 6 Déterminer graphiquement : k E, lim E f, lim f g, lim g et et et lim E lim f lim g 7 Par un procédé précis que vous détaillerez, déterminer un encadrement à 0 près de la solution de l équation h 0 A quelle condition ce procédé de résolution est-il applicable? Continuité Discontinuité Une fonction f est continue en a lorsque lim f lim f f a, c'est-à-dire lorsque lim f a h f a h 0 a a Dans le cas contraire, on dit qu elle est discontinue Activités Page 7
8 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Une bille plongée dans l eau Un cylindre a pour base un disque de rayon dm et contient de l eau sur une hauteur de 0,5 dm On plonge dans ce cylindre une bille de diamètre d (le diamètre est eprimé lui aussi en dm) On se propose de calculer le diamètre de la bille pour lequel le niveau d eau sera tangent à la bille lorsque celle-ci sera immergée dans l eau On rappelle que le volume d une boule de rayon R est donné par la formule 4 R Démontrer que d vérifie l encadrement 0d et l équation Démontrer que l équation d d 6d 0 6d 0 admet une unique solution sur 0; On 0; pourra pour cela étudier la fonction définie par f 6 sur l intervalle Que permet d obtenir l algorithme proposé ci-dessus? Sauriez-vous préciser les valeurs a et b que cet algorithme affiche lorsqu on introduit n Répondre au problème posé Etude d une fonction rationnelle On considère la fonction f définie sur l intervalle IR ; par f Etude d une fonction auiliaire On considère f le polynôme défini par f 4 Etudier le sens des variations de la fonction f sur IR Déterminer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition Démontrer que sur l intervalle ;, et sur l intervalle ;, l équation f 0 n admet pas de solution Démontrer ensuite que sur l intervalle ;, l équation f 0 admet une unique solution, notée, dont vous déterminerez à l aide de votre calculatrice un encadrement au millième près En déduire le signe de f sur IR Activités Page 8
9 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Etude d un algorithme On propose ci-contre un algorithme permettant de déterminer un encadrement de la solution de l équation f 0 sur l intervalle ; Comment s appelle le principe de recherche de l encadrement de la solution Quelle influence le nombre n introduit au début de l algorithme a-t-il sur l encadrement obtenu? On fait fonctionner cet algorithme pour n Recopier et compléter à l aide de votre calculatrice le tableau proposé ci-dessous donnant les différentes étapes de l algorithme Pourquoi l algorithme s arrête-t-il à l étape 7? m p a b b a Etape 0 / / Etape????? Etape????? Etape????? Etape 4????? Etape 5, ,875,875 0,05 Etape 6, ,875,05 0,0565 Etape 7, ,955,05 0,00785 Etude de la fonction rationnelle Calculer la dérivée de f et montrer que f f Dresser le tableau des variations complet de la fonction f Calculer les limites de la fonction f au bornes de son ensemble de définition 4 Représenter deu asymptotes verticales, deu tangentes horizontales, et f Activités Page 9
10 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Notion de limite Pour une lentille convee dont la distance focale est f, la distance p d un objet au centre de la lentille et la distance q de son image au centre sont reliés par la relation suivante : p q f Eprimer q en fonction de p est la fonction définie sur p; par p Déterminer lim p Déterminer lim p p f p q Interpréter les deu résultats obtenus Fonction carré Fonction cube Ecrire le domaine de définition de la fonction carré et de la fonction cube sous la forme d un intervalle Préciser les limites de ces deu fonctions au bornes de leur ensemble de définition Dresser le tableau de variation complet de ces deu fonctions Fonction inverse Ecrire le domaine de définition de la fonction inverse sous la forme d un intervalle Préciser à l aide de la notation eposée ci-dessus les limites de la fonction inverse au bornes de son ensemble de définition Dresser le tableau de variation complet de la fonction inverse sur son domaine de définition Fonction racine Ecrire le domaine de définition de la fonction racine sous la forme d un intervalle Préciser à l aide de la notation eposée ci-dessus les limites de la fonction inverse au bornes de son ensemble de définition Dresser le tableau de variation de la fonction racine Activités Page 0
11 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Calculs de limites Connaissant les limites de deu fonctions f et g lorsque tend vers a (fini ou infini), certaines questions naturelles se posent : Que dire de la somme f g? Que dire du produit f g? Que dire du quotient f g? Ont-ils une limite lorsque tend vers a? Si oui, comment la calculer? Les théorèmes sur les limites (à apprendre) apportent, dans certains cas, une réponse D autres cas, appelés cas d indétermination (à connaître) nécessitent une étude plus fine La somme Le produit Le quotient Activités Page
12 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité f g Rappeler lim Rappeler lim Rappeler lim Rappeler lim Déterminer graphiquement lim f Déterminer graphiquement lim g En déduire pourquoi il n eiste pas de théorème donnant le résultat du calcul ( ) ( )? Comment lever l indétermination? Montrer que f Montrer que g Par application des règles sur le produit des limites, calculer lim f Par application des règles sur le produit des limites, calculer lim g Y a-t-il une différence entre lim f et lim? Y a-t-il une différence entre lim g et lim? Fonctions polynômes Une fonction f est une fonction polynôme lorsqu il eiste n nombres réels a 0, a,, n a tels que : n 0 n f a a a avec a 0 Le nombre n est le degré du polynôme n n Le terme a n est appelé terme prépondérant En et en, un polynôme a même limite que son terme prépondérant Eercices d application directe Déterminer pour chacun des polynômes suivants la limite en et en : g h f k 5 Activités Page
13 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité f g Déterminer lim Déterminer lim Déterminer lim Déterminer lim Déterminer graphiquement lim f Déterminer graphiquement lim g En déduire pourquoi il n eiste pas de théorème donnant le résultat du calcul ( ) ( )? Comment lever l indétermination? Par application des règles sur le produit et quotient des limites, calculer lim f Montrer que f Que dire de lim f et lim? Par application des règles sur le produit et quotient des limites, calculer lim g Montrer que g Que dire de lim g et lim? Fonctions rationnelles Une fonction f est une fonction rationnelle lorsqu il eiste deu polynômes P et Q tels que : f n P an a a p Q b b b p 0 0 avec an 0 et bp 0, et où n et p sont les degrés des polynômes En et en, une fonction rationnelle a même limite que le quotient simplifié des termes prépondérants Eercice d application directe f ² ² ² ² g h k m n 4 ² Activités Page
14 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité On a proposé ci-contre la représentation graphique de si fonctions rationnelles On a proposé ci-avant l epression algébrique de chacune d entre elles Le but du problème est d associer à chaque fonction la représentation graphique qui lui correspond Pour cela, on étudiera le comportement asymptotique de chaque fonction au voisinage des bornes de son ensemble de définition Préciser pour chaque fonction l eistence d asymptotes horizontales et/ou verticales Limite d une fonction composée et si lim alors lim Si limu b v c v u c a b a Ce résultat s applique lorsque a, b et c sont des réels ou sont remplacés par ou encore Eercice d application Limite d une fonction irrationnelle h On considère la fonction h définie par Déterminer lim h Déterminer lim h On considère la fonction k définie par k Déterminer lim k Déterminer lim k Lever une indétermination dans le cadre d une racine Déterminer lim On montrera pour cela que 4 Déterminer 4 Préciser votre raisonnement lim Préciser votre raisonnement On montrera pour cela que 5 Déterminer lim 5 On montrera pour cela que Préciser votre raisonnement 5 5 Activités Page 4
15 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Fonction dérivable/non dérivable en un point Point de vue algébrique On considère la courbe représentative d une fonction f tracée sur l intervalle ; 0 f Déterminer f, f et On considère la courbe représentative d une fonction g tracée sur l intervalle ; 0,5 g Déterminer g, g et Fonction dérivable/non dérivable en un point Point de vue algébrique On considère la fonction définie par : On considère la fonction définie par : f g Domaine de définition Domaine de définition Etudier le signe de la quantité 6 Etudier le signe de la quantité En déduire le domaine de définition de la fonction f Domaine de dérivabilité Montrer que f ² 4 En déduire le domaine de dérivabilité de la fonction f Calculer lim ² Interpréter le résultat obtenu Calculer lim ² Interpréter le résultat obtenu Etude des variations de la fonction 5 Dresser le tableau des variations de f 7 En déduire le domaine de définition de la fonction g Domaine de dérivabilité 8 Montrer que g 9 En déduire le domaine de dérivabilité de la fonction g Calculer lim ² Interpréter le résultat obtenu Calculer lim ² Interpréter le résultat obtenu Etude des variations de la fonction 0 Dresser le tableau des variations de g Activités Page 5
16 Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité Théorèmes des gendarmes Si f g h sur a; et si lim f lim h L alors lim g Si f g h sur ;b Théorèmes de comparaison et si lim f lim h L alors lim g Si f g sur un intervalle du type a; et si lim f Si g h sur un intervalle du type ;b et si lim h alors alors L L lim g lim g Calcul d une valeur approchée de Pi L objectif de cet eercice est de démontrer que pour tout 0; on a : Partie A On considère la fonction f définie par sin sin tan cos sin f cos Calculer la dérivée de la fonction f et étudier le signe de f sur 0; En déduire le sens de variation de la fonction f ainsi que le signe de f Partie B On considère la fonction g définie par g sin tan Calculer la dérivée de la fonction f et montrer que g 4 Etudier le signe de g sur l intervalle 0; sur 0; cos cos cos 5 En déduire le sens de variation de la fonction g ainsi que le signe de Partie C g sur 0; En utilisant les valeurs eactes des lignes trigonométriques de ainsi que le travail effectué 6 dans les parties A et B, déterminer un encadrement de, puis un encadrement de 6 Activités Page 6
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