Enseignement obligatoire

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1 Wallis et Futuna Cours de MATHÉMATIQUES Fabien PUCCI Classe de Terminale S Enseignement obligatoire Année 05

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3 Table des matières Suites - Raisonnement par récurrence 7 I Démonstration par récurrence II Comportement global III Convergence d une suite IV Opérations sur les limites V Théorèmes fondamentaux VI Comportement de suites particulières Feuille d exercices n o : Récurrence Feuille d exercices n o : Comportement global Feuille d exercices n o 3 : Limite de suites Fiche n o : Suites Devoir surveillé n o : Suites Devoir surveillé n o : Suites Droites et Plans de l espace 49 I Rappels II Positions relatives de droites et de plans III Parallélisme IV Applications : sections d un cube et d un tétraèdre par un plan V Orthogonalité Test n o : Droites et Plans Test n o : Droites et Plans Limites 69 I Limite à l infini II Limite en un point III Opérations sur les limites IV Limite d une fonction composée V Théorèmes de comparaison Devoir en temps libre n o 4 : Limite, Courbe et Asymptote

4 Fiche n o : Limites Devoir surveillé n o 3 : Fonctions - Suites Probabilités Conditionnelles - Lois discrètes 97 I Probabilité (Rappels) II Probabilités conditionnelles III Indépendance Fiche n o 3 : Probabilités Conditionnelles Fiche n o 4 : Variables aléatoires discrètes Continuité I Continuité II Les grands théorèmes Dérivation I Rappels II Fonction dérivée III Calculs de dérivées IV Dérivée et variations (Rappels) V Compléments Fiche n o 5 : Dérivation L exponentielle 39 I La fonction exponentielle II Étude de la fonction exponentielle III Compléments Fiche n o 6 : Exponentielle Devoir surveillé n o 4 : Exponentielle - Probabilités Conditionnelles Devoir surveillé n o 4 : Continuité - Probabilités Conditionnelles Géométrie vectorielle 59 I Rappels et prolongements II Repérage dans l espace III Droites et Plans Devoir en temps libre n o 5 : Extraits de bac Fiche n o 7 : Géométrie dans l Espace Feuille d exercices n o 6 : Extraits de bac Devoir surveillé n o 5 : Géométrie Vectorielle - Exponentielle Fonctions Logarithmes 87

5 I Logarithme népérien II Propriétés algébriques III Propriétés analytiques IV Composée V Applications Fiche n o 8 : Logarithme népérien Devoir surveillé n o 6 : Logarithme - Probabilité Produit scalaire dans l espace et Applications 5 I Produit scalaire II Équations cartésiennes d un plan III Applications IV Hors-programme mais Fiche n o 9 : Produit scalaire Bac Blanc 44 Calcul Intégral 5 I Primitives d une fonction sur un intervalle II Intégrale d une fonction III Conséquences du théorème (I) IV Formule de la moyenne V Calcul d aires VI (Hors-programme) Intégration par parties Fiche n o 0 : Calcul Intégral Lois Continues 73 I Rappels de première II Variable aléatoire à densité III Exemples de lois IV Problèmes de bac Fiche n o : Lois Continues Devoir surveillé n o 7 : Intégration (Liban 04) Devoir en temps libre n o 7 : Intégration (Sujets de bac) Les Nombres Complexes I 93 I L ensemble des nombres complexes II De la forme trigonométrique III Équations du second degré dans C

6 6 Chapitre 0: Devoir surveillé n o 8 : Géométrie - Probabilités Loi normale 33 I La Loi normale II Loi normale centrée réduite III Lois normales IV Approximation normale d une loi binomiale V Un peu d histoire et de culture Fiche n o : Loi normale Devoir surveillé n o 9 : Loi normale - Complexes Nombres Complexes II 337 I Forme exponentielle II Applications en géométrie Fiche n o 3 : Les nombres Complexes Fluctuation d échantillonnage - Estimation 353 I Échantillonnage II Estimation Fiche n o 4 : Fluctuation d échantillonnage Fiche n o 5 : Estimation Bac 05 obligatoire 37 I Pondichéry 7 avril II Liban 7 mai III Centres étrangers 0 juin IV Polynésie juin V Asie 6 juin VI Antilles-Guyane juin VII Métropole juin VIII Amérique du Nord juin Devoir surveillé n o 0 : Bac - Sujet A Devoir surveillé n o 0 : Bac - Sujet B Correction du devoir n o 0 : Bac - Sujet A (Correction) Correction du devoir n o 0 : Bac - Sujet B (Correction) Bac Blanc 407

7 Chapitre Suites - Raisonnement par récurrence Ä année dernière, nous avons découvert le monde des suites et essentiellement celui des suites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques. Cette année concentre ses efforts sur le comportement des suites en général et aborde la notion de convergence, c est-à-dire leur comportement à l infini. Pour ce faire, nous démontrerons quelques théorème fondamentaux et découvrirons un nouveau mode de raisonnement très efficace : le raisonnement par récurrence. Sommaire I Démonstration par récurrence I. Un exemple pour susciter l intérêt I. Démonstration par récurrence II Comportement global II. Suites monotones II. Encadrement de suites III Convergence d une suite III. Suites convergentes III. Suites divergentes III.3 Suites arithmétiques IV Opérations sur les limites IV. Suites explicites IV. Cas général V Théorèmes fondamentaux VI Comportement de suites particulières VI. Suites géométriques VI. Théorème de convergence monotone VI.3 Suites adjacentes Feuille d exercices n o : Récurrence Feuille d exercices n o : Comportement global Feuille d exercices n o 3 : Limite de suites Fiche n o : Suites Devoir surveillé n o : Suites Devoir surveillé n o : Suites

8 8 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence I Démonstration par récurrence I. Un exemple pour susciter l intérêt Soit la suite (u n ) n N définie par : { u 0 = 0 u n+ = u n +. On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement u n en fonction de n. À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux. Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour dégager une relation. Un calcul rapide donne : u = u 0 + = ( ) u = u + = 3 ( ) u 3 = u + = 7 ( 3 ) u 4 = u 3 + = 5 ( 4 ) u 5 = u 4 + = 3 ( 5 ) La suite (u n ) n N semble obéir à une loi toute simple : les puissances successives de moins. Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante : n N, u n = n. ATTENTION Une conjecture n est pas une preuve (ni une affirmation nécessairement vraie, certaines conjectures se révèlent parfois fausses... ). Ce n est que l énoncé d une propriété résultant d un certain nombre d observations. Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus? Notons (P n ) la propriété, définie par : n N, u n = n. Supposons un instant, que pour un certain entier n, on ait effectivement la propriété u n = n. Alors, on aurait : u n+ = u n + = ( n ) + = n+. Ce qui correspond à la propriété (P n+ ) à l ordre n +. Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle le sera également au rang suivant n +. On dit que la propriété (P n ) est héréditaire. Or, on a déjà vérifié que la propriété ((P) n ) était vraie au rang 0,,, 3, 4, 5, c est-à-dire que ((P) 0 ), ((P) ), ((P) ),..., ((P) 5 ) sont vraie. On dit que la propriété ((P) n ) est initialisée. Mais comme elle est héréditaire, elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7, etc... Si bien que notre propriété est finalement vraie à tout rang n.. En gros et comme toujours : «Affirmer n est pas démontrer». I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

9 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 9 I. Démonstration par récurrence Définition (Axiome de récurrence) Soit une propriété ((P) n ) définie sur N. Si la propriété est initialisée à partir du rang 0 (ou n 0 ), et si la propriété est héréditaire à partir du rang 0 (ou n 0 ), c est à dire que pour tout k > 0 (ou k > n 0 ), (P) k = (P) k+, Alors : la propriété est vraie à partir du rang 0 (ou n 0 ). Méthode (Démonstration par récurrence) Pour démontrer que pour tout entier n n 0, P n (proposition qui dépend de n) est vraie, il faut et il suffit : (Initialisation) Vérifier que P n0 est vraie. (Hypothèse de récurrence) Supposer que P k est vraie pour un certain entier k n 0. (Propriété d hérédité) Démontrer que P k+ est vraie 3. (Conclusion) Pour tout n n 0, P n est vraie. Ce principe de récurrence va nous permettre de démontrer une inégalité importante, historiquement et pour la suite. ROC (Inégalité de Bernoulli) Soit un réel a strictement positif. On a alors : n N, ( + a) n + na. Preuve: Notons ((P) n ), la proposition n N, ( + a) n + na. et démontrons que celle-ci est vraie par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, ( + a) 0 = et + 0 a =, donc ( + a)0 + 0 a. ((P) 0 ) est donc vraie et la propriété est initialisée. Hérédité : Supposons ((P) k ) vraie pour un certain entier k > 0, c est-à-dire ( + a) k + ka et montrons que, sous cette hypothèse, ((P) k+ ) est vraie aussi, c est-à-dire (+a) k+ +(k+)a : ( + a) k + ka Hypothèse ((P) k ) ( + a)( + a) k > ( + a)( + ka) On multiplie par + a strictement positif ( + a) k+ + ka + a + ka = + (k + )a + ka + (k + )a ((P) k+ ) 3. En pratique, on aura souvent n 0 = 0 3. Sous et seulement sous l hypothèse P k vraie!!! I. DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

10 0 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence La proposition est héréditaire. La proposition ((P) n ) est donc initialisée et héréditaire. D après le principe de récurrence, on en déduit qu elle est vraie pour tout entier n : n N, ( + a) n + na. { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = u n+ = + u n. / Démontrer que pour tout naturel n, 0 u n. / Prouver que la suite est strictement croissante. ATTENTION Les deux conditions de l axiome () doivent être soigneusement vérifié. Deux exemples pour le prouver : Exemple (Hérédité seulement vérifiée): Soit la propriété suivante : ((P) n ) : n N, 3 divise n. Si l on suppose que 3 divise n c est-à-dire ((P) n ) vraie alors il existe un entier naturel k tel que : n = 3k. En multipliant par : n+ = 3k = 3(k) et 3 divise donc n+ et ((P) n+ ) est alors vérifiée. Conclusion : la proposition est héréditaire mais comme elle n est jamais initialisée, la proposition ne peut être vraie. Heureusement car cette proposition est fausse! Elle l est déjà pour n = : 3 ne divise pas!!! Exemple (Initialisation vérifiée jusqu à un certain rang): Soit la propriété ((P) n ) suivante : n N, n n + 4 est un nombre premier. L initialisation est vérifiée car pour n = 0 on obtient 4 qui un nombre premier. Cependant l hérédité n est pas assurée bien que ((P) n ) soit vraie jusqu à n = Pourtant, pour n = 4, on a : = 4 qui n est pas un nombre premier. La propriété est donc fausse. Conclusion : La véracité d une proposition pour certaines valeurs au départ ne prouve pas la généralité! II Comportement global Avant de s intéresser à ce qu il va se passer «loin», il est toujours une bonne idée de chercher à connaître le comportement global de la suite globalement et notamment voir s il est possible de restreindre et simplifier l étude ultérieure. Intuitivement et en première approche, le comportement de la suite en + va tenir des variations de la suite. On commence donc par rappeler quelques définitions de première. II. COMPORTEMENT GLOBAL

11 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence II. Suites monotones Définition On dit qu une suite (u n ) n N est : croissante si n N, u n u n+. décroissante si n N, u n u n+. constante si n N, u n = u n+. Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Attention, les suites{ peuvent être ni croissantes, ni décroissantes. Prenez par exemple, u n = ( ) n, u n = ( )n n, u0 = u n+ = sin(u n ), u n = tan(n),... Comparez deux termes d une suite reste toujours aussi difficile directement. On se ramène donc encore à comparer leur différence à 0 ou leur quotient à : Méthode Soit (u n ) n N une suite réelle. Si u n+ u n 0 alors (u n ) n N est croissante. Si n N, u n > 0 et u n+ u n alors (u n ) n N est croissante. Exercice Étudier le sens de variation des suites suivantes : / u n = n n +. 3/ { w0 = w n+ = w n n 5/ { γ0 = γ n+ = γ n + γ n / v n = ( ) n. 3 4/ { α0 = α n+ = (n + )α n 6/ n N, δ n = n n. Proposition (Suites définies explicitement par une fonction) Soient f une fonction définie sur [0 ; + ] et (u n ) n N la suite définie par u n = f(n). Si f est croissante alors la suite (u n ) n N est croissante. Si f est décroissante alors la suite (u n ) n N est décroissante. En gros, la suite a le même comportement que la fonction mais la réciproque est fausse, c est-àdire que la fonction n a pas nécessairement le même comportement que la suite. II. COMPORTEMENT GLOBAL

12 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence Prenons par exemple, la fonction f : x x + sin(πx) et la suite (u n ) n N définie par u n = f(n). n N, u n = n+sin(πn) = n 5. La suite (u n ) n N est donc croissante. La fonction, représentée en rouge, n est même pas monotone. u n u 5 = 5 u 4 = 4 u 3 = 3 u = u = u u u 3 u 4 Cf u n 3 Exercice A l aide des fonctions associées, déterminer le sens de variations des suites suivantes : / u n = n 0n + 6. / v n = 3n n +. 3/ w n = n + n. 4/ x n = n 3 30n + 54n. ROC (Suites définies par récurrence) Soient f une fonction définie sur une partie de R et (u n ) n N la suite définie par { u0 u n+ = f(u n ). Si f est croissante alors la suite (u n ) n N est monotone et son sens de variation dépend de l ordre de ses premiers termes. Globalement, l idée vient de la définition d une fonction croissante : «f est croissante ssi elle conserve l ordre». Si, par exemple, u 0 > u alors f(u 0 ) > f(u ), c est-à-dire u > u puis u = f(u ) > u 3 = f(u ),... u n = f(u n ) > u n+ = f(u n ),... et ainsi de suite pour tous les termes de la suite. La suite est donc décroissante dans ce cas. Preuve: Cette démonstration se fait par récurrence. Considérons une fonction quelconque f croissante sur son intervalle de définition et (u n ) n N une suite telle que ces deux premiers termes soient tels que u 0 u. On veut donc montrer que la suite (u n ) n N est croissante. Posons donc la propriété ((P) n ) : n N, u n u n+. Initialisation : D après les données, on a u 0 u et ((P) 0 ) est réalisée. Hérédité : Supposons que ((P) k ) soit vraie pour un certain entier k > 0 et montrons que ((P) k+ ) est vérifiée dans ce cas. u k u k+ Hypothèse de récurrence ((P) k ) f (u k ) f (u k+ ) f est croissante donc conserve l ordre u k+ u k+ Définition de la suite (u n ) n N ((P) k+ ) 5. sin(0π) = sin(π) = sin(3π) = sin(4π) =... = 0! II. COMPORTEMENT GLOBAL

13 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 3 La propriété ((P) k+ ) est donc vérifiée. On a prouvé l hérédité de la propriété. La propriété ((P) n ), initialisée et héréditaire, est donc vraie pour tout n N. La suite est croissante. La démonstration est analogue pour une suite telle que u 0 u qu on montrerait décroissante. 6 ATTENTION Ce théorème ne dit absolument rien si la fonction f est décroissante. Ce n est qu une implication. On pourrait très bien avoir une suite définie par récurrence par la relation u n+ = f(u n ) qui soit croissante sans que f ne le soit. Considérez par exemple, la fonction définie par f(x) = x + cos(πx) et u 0 =, u n+ = f(u n ) = u n + cos(πu n ). Un rapide raisonnement par récurrence montrerait que u n = n +, n N donc (u n ) n N est croissante et pourtant, f ne l est pas le moins du monde. u n u 0 u u 3 u 3 4 u Cf 4 5 u 5 n 4 Exercice Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = et, pour tout entier n, u n+ = 4 u n + 3. / Tracer dans un repère la courbe représentative de la fonction f : x x + 3, puis placer les 4 points A 0, A, A et A 3 d ordonnée nulle et d abscisse respective u 0, u, u et u 3. / Montrer par récurrence que la suite (u n ) n N est croissante. II. Encadrement de suites Définition 3 (Suites majorées, minorées, bornées... ) La suite (u n ) n N est majorée s il existe un réel M tel que pour tout entier n, u n M. La suite (u n ) n N est minorée s il existe un réel m tel que pour tout entier n, u n m. La suite (u n ) n N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. 5 Exercice Montrer que la suite (u n ) n N définie sur N par u n = + n < u n, n N. est telle que 6. Un bon exercice! II. COMPORTEMENT GLOBAL

14 4 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 6 Exercice Montrer que la suite (u n ) n N définie sur N par : est bornée par l intervalle [ ] ;. u n = n + + n n Méthode 3 Avant de se lancer, on réfléchira à la méthode la plus adaptée : On étudie le signe de la différence u n m ou u n M. Si la suite (u n ) n N est définie par u n = f(n), on peut utiliser le tableau de variations de la fonction f sur [0 ; + [ pour montrer que (u n ) n N est majorée, minorée ou bornée. Si la suite (u n ) n N est définie par récurrence, on utilisera généralement le raisonnement par récurrence pour montrer que la suite (u n ) n N est majorée, minorée ou bornée. III Convergence d une suite On considère une suite numérique (u n ) n N et on s intéresse à son comportement lorsque n +. III. Suites convergentes Considérons, par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = 3n + ( )n. n u n = f(n) l Rang à partir duquel tous les termes u n de la suite sont dans la bande centrée autour de l n III. CONVERGENCE D UNE SUITE

15 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 5 Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (u n ) n N converge vers 3 : les termes de la suite, pour n grand, semblent s accumuler dans une bande de plus en pus étroite centrée en 3. C est ce que formalise la définition ci-dessous, la plus importante du chapitre : Définition 4 Dire que la suite numérique (u n ) n N converge vers un réel l signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que l est la limite de la suite (u n ) n N et on note lim u n = l. n + En apparence absconse, cette définition, si on la regarde de plus près, traduit simplement qu une suite convergente, vu le nombre infini de ses termes, n a pas d autre choix que de s agglutiner autour de sa limite. u u 3 u 5 u 6 u 4 u Les termes de la suite u n = l 3n + ( )n n s agglutine autour de l = 3. Quel que soit le voisinage de celle-ci, aussi petit soit-il, tous les termes, sauf un nombre fini entreront plus ou moins rapidement dans ce voisinage. Toutefois, l utilisation directe de cette définition n est pas toujours commode. Heureusement, nous disposons de théorèmes (voir ci-dessous) pour prouver la convergence d une suite dont l emploi est bien plus aisé que cette définition. Cette dernière sera surtout utile dans la démonstration de certains théorèmes (comme le théorème (IV) des gendarmes par exemple). On peut formuler la définition comme suit : (u n ) n N converge vers l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini. (u n ) n N converge vers l si pour tout intervalle ouvert I contenant l, il existe un entier n o tel que n n o = u n I. A la manière de Newton et d un point de vue infinitésimal, on peut encore voir cette définition de la manière suivante : (u n ) n N converge vers l si pour tout nombre réel strictement positif ε 7 (lire «epsilon»), il existe un rang n o, à partir duquel, toutes les valeurs de u n sont proches de l à ε près. ou encore : pour tout nombre réel ε > 0, il existe un entier n o tel que : si n > n o, alors l ε < u n < l + ε. 7. aussi petit soit-il. III. CONVERGENCE D UNE SUITE

16 6 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence Enfin et à la manière des grands, une dernière écriture qui résume tous les commentaires précédents : La suite (u n ) n N converge vers l si et seulement si : ε R +, n o N / n N, n n o = ε < u n l < ε. Exemple 3: La suite (u n ) n N définie par u n = ( )n n, n N, converge vers 0. Tout intervalle ouvert ]a; b[ a et b( R ( avec a < b, contenant 0 contient tous les termes de la suite (u n ) n N à partir du rang n 0 = E max a, )) + où E désigne la fonction partie entière. b Remarques: Si une suite ne converge pas elle est dite divergente. Autrement dit, une suite est divergente si et seulement si elle admet une limite infinie ou si elle n admet pas de limite. Cette situation n est pas aussi simple qu elle n y paraît. Une section est consacrée à ce type de suites. Si la suite (u n ) n N est de la forme u n = f(n) avec f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a; + [, les théorèmes sur les limites des fonctions en + s appliquent. 8 Théorème I Si une suite converge alors sa limite est unique. Par la contraposée, «si une suite possède plusieurs limites alors elle diverge.» Par exemple, la suite définie par u n = ( ) n qui possède deux valeurs d adhérence et est divergente. Preuve: Soit (u n ) n N une suite convergente. Supposons qu elle admette deux limites distinctes l et l avec, par exemple, l < l. On va montrer que ne n est pas possible sans contradiction. Soit d un réel positif inférieur strictement à l l On pose I =]l d ; l + d [ et I =]l d ; l + d [ Nous verrons plus tard. III. CONVERGENCE D UNE SUITE

17 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 7 I I l l d d l l Comme d < l l alors d < l l ou encore d + l < l d. Les deux intervalles I et I sont donc disjoints et contiennent respectivement l et l. Venons-en à la contradiction : Par définition, si (u n ) n N converge vers l, l intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang n o. Mais (u n ) n N converge aussi vers l donc I contient aussi tous les termes de la suite à partir d un certain rang n. Finalement, si l on prend n supérieur au plus grand des deux nombres n o et n, u n devra appartenir à la fois à I et I, ce qui est impossible car ces intervalles sont disjoints. (u n ) n N ne peut donc admettre deux limites distinctes et la limite d une suite est, de ce fait, unique. Proposition Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par : ont pour limite 0. u n = n, v n = n, w n = n 3, t n = n Preuve: Entraînez-vous! 9. La moitié de la distance entre l et l. III. CONVERGENCE D UNE SUITE

18 8 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence III. Suites divergentes Suites de limite infinie Considérons, par exemple, la suite (u n ) n N définie par u n = n +. un = f(n) A 4 3 u 0 u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u u u u u u u u u u u u u 6 u u 7 u u 8 u u 9 u u 0 u u u u u u 3 u u u 0 u 9 8 Rang à partir duquel tous les termes u n de la suite sont supérieurs à A n Par analogie avec une suite convergente, une suite qui diverge vers + doit nécessairement dépasser toute valeur de A, aussi grand soit-il. La définition suivante formalise cette idée : Définition 5 Une suite (u n ) n N a pour limite + si tout intervalle ouvert de la forme ]A ; + [ avec A R, contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On dit alors que (u n ) n N diverge vers + et on note lim u n = +. n + On définit de la même façon une suite qui diverge vers : Comme les grands, cela s écrit : La suite (u n ) n N diverge vers + si et seulement si : A R, n o N / n N, n n o = A u n. Vient alors un théorème simple mais important : ROC (Suites monotones ) Si une suite (u n ) n N est croissante et non majorée, alors : lim u n = + n + III. CONVERGENCE D UNE SUITE

19 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 9 Preuve: On applique la définition (5) ainsi que celle d une suite croissante. Soit A un nombre réel quelconque. Comme la suite (u n ) n N n est pas majorée, on peut trouver un entier p tel que u p A. La suite (u n ) n N étant croissante, pour tout n p, u n u p d où u n > A. A partir du rang p, tous les termes de la suite sont donc dans l intervalle ]A; + [. Conclusion, on est bien dans les cas d application de la définition (5). D où lim u n = +. n + Et pour les suites décroissantes, on a, par symétrie : ROC (Suites monotones ) Si une suite (u n ) n N est décroissante et non minorée, alors : lim u n = n + Preuve: Démonstration identique à la précédente en considérant un intervalle de la forme ] ; A [. 0 7 { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = u n+ = u n + n + 3. / Démontrer que n N, u n n. / En déduire la divergence de (u n ) n N. ATTENTION La réciproque de ce théorème est fausse, si une suite diverge vers +, elle n est pas nécessairement croissante. Il suffit de considérer la suite définie par u n = n + ( ) n pour s en convaincre. Corollaire Les suites définies pour tout entier naturel par : u n = n, v n = n, w n = n 3, t n = n ont pour limite Un bon exercice à montrer au gentil professeur! III. CONVERGENCE D UNE SUITE

20 0 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence III.3 Suites arithmétiques Théorème II Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Si r > 0 alors Si r < 0 alors Si r = 0 alors lim u n = +. La suite diverge vers +. n + lim u n =. La suite diverge vers. n + lim u n = u 0. La suite est constante. n + Preuve: C est relativement simple avec les propriétés précédentes. Si r > 0 alors la suite (u n ) n N est croissante. Il ne reste plus qu à montrer qu elle n est pas majorée et appliqué le ROC (III.). Supposons, par l absurde, que M R soit un majorant de (u n ) n N. Pour tout n entier, on aurait u n M, c est-à-dire u 0 + nr M. Or, tout entier n o tel que n o > M u 0 r contredit cette inégalité. La suite ne peut donc être majorée. La suite (u n ) n N, croissante et non majorée, est donc divergente vers +. Les autres cas se montrent de manière analogue. Une suite arithmétique est donc, dans les cas non dégénéré, divergente vers ±. Suites qui n ont pas de limite ATTENTION S il est correct de dire qu une suite non convergente est divergente, il est cependant faux de penser qu une suite divergente s envole nécessairement vers l infini. En effet, il existe des suites qui n ont pas de limite. Elles sont, elles aussi, appelées suites divergentes. Exemple 4: Les suites (u n ) n N et (v n ) n N respectivement définies par u n = ( ) n et v n = sin n sont divergentes sans pour autant diverger vers l infini. IV Opérations sur les limites Les résultats de certaines opérations sur les limites sont intuitives et parfaitement déterminées. D autres opérations mènent à des formes dites «indéterminées», c est-à-dire qu elles conduisent à plusieurs résultats possibles qu ils faudra... déterminer. Pour ce faire, il faudra alors user de différentes méthodes et techniques pour transformer l écriture de la suite et «lever l indétermination». Notamment, factoriser une somme, développer un produit, séparer une fraction en éléments simples ou multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée. Nous verrons cela.. et au-delà! IV. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

21 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence IV. Suites explicites Proposition 3 Soit f une fonction définie sur [0 ; + [ et soit (u n ) n N la suite définie surnpar u n = f(n) / Si lim f(x) = l alors lim u n = l. x + n + / Si lim f(x) = + alors lim u n = +. x + n + Preuve: Un peu plus tard dans l année.... Il nous faudra d abord parler d un peu de topologie et de limite de fonctions La proposition signifie simplement que le comportement des suites définies de manière explicite est exactement le même que celui des fonctions qui les définissent. Exemple 5: Soit (u n ) n N la suite définie par u n = 3n + n + 5. (u n ) n N est définie à l aide de la fonction f : x 3x + x + 5. D où 3x + x + 5 = lim f(x) = 3 x + et lim u n = 3 n +. ( 3x x + ) 3x ( + 5 ) = 3 + 3x + 5. x x En appliquant la proposition précédente, on retrouve facilement les limites de quelques suites intuitives : lim n + n = 0. lim n + n = IV. Cas général Les théorèmes suivants sont admis. Il est assez intuitif de penser que la limite de la somme, du produit ou du quotient est la somme, le produit ou le quotient des limites et cela a déjà été montré dans le cas des suites convergentes. Seuls 4 cas à bien identifier représentent des formes indéterminées. Il faudra alors soit essayer de changer la forme de la suite, soit utiliser le théorème de comparaison ou des gendarmes, soit le théorème sur les suites monotones (voir plus loin) pour pouvoir conclure.. Dans tous les cas, réfléchir avant d affirmer. IV. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

22 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence Limite d une somme Si (u n ) n N a pour limite l l l + + Si (v n ) n N a pour limite l + + alors (u n + v n ) n N a pour limite l + l + + Forme Indéter. Exemple 6: La suite (u n ) n N définie pour tout n N par u n = + 4 n, converge vers. En effet lim n + 4 n = 0 donc lim u n = 0 + =. n + 8 Exercice Déterminer les limites des suites suivantes : / n N, u n = 3n + + n. 3/ n N, w n = n n +. / n N, v n = ( ) n n. Limite d un produit Si (u n ) n N a pour limite l l 0 0 Si (v n ) n N a pour limite l alors (u n v n ) n N a pour limite l l 3 Forme Indéter. 3 9 Exercice Déterminer les limites des suites suivantes : / n N, u n = n n +. / n N, u n = n(3n 7). 3/ n N, v n = ( n) 3 n. 4/ n N, w n = n + (n + 3). Limite d un quotient l Si (u n ) n N a pour limite l 0 l 0 Si (v n ( ) n N ) a pour limite l l un l alors a pour limite 3 Forme 0 3 Forme v n l Indéter. Indéter. n N 0 Exercice Déterminer les limites des suites suivantes : 3. Appliquer la règle des signes d un produit. 4. Signe constant. IV. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

23 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 3 / n N, u n = / n N, u n = 5 n +. n / n N, v n = n 0, 5 n. 4/ n N, w n = n + 3 n +. 5/ n N, w n = 5n 3 n + n +. 6/ n N, w n = 0, 6n 0, n. Synthèse En prenant la convention que chaque fois que l on verra, la règle des signes s applique, on peut résumer tous les résultats précédents dans le tableaux ci-dessous : Si (u n) n N a pour limite 0 l l l Si (v n) n N a pour limite 0 l 0 + alors (u n + v n) n N a pour limite 0 l + l + Forme Indéter. alors (u n v n) n N a pour limite 0 l l Forme Forme Indéter. Indéter. + + alors ( un v n )n N a pour limite Forme Indéter. l l Forme Forme Forme Indéter. Indéter. Indéter. V Théorèmes fondamentaux Théorème III (Théorème de comparaison) Si u n v n et si Si u n w n et si lim v n = + alors lim u n = +. n + n + lim w n = alors lim u n =. n + n + Comme Preuve: Soit A un réel quelconque. lim v n = +, il existe un entier n 0 tel que si n n 0 alors v n ]A ; + [. n + Or, u n v n à partir d un certain rang p donc si n max(n 0, p) alors u n ]A ; + [. On a donc bien lim u n = +. n + Exercice Montrer que la suite (u n ) n N définie par : u n = n + sin n diverge vers +. Exercice Même question avec la suite définie par u n = n k= k. V. THÉORÈMES FONDAMENTAUX

24 4 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence Théorème IV (dit «des gendarmes») Soient trois suites (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N telles qu il existe d un certain rang p N tel que pour tout entier naturel n p on ait w n u n v n. Si (v n ) n N et (w n ) n N convergent vers le même réel l, alors (u n ) n N converge vers l. Preuve: (Hors-programme 5 ) Soit I un intervalle ouvert contenant l. La suite (w n ) n N converge vers l. Il existe donc un rang n 0 à partir duquel tous les termes w n I. De même pour la suite (v n ) n N il existe un rang n à partir duquel tous les termes v n I. On a donc pour n tel que N max(n 0, n, p) tous les v n et tous les termes w n sont dans l intervalle I. Or, pour tout n N p on a w n u n v n d où à partir du rang N tous les termes u n I. D après la définition de la convergence d une suite on peut dire que (u n ) n N converge vers l. 3 Exercice Démontrer que la suite (u n ) n N définie par u n = sin n est convergente. n + 4 Exercice Déterminer la limite de la suite (u n ) n N définie sur N par u n = + ( )n n. Correction: Pour tout entier non nul, on a : ( ) n n ( ) n n n ( )n + + n n n n u n + n. Comme lim n + n = lim + =, d après le théorème des gendarmes n + n lim u n =. n + 5 Exercice On considère la suite définie à la partie (III.) sur N par u n = 3n + ( )n. n Après avoir encadré u n intelligemment, montrer que lim u n = 3 n Il paraît. V. THÉORÈMES FONDAMENTAUX

25 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 5 n n 0, v n u n w n lim v n = lim w n = l n + n + } = lim n + u n = l VI Comportement de suites particulières VI. Suites géométriques Théorème V Soit q un réel. Si < q < alors Si q = alors Si q > alors lim n + qn = 0. La suite (q n ) n N converge vers 0. lim n + qn =. La suite (q n ) n N est constante. lim n + qn = +. La suite (q n ) n N diverge vers +. Si q, la suite (q n ) n N n a pas de limite. Preuve: Seule la 3 e assertion est exigible en terminale. Pour celle-ci on utilise l inégalité de Bernoulli (I.) démontrée à la partie I. : a > 0, n N, ( + a) n + na. Posons q = + a. Avec a > 0, on a bien q > et l inégalité devient Comme a > 0, q n + na. lim + na = +. Puis, d après le théorème de comparaison on obtient : n + lim n + qn = +. Pour la première assertion, il suffit de poser Q =. Comme < q < alors Q >. D après la q démonstration précédente, la( suite ) (Q n ) n N converge donc vers +. D après les relations sur les quotient de limites, la suite Q n converge donc vers 0 et le résultat est prouvé. La deuxième assertion est évidente. n N Enfin et malheureusement, la dernière assertion est hors de notre portée. Lorsqu on saura ce que cela veut dire, il suffira de montrer que dans ce cas, la suite (q n ) n N possède deux valeurs d adhérence dans R. Exemple 7: Comme 0 < <, D où, lim n + qn = 0. lim + n n = lim n + ( ) n+ = =. VI. COMPORTEMENT DE SUITES PARTICULIÈRES

26 6 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence Si (u n ) n N est une suite géométrique de raison q alors u n = u o q n. Le théorème précédent permet donc de trouver sa limite. Corollaire (Limite d une suite géométrique) Soit (u n ) n N, une suite géométrique de raison q non nulle. Pour tout entier n : u n = u 0 q n Si q <, Si q >, Si q =, lim u n = 0. n + lim u n = n + lim u n = u 0. n + { + si u0 > 0, si u 0 < 0. Si q, la suite (u n ) n N n a pas de limite. VI. Théorème de convergence monotone Commençons par un théorème logique... mais à montrer quand même : Proposition 4 Si une suite croissante a pour limite l, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. lim u n = l n + (u n ) n N est croissante } = n N, u n l. Preuve: Raisonnons par l absurde, c est-à-dire, supposons que (u n ) n N soit une suite croissante convergeant vers l, qu il existe un entier k tel que u k l et montrons qu il y a contradiction. Comme la suite est croissante, pour tout n tel que n k, u n u k l. Notons d la distance entre l et u k. L intervalle ]l d ; l + d [ contient l pas pas les u n pour n k, ce qui contredit la convergence de (u n ) n N vers l. ROC (Suites monotones 3) Une suite croissante et majorée est convergente. Une suite décroissante et minorée est convergente. Ce théorème est un théorème d existence, il justifie l existence d une limite finie mais ne précise pas cette limite. Preuve: Considérons une suite (u n ) n N croissante et majorée, α R, un réel quelconque et notons A, le plus petit des majorants de (u n ) n N. VI. COMPORTEMENT DE SUITES PARTICULIÈRES

27 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence 7 Tout intervalle ]A α; A + α[ contient au moins un terme u p de la suite. Sinon, A α serait un majorant de la suite, ce qui contredit le fait que A soit le plus petit des majorants. Comme la suite (u n ) n N est croissante, pour tout n p, u n u p. L intervalle ]A α; A + α[ contient donc tous les termes de la suite à partir du rang p. Ceci est vrai, quel que soit le réel α > 0. D après la définition (4), la suite (u n ) n N converge et à pour limite A. La démonstration est identique pour une suite décroissante et minorée. 6 ATTENTION Ce théorème permet de montrer qu une suite converge vers une limite l mais ne donne pas la valeur de cette limite. On peut seulement dire que, si (u n ) n N est croissante et majorée par M alors l M et si (u n ) n N est décroissante et minorée par m alors l m. 6 Exercice Que peut-on dire de la convergence de la suite de l exercice ()? 7 { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = 0 u n+ = 3u n + 4. / Démontrer que pour tout naturel n, 0 u n 4. / Prouver que la suite est strictement croissante. 3/ En déduire que (u n ) n N est convergente. 8 u 0 = 5 Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u n+ = 4u n u n + En vous inspirant du graphique ci-dessous, étudier la convergence de la suite u n.. 6. N oubliez pas de toujours faire plaisir au gentil professeur. VI. COMPORTEMENT DE SUITES PARTICULIÈRES

28 8 Chapitre : Suites - Raisonnement par récurrence f(u n ) 3 y = 4x x u n Malheureusement 7, toutes les suites ne sont pas monotones. Dans ce cas, on tentera d utiliser les théorème d encadrement et de comparaison vus précédemment en V qui restent des outils extrêmement puissants. VI.3 Suites adjacentes Définition 6 Deux suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si et seulement si : (u n ) n N est croissante. (v n ) n N est décroissante. lim u n v n = 0 n + Théorème VI Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite. 7. ou heureusement. On s ennuierait! VI. COMPORTEMENT DE SUITES PARTICULIÈRES

29 Thème: Récurrence Terminale S - Feuille d exercices n o Récurrence { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = u n+ = + u n. / Démontrer que pour tout naturel n, 0 u n. / Prouver que la suite est strictement croissante. Exercice On considère la suite (u n ) n N définie par récurrence par : u 0 = u n+ = + u n Démontrer, par récurrence, que : n N, 0 u n. 3 Exercice Démontrer par récurrence les propriétés ci-dessous : / n N, n 6, n 6n + 7. / On pose S n = n où n. n(n + ) Montrer que S n =. 3/ On pose S n = n où n. n(n + )(n + ) Montrer que S n =. 6 4/ On pose S n = n 3 où n. Montrer que S n = n (n + ). 4 5/ On pose S n = n (n + ). Montrer que S n = n(n + )(n + ). 3 6/ On pose n! = n (n ) (n )... où n. Montrer que n N, n! n. { u0 = 7/ Soit (u n ) n N la suite définie sur N par u n+ = u n +. Montrer que n N, u n = 4 n. 8/ n N, n + est un entier divisible par 3. 9/ n N, 4 n + 5 est un multiple de 3. 9

30 Terminale S - Feuille d exercices n o Thème: Récurrence 4 Exercice On rappelle que la dérivée du produit fg où f et g sont deux fonctions dérivables sur R est donné par : (fg) = f g + fg. Soit n N et f n la fonction, définie pour x R, par : f n (x) = x n. Démontrer par récurrence que f n est dérivable et que pour tout réel x : f n (x) = nxn. 5 Exercice Soit n un entier naturel non nul, et S n la somme : S n = n = p(p + ). p= / Écrire un algorithme permettant de calculer S n où n est un entier non nul choisi par l utilisateur. / Montrer par récurrence que pour tout entier n 0, S n = n n +. 3/ (a) Vérifier que pour tout entier p non nul, p(p + ) = p p +. (b) Retrouver alors le résultat du () par une autre méthode 8. 6 { Exercice Soit (u n ) n N la suite définie sur N par u 0 =, u = u n+ = 5u n+ 6u n. Montrer par récurrence que n N, u n = n. ATTENTION Il faut deux termes pour initialiser cette propriété. 7 { Exercice La suite (u n ) n N est définie par u 0 ]0 ; [ u n+ = u n ( u n ). Démontrer par récurrence que : n N, 0 < u n <. Remarque: On pourra étudier les variations de la fonction f définie par : f(x) = x( x). 8. dite «par télescopage». 30

31 Thème: Comportement global Terminale S - Feuille d exercices n o Comportement global Exercice La suite (u n ) n N est définie par u 0 = et u n+ = u n + n + 3. / Étudier la monotonie de la suite (u n ) n N. / Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n > n. 3/ Que peut-on dire alors sur la convergence de la suite (u n ) n N. Exercice Suites homographiques On considère la suite (u n ) n N définie par la forme explicite n N, u n = 3n n +. / Montrer que la suite suite (u n ) n N est croissante. / Montrer que la suite suite (u n ) n N est majorée. 3/ Montrer que la suite (u n ) n N est convergente et calculer sa limite. 3 Exercice (Antilles-Guyane 0 extrait) u = Soit (u n ) n N la suite définie par, u n+ = n + n u n. / Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. / Démontrer que la suite (u n ) n N est décroissante. 3/ Que peut-on en déduire pour la suite (u n ) n N? 4 { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = 0 u n+ = u n + 3. On considère la fonction définie pour x [0 ; 3 ] par : f(x) = x + 3. / Calculer la dérivée de la fonction f. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 3 ] et dresser son tableau de variations. Préciser les valeurs de de la fonction aux bornes de cet intervalle. / Démontrer que : si x [0 ; 3 ] alors f(x) [0 ; 3 ]. 3/ Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, 0 u n 3. 4/ Démontrer par récurrence, que la suite (u n ) n N est strictement croissante. 5/ En déduire que la suite (u n ) n N est convergente. 6/ Déterminer la limite de la suite (u n ) n N. 3

32 Terminale S - Feuille d exercices n o Thème: Comportement global 5 u 0 = Exercice Soit la suite (u n ) n N définie par u n+ = 5u n u n + 3. re méthode : / Vérifier que pour tout n N, u n+ = 5 6 u n + 3. / Montrer que, pour tout n N, u n [ ; ]. 3/ Établir la relation u n+ u n = (u n ) et en déduire le sens de variation de (u n ) n N. u n + 3 4/ Démontrer que (u n ) n N converge et déterminer sa limite l. e méthode : On considère la suite (v n ) n N définie pour tout n N par v n = / Prouver que (v n ) n N est une suite arithmétique de raison 4. / Pour tout n N, exprimer v n puis u n en fonction de n. 3/ En déduire la convergence de (u n ) n N et sa limite. u n. 3

33 Thème: Limite de suites Terminale S - Feuille d exercices n o 3 Limite de suites Exercice Pour les cas suivants, préciser si la suite (u n ) n N est majorée, minorée ou bornée. / u n = sin n. / u n = + n. 3/ u n = n. 4/ u n = n + cos n. 5/ u n = ( ) n n. I Suites auxiliaires Exercice Suites homographiques On considère la suite (u n ) n N définie par u 0 = et, pour tout entier naturel n, par : / On considère la suite (v n ) n N définie par : u n+ = 5u n 4u n + v n = u n Démontrer que (v n ) n N est une suite arithmétique. Exprimer le terme général v n en fonction de n. / En déduire le terme général u n de la suite (u n ) n N en fonction de n. 3 Exercice Soit (u n ) n N la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u n = n + n +. / Déterminer la fonction f telle que u n = f(n). / Étudier le sens de variation de f et en déduire celui de (u n ) n N. 3/ Calculer u 0, u 00, u 0000, u 0 8 et u 0 6. Que peut-on dire des valeurs de u n lorsque n devient de plus en plus grand? 4 u 0 = 5 Exercice On considère la suite (u n ) n N définie par : u n+ = ( + n + ) u n + 6 n +. / (a) Calculer u, u et u 3. (b) Soit la suite (d n ) n N définie par : d n = u n+ u n. 33

34 Terminale S - Feuille d exercices n o 3 Thème: Limite de suites Écrire un algorithme permettant de calculer u n et d n en fonction de n puis remplir le tableau suivant : n u n 5 d n À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (d n ) n N. / On considère la suite arithmétique (v n ) n N de raison 8 et de premier terme v 0 = 6. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à n + n. 3/ Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u n = 4n + n / Valider la conjecture émise à la question (b). II Limite d une suite 5 Exercice Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Soit (u n ) n N la suite définie pour tout n N par u n = ( ) n / La suite (u n ) n N est bornée. / La suite (u n ) n N converge. 3/ La suite de terme général u n n converge. 4/ Toute suite (v n ) n N à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. 6 Exercice Déterminer les limites des suites suivantes : / u n = n 3n + 5. / u n = n + 5 3n. 3/ u n = 0n 3 n. 4/ u n = n 4 + n n / u n = 3n 4 n + 3n. 6/ u n = n 3 n + n +. 7/ u n = 3n + n + (n + ). 8/ u n = n + 3 n. 9/ u n = + 3 sin(n ) n. 0/ u n = n + n +. / u n = n n + n n. 7 Exercice Déterminer la limite des suites suivantes à l aide du théorème de comparaison : / u n = cos(n) n. / u n = n + cos n. 34

35 Thème: Limite de suites Terminale S - Feuille d exercices n o 3 III Suites monotones 8 Exercice Répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes en justifiant votre réponse. / Si une suite n est pas majorée alors elle tend vers +. / Si une suite est croissante alors elle tend vers +. 3/ Si une suite tend vers + alors elle n est pas majorée. 4/ Si une suite tend vers + alors elle est croissante. 9 { Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = 0 u n+ = u n + 3. / Démontrer que pour tout naturel n, 0 u n 4. / Prouver que la suite est strictement croissante. 3/ En déduire que (u n ) n N est convergente. 0 Exercice La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = u n u n+ = u n + / (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, u n > 0. (b) Montrer que (u n ) n N est décroissante. (c) En déduire la convergence de la suite (u n ) n N. / (a) Donner les valeurs exactes des quatre premiers termes de la suite. Que peut-on conjecturer concernant l expression de u n en fonction de n? (b) Démontrer votre conjecture par récurrence. 3/ Quelle est la limite de la suite (u n ) n N. IV Limite d une suite géométrique Exercice Déterminer la limite de la suite (u n ) n N telle que : u n = n. Exercice Soient la suite (u n ) n N définie par u 0 = 3 et u n+ = 3 u n et la suite (v n ) n N telle que v n = u n + 3. / (a) Démontrer que la suite (v n ) n N est géométrique. 35

36 Terminale S - Feuille d exercices n o 3 Thème: Limite de suites (b) Calculer v n puis u n en fonction de n. / On note S n = v 0 + v v n et S n = u 0 + u u n. (a) Calculer S n puis S n en fonction de n. (b) En déduire les limites des suites (S n ) n N et (S n) n N. 3 Exercice (Centres étrangers juin 03) Soit la suite u n définie par u = 3 et u n+ = nu n + (n + ). On définit une suite auxiliaire (v n ) n N par : n, v n = nu n. / Montrer que la suite (v n ) n N est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. / En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : u n = 3/ Déterminer la limite de la suite (u n ) n N. + 0, 5n. n 4/ Justifier que, pour tout entier n, on a : u n+ u n = + 0, 5n ( + 0, 5n). n(n + ) En déduire le sens de variation de la suite (u n ) n N. 9 4 Exercice (Deux méthodes pour trouver la limite d une suite) La suite (u n ) n N est définie par : u 0 = 0 et u n+ = u n + u n +. re méthode : / (a) Démontrer par récurrence que pour tout n, 0 u n <. (b) Vérifier que u n+ u n = u n u n + puis montrer que la suite (u n) n N est alors croissante. / En déduire que la suite (u n ) n N est convergente vers une limite l. 3/ On admet que cette limite l vérifie f(l) = l avec f définie sur [0 ; ] par f(x) = x + x +. (a) Déterminer la valeur de l. (b) Proposer un algorithme pour déterminer la valeur de N tel que : n > N, u n l < 0 3. Entrer cet algorithme sur votre calculatrice puis déterminer N. e méthode : On définit la suite auxiliaire (v n ) n N pour tout entier n par v n = u n u n +. / Démontrer que (v n ) n N est une suite géométrique. Préciser la raison et le premier terme. / Exprimer v n, puis u n en fonction de n. 3/ En déduire que la suite (u n ) n N est convergente et donner sa limite. 9. Question qui n a aucun intérêt ici mais bon, c est une question de bac 36