Chapitre 2 Limites et asymptotes

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1 Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x. ) Que vut OD en fonction de x? En ppliqunt le théorème de Thlès entre EAB et EOD, on trouve : OE AE = OD AB d'où OD= 2 x x 3. b) Imginons un toit très pentu (E se rpproche de A) Que devient l huteur OD? (OD + ) x = 3, : OD =? (62) x = 3,0 : OD =? (602) x = 3,00 : OD =? (6002) c) À l inverse, vec un toit très peu incliné : x devient très grnd tndis que OD se rpproche de 2, qu'on écrit : x + et OD 2. x = 3 : OD =? (2,6) x = 003 : OD =? (2,006) Dns les deux cs ci-dessus, l fonction f x = 2 x x 3 cs b) et finie (=2) dns le c). v «tendre vers une ite», infinie dns le Pge /2

2 d) Étude de l fonction f x = 2 x x 3 Dérivée f ' x = 2 x 3 2 x x 3 2 = 6 x 3 2. x 3 + f(x) f'(x) + décroissnte 2 On voit que c'est une hyperbole dont les xes ont pour équtions x=3 et y=2. B) Limites des fonctions de référence ) Tbleu récpitultif des ites des fonctions usuelles x x X X 0+ + x x x x 2 2) Générlistion On peut dns ce tbleu remplcer x² pr x 2n et x ou x 3 pr x 2n+. De même, on peut remplcer x pr x 2 n+ et x 2 pr x 2 n. En effet, les puissnces pires de x seront toujours positives, lors que les puissnces impires grderont le même signe que x, mis en vleur bsolue, leur comportement est le même, et ceci u numérteur comme u dénominteur. Pge 2/2

3 C) Limites et opértions ) Limite d une somme f x g x b b b f x g x + b ? Résumé mnémotechnique : + b = + b + + b = b = (+ ) = (- ) = (- ) =? Cs prticulier : Somme d une fonction f et d une constnte = comme l somme d une fonction de ite et de l fonction f. ) f ( x )=5+ x Trouver x + f ( x) b) f ( x)= x x Trouver x + f ( x) c) f x = x 3 x8 Trouver x 0- d) f ( x )= x2 + x 2) Limite d un produit Trouver x 0+ f x f ( x) f x g x b b 0 b ( f g ( x x 0 b signe de b signe de -b ? Résumé mnémotechnique : x b = x b x b = si b 0 x = x 0 =? Le signe du produit dépendr des deux signes de l mnière hbituelle. Cs prticulier : Produit d une fonction f et d une constnte = comme le produit d une fonction de ite et de l fonction f. Pge 3/2

4 Trouver f x et x 0 + f ( x ) dns les cs suivnts : ) f ( x )= x ( 3+ x ) b) f ( x )= x2 ( x+ 3) c) f ( x )= x5 + x 3 d) f ( x )= x 3 + x 5 e) f ( x )= x x f) f ( x)= ( 3+ x )( 5 x 2) g) f ( x )=5 2 x h) f ( x)=( x x 7) ( 5 x ) i) f ( x)= x ( 3 5 x ) 3) Limite de l inverse d une fonction f x vec f > 0 0 vec f < 0 0 signe vrible f x Résumé mnémotechnique : =0 = = Ps de ite 0 +- =ps de ite Le signe du quotient dépendr des deux signes de l mnière hbituelle. ) f ( x )= x 2 b) f ( x )= x x 3 Trouver x - Trouver x + f ( x), x + f ( x) et x 0 - f (x ) et x f ( x ) f (x ) 4) Limite d un quotient f ( x) x x 0 g (x ) b 0 0 x x 0 > 0 ( f x x 0 g ( x )) b 0 signe de 0 < 0 signe de - 0 signe vrible ps de ite b b 0 signe de b signe de -b?? Résumé mnémotechnique : =0 b = 0 = si 0 0 +ou 0 -, psde ite si =? =? Le signe du quotient dépendr des deux signes de l mnière hbituelle. Pge 4/2

5 ) x f x = 8 2 b) x 2 f x = 4x2 x 8x 2 2 c) x f x = 2x 2 x 2 x 3 Note pour le c) : Attention à - et à +! Il fut étudier le signe du polynôme dénominteur! 5) Limite d une fonction composée Soit f = u o v, utrement dit f(x) =u((v(x)) vec v définie sur un intervlle I et u définie sur un intervlle J et soit I. Si v x =b vec b J, et si u x =c x b, Alors Ceci est vri vec, b et c dns R { ; }. ) f x = x : trouver l ite qund x -. b) f x =cos 2 x : trouver l ite qund x + c) f x = sin x D) Limites prticulières f x =c. : trouver l ite qund x 0+ (x 0 et x > 0). ) Limites des fonctions polynômes Soit P x = n x n n x n... x 0 Pour trouver l ite de P(x) à l infini, on met n x n en fcteur : n P x = n x n n x... n x n n 0 n x i Dns cette expression, tous les termes en n x n i tendent vers zéro, donc l ite du deuxième terme du produit est égle à. Si n > 0, l ite de P(x) ser celle de x n, et sinon ce ser l ite de x n. En résumé : L ite à l'infini d'un polynôme est égle à l ite à l'infini de son terme de plus hut degré. Trouver les ites en + et - de : ) f(x) = 5x 4 3x 2 +2 b) f(x) = -6x 7 + 3x c) f(x) = 4x 2 + 3x Pge 5/2

6 2) Limites des fonctions rtionnelles On utilise le même système, en mettnt en fcteur le terme de plus hut degré u numérteur et u dénominteur. Soit f x = n x n n x n... x 0 x m x m... b x b 0 On fit f x = N x et on : D x N x = n x n n n x... n x n 0 n x n et D x = x m x... b x m b 0 x m, d'où : f x = n x m n N x D x où N (x) et D (x) ont tous deux pour ite l vleur à l'infini. L ite de f(x) ser donc celle de n x n x m= n x n m. Soit, si n > m, l ite ser infinie vec un signe dépendnt de x, de n et de. Si u contrire n < m, l ite ser zéro, et enfin si n = m, l ite ser le quotient n. Trouver les ites en + et - de : ) f x = x 5 3x 3 x 5x 3 3x 2 b) f x = 7x7 2x 3x 9 5x 7 x 2 c) f x = 8x3 2x 2 5x 9 7x 3 7x 2 x 3) Limites et inéglités Soient f, u et v trois fonctions définies sur I =] ; [ Si x I et Alors u x f x v x f x u x f x v x u x = v x =L u x = v x = f x L u x u x =0 f x v x f x =L et f x = L' f x =L f x = f x = f x =L L L' Pge 6/2

7 Exemple : sin x f x = x ) Montrer que x ]0 ; [, x sin x x x. sin x b) En déduire que =0. x E) Interpréttion grphique des ites : symptotes ) Définitions Une symptote est une droite vers lquelle se rpproche une courbe jusqu à l infini. Il y trois sortes d symptotes : verticles, horizontles et obliques. Les symptotes verticles correspondent hbituellement ux vleurs interdites (qui donnent une vleur nulle u dénominteur), et il peut y en voir un nombre quelconque, ou même une infinité pour une fonction donnée. Les symptotes horizontles surviennent qund l fonction tend vers une vleur finie lorsque l vrible tend vers l infini. Il ne peut y en voir que deux u mximum (en + et en - ). Les symptotes obliques correspondent ux cs où qund l vrible tend vers l infini, l courbe se rpproche d une droite oblique, donc d éqution y = x + b. Comme pour les horizontles, il ne peut y en voir que deux u mximum (en + et en - ). 2) Asymptotes verticles : ite infinie pour x Si une fonction f définie sur] ; b[ dmet une ite infinie en (+ ou - ), on dit que l droite d éqution x =, prllèle à l'xe des ordonnées, est une symptote à droite de f en. Si une fonction f définie sur]b ; [ dmet une ite infinie en (+ ou - ), on dit que l droite d éqution x =, prllèle à l'xe des ordonnées, est une symptote à guche de f en. En prticulier, lorsqu une fonction comporte un dénominteur qui s nnule lorsque x prend une certine vleur, est une vleur interdite et il y une symptote verticle d éqution x =. Les vleurs interdites correspondent donc souvent à des symptotes verticles. Pge 7/2

8 Pour x = 3, f n est ps définie, et l vleur interdite 3 correspond à une symptote verticle d éqution x = 3. (On ussi ici une symptote horizontle d éqution y = 2). Autres exemples : 2 ) f ( x )=7+ x 7 b) f ( x )= x2 3 x+ 7 3 x 2 2 x c) f ( x )= 3 x2 + x x+ 2 (symptote verticle d'éqution x = 7) (symptote verticle d'éqution x = ) (symptote verticle d'éqution x = -2) 3) Asymptotes horizontles : ite finie b réelle qund x + ou x - Si une fonction f dmet une ite b qund x + (resp. - ), on dit que l droite d éqution y = b, prllèle à l'xe des bscisses, est une symptote horizontle de f en + (resp. - ). On peut reprendre l'exemple précédent : l droite d'éqution y = 2 est symptote de l fonction f(x) en + et en -. 2x 2x 2(x 3) En effet, 2= = 3 0 qund x + ou, utrement dit l distnce x 3 x 3 x 3 entre l courbe de f et l droite y = 2 tend vers zéro lorsque x tend vers l infini. Autres exemples : f ( x )=7+ 2 x f ( x)= x2 3 x+ 7 3 x 2 x+ symptote horizontle d'éqution y = 7 symptote horizontle d'éqution y = /3 4) Asymptotes obliques : f(x) ( x + b) 0 qund x + ou x - Prenons l droite d éqution y = 4x. L fonction f ( x)=4 x + 3 x dmet cette droite comme symptote oblique en + et en -. En effet, l différence f ( x ) (4 x )= 3 x tend vers zéro qund x + et qund x -. Pge 8/2

9 L courbe de f(x) se rpprocher donc indéfiniment de cette droite en + et en -. Autres exemples : f ( x)=2 x x f ( x)= x2 3 x+ 7 x+ symptote oblique d'éqution y = 2 x + 7 symptote oblique d'éqution y = x - 4 5) Résumé : recherche des symptotes Le tbleu suivnt résume le lien entre ites et symptotes : Si Alors, on une symptote ( f ( x))=+ ou verticle d éqution x= x ( f ( x ))=b horizontle en + ou en - d éqution y=b x + ou ( f ( x) ( x + b))=0 oblique en + ou en - d éqution y= x+ b x + ou 6) Courbes symptotes De fçon générle, qund deux courbes se rpprochent indéfiniment en une vleur de x ou à l infini, on dit qu elles sont symptotes l une de l utre. Plus précisément, y = g(x) est symptote de y = f(x) lorsque f(x) g(x) 0 qund x + ou -. L symptote servnt en principe à mieux cerner l llure de l courbe à l infini, on ppelle symptote de l utre l courbe d éqution l plus simple. ) f x = x 2 et g x =x 2 5 x f(x) g(x) = 5/x 0 qund x + et qund x -. L courbe y = x² est donc une courbe symptote de y = x² + 5/x. b) f x = x x 4 et g x = x L courbe d éqution y = g(x) est symptote de celle d éqution y = f(x), cr f(x) g(x) 0 qund x + et qund x -. Remrque : ces deux courbes ont ussi comme symptote à l'infini l'xe des bscisses, qui est l droite d'éqution y=0. 7) Position d'une courbe pr rpport à son symptote Il est intéressnt ussi de connître l position de l courbe pr rpport à son symptote (u-dessus ou u-dessous), donc d étudier le signe de f(x) b pour les symptotes horizontles, f(x) ( x + b) pour les symptotes obliques ou f(x) g(x) pour les symptotes courbes. Lorsqu'on f(x) c (ou f(x) (x + b) ou f(x) - g(x)) positif, l courbe de f est u-dessus, si c'est négtif l courbe de f est u-dessous. Remrquons qu'il y ussi le cs où l courbe oscille entre dessus et dessous, lorsque le signe chnge indéfiniment. Pge 9/2

10 ) Exemples Déterminer si f est u-dessus ou u-dessous de son symptote dns les cs suivnts : f x =3 x f x =4 2 x 2 x 2 3 sin x f x = x 2 (y = 3) pour x - ou x + (y = 4) pour x + (y = 2) pour x - ou x + F) Résolution des cs de ite «indéterminée» On vu pour les polynômes qu une forme «indéterminée» pour l règle de l somme, pr exemple x² - x pour x + se résout fcilement pr l mise en fcteur de x² suivie de l règle du produit. On vu ussi une fçon de résoudre des formes indéterminées de quotient pour les frctions rtionnelles. Prfois, cependnt, on ne peut ps trouver de ite prce qu il n y en ps! Il n'y ps de règle générle pour svoir si l ite existe et pour l trouver, mis des techniques comme l mise en fcteur, l'utilistion de fonctions composées et l'encdrement pr des fonctions de ites connues permettent générlement d'y rriver. Il existe des moyens plus puissnts pour le fire mis ps u progrmme de cette clsse (développements ités). sin(x) grde une vleur bsolue inférieure à, mis chnge de signe indéfiniment! f(x) v osciller entre -x et +x jusqu u bout, donc f(x),n dmet ps de ite en x + ni en -. Pge 0/2

11 Limites : Fiche de révision pge /2 Tbleu récpitultif des ites des fonctions usuelles x x Ø Ø 0+ + x 2 n x 2 n x 2 n x 2 n Limite d une somme f x g x b b b f x g x + b ? Limite d un produit f x > 0 < 0 > 0 < g x b x x 0 ( f ( x) g( x)) x b ? Limite d un inverse f x (f(x) > 0) f x 0 - (f(x) < 0) 0 +- (signe vrible) Ps de ite Limite d un quotient f x g x b (> 0) x x 0( f (x ) g( x)) b 0 signe de 0 - (< 0) signe de (signe vrible) ps de ite b b 0 signe de b signe de -b?? Pge /2

12 Limites : Fiche de révision pge 2/2 Résumé mnémotechnique (opértions entre ites) + b = + b + + b = b = (+ )= (- ) = (- )=??? x b = x b Si b # 0 : x b = et le signe suit l règle hbituelle. x 0 =??? x = et le signe suit l règle hbituelle. =0 Si 0 : = et le signe suit l règle hbituelle. =??? et 0 0 =??? = 0 signe de = + 0 signe de - = - 0 ps de ite! +- Limites et inéglités Si pour tout x ssez grnd et Alors u x f x v x f x u x f x v x u x = v x =L u x = v x = f x L u x u x =0 f x v x Si f x =L et Recherche des symptotes f x = L' Alors, on une symptote ( f ( x))=+ ou verticle d éqution x = x f x =L f x = f x = f x =L L L' ( f ( x ))=b horizontle en + ou en - d éqution y=b x + ou ( f ( x) ( x + b))=0 oblique en + ou en - d éqution y= x+ b x + ou Limites si x + ou - des polynômes et des fonctions rtionnelles On tient lors seulement compte du ou des termes de plus hut degré. Limites indéterminées On essye de fctoriser ou d utiliser les inéglités pour lever l indétermintion. Pge 2/2