Cours de Terminale S Analyse. Éric ROUGIER

Transcription

1 Cours de Terminle S Anlyse Éric ROUGIER 13 vril 2015

2 2

3 Tble des mtières 1 Suites et récurrence 5 I - Le risonnement pr récurrence Principe de récurrence Deux exemples II - Limite d une suite Limite finie Limite infinie Limites usuelles Limite d une suite géométrique Compléments sur les fonctions 13 I - Fonctions trigonométriques Premières propriétés Vritions et représenttions grphiques Dérivbilité II - Clculs de dérivées : compléments Composée d une fonction vec une fonction ffine Composée d une fonction de référence vec une fonction L fonction exponentielle 19 I - Les fonctions vérifint f = f vec f(0) = II - Propriétés de l fonction exponentielle Propriétés lgébriques Une nouvelle nottion Étude de l fonction exponentielle Convergence des suites 25 I - Opértions sur les limites Addition Produit Quotient II - Limites et comprison Théorème de comprison Théorème des gendrmes III - Suites monotones Suite croissnte convergente Suite monotone bornée Comportement symptotique d une fonction 31 I - Définitions et exemples Limite finie en l infini Limite infinie en l infini Limite infinie en un réel II - Clculs de limites

4 Terminle S Chpitre 0 1. Règles opértoires sur les limites Théorèmes de comprison Composée de deux fonctions III - L fonction exponentielle, croissnce comprée Continuité 41 I - Notion intuitive de continuité II - Continuité et résolution d équtions Théorème des vleurs intermédiires Théorème de l bijection Obtenir un encdrement pr dichotomie Intégrtion 47 I - Intégrle d une fonction continue positive Notion d ire Propriétés Fonction définie pr une intégrle II - Primitives d une fonction continue Ensemble de primitives et condition initile Tbleu de primitives III - Intégrle d une fonction continue Clcul intégrl Propriétés de l intégrle IV - Clculs d ires et de volumes Clcul d ire délimitée pr deux courbes Clcul de volume Fonction logrithme népérien 55 I - L fonction "logrithme népérien" II - Étude de l fonction logrithme népérien III - Compléments Croissnces comprées L fonction logrithme déciml Les fonctions exponentielles de bse Les fonctions rcine n ième Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 Chpitre 1 Suites et récurrence Ce que dit le progrmme Suites Risonnement pr récurrence. Contenus Modlités de mise en oeuvre Commentires Svoir mener un risonnement pr récurrence. Ce type de risonnement intervient tout u long de l nnée et ps seulement dns le cdre de l étude des suites. Limite finie ou infinie d une suite. Comportement à l infini de l suite (q n ), q étnt un nombre réel. Dns le cs d une limite infinie, étnt donnés une suite croissnte (u n ) et un nombre réel A, déterminer à l ide d un lgorithme un rng à prtir duquel u n est supérieur à A. Démontrer que l suite (q n ), vec q > 1, pour limite + Déterminer l limite éventuelle d une suite géométrique. Pour exprimer que u n tend vers l qund n tend vers +, on dit que : «tout intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs u n à prtir d un certin rng». Pour exprimer que u n tend vers + qund n tend vers +, on dit que : «tout intervlle de l forme ]A;+ [ contient toutes les vleurs u n à prtir d un certin rng». Comme en clsse de première, il est importnt de vrier les pproches et les outils sur lesquels le risonnement s ppuie. On présente des exemples de suites qui n ont ps de limite. On démontre pr récurrence que pour réel strictement positif et tout entier nturel n : (1+) n 1+n. On peut étudier des situtions où intervient l limite de l somme des premiers termes d une suite géométrique. 5

6 Terminle S Chpitre 1 I - Le risonnement pr récurrence 1. Principe de récurrence Soit P(n) une propriété dépendnt d un entier nturel n. Démontrer pr récurrence que P(n) est vrie pour tout entier nturel n n 0 consiste à risonner de l fçon suivnte : Première étpe, l initilistion : on vérifie que P(n 0 ) est vrie. Deuxième étpe, l hérédité : on suppose que P(n) est vrie pour un entier n n 0 (hypothèse de récurrence), puis on montre que P(n + 1) est vrie. Troisième étpe, l conclusion : D près l xiome de récurrence, l propriété P(n) est vrie pour tout entier n n 0. Axiome du risonnement pr récurrence À l issue du risonnement pr récurrence précédent, on peut conclure que pour tout n n 0, P(n) est vrie. Imge : Grimper sur une échelle infinie. Première étpe Deuxième étpe n+1 n n 0 On sit monter sur le brreu de rng n 0. Conclusion : On peut grvir l échelle infinie. On sit psser du brreu de rng n u brreu de rng n+1. En résumé Dns l prtique, pour démontrer pr récurrence que pour tout entier nturel n n 0, une propriété P(n) est vrie, on procède en trois étpes : on vérifie que P(n 0 ) est vrie; on suppose que P(n) est vrie pour un entier quelconque fixé n n 0 (hypothèse de récurrence) et on montrer lors que P(n + 1) est vrie; on conclut : pour tout entier nturel n n 0, P(n) est vrie. 2. Deux exemples Énoncé 1 On considère un réel positif. Démontrer pr récurrence que pour tout entier nturel n : (1+) n 1+n. 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 Terminle S Suites et récurrence Pour n N, on note P(n) l proposition : «(1+) n 1+n. Initilistion : Pour n = 0, on : (1+) 0 = 1 et 1+0 = 1, donc (1+) L propriété P(0) est vrie. Solution Hérédité : on suppose que l proposition P(n) est vrie pour un entier n : c est l hypothèse de récurrence. P(n+1) s écrit (1+) n+1 1+(n+1) : c est ce qu il fut démontrer. On remrque que (1 + ) n+1 = (1 + ) n (1 + ), or d près l hypothèse de récurrence, on (1+) n 1+n, en mutiplint l inéglité pr (1+) > 0, on obtient : (1+) n+1 (1+n)(1+). De plus, (1+)(1+n) = 1+(n+1)+n 2. Mis puisque n 2 0, on en déduit que (1+) n+1 1+(n+1), insi P(n+1) est vrie. Conclusion : D près l xiome de récurrence, l proposition P(n) est vrie pour tout entier nturel n. Énoncé 2 On considère l suite (u n ) à termes positifs définie pr : { u0 = 1 u n+1 = u n +1 pour n N Démontrer pr récurrence que l suite (u n ) est croissnte. Il s git de démontrer que pour tout n 0, u n+1 u n. On note P(n) l proposition : «u n+1 u n», pour n N. Solution Initilistion : u 0 = 1 et u 1 = 2, u 1 > u 0 donc P(0) est vrie. Hérédité : on suppose que l proposition P(n) est vrie pour un entier n : u n+1 u n. On doit montrer que l proposition P(n+1) est vrie, c est-à-dire que u n+2 u n+1. D près l hypothèse de récurrence, on : u n+1 u n, donc u n+1 +1 u n +1. Puisque l fonction rcine crré est strictement croissnte sur [0;+ [, et que pr définition tous les termes de l suite sont positifs, on obtient u n+1 +1 u n +1, c est-à-dire u n+2 u n+1. Donc P(n+1) est vrie. Conclusion : D près l xiome de récurrence, l proposition P(n) est vrie pour tout entier n 0, l suite (u n ) est croissnte. II - Limite d une suite 1. Limite finie Définition 1 On dit qu une suite (u n ) dmet pour limite le réel l, lorsque tout intervlle ouvert I =];b[ contennt l contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng N, c est-à-dire : pour tout entier n N,u n I. Dns ce cs, on dit que l suite converge vers l et on note lim u n = l. n Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 Terminle S Chpitre 1 Exemple 1 Montrer en utilisnt l définition que l suite (u n ) définie pr u n = 1 1 n converge vers b 0.2 n Solution Soit I =];b[ un intervlle ouvert contennt 1, c est-à-dire < 1 < b. Pour tout entier n > 1 1, l fonction inverse étnt strictement décroissnte sur ]0;+ [ et 1 b < 0, on 1 b < 1 n < 1, c est-à-dire 1 < 1 n < b 1, pr suite < u n < b. On pose N le plus petit entier tel que N > 1 1, pour tout entier n N, on < u n < b, c est-à-dire u n I, donc lim n + u n = 1. Remrques : Les locutions à «prtir d un certin rng» et «pour tout entier nturel n ssez grnd» ont le même sens, elles : «il existe un entier nturel n 0 tel que pour tout entier nturel n supérieur à n 0,...»; Dns l prtique, on pourr utiliser le fit que tout intervlle ouvert contennt l, contient un intervlle de l forme ]l ε; l + ε[ vec ε > 0 et donc ne trviller que sur ce type d intervlle; Dire que l suite (u n ) converge vers l revient à dire que lim n + u n l = 0 ; Lorsqu une suite converge, s limite est unique; Lorsqu une suite ne converge ps, on dit qu elle diverge. Pr exemple si u n = ( 1) n lors u n ps de limite et si u n = 2 n lors u une limite infinie. 2. Limite infinie Définition 2 On dit qu une suite (u n ) pour limite +, lorsque tout intervlle de l forme ]A;+ [ où A R contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng N, c est-à-dire : pour tout entier n N,u n > A. Dns ce cs, on dit que l suite diverge vers + et on note lim u n = +. n + On dit qu une suite (u n ) pour limite, lorsque tout intervlle de l forme ] ;B[ où B R contient tous les termes de l suite à prtir d un certin rng N, c est-à-dire : pour tout entier n N,u n < A. Dns ce cs, on dit que l suite diverge vers et on note lim u n =. n Lycée Pierre-Gilles de Gennes

9 Terminle S Suites et récurrence Exemple 2 Étudier l limite de l suite de terme générl u n = n A 2 n Solution Soit A un réel. Si A 0, lors pour tout entier n 1, n > A. On pose N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A 2, puisque l fonction rcine crré est strictement croissnte sur ]0;+ [, on n > A. On pose N le plus petit entier tel que N > A 2. Ainsi, pour tout entier n N, on n > A, donc lim n = +. n + 3. Limites usuelles Théorème 1 (1) lim n + n = + ; 1 (2) lim n + n = 0 ; Pour tout entier k 1 : (3) lim n + n2 = + ; 1 (4) lim n + n 2 = 0 ; (5) lim n = + ; n + 1 (6) lim = 0 ; n + n (7) lim n + nk = + ; 1 (8) lim n + n k = 0 ; Démonstrtion (2) Soit I =]; b[ un intervlle ouvert contennt 0 (on forcément < 0 et b > 0). Pour tout entier n > 1 b, puisque l fonction inverse est strictement décroissnte sur ]0;+ [, on 0 < 1 n < b. On pose N le plus petit entier tel que N > 1 b. Ainsi, pour tout entier n N, on < 0 < 1 n < b, c est-à-dire 1 1 I, donc lim n n + n = 0. (3) Soit A un réel. Si A 0, lors pour tout entier n 1, n 2 > A. On pose N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, puisque l fonction crré est strictement croissnte sur ]0;+ [, on n 2 > A. On pose N le plus petit entier tel que N > A. Ainsi, pour tout entier n N, on n 2 > A, donc lim n 2 = +. n + Les résultts (7) et (8) sont dmis et les utres peuvent être fis en exercice. Remrques : Soit p un réel, pour tout entier nturel k 1, on dmettr que les suites : 9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

10 Terminle S Chpitre 1 (p n k ) et (p n) ont pour limite + lorsque p > 0 et lorsque p < 0 ; Å ã p n k et Ç å p n ont pour limite 0. Exemple 3 Déterminer les limites des suites u, v et w définie pr : u n = 5n 3 pour n N; v n = n pour n N; w n = 3 n 2 pour n N. Solution D près l remrque, on lim u n = +, n + lim v n = et n + lim w n = 0 n + 4. Limite d une suite géométrique Théorème 2 Soit q un réel. Si q > 1, lors lim n + qn = +. Si q = 1, lors l suite est constnte et lim n + qn = 1. Si 1 < q < 1, lors lim n + qn = 0. Si q 1, lors l suite (q n ) diverge et n dmet ps de limite. Démonstrtion Soit q un réel. Si q > 1 : On pose = q 1 vec > 0. On vu que pour tout entier nturel n, (1 + ) n 1 + n c est-à-dire q n 1+n(q 1). Soit A un réel strictement positif. Remrquons que 1+n(q 1) > A n(q 1) > A 1 n > A 1 q 1 cr q 1 > 0. Soit N le plus petit entier nturel tel que N A 1 q 1. Ainsi, pour tout n N, on qn 1+n(q 1) > A, pr suite q n ]A;+ [. Ainsi, lim q n = +. n + Si q = 1 : Dns ce cs l suite est constnte et égle à 1, donc lim q n = 1. n + Si 1 < q < 1 : Dns le cs où q = 0, on q n = 0 pour tout n, donc lim q n = 0; n + Dns les utres cs, l démonstrtion se fer lorsque nous urons les règles opértoires sur les limites. Si q 1 : Les vleurs q n pprtiennent lterntivement ux intervlles ] ; 1] et [1;+ [ selon l prité de n. L suite de terme générle q n n dmet donc ps de limite. Exemples 4 1. Étudier l limite de l suite géométrique (u n ) de rison 4 telle que u 0 = 7. Solution u n = 4 4 n, 4 > 1 donc ( 1 3 lim n + 4n = + et lim u n = +. n + 2. Étudier l limite de l suite géométrique (v n ) de rison 1 3 telle que v 1 = 5. ( Solution v n = 5 3) 1 n = 0 et lim v n = 0. n + ) n, 1 < 1 < 1 donc lim 3 n Lycée Pierre-Gilles de Gennes

11 Terminle S Suites et récurrence Propriété 1 Rppel de première Si q est un réel différent de 1 lors pour tout n N, 1+q +...+q n = qn+1 1 q 1. Exemple 5 Une épidémie est en phse de décroissnce et le nombre de nouveux cs déclrés diminue de 20 % chque jour. Au pic de l épidémie, il y vit 2000 personnes tteintes pr celle-ci. On note p 0 = 2000 et on note p n le nombre de cs déclrés entre le pic épidémique et le jour n (vec n N). 1. Exprimer p n en fonction de n et déterminer l limite de l suite (p n ). Solution p n = , ,8 n = ,8n 1 0,8 = (1 0,8 0,8n ). Donc lim p n = n + 2. Interpréter le résultt. Solution Le nombre de personnes tteintes tend se stbiliser vers dns le temps Lycée Pierre-Gilles de Gennes

12 Terminle S Chpitre Lycée Pierre-Gilles de Gennes

13 Chpitre 2 Compléments sur les fonctions Ce que dit le progrmme Fonctions sinus et cosinus Contenus Modlités de mise en oeuvre Commentires Connître l dérivée des fonctions sinus et cosinus. Connître quelques propriétés de ces fonctions, notmment prité et périodicité. Connître les représenttions grphiques de ces fonctions. Clculs de dérivées : compléments Clculer les dérivées des fonctions : x u(x) x (u(x)) n, n entier reltif non nul ; Clculer l dérivée d une fonction x f(x+b) où f est une fonction dérivble, et b deux nombres réels. On fit le lien entre le nombre dérivé de l fonction sinus en 0 et l limite en 0 de sinx x En dehors des exemples étudiés, ucun développement n est ttendu sur les notions de périodicité et de prité. On fit le lien entre les résultts obtenus en utilisnt le cercle trigonométrique et les représenttions grphiques des fonctions x cosx et x sinx. [SPC] Ondes progressives sinusoïdles, oscillteur mécnique. À prtir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de l dérivée de l fonction x f (u(x)), mis s connissnce n est ps une cpcité ttendue. Les techniques de clcul sont à trviller mis ne doivent ps être un frein à l résolution de problèmes. On recours si besoin à un logiciel de clcul formel. 13

14 Terminle S Chpitre 2 I - Fonctions trigonométriques 1. Premières propriétés Rppel Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique ssocié à x. Dns le repère orthonorml (O; #» ı, #» j) : sinx J S M x L bscisse du point M est ppelé le cosinus du réel x que l on note : cosx. L ordonnée du point M est ppelé le sinus du réel x que l on note : sinx. O C cosx I Ainsi, on M(cos x; sin x). Remrques : les fonctions x cosx et x sinx sont définies sur R; x est une mesure (en rdin) de l ngle orienté ( #» ı, #» OM). Propriété 1 (1) L fonction cosinus est une fonction pire : pour tout réel x, cos( x) = cos(x). sin(x) J M L courbe représenttive de l fonction cosinus est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. (2) L fonction sinus est une fonction impire : pour tout réel x, O x cos( x) x cos(x) I sin( x) = sin(x). L courbe représenttive de l fonction sinus est symétrique pr rpport à l origine du repère. sin( x) M Courbe d une fonction pire f(x) Courbe d une fonction impire f(x) x #» j O #» i x x #» j O #» i x f(x) Remrque : On peut rppeler que l fonction crré est une fonction pire et que l fonction inverse est une fonction impire. Propriété 2 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. Pour tout réel x, cos(x+2π) = cos(x) et sin(x+2π) = sin(x) Lycée Pierre-Gilles de Gennes

15 Terminle S Compléments sur les fonctions 2. Vritions et représenttions grphiques Les propriétés 1 et 2 permettent de réduire l étude de ces fonctions à l intervlle [0;π] : pr prité, nous en déduirons les vritions sur l intervlle [ π;π], puis pr périodicité sur R. Fonction cosinus x 0 π 1 cos(x) 1 Fonction sinus x 0 π 2 π 1 sin(x) 0 0 Représenttions grphiques 1 Ý Ý Ó Üµ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Ç ¾ ¾ ¾ Ü ¾ Ý Ý Ò Üµ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Ç ¾ ¾ ¾ Ü ¾ 3. Dérivbilité Propriété 3 Admise Les fonctions cosinus et sinus sont dérivbles sur R, de plus : Remrques : (cos) = sin et (sin) = cos. sin(h+0) sin(0) l fonction sinus est en prticulier dérivble en 0, donc lim existe et vut (sin) (0) = h 0 h cos(0) = 1. sin(x) À retenir : lim = 1. x 0 x cos(h+0) cos(0) l fonction cosinus est dérivble en 0, donc lim existe et vut (cos) (0) = sin(0) = 0. h 0 h cos(x) 1 À retenir : lim = 0. x 0 x 1. Pour une construction nimée : Lycée Pierre-Gilles de Gennes

16 Terminle S Chpitre 2 II - Clculs de dérivées : compléments 1. Composée d une fonction vec une fonction ffine Propriété 4 (Admise) Soit et b deux réels et f une fonction dérivble sur I. On note J l intervlle formé des réels x tels que x+b I. L fonction g : x f(x+b) est dérivble sur J et pour tout réel x J, on : g (x) = f (x+b). Remrque : Les fonctions x cos(x + b) et x sin(x + b) sont dérivbles sur R de dérivée respectivement les fonctions x sin(x+b) et x cos(x+b). Exemple 1 Soit g l fonction définie sur R pr g(x) = 2cos(3x 5). Montrer que g est dérivble sur R et clculer g (x) pour tout réel x. Solution Pour tout réel x, 3x 5 R. Ainsi, g(x) = 2f(3x 5) vec f étnt l fonction cosinus, définie et dérivble sur R telle que f (x) = sin(x) pour tout réel x. Pr suite, g est dérivble sur R et g (x) = 3 2 f (3x 5) = 6sin(3x 5). pour tout réel x. 2. Composée d une fonction de référence vec une fonction Propriété 5 (Admise) Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I de R telle que u(x) > 0 pour tout x I. L fonction u est dérivble sur I et pour tout réel x I, on : Ä u ä (x) = u (x) 2» u(x). Exemple 2 Soit f l fonction définie sur [ 1;1] pr f(x) = 1 x 2. Montrer que f est dérivble sur ] 1;1[ et clculer f (x). Solution On f(x) = u(x) vec u(x) = 1 x 2, de plus pour tout réel x de ] 1;1[, u(x) > 0 et u est dérivble sur ] 1;1[. Donc f est dérivble sur ] 1;1[ et f (x) = u (x) 2u(x) = 2x 2 1 x = x. 2 1 x 2 Propriété 6 Soit n un entier reltif non nul et u une fonction dérivble sur un intervlle I et, dns le cs où n est négtif ne s nnulnt ps sur I. L fonction x (u(x)) n est dérivble sur I et pour tout réel x de I, on : (u n ) (x) = nu (x) (u(x)) n 1. Démonstrtion Pour tout entier nturel non nul, on note P n l propositon : «L fonction u n est dérivble sur I et pour tout réel x de I, on : (u n ) (x) = nu (x) (u(x)) n 1.» initilistion : Pour n = 1, on (u 1 ) (x) = u (x) et 1 u (x) (u(x)) 0 = u (x). Ainsi, P 1 est vrie. Hérédité : Supposons l proposition P n vrie pour un entier nturel n 1. D près l hypothèse de récurrence l fonction u n est dérivble sur I, insi que l fonction u, pr suite le produit (u n+1 ) = (u n u) est ussi dérivble sur I et (u n+1 ) = nu u n 1 u+u n u = (n+1)u n. Ainsi P n+1 est encore vrie. Conclusion : D près l xiome de récurrence l proposition P n est vrie pour tout entier nturel n 1. Dns le cs où n est un entier reltif néglif, on églement comme hypothèse que u ne s nnule ps sur I, de plus u n = 1 ) u = n 1 m vec m = n > 0. On pplique insi le résultt précédent à l fonction 1 u, insi : ( 1 u = m (( u (u n ) 1 = u ) m ) ( ) 1 ( 1 m 1 = m = m u u) u 1 u 2 u = m 1 mu u 2 m+1 = nu u n Lycée Pierre-Gilles de Gennes

17 Terminle S Compléments sur les fonctions Exemple 3 1. Soit f définie sur R pr f(x) = cos 2 (x). Montrer que f est dérivble sur R et clculer f (x). Solution On f(x) = (u(x))2 vec u(x) = cos(x), de plus u est dérivble sur R. Donc f est dérivble sur R et f (x) = 2u (x)(u(x)) 1 = 2sin(x)cos(x) Soit f définie sur ] ;3[ ]3;+ [ pr f(x) = (2x 6) 5. Montrer que f est dérivble sur ] ;3[ et sur ]3;+ [, puis clculer f (x). Solution Remrques : On f(x) = (u(x)) 5 vec u(x) = 2x 6, de plus u est dérivble et ne s nnule ps sur chcun des intervlles ] ;3[ et ]3;+ [. Donc f est dérivble sur ] ;3[ et sur ]3;+ [, de plus f (x) = 5u (x) (u(x)) 6 = 5 2 (2x 6) 6 10 = (2x 6) 6. Dns le cs où n est négtif, on posnt m = n est prfois plus commode de retenir l formule : Å ã 1 u m (x) = mu (x) (u(x)) m+1. Ces deux formules sont des cs prticuliers de l dérivée d une fonction composée x f (u(x)). On dmettr que cette fonction pour dérivée l fonction x u (x) f (u(x)) Lycée Pierre-Gilles de Gennes

18 Terminle S Chpitre Lycée Pierre-Gilles de Gennes

19 Chpitre 3 L fonction exponentielle Ce que dit le progrmme Contenus Cpcités ttendues Commentires Fonction exponentielle Fonction x exp(x) Reltion fonctionnelle, nottion e x. Démontrer l unicité d une fonction dérivble sur R, égle à s dérivée et qui vut 1 en 0. Clculer les dérivées des fonctions : x e u(x) Utiliser l reltion fonctionnelle pour trnsformer une écriture. Connître le sens de vrition et l représenttion grphique de l fonction exponentielle. L fonction exponentielle est présentée comme l unique fonction f dérivble sur R telle que : f = f et f(0) = 1. L existence est dmise. On fit le lien entre le nombre dérivé de l fonction exponentielle en 0 et l limite en 0 de ex 1. x On étudie des exemples de fonctions de l forme x exp(u(x)), notmment vec u(x) = kx ou u(x) = kx 2 (k > 0), qui sont utilisées dns des domines vriés. [SPC et SVT] Rdioctivité. textcircledap Étude de phénomène d évolution. 19

20 Terminle S Chpitre 3 I - Les fonctions vérifint f = f vec f(0) = 1 Théorème 1 Si est f une fonction dérivble sur R telle que f = f et f(0) = 1 lors f ne s nnule ps sur R. Démonstrtion Soit f une telle fonction, on note ϕ l fonction définie sur R pr ϕ(x) = f(x)f( x). Puisque f est dérivble sur R, pr composition l fonction x f( x) est ussi dérivble sur R et pour dérivée l fonction x f ( x). Pr produit, ϕ est ussi dérivble sur R et ϕ (x) = f (x)f( x) f(x)f ( x). Mis puisque f = f, on ϕ (x) = f(x)f( x) f(x)f( x) = 0 pour tout réel x. Ainsi, ϕ est une fonction constnte sur R, mis puisque f(0) = 1, ϕ(0) = f(0)f( 0) = 1. On donc montré que pour tout réel x, ϕ(x) = 1. Ce qui revient à dire que f(x)f( x) = 1. Pr suite, f(x) 0 pour tout réel x. Remrque : Dns l démonstrtion de ce théorème, on montre que si f est une fonction dérivble sur R telle que f = f et f(0) = 1 lors f( x) = 1 f(x). Théorème - Définition 2 Il existe une unique fonction dérivble sur R telle que f = f et f(0) = 1. Cette fonction est ppelée l fonction exponentielle et est notée exp. Démonstrtion Existence : Nous somme dns l obligtion d dmettre l existence de cette fonction mis l méthode d Euler permet d entrevoir l construction de l courbe de cette fonction. Unicité : Supposons qu il existe deux fonctions f et g vérifint les conditions du théorème. D près le théorème 1, f et g ne s nnulent ps sur R, insi pr quotient, l fonction h = f est définie et dérivble sur R, de plus, g pour tout réel x, on : h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x). [g(x)] 2 Or, f = f et g = g, insi, pour tout réel x, h (x) = f(x)g(x) f(x)g(x) = 0. Pr suite, l fonction h est constnte sur R. g 2 (x) Mis, f(0) = g(0) = 1, on en déduit que h(0) = 1. Donc pour tout réel x, h(x) = 1, ce qui revient à dire que pour tout réel x, f(x) = g(x). Une telle fonction est bien unique. Remrques : Pr définition exp = exp et exp(0) = 1 et x exp(x) est dérivble. D près le théorème 1, l fonction exp ne s nnule ps sur R. D près l remrque ci-dessus, exp( x) = 1 exp(x). II - Propriétés de l fonction exponentielle 1. Propriétés lgébriques Théorème 3 (1) Pour tous réels et b : exp(+b) = exp() exp(b). (2) Pour tous réels et b : exp( b) = exp() exp(b). (3) Pour tout réel et tout entier reltif n : exp(n) = [exp()] n Lycée Pierre-Gilles de Gennes

21 Terminle S L fonction exponentielle Démonstrtion Soit et b deux réels. (1) Soit et b deux réel, et f l fonction définie sur R pr f(x) = exp(x+). Pr composition vec l fonction ffine x x+, exp() f est dérivble sur R et pour tout réel x, f (x) = exp(x+) = f(x). Mis on ussi, f(0) = exp() = 1. Ainsi, d près exp() exp() le théorème 2, f(x) = exp(x). Pr suite, pour tout réel x exp() exp(x) = exp( + x). En prennt x = b, on obtient exp(+b) = exp() exp(b). (2) exp( b) = exp(+( b)) = exp() exp( b) = exp() exp(b). (3) Pr récurrence, soit P n l proposition : «exp(n) = [exp()] n pour n N. Initilistion : exp(0) = 1 et [exp()] 0 = 1 cr exp() 0. Donc P 0 est vrie. Hérédité : Supposons que P n est vrie pour un entier nturel n. exp((n+1)) = exp(n+) = exp(n) exp() = [exp()] n exp() d près l hypothèse de récurrence. Donc exp((n+1)) = [exp()] n+1, insi P n+1 est vrie. Conclusion : D près l xiome de récurrence, P n est vrie pour tout entier nturel n. Soit n Z vec n 0, lors m = n est un entier nturel, de plus, 1 exp(n) = exp( m) = exp(m) = 1 [exp()] m = [exp()) m = [exp()] n. Donc pour tout n Z, exp(n) = [exp()] n. Théorème 4 Å x Pour tout réels x, exp(x) > 0 et exp = 2ã» exp(x). Démonstrtion ( ) 2x Soit x R, exp(x) = exp = 2 de l rcine crrée d un nombre réel positif, exp(x) = exp î Ä x äó 2 exp d près le théorème 3. Un crré étnt toujours positif, exp(x) 0 et pr définition 2 Ä x 2ä. D près le théorème 1 exp(x) 0, insi exp(x) > Une nouvelle nottion Définition 2 Le nombre exp(1) est noté e. Remrque : une vleur pprochée de e à 10 5 près est 2,71828; D près le théorème 4, pour tout entier reltif n : exp(n) = exp(1 n) = [exp(1)] n = e n. Définition 3 Pour tout réel x, le réel exp(x) ser noté e x. Remrque : D près le théorème 3 et 4, pour tous réels et b et tout entier reltif n : e +b = e e b ; e = 1 e ; e b = e e b ; en = (e ) n et e x = e x 2. Attention : (e x ) n = exp(nx) et e xn = exp(x n ). Exemple 1 e Simplifier les écritures suivntes : A = e 3x 1 e 2 x 4x et B = (e x 1 ) 2. e Solution A = e 3x 1 e 2 x = e 3x 1+2 x = e 2x+1 4x et B = (e x 1 ) 2 = e 4x 2 e 2(x 1) = e2x 2x+1 = e Lycée Pierre-Gilles de Gennes

22 Terminle S Chpitre 3 3. Étude de l fonction exponentielle Propriété 1 (Admise) Soit u une fonction dérivble sur un intervlle I de R. L fonction x exp(u(x)) est dérivble sur I et pour tout réel x I, on : (e u ) (x) = u (x) e u(x). Exemple 2 Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = e x2 +1. Étudier les vritions de l fonction f sur R. Solution f = e u vec u(x) = x 2 +1 et u dérivble sur R. Ainsi, f est dérivble sur R et f = u e u, donc pour tout réel x, f (x) = 2xe x2 +1. L fonction exponentielle étnt positive, f (x) est du signe de x. Pr suite, f est décroissnte sur ] ;0] et croissnte sur [0;+ [. Théorème 5 L fonction exponentielle est strictement croissnte sur R. Démonstrtion x e x est dérivble sur R et (e x ) = e x pour tout réel x. Or, e x > 0 pour tout réel x. Ainsi, f est strictement croissnte sur R. Propriété 2 e x 1 (1) lim = 1. x 0 x (2) L tngente à l courbe de l fonction exponentielle u point d bscisse 0 pour éqution y = x+1. Démonstrtion (1) eh 1 h D où lim x 0 = eh e 0 h 0 est le tux de vrition de l fonction exponentielle en 0. Or, cette fonction est dérivble en 0 et exp (0) = 1. e x 1 = 1. x (2) L éqution est donnée pr y = exp (0)(x 0)+exp(0), c est-à-dire y = x+1. y C : x e x e T : y = x+1 #» j O #» i 1 x 22 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

23 Terminle S Convergence des suites Propriété 3 Pour tous réels x et y : (1) e x = e y si, et seulement si x = y. (2) e x < e y si, et seulement si x < y. Démonstrtion Soit x et y deux réels. (1) Supposons x = y, puisque pr une fonction un réel une seule imge e x = e y. Supposons que e x = e y. Pr l bsurde, si x y, on pr exemple x < y, mis puisque l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R, e x < e y, ce qui est bsurde puisque e x = e y. Donc on forcément x = y (on dit lors que l fonction est injective). (2) Supposons x < y, l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R, e x < e y. Supposons que e x < e y. Pr l bsurde, si x y, puisque l fonction exponentielle est strictement croissnte sur R, e x e y, ce qui est bsurde puisque e x < e y. Donc on forcément x < y. Exemples 3 Résoudre dns R l éqution (E) : e2x+1 e x 4 = ex2 1. Solution (E) ex+5 = e x2 1 x+5 = x 2 1 x 2 x 6 = 0. Le discriminnt = 25, il y deux solutions x 1 = 3 et x 2 = 2. Donc S= { 2;3}. Résoudre dns R l inéqution (I) : e 1 x e. Solution 0 est une vleur interdite. Pour x 0, (I) ex 1 e x 1 0. x x x x x x x + 0 Donc S=] ;0[ [1;+ [ Lycée Pierre-Gilles de Gennes

24 Terminle S Chpitre Lycée Pierre-Gilles de Gennes

25 Chpitre 4 Convergence des suites Ce que dit le progrmme Contenus Cpcités ttendues Commentires Limites et comprison. Opértions sur les limites. Suite mjorée, minorée, bornée. Démontrer que si (u n ) et (v n ) sont deux suites telles que : - u n est inférieur ou égl à v n à prtir d un certin rng ; - u n tend vers + qund n tend vers + ; lors v n tend vers + qund n tend vers +. Étudier l limite d une somme, d un produit ou d un quotient de deux suites. Utiliser le théorème de convergence des suites croissntes mjorées. On démontre que si une suite est croissnte et dmet pour limite l, lors tous les termes de l suite sont inférieurs ou égux à l. Le théorème dit «des gendrmes» est dmis. Ce théorème est dmis. Il est intéressnt de démontrer qu une suite croissnte non mjorée pour limite +. Des exemples de suites récurrentes, en prticulier rithmético-géométriques, sont trités en exercice. Des ctivités lgorithmiques sont menées dns ce cdre. AP Approximtions de réels (π, e, nombre d or, etc.). 25

26 Terminle S Chpitre 4 I - Opértions sur les limites Soit deux suites de nombres réels (u n ) et (v n ) dmettnt une limite finie ou infini. 1. Addition Théorème 1 Les résultts ssociés à l somme des suites (u n ) et (v n ) sont : lim u n n + lim v n l R + n + m R l+m ?? Remrque : Les cellules dns lesquelles on indiqué le symbole? correspondent ux cs pour lesquels on ne peux pr conclure de mnière générle : il s git de formes indéterminées. Il fudr les étudier plus en détil. Exemple 1 Considérons l suite (u n ) définie pr u n = 1+ 1 n pour n N. Déterminer s limite éventuelle. Solution On sit que 1 lim = 0, pr somme n + n lim u n = 1. n + 2. Produit Théorème 2 Les résultts ssociés u produit des suites (u n ) et (v n ) sont : lim u n n + lim v n n + l m 0 l m 0 ± ± 0 0 0?? + ±? + ±? + Exemple 2 Considérons l suite (u n ) définie pr u n = n 2 n pour n N. Pr somme, on une forme indéterminée. Solution On remrque que pour tout n N, n 2 n = n(n 1). Ainsi, pr produit, lim u n = +. n + 3. Quotient Théorème 3 Les résultts ssociés u quotient des suites (u n ) pr (v n ) sont : lim u n n + lim v n n + l m 0 l/m 0 ± ± 0 ±? ± ± ± 0 0?? 26 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

27 Terminle S Convergence des suites Exemple 3 Considérons l suite (u n ) définie pr u n = n n 2 +1 pour n N. Solution Pr quotient, on une forme indéterminée. n On remrque que pour tout n N, n 2 +1 = pr quotient, lim u n = 0. n + n n 2( ) = 1+ 1 n 2 ( 1 ). Pr somme et produit lim n 1+ 1 n 2 n + n (1+ 1n ) 2 = +, II - Limites et comprison 1. Théorème de comprison Théorème 4 Soit (u n ) et (v n ) deux suites telles que u n v n à prtir d un certin rng. si lim u n = + lors lim v n = + ; n + n + si lim v n = lors lim u n = ; n + n + Démonstrtion Soit A un réel et n 0 un entier nturel tel que pour tout entier n n 0, u n v n. Puisque lim u n = +, il existe un entier N tel que pour n N, on u n > A. n + Posons N 0 = mx(n 0,N), pour n N 0, on A < u n v n, insi v n > A, on peut donc conclure que lim v n = +. n + Exemple 4 Déterminer l limite suivnte : lim Solution n + en. Considérons l fonction f définie sur [0;+ [ pr f(x) = e x x, f est dérivble sur [0;+ [ et f (x) = e x 1. Pour x 0, l fonction exponentielle étnt strictement croissnte, on e x > e 0, c est-à-dire e x > 1, insi f (x) > 0 et f est strictement croissnte sur [0;+ [. On en déduit que pour tout réel x 0, on f(x) > f(0), c est-à-dire e }{{} x > x+1, en prticulier pour tout entier nturel n, =1 e n n, d près le théorème de comprison lim e n = +. n + 2. Théorème des gendrmes Théorème 5 Admis Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles qu à prtir d un certin rng, on it : v n u n w n Si les deux suites (v n ) et (w n ) convergent vers l même limite l lors l suite (u n ) converge églement vers l Lycée Pierre-Gilles de Gennes

28 Terminle S Chpitre 4 Exemples 5 Déterminer les limites des suites suivntes : 1. (u n ) est l suite définie pr u n = ( 1)n pour n N. n 2. (u n ) est l suite définie pr u n = cos(n)+n pour n N. n Solution 1. Pour tout entier nturel n, on 1 ( 1) n 1, en divisnt pr n > 0, on obtient 1 n u n 1. Or, lim n 1 n + n = 1 lim n + n = 0, d près le théorème des gendrmes l suite (u n) converge ussi vers Pour tout entier nturel n, on 1 cos(n) 1, en joutnt n puis en divisnt pr n > 0, on obtient n 1 u n n+1 n. Or n 1 = 1 1 n+1 et = 1+ 1, pr somme lim 1 1 n n n n n + n = lim 1+ 1 = 1, d près le théorème des gendrmes n + n l suite (u n ) converge ussi vers 1. n III - Suites monotones 1. Suite croissnte convergente Définition 1 (1) On dit qu une suite (u n ) est mjorée pr un réel M lorsque : u n M pour tout entier nturel n. (2) On dit qu une suite (u n ) est minorée pr un réel m lorsque : u n m pour tout entier nturel n. Propriété 1 Si (u n ) est une suite croissnte convergent vers l, lors l est un mjornt de l suite (u n ). Démonstrtion Risonnons pr l bsurde et supposons qu il existe un entier n 0 tel que u n0 > l. Puisque (u n ) est croissnte, pour n n 0, on u n u n0 > l. En posnt I =]l 1;u n0 [, cet intervlle contient l cr l 1 < l < u n0 et puisque lim u n = l, il existe un entier N tel que pour n + n N, on it u n I. Ainsi, pour n mx(n 0,N), on u n u n0 et u n < u n0 ce qui est contrdictoire. Conclusion : l est un mjornt de (u n ). Remrque : On peut énoncer un résultt équivlent pour une suite décroissnte et convergente. 2. Suite monotone bornée Théorème 6 Admis (1) Toute suite croissnte mjorée converge. (2) Toute suite décroissnte minorée converge. Remrque : Si (u n ) est une suite croissnte mjorée pr M lors l suite (u n ) converge vers l tel que l M mis ttention, il se peut que l < M Lycée Pierre-Gilles de Gennes

29 Terminle S Convergence des suites Exemple 6 Étudier l limite de l suite (u n ) définie pr u 0 = 3 2 et u n+1 = 2 3 u n. 1. Étudier les vritions de l fonction f telle que u n+1 = f(u n ). 2. En déduire pr récurrence que l suite (u n ) est bornée. 3. Montrer que l suite (u n ) converge vers l [0; 3 2 ]. 4. En remrqunt que lim n + u n+1 = l et en utilisnt l unicité de l limite d une suite montrer que l = 1. Solution 1. Posons f(x) = 2, puisque x 3 x est décroissnte et strictement négtive sur [1;2], l fonction f est croissnte 3 x sur [1;2]. De plus, pour 1 x 2, on donc f(1) f(x) f(2), c est-à-dire 1 f(x) On note P n l proposition définie pour tout entier nturel n, pr P n :"1 u n+1 u n 2". Initilistion : Pour n = 0, on u 1 = 4 3 et 1 u 1 u 0 2. Hérédité : Supposons que pour un entier nturel n, on it 1 u n+1 u n 2. L fonction f étnt croissnte, on obtient : f(1) f(u n+1 ) f(u n ) f(2). Et puisque u n+1 = f(u n ), on trouve : 1 u n+2 u n+1 2. L proposition est bien héréditire. D près l xiome de récurrence, pour tout entier nturel n, 1 u n+1 u n Ainsi, l suite (u n ) est décroissnte et minorée pr 1. Elle converge donc vers une limite l [1;2]. Mis puisque (u n ) est décroissnte, on forcément u n u 0, d où l [1; 3 2 ]. 4. Puisque lim n + u n+1 = l et pr quotient on ussi lim n + 2 = 2, pr unicité de l limite, on en déduit que 3 u n 3 l l = 2 3 l (3 l)l = 2 l2 3l+2 = 0. Les rcines de ce trinôme sont 1 et 2, mis d près l remrque précédente, on forcement l = 1. Propriété 2 Si (u n ) est suite croissnte non mjorée, lors (u n ) diverge vers +. Démonstrtion Soit A un réel. Puisque (u n ) est non mjorée, il existe une entier N tel que u N > A. Mis pour n N, comme l suite (u n ) est croissnte, on u n u N > A. Ce qui signifie que lim n + u n = Lycée Pierre-Gilles de Gennes

30 Terminle S Chpitre Lycée Pierre-Gilles de Gennes

31 Chpitre 5 Comportement symptotique d une fonction Ce que dit le progrmme Contenus Cpcités ttendues Commentires Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un point. Limite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deux fonctions. Limites et comprison. Asymptote prllèle à l un des xes de coordonnées. Fonction exponentielle Déterminer l limite d une somme, d un produit, d un quotient ou d une composée de deux fonctions. Déterminer des limites pr minortion, mjortion et encdrement. Interpréter grphiquement les limites obtenues. Démontrer que lim e x = 0. x lim x + ex = + et e x Connître et exploiter lim x + x lim x xex = 0. = + et Le trvil rélisé sur les suites est étendu ux fonctions, sns formlistion excessive. L objectif essentiel est de permettre ux élèves de s pproprier le concept de limite, tout en leur donnnt les techniques de bse pour déterminer des limites dns les exemples rencontrés en terminle. L composée de deux fonctions est rencontrée à cette occsion, mis sns théorie générle. On étudie des exemples de fonctions de l forme x exp(u(x)), notmment vec u(x) = kx ou u(x) = k 2 (k > 0), qui sont utilisées dns des domines vriés. 31

32 Terminle S Chpitre 5 I - Définitions et exemples 1. Limite finie en l infini Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervlle de l forme [A;+ [ (ou R ou ]A;+ [). On dit que l fonction f pour limite le nombre l en + lorsque tout intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs f(x) pour x ssez grnd. On note : lim f(x) = l. x + On dit lors que l droite d éqution y = l est une symptote horizontle à l courbe de f en + dns un repère du pln. Exemple 1 On considère l fonction f définie sur ]1;+ [ pr f(x) = x Démontrer à l ide de l définition que lim f(x) = 1. x + 1 x. #» j O #» i B 1+ε 1 1 ε Définition 2 Soit f une fonction définie sur un intervlle de l forme ] ;A] (ou R ou ] ;A[). On dit que l fonction f pour limite le nombre l en lorsque tout intervlle ouvert contennt l contient toutes les vleurs f(x) pour x ssez grnd. On note : lim f(x) = l. x On dit lors que l droite d éqution y = l est une symptote horizontle à l courbe de f en dns un repère du pln. Exemple 2 Reprendre l exemple précédent vec f définie sur ] ;1[ et montrer que lim f(x) = 1. x Remrques : L limite de f est unique. Pour déterminer l position de l courbe d un fonction f à son symptote d éqution y = l, il suffit d étudier le signe de f(x) l. lim f(x) = l lim f(x) l = 0. x ± x ± 32 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

33 Terminle S Comportement symptotique d une fonction Propriété 1 (Admise) (1) Pour tout entier n : lim x + x n = lim x (2) lim x + x = lim 1 = 0. x + x x + 1 x n = lim 1 x x n = lim x x n = 0. (3) Les fonctions x cos x et x sin x n dmettent ps de limite en + et en. 2. Limite infinie en l infini Définition 3 Soit f une fonction définie sur [A; + [ où A R. On dit que l fonction f pour limite + (ou ) en + lorsque tout intervlle de l forme ];+ [ (ou ] ;[) où R contient toutes les vleurs f(x) pour x ssez grnd. On note : lim f(x) = + ( ou ). x + Exemple 3 Démontrer que lim x + (10 x 3) = O B Définition 4 Soit f une fonction définie sur ] ;A] où A R. On dit que l fonction f pour limite + (ou ) en lorsque tout intervlle de l forme ];+ [ (ou ] ;[) où R contient toutes les vleurs f(x) pour x ssez grnd. On note lim f(x) = + ( ou ). x Propriété 2 (Admise) (1) Si > 0 lors lim (x+b) = et lim (x+b) = +. x x + Si < 0 lors lim (x+b) = + et lim (x+b) =. x x + { + si n est pir (2) Soit n N, lim (3) lim x = +. x + x + xn = + et lim x xn = si n est impir Lycée Pierre-Gilles de Gennes

34 Terminle S Chpitre 5 3. Limite infinie en un réel Définition 5 Soit R et f une fonction dont l ensemble de définition contient u moins un intervlle de l forme ] α[ ou ];+α[. On dit que f pour limite + en à guche de (resp. à droite de ) lorsque tout intervlle ouvert de l forme ]A;+ [ vec A R, contient toutes les vleurs f(x) pour x ssez proche de à guche (resp. à droite) de. On note : x lim f(x) = + (resp. x lim f(x) = + ). x< x> On dit lors que l droite d éqution x = est une symptote verticle de l courbe de f à guche (resp. à droite) de. Lorsque x lim x< f(x) = lim x x> f(x) = +, on dit que f à pour limite + en. y y y A C f A A C f C f O +δ lim f(x) = + x x> x O δ lim f(x) = + x x< x O δ +δ lim f(x) = + x x y y y O +δ x O δ x O δ +δ x C f A C f A A C f lim f(x) = x x> lim f(x) = x x< lim f(x) = x Exemple 4 Soit f l fonction définie sur ]1;+ [ pr f(x) = 1. Déterminer lim f(x) à l ide de l définition. x 1 x 1 x>1 4 A 2 1 δ Lycée Pierre-Gilles de Gennes

35 Terminle S Comportement symptotique d une fonction Propriété 3 (Admise) (1) Soit n N : x (2) lim x 0 x>0 1 si n est pir lors lim x 0 x n = + ; si n est impir lors lim x 0 x = lim x 0 x>0 1 x = +. x>0 1 x n = + et lim x 0 x<0 1 x n =. II - Clculs de limites 1. Règles opértoires sur les limites Dns cette prtie, désigne un nombre réel ou ou +, l et l désignent des nombres réels. On lors les théorèmes suivnts, qui sont dmis. Dns les tbleux, on écrit F.I. pour forme indéterminée qui signifie que l on ne peut ps directement conclure. Ces règles sont données pour les fonctions, mis on des règles nlogues pour les suites. L somme f + g lim lim x x l + l l+l + F.I. + + F.I. + Le produit f g lim lim x x 0 l > 0 l < F.I. F.I. l > 0 0 l l l l + l < 0 0 l l l l + F.I F.I Lycée Pierre-Gilles de Gennes

36 Terminle S Chpitre 5 Le quotient f g lim lim x 0 l > 0 l < 0 + x l l l > 0 0 l l + l l l < 0 0 l l + l = 0 et g > 0 F.I. + + l = 0 et g < 0 F.I. + + ± F.I. F.I. Formes indéterminées Il y donc qutre forme indéterminées, que l on peut écrire pour les retenir : ; «0» ; ; «0 0». Lorsqu on rencontre une forme indéterminée, on essie de lever l indétermintion, c est-à-dire de trouver l limite demndée en étudint l sitution. On dispose cependnt de deux régles, permettnt de déterminer l limite d une fonction polynôme et l limite d une fonction rtionnelle en l infini. Exemple 5 Déterminer lim x + (4x3 5x 2 +1). Exemple 6 Déterminer lim x + 3x 2 8x+6 9 x 2. Attention : Ces techniques ne s utilisent ps pour l limite en un réel. 2. Théorèmes de comprison Théorème 1 Théorème des gendrmes (Admis) Soit f, g et h trois fonctions définies sur [A;+ [ où A R et l un réel tels que : Pour tout x [A;+ [ : g(x) f(x) h(x) ; lim g(x) = lim h(x) = l. x + x + Alors lim f(x) = l. x + Exemple 7 Soit f l fonction définie sur ]0;+ [ pr f(x) = 2+3cosx. Déterminer lim x f(x). x Lycée Pierre-Gilles de Gennes

37 Terminle S Comportement symptotique d une fonction Propriété 4 Théorème de comprison (Admis) (1) Soit f etg deux fonctions définies sur un intervlle [A;+ [ telles que pour tout x [A;+ [,f(x) g(x). Si lim g(x) = + lors lim f(x) = +. x + x + (2) Soit f etg deux fonctions définies sur un intervlle [A;+ [ telles que pour tout x [A;+ [,f(x) g(x). Si lim g(x) = lors lim f(x) =. x + x + Remrque : On des théorèmes nlogues lorsque x tend vers ou vers un réel. Exemple 8 Démontrer que lim x + ex = Composée de deux fonctions Définition 6 Soit u et v deux fonctions définies respectivement sur les ensembles D u et D v. L fonction obtenue en ppliqunt successivement u, puis v, est l composée de u pr v, notée v u : L fonction v u est définie : v u x u u(x) v v(u(x)) sur l ensemble D des réels x de D u tels que u(x) pprtienne à D v ; pr v u(x) = v(u(x)). Exemples 9 (1) Soit u l fonction définie sur [0;+ [ pr u(x) = x et v l fonction définie sur R\{2} pr v(x) = 1 x 2. L fonction v u est définie pour tout réel x 0 tel que x 2, c est-à-dire sur [0;4[ ]4;+ [. 1 On v u(x) = v(u(x)) = u(x) 2 = 1. x 2 (2) L fonction u v est définie pour tout réel x 2 tel que On u v(x) = u(v(x)) =» v(x) = 1 x 2 = 1. x 2 1 0, c est-à-dire sur ]2;+ [. x 2 Théorème 2 (Admis) Soit u une fonction définie sur I R et v définie sur J R telles que pour tout x I, u(x) J., b, et c désignent des réels ou + ou. Si lim u(x) = b et lim v(x) = c lors lim v u(x) = c. x X b x Exemple Déterminer lim». x x 2. Soit f définie sur ]0;+ [ pr f(x) = xsin 1 x. Étudier ses limites ux bornes de son intervlle de définition Lycée Pierre-Gilles de Gennes

38 Terminle S Chpitre 5 Théorème 3 (Admis) et b désignent soit des réels, soit +, soit. Soit f une fonction définie sur un intervlle I, et deux suites (u n ) et (v n ) telles que pour tout entier nturel n, u n I et v n = f(u n ). Si lim u n = et lim f(x) = b lors lim v n = b. n + x n + Exemple 11 Déterminer lim 9 2 n. n + Remrque : Dns les "bonnes conditions", on : (v u) (x) = u (x) v (u(x)). Exemples 12 Retrouver les résultts vus en début d nnée en posnt successivement v(x) = e x, v(x) = x et v(x) = x n vec n N. III - L fonction exponentielle, croissnce comprée Théorème 4 lim x + ex = + et lim x ex = 0. Démonstrtion Soit ϕ l fonction définie sur R pr ϕ(x) = e x x, celle-ci étnt dérivble sur R, on ϕ (x) = e x 1 0 pour tout x 0. Ainsi, ϕ est strictement croissnte sur [0;+ [, donc pour x 0, on ϕ(x) ϕ(0) ϕ(x) 1 > 0, pr suite pour tout x 0, e x > x et d rpès le théorème de comprison lim e x = +. x + Pour tout réel x, on e x = 1 e = 1 vec u(x) = x. Or, x e lim u(x) 1 lim x e x = +, pr quotient lim = 0, donc lim x e x x ex = 0. Exemple 13 e x Clculer lim x + (1 x)ex et lim x x Théorème 5 Croissnce comprée lim x + ex = + et lim x ex = 0. Démonstrtion u(x) = + et x lim e X = +, pr composition X + Soit f définie sur R pr f(x) = e x x2 2. f est dérivble sur R et f (x) = e x x. On vu dns l démonstrtion précédente que f (x) > 0 pour tout x 0, insi f estcroissnte sur [0;+ [ et f(x) f(0) f(x) 1 > 0 pour tout x 0. On en déduit que ex x > x 2 et d près le théorème de comprison lim x + e x x = +. En posnt u(x) = x, on xe x = u(x). Puisque lim u(x) = + et e lim u(x) x +, pr pssge à l inverse, lim x u(x) = 0. Donc lim xe x = 0. eu(x) x Exemple 14 e x Démontrer que lim = + et lim x + x+1 x (5x+1)ex = 0. Remrques : e X X + X Dns le lngge cournt, on dir qu «à l infini l exponentielle l emporte sur x» Lycée Pierre-Gilles de Gennes e u(x) = +, pr composition lim x u(x) =

39 Terminle S Comportement symptotique d une fonction On peut démontrer que l on églement les limites suivntes : l exercice 47 p 137). lim x + e x = + et xn lim x xn e x = 0 (voir Pour des vleurs de x ssez grndes, l fonction exponentielle croît beucoup plus vite qu une fonction puissnce; ce qui justifie prfois l expression de lngge cournt : «croissnce exponentielle» pour une croissnce rpide Lycée Pierre-Gilles de Gennes

40 Terminle S Chpitre Lycée Pierre-Gilles de Gennes

41 Chpitre 6 Continuité Ce que dit le progrmme Contenus Cpcités ttendues Commentires Continuité sur un intervlle, théorème des vleurs intermédiires Exploiter le théorème des vleurs intermédiires dns le cs où l fonction est strictement monotone, pour résoudre un problème donné. On se limite à une pproche intuitive de l continuité et on dmet que les fonctions usuelles sont continues pr intervlle. On présente quelques exemples de fonctions non continues, en prticulier issus de situtions concrètes. Le théorème des vleurs intermédiires est dmis. On convient que les flèches obliques d un tbleu de vrition trduisent l continuité et l stricte monotonie de l fonction sur l intervlle considéré. On dmet qu une fonction dérivble sur un intervlle est continue sur cet intervlle. Ce cs prticulier est étendu u cs où f est définie sur un intervlle ouvert ou semi- ouvert, borné ou non, les limites de f ux bornes de l intervlle étnt supposées connues. Des ctivités lgorithmiques sont rélisées dns le cdre de l recherche de solutions de l éqution f(x) = k. 41

42 Terminle S Chpitre 6 I - Notion intuitive de continuité Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervlle I. (1) f est continue en I lorsque tout intervlle ouvert contennt f() contient toutes les vleurs f(x) pour x I ssez proche de ce qui équivut à dire que f dmet une limite en et que dns ce cs elle vut f(). (2) f est continue sur I lorsque f est continue pour tout réel de I. Remrques : On retiendr qu une fonction est continue sur I si s courbe représenttive ne présente ucune rupture (on peut l trcer sns lever le cryon). Dns un tbleu de vritions les flèches représentent l stricte monotonie et l continuité de l fonction sur cet intervlle. Exemples 1 (1) L fonction crré est continue sur R; (2) L fonction inverse est continue sur ] ; 0[ et sur ]0; + [. (3) Un exemple de fonction discontinue : l fonction prtie entière d un réel. C est l fonction qui tout réel x ssocie l unique entier reltif n tel que n x < n+1, on le note E(x). En prticulier E(0,7) = 0, E(1,2) = 1, E(2) = 2 et E( 2,1) = 3. Pr exemple cette fonction n est ps continue en 1. l intervlle I =] 1/2;1/2[ contient E(1) = 1 et quelque soit x < 1, E(x) 0. Ainsi, en prticulier E(x) / I. Pr contre elle est continue à droite de 1 : lim E(x) = 1 et même sur x 1 x>1 l intervlle [1; 2[. De même, pour tout entier reltif p : E est discontinue en p; E est continue sur [p;p+1[. #» j O #» i Exemple 2 1. Soit f l fonction définie sur R pr f(x) = Cette fonction est-elle continue sur R? { x+1 si x 0 1 si x > 0 2. Trcer l courbe de l fonction définie sur [ 1;2[ pr g(x) = xe(x). Sur quel(s) intervlle(s) est-elle continue? Solution 1. Les fonction x x+1 et x 1 étnt des fonctions continues sur R, l fonction f est continue sur chcun des intervlles ] ;0] et ]0;+ [. De plus, f(0) = 0+1 = 1 et lim f(x) = 1, pr suite f est continue en 0, donc cette fonction est continue sur R. x 0 x>0 2. Sur [ 1; 0[, on E(x) = 1, donc g(x) = x; Sur [0;1[, on E(x) = 0, donc g(x) = 0; Sur [1;2[, on E(x) = 1, donc g(x) = x. On en déduit iméditemment le trcé de l courbe. Théorème 1 (Admis) Toute fonction dérivble sur un intervlle I est continue sur cet intervlle. Remrques : L réciproque est fusse, l fonction vleur bsolue est n est ps dérivble en 0 mis elle est continue sur R Lycée Pierre-Gilles de Gennes.