ROC: Restitution Organisée des Connaissances

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1 ROC: Restitution Orgnisée des Connissnces Terminle S Septembre 2005 Tble des mtières 1 Anlyse Limites et ordre Bijection Fonction composée Fonction exponentielle, existence et unicité Éqution différentielle Propriétés des fonctions logrithme et exponentielle L fonction exponentielle Le logrithme Les suites Croissnces comprées Primitive s nnulnt en Intégrtion Pr Prties Géométrie Module et rgument d un produit, d un quotient Second degré Écriture complexe des trnsformtions du pln Distnce d un point à un pln Distnce d un point à une droite dns le pln Probbilités Formule des probbilités totles Tringle de Pscl - Binôme de Newton Ce document été rélisé à l ide de L A TEX 2ε, un lociciel libre. 1

2 1 Anlyse 1.1 Limites et ordre Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des «Gendrmes» Si, pour x «ssez voisin de»( fini ou infini), on : u(x) f (x) v(x) et si u et v ont l même limite l en, lors : lim f (x) = l x 2. Cs d une limite infinie Si, pour x «ssez voisin de»on f (x) u(x), et si : lim u(x) = +, lors lim f (x) = + x x (Énoncé nlogue pour ) Dns le cs où = + (c est le cs qui figure u progrmme, l démonstrtion des utres cs ne pourr vous être demndée.) On considère un intervlle ouvert quelconque I contennt l. L fonction u pour limite l en + donc il existe un réel A tel que pour tout x ]A; + [ tous les nombres u(x) sont dns I. De même, pour l fonction v : On note B le réel tel que pour tout x ]B; + [ on : v(x) I. On désigne pr C le plus grnd des nombres A et B. Alors pour tout x ]C; + [ on : v(x) I et u(x) I. Or, on sit que u(x) f (x) v(x). Donc, nécessirement f (x) I Conclusion : f pour limite l qund x + 2

3 1.2 Bijection Théorème 2 dit de l «bijection» Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [, b], Alors, pour tout réel k compris entre f () et f (b), l éqution f (x) = k une solution unique dns [A, B]. Démonstrtion Nous llons étblir le théorème dns le cs où f est strictement croissnte. Le cs où f est décroissnte ser fcile à en déduire. On sit que f est une fonction continue sur [, b]. Considérons le réel k compris entre f () et f (b). D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe un réel α tel que : f (α) = k Supposons qu il existe réel β tel que β α et f (β) = k Si β > α, lors f (β) > f (α) (On sit que f est strictement croissnte). et donc : f (β) k Contrdiction. L supposition est donc fusse, et le réel α est unique. On procède de même si β < α. D où le résultt. 3

4 1.3 Fonction composée Théorème 3 Soit u une fonction définie et dérivble sur un intervlle I et g une fonction définie et dérivble sur un intervlle J tel que pour tout x I on it u(x) J. lors l fonction f = g u est dérivble sur I et on pour tout x I : f (x) = g (u(x)) u (x) En résumé, on note (g u) = g u u Note importnte : les commentires officiels du progrmme précisent : «le principe de l démonstrtion ser indiqué» Soit x 0 I. Pour tout x I(x x 0 ) on : f (x) f (x 0 ) = g(u(x)) g(u(x 0)) x x 0 x x 0 = g(u(x)) g(u(x 0)) u(x) u(x 0) pour x x 0 u(x) u(x 0 ) x x 0 on : lim u(x) = u(x 0 ) = y 0 x x 0 On pose X = u(x). On lors g(u(x)) g(u(x 0 )) lim x x 0 u(x) u(x 0 ) = lim X y0 g(x) g(y 0 ) X y 0 = g (y 0 ) De plus : Conclusion : u(x) u(x 0 ) lim = u (x 0 ) x x 0 x x 0 f (x 0 ) = g (y 0 ) u (x 0 ) = g (u(x 0 )) g (x 0 ) CQFD 4

5 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité Propriété 1 S il existe une solution f dérivble sur R de l éqution différentielle f = f vec f (0) = 1, lors f est non nulle sur R On considère l fonction g : x f (x) f ( x). g est définie sur R, et pr composition de fonctions dérivbles sur R est donc dérivble sur R. En utilisnt le théorème de dérivtion composée, on pour tout x R : g (x) = f (x) f ( x) f (x) f ( x) = f (x) f ( x) f (x) f ( x) ( f = f ) = 0 g est donc une fonction constnte. Or, f (0) = 1 donc g(0) = 1 et pour tout x R on : g(x) = 1. Supposons qu il existe R tel que f () = 0. Alors on urit g() = f () f ( ) = 0. Contrdiction. L supposition est donc fusse et f ne s nnule jmis. QED. Théorème 4 et Définition Il existe une unique fonction f, dérivble sur R telle que f f (0) = 1. Cette fonction est l fonction exponentielle. On l note exp. = f et Existence : le théorème d existence et d unicité de l fonction qui s nnule en : x x f (t)dt (voir théorème 16 pge 16) permet de prouver l existence de l fonction logrithme et de s réciproque, l fonction exponentielle (grâce u théorème de l bijection). Unicité : Supposons qu il existe une utre solution g vérifint les conditions. f ne s nnule ps, l fonction g est donc définie et dérivble sur R et on : ( ) f g = f g g f = f g g f = 0. f f 2 f 2 5

6 L fonction g f est donc constnte. Or, g g(0) (0) = f f (0) = 1 Donc, pour tout réel x, g (x) = 1. D où f = g f Conclusion : L fonction f est unique. 6

7 1.5 Éqution différentielle Théorème 5 Éqution y = ky Soit k un réel non nul. L éqution différentielle f = k f pour ensemble de solutions dns R l ensemble des fonctions : x Ce kx Où C est une constnte réelle quelconque. On pose f (x) = Ce kx. On vérifie fcilement que f est solution de l éqution. Réciproquement, soit f une solution de l éqution. On pose : g : x e kx f (x). g est dérivble sur R et on : g (x) = e kx ( f (x) k f (x)) = 0 cr f = k f. L fonction g est donc constnte et on pose g(x) = C. Alors on : f (x) = Ce kx Théorème 6 Éqution y = y + b On considère l éqution différentielle y = y + b (1) (, b réels, 0), et l éqution sns second membre ssociée y = y (ou bien y y = 0). Alors : Il existe une fonction constnte g, solution prticulière de (1) : g(x) = b ; L ensemble des solutions de (1) sont les fonctions : x Ce x b l fonction g : x b est solution de (1) : Immédit. f est solution de (1) pour tout x on f (x) f (x) = b, ie : f (x) f (x) = g (x) g(x) utrement dit : ( f g) = ( f g) c est à dire : f est solution de (1) f g est solution de y = y. D près le théorème précédent, on doit voir pour tout x R, ( f g)(x) = Ce x où C est une constnte réelle. 7

8 Conclusion : les solutions de (1) sont les fonctions : x Ce x b vec C R Théorème 7 condition initile Il existe une unique solution de l éqution différentielle y vérifint l condition initile : = y + b y(x 0 ) = y 0. (x 0 et y 0 réels donnés). D près le théorème précédent, l ensemble des solutions de l éqution est de l forme : f : x Ce x b vec C R on doit voir f (x 0 ) = y 0, soit y 0 = Ce x 0 b ( Autrement dit : C = y 0 + b ) e x 0 Il existe donc un seul réel C et l propriété est démontrée. ( Note : On peut ussi fire une démonstrtion pr l bsurde) 8

9 1.6 Propriétés des fonctions logrithme et exponentielle L fonction exponentielle Théorème 8 Reltion fonctionnelle Pour tous réels et b, exp( + b) = exp() exp(b) On considère l fonction f définie sur R pr : f : x exp( + b x) exp(x) L fonction f est dérivble sur R et on : f (x) = exp( + b x) exp(x) + exp( + b x) exp(x) = 0 l fonction f est donc une fonction constnte. De plus, f (0) = exp( + b) exp(0) = exp( + b), et f (b) = exp() exp(b) f étnt constnte, on lors : exp( + b) = exp() exp(b) Théorème 9 Propriétés lgébriques Pour tous réels et b, et pour tout entier reltif n, on : exp( b) = exp() exp(b) exp(n) = [exp()] n (n Z) 1 exp( b) = ( exp(b) exp = n) n exp() Immédite à prtir du théorème précédent. Théorème 10 Reltion fonctionnelle crctéristique Il existe une seule fonction f dérivble, non nulle sur R telle que : f ( + b) = f () f (b) et f (0) = 1 Cette fonction est l fonction exponentielle On sit que l fonction exponentielle vérifie les qutres conditions. Démontrons l unicité. Supposons qu il existe une utre fonction g vérifint ces conditions. Pour tout x R, on g(x + b) = g(x) g(b). L fonction x g(x + b) est dérivble sur R, et on : g (x + b) = g (x) g(b), et pour x = 0, on : g (b) = g(b) De plus g(0) = 1. L fonction g vérifie donc l éqution différentielle f = f et est l solution telle que f (0) = 1 9

10 g est donc l fonction exponentielle. Contrdiction. L supposition est donc fusse, et l unicité est démontrée Le logrithme Théorème 11 Propriétés lgébriques Pour tous réels et b strictement positifs, et pour tout entier reltif n, on : ln b = ln + ln b ln n = n ln ln n = 1 n ln (n N ) ln = ln ln b b ln 1 b = ln b L démonstrtion repose sur l utilistion des propriétés de l fonction exponentielle, s réciproque. Démonstrtion du premier point : on pose U = ln b et V = ln + ln b Alors on : exp(u) = exp(ln b) = b exp(v) = exp(ln + ln b) = exp(ln ) exp(ln b) = b on lors exp(u) = exp(v), donc nécessirement U = V (l exponentielle est bijective) Autrement dit : ln b = ln + ln b On démontre le second point à l ide d un risonnement pr récurrence. Théorème 12 Eqution fonctionnelle crctéristique Si f est une fonction dérivble sur ]0; + [ telle que f (b) = f () + f (b) et f (1) = 1, lors f est l fonction ln Soit f une telle fonction. On lors : f (1 ) = f (1) + f () Autrement dit, f () = f (1) + f (). D où f (1) = 0. On considère l fonction F définie pr F(x) = f (x) F est une fonction dérivble sur ]0; + [ comme composée de fonctions dérivbles sur ]0; + [ Et on : F (x) = f (x) Or, f (x) = f () + f (x) donc : F (x) = f (x) On en déduit que : f (x) = f (x) 10

11 Et, pour x = 1, on : f (1) = 1 = f () On lors pour > 0 : f () = 1 En résumé, l fonction f est donc telle que : f (1) = 0 f () = 1 pour > 0 Conclusion : L fonction f est donc l fonction ln 11

12 1.7 Les suites Propriété 2 Suites divergentes Une suite croissnte et non mjorée diverge vers + Une suite décroissnte et non minorée diverge vers Démontrons le premier point. L méthode est nlogue pour le second point. Soit (u n ) une suite croissnte non mjorée, et A un nombre réel quelconque. L suite n est ps mjorée, donc il existe un rng k tel que u k > A Or, l suite (u n ) est croissnte, donc pour tout n > k, on : u n u k Donc pour tout entier n > k, on u n > A Conclusion : L suite (u n ) diverge vers +. Théorème 13 Suites djcentes Si deux suites sont djcentes, lors elles convergent et elles ont l même limite Soient deux suites (u n ) et (v n ) telles que : (u n ) soit croissnte, (v n ) décroissnte et lim n + (u n v n ) = 0 1. Montrons que pour tout n, u n v n On pose w n = v n u n. Étudions le sens de vrition de (w n ) w n+1 w n = (v n+1 u n+1 ) (v n u n ) = (v n+1 v n ) (u n+1 u n ) Or, l suite (u n ) est croissnte, donc (u n+1 u n ) 0 Et l suite (v n ) est décroissnte, donc (v n+1 v n ) 0 On en déduit que : (w n+1 w n ) 0, l suite est donc décroissnte. De plus on sit que : lim v n u n = 0 l suite (w n ) est donc positive et pour tout n on : v n u n 0 v n u n 2. Montrons que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes. pour tout n, on sit que u n v n. Or, l suite (v n ) est décroissnte, donc pour tout n, v n v 0. On en déduit que pour tout n, u n v 0 Conclusion : l suite (u n ) est croissnte et mjorée pr v 0, donc convergente. On procède de même pour l suite (v n ). 12

13 3. Montrons que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers l même limite. l suite (u n ) converge vers L, et l suite (v n ) converge vers l. D près les propriétés de l limite d une différence, on : lim (v n u n ) = l L Or, lim v n u n = 0 donc l L = 0, c est à dire : l = L. Conclusion : les suites convergent vers l même limite et le théorème est démontré. 13

14 1.8 Croissnces comprées Théorème 14 Croissnces comprées - limites fondmentles e x lim x + x = + lim ln x x + x = 0 1. Déterminons l limite de ex en + x Dns le cours, ces propriétés sont ppelées «croissnce comprée». Comprons les fonctions x e x et x x, et montrons que pour tout x réel, e x x. On pose : g(x) = e x x. L fonction g est dérivble sur R (somme de fonctions dérivbles) et on : g (x) = e x 1 On : g(0) = 1 d où le tbleu : g (x) > 0 e x 1 > 0 e x > 1 e x > e 0 x > 0 x 0 + g (x) 0 + g(x) 1 L fonction g est donc positive et pour tout x, on : e x x Pour tout x > 0, on : e ( 2) x x 2 e x x2 [ e ( 2) ] ( x 2 x ) ex x x 4 x Or, on sit que lim x + 4 e x = + D où le résultt : lim x + x = + 14

15 2. Démonstrtion de l limite de ln x en + x Pour tout x R, on pose : t = ln x, on lim ln x = + donc lim t = + x + x + De plus : ln x x e t Or, d près ce qui précède, lim t + t donc lim t + t e t = 0 On en déduit que : Théorème 15 Corrolire Pour tout entier n 1 : ln x lim x + x = 0 = t e t = + lim x ln x = 0 x 0 lim x n ln x = 0 x 0 lim x xn e x = 0 e x lim x + lim x + x = + n ln x = 0 x n C est un corrollire de ce qui précède, mis pour l limite de ex en +, on écrit : xn e x x n = e ( x n) ( x n) n 1 n n Le théorème de l limite de l composée de fonctions permet de conclure. 15

16 1.9 Primitive s nnulnt en Théorème 16 Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et I. L fonction F définie pr : F : x x f (t)dt est l unique primitive de f qui s nnule en. On suppose que f est continue et croissnte sur I (Le cs générl est dmis et s démonstrtion n est ps u progrmme ) Existence : On sit que toute fonction continue sur un intervlle I dmet une intégrle sur cet intervlle. Donc, pour tout x I, l intégrle x f (t)dt existe. Il existe donc une fonction F définie sur I pr F : x x f (t)dt. Soit α I et h > 0 tel que α + h I. f étnt une fonction positive et croissnte, F(α+h) F(α) est une ire encdrée pr l ire de deux rectngles de lrgeur h : f(+h) f() +h 16

17 On lors h f (α) F(α + h) F(α) h f (α + h) F(α + h) F(α) f (α) f (α + h) h Or on sit que f est continue, donc lim f (α + h) = f (α) h 0 h>0 Ce qui implique d près le théorème des gendrmes (Théorème 1) que : lim h 0 h>0 F(α + h) F(α) h = f (α) On démontre de mnière nlogue le résultt si h < 0. Il en résulte que : F (α) = f (α) Autrement dit, F est dérivble sur I et s dérivée est f. Unicité : On sit que F() = 0 Supposons que G est une utre primitive de f vérifint G() = 0. Nécessirement, pour tout x I, on : G(x) = F(x)+C où C est une constnte réelle non nulle. On lors : G() = F() + C = C. Or, C 0 Contrdiction. L supposition est donc fusse, et l fonction F est unique. 17

18 1.10 Intégrtion Pr Prties Théorème 17 Intégrtion pr prties Soient u et v deux fonctions continues et dérivbles sur l intervlle I telles que leurs dérivées soient continues sur I. Pour tous réels et b de I, on : b u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] b b u(t)v (t)dt u et v sont dérivbles sur I, on donc : (uv) = u v + uv L fonction (uv) est continue donc intégrble sur I et on pour tous réels et b de I : b (uv) (t)dt = = b b (u v + uv )(t)dt (u v)(t)dt + b (uv )(t)dt (linérité) Or : on en déduit lors que : b (uv) (t)dt = [u(t)v(t)] b b u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] b b u(t)v (t)dt 18

19 2 Géométrie 2.1 Module et rgument d un produit, d un quotient Théorème 18 Module d un produit, d un quotient de nombres complexes Soient les nombres complexes z et z Aolrs on : zz = z z z z = z z vec z 0 zz 2 = zz zz = zz zz = zz z z = z 2 z 2 Le module d un nombre complexe est positif, on en déduit donc : zz = z z Supposons zz = 1 lors on zz = z z = 1 et pour z 0 : 1 z = 1 z On lors : z 1 = z 1 z z = z z D où le résultt. Théorème 19 Argument du produit, du quotient d un nombre complexe Soient z et z deux nombres complexes. Alors on : rg(zz ( = rg(z) + rg(z ) + 2kπ où k Z z ) rg = rg(z) rg(z ) + 2kπ vec k Z z zz = r(cos + i sin b) r (cos + i sin b ) = rr (cos + i sin b) (cos + i sin b ) = rr [(cos cos sin b sin b ) + i(cos sin b + sin b cos )] = rr [cos( + ) + i sin( + )] 19

20 on lors rg(zz ) = rg(z) + rg(z ) + 2kπ vec k Z Si zz = 1( lors ) rg(zz ) = rg (z) + rg(z ) = 2kπ vec k Z 1 d où rg = rg(z ) + 2kπ vec z 0 z ( z ) Conclusion : rg = rg(z) rg(z ) + 2kπ vec k Z z 20

21 2.2 Résolution générle de l éqution du second degré Propriété 3 Éqution du second degré dns C On considère l éqution : z 2 +bz+c = 0 vec, b, c trois réels et 0. le discriminnt de l éqution est : = b 2 4c. Si > 0, l éqution deux solutions réelles distinctes, x 1 et x 2 : z 1 = b 2 z 2 = b + 2 Si = 0, l éqution une rcine double : z 0 = b 2 Si < 0, l éqution deux solutions complexes conjuguées : z 1 = b i 2 z 2 = b + i 2 On considère l expression P(z) = z 2 + bz + c [( En utilisnt l forme cnonique, on lors P(z) = z + b ) 2 ] Si > 0, lors on obtient une différence de deux crrés et l on peut fctoriser l expression P(z). Les solutions sont les mêmes que pour l résolution dns R. Si = 0, P(z) est lors un crré prfit et on l solution z = b 2 Si < 0, lors > 0 On lors : ( P(z) = z + 2) b 2 i 2 D où le résultt. = z + b 2 i 2 2 z + b 2 + i 2 21

22 2.3 Écriture complexe des trnsformtions du pln Théorème 20 Écriture complexe des trnsformtions Soit Ω un point du pln complexe d ffixe ω, et θ un nombre réel. L trnsltion de vecteur u d ffixe u ssocie le point M (z) u point M(z) tel que : z = z + u L rottion de centre Ω et d ngle θ ssocie le point M (z) u point M(z) tel que : z ω = e iθ (z ω) L homothétie de centre Ω et de rpport k (réel non nul) ssocie le point M (z) u point M(z) tel que : z ω = k(z ω) Trnsltion : On doit voir MM = u d où z z = u, c est à dire z = z + u Rottion : On doit voir : ΩM = ΩM et ( ΩM, ΩM ) = θ + 2kπ vec k Z C est à dire pour M Ω : ΩM = ΩM z ω = z ω z ω z ω = 1 et : ( ΩM, ΩM ) = θ + 2kπ vec k Z ( u, ΩM ) ( u, ΩM) = θ + 2kπ rg(z ω) rg(z ω) = θ + 2kπ ( ) z ω rg = θ + 2kπ z ω Le nombre complexe z ω donc pour module 1 et pour rgument θ, z ω d où : z ω z ω = eiθ c est à dire : z ω = e iθ (z ω) Pour M = Ω, l propriété est ussi vérifiée. Homothétie : Pour tout M, on : d où le résultt. ΩM = k ΩM z ω = k(z ω) 22

23 2.4 Distnce d un point à un pln Note : L espce est muni d un repère orthonorml (O; i, j, k ) Théorème 21 Distnce d un point à un pln Soit A un point de l espce, n un vecteur non nul. Le pln P est le pln pssnt pr A et de vecteur norml n Soit M un point de l espce, et H son projeté orthogonl sur P. L distnce de M u pln P est donnée pr : MH = AM. n n Les vecteurs HM et n son colinéires, donc il existe un réel k tel que : HM= k n De plus : AM= AH + HM donc : AM. n = ( AH + HM). n = AH. n + HM. n = HM. n ( n est norml u pln contennta et H) = k n. n = k n 2 AM. n On en déduit que k = ( AM. n n est non nul), d où HM= n 2 n 2 Conclusion : MH = AM. n n Corollire 1 Distnce d un point à un pln : clcul prtique Soit P un pln de l espce d éqution x + by + cz + d = 0 et M 0 (x 0, y 0, z 0 ) un point de l espce. L distnce de M à P est donnée pr : x 0 + by 0 + cz 0 + d 2 + b 2 + c 2 n 23

24 Immédite : Soit A(x 1, y 1, z 1 ) un point quelconque du pln P. Le vecteur n (, b, c) est un vecteur norml à P. On lors : AM 0. n = (x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) + c(z 0 z 1 ) De plus : n = 2 + b 2 + c 2 D où le résultt. = x 0 + by 0 + cz 0 (x 1 + by 1 + cz 1 ) = x 0 + by 0 + cz 0 + d cr A P 2.5 Distnce d un point à une droite dns le pln Théorème 22 Distnce d un point à une droite L distnce du point M(x 0, y 0 ) à l droite D d éqution x + by + c = 0 est donnée pr : d(m, D) = x 0 + by 0 + c 2 + b 2 Anlogue à l démonstrtion précédente du théorème 21 pge 23 24

25 3 Probbilités 3.1 Formule des probbilités totles Théorème 23 Probbilités totles Soient A 1, A 2,..., A n des événements rélisnt une prtition de l univers Ω et B un événement quelconque. On lors : P(B) = n P Ai (B) P(A i ) i=1 = P A1 (B)P(A 1 ) + P A2 (B)P(A 2 ) + + P An (B)P(A n ) les événements A 1 B, A 2 B,..., A n B rélisent une prtition de l événement B on donc : P(B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) + + P(A n B) Or pour i = 1, 2,..., n on : P(A i B) = P Ai (B) P(A i ) D où le résultt. 25

26 3.2 Tringle de Pscl - Binôme de Newton Propriété 4 n et p sont des entiers nturels tels que p n 1 1. ( ( n 0) = n n) = 1 2. ( ) ( n p = n ) n p 3. ( ) ( n 1 = n n 1) = n 4. ( n 1 p 1 ) ( + n 1 ) ( = n p) p Soit E un ensemble à n éléments. 1. Immédit 2. Si A contient p éléments de E, lors son complémentire en contient n p, d où le résultt. 3. Même risonnement que précédemment. 4. Pr le clcul : ( ) n 1 + p 1 ( ) n 1 p = = = = = = (n 1)! (p 1)![(n 1) (p 1)]! + (n 1)! p!(n 1 p)! (n 1)! (p 1)!(n p)! + (n 1)! p!(n p 1)! p(n 1)! p(p 1)!(n p)! + (n p)(n 1)! (n p)p!(n p 1)! p(n 1)! + (n p)(n 1)! p!(n p)! (n 1)! [p + (n p)] p!(n p)! ( ) n! n p!(n p)! = p Propriété 5 Binôme de Newton Pour tous réels, b et pour tout n entier nturel (n 1) on : ( + b) n = = n k=0 ( ) n 0 ( ) n n k b k k n + ( ) ( n n 1 b n n 1 ) b n 1 + ( ) n b n n 26

27 Pr récurrence sur n. Initilistion : Pour n = 1, on : ( + b) 1 = ( ( 1 0) + 1 1) b L propriété est donc vérifiée pour n = 1. Hérédité : Supposons que l propriété est vrie u rng n 1. (HR) Démontrons qu elle est vrie u rng n On sit que : On donc : n 1 ( ) n 1 ( + b) n 1 = n 1 k b k k k=0 ( + b) n = ( + b) ( + b) n 1 n 1 ( ) n 1 = ( + b) n 1 k b k (HR) k k=0 n 1 ( ) n 1 n 1 ( ) n 1 = n 1 k b k + b n 1 k b k k k k=0 k=0 n 1 ( ) n 1 n 1 ( ) n 1 = n k b k + n 1 k b k+1 k k k=0 k=0 ( ) n 1 [( ) ( n 1 n 1 )] = n + + n 1 b [( ) ( n 1 n 1 )] + + n 1 k b k +... k 1 k [( ) ( n 1 n 1 )] ( ) n b n 1 + b n n 2 n 1 n 1 ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n Or, on sit que : ( ) k 1 n 1 De plus : = 0 D où le résultt. ( n 1 n 1 + ) k = ( n 0 = ) ( k ) n = = 1 n 27