Dérivation Continuité

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1 Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé Nombre dérivé Fonction dérivée Définition Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dérivables Équation de la tangente à une courbe Sens de variation d une fonction Sens de variations d une somme Sens de variation d une fonction composée Sens de variation par dérivation Dérivation d une fonction composée Théorème fondamental De nouvelles formules de dérivation Continuité Application Fonctions continues Théorème des valeurs intermédiaires Table des figures 1 Nombre dérivé et tangente Fonction partie entière Une fonction continue Une fonction non continue Liste des tableaux 1 Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dérivables Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

2 1 NOMBRE DÉRIVÉ FONCTION DÉRIVÉ En préliminaire au cours : Test C page 10 [Déclic] : Droites et fonctions affines. Test A page 10 [Déclic] : Équations et inéquations du second degré. Exercices de révision : Test D page , 3, 4 page , 8, 10 page 23 et 85 page , 12 page 23 4 [Déclic] 1 Nombre dérivé Fonction dérivé Dans toute la suite, on considère ( une fonction f définie sur un intervalle I. On note C f représentative dans un repère O ; i ; ) j. sa courbe 1.1 Nombre dérivé Définition : Soit a I. Si le taux d accroissement f(a+h) f(a) h tend vers un nombre fini lorsque h tend vers zéro, on dit que la fonction f est dérivable en a. Ce nombre est alors appelé nombre dérivé de f en a. On le note f (a). On a donc : f f (a + h) f (a) (a) = lim h 0 h Remarques : 1. Le taux d accroissement de f en a peut aussi s écrire f(x) f(a) x a. La fonction f est dérivable en a si f(x) f(a) x a tend vers un nombre fini lorsque x tend vers a. Dans ce cas, on a : f f (x) f (a) (a) = lim x a x a 2. Le taux d accroissement de f en a correspond à un coefficient directeur d une sécante à f en a(voir figure 1). Si la fonction f est dérivable en a, alors sa courbe représentative admet une tangente au point d abscisse a et f (a) est le coefficient directeur de la tangente. Fig. 1 Nombre dérivé et tangente Exercices : 13 page 23 ; 38, 39 page 26 et 92 page , 44 page 26 et 45 page 27 6 [Déclic] 1 Lectures graphiques sur une courbe. 2 Mise sous le même dénominateur. 3 Second degré. 4 Lectures graphiques. 5 Nombre dérivé : détermination graphique et par le calcul. 6 Coût moyen et coût marginal 2

3 1 NOMBRE DÉRIVÉ FONCTION DÉRIVÉ 1.2 Fonction dérivée 1.2 Fonction dérivée Définition Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel a de l intervalle I, on dit qu elle est dérivable sur l intervalle I. Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f sur l intervalle I la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé f (x). On note cette fonction f Dérivées des fonctions usuelles les résultats concernant les dérivées des fonctions usuelles ont été vus en Première ES et sont résumés dans le tableau 1. fonction f dérivée f Domaine de dérivabilité f (x) = k (k constante) f (x) = 0 R f (x) = x f (x) = 1 R f (x) = x 2 f (x) = 2x R f (x) = x 3 f (x) = 3x 2 R f (x) = x n (n entier >0) f (x) = nx n 1 R f (x) = 1 x f (x) = 1 x 2 ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = 1 x 2 f (x) = 2 x 3 ] ; 0[ ou ]0 ; + [ f (x) = 1 x n (n entier >0) f (x) = n x n+1 f (x) = x f (x) = 1 2 x ] ; 0[ ou ]0 ; + [ ]0 ; + [ Tab. 1 Dérivées des fonctions usuelles Opérations sur les fonctions dérivables les résultats concernant les opérations sur les fonctions dérivables ont été vus en Première S et sont résumés dans le tableau 2. Opération Dérivée Conditions d utilisation Somme de deux fonctions u + v u + v u et v dérivables sur I Multiplication par une constante ku ku u dérivable sur I Produit de deux fonctions uv u v + uv u et v dérivables sur I Inverse d une fonction 1 v v v 2 u et v dérivables sur I Pour tout x I, v (x) 0 Quotient de deux fonctions u v u v uv v 2 u et v dérivables sur I Pour tout x I, v (x) 0 Tab. 2 Opérations sur les fonctions dérivables Exercices : Exercice 14 page 23 [Déclic] 3

4 1.3 Équation de la tangente à une courbe 2 SENS DE VARIATION D UNE FONCTION 1.3 Équation de la tangente à une courbe On reprend la figure 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a I. La tangente T à C f au point d abscisse a est la droite : de coefficient directeur m = f (a) ; passant par A (a ; f (a)). On obtient le résultat suivant : Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a I. La tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a admet comme équation : Exercices : 51, 52, 53 page 28 7 [Déclic] y = f (a) (x a) + f (a) 2 Sens de variation d une fonction 2.1 Sens de variations d une somme Propriété 1 : Produit de fonctions par un nombre Soit f une fonction et k un réel. Si k > 0, f et kf ont même sens de variations. Si k < 0, f et kf ont des sens de variations contraires. Propriété 2 : Somme de deux fonctions Si f et g sont croissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est croissante sur I. Si f et g sont décroissantes sur un intervalle I, alors la fonction f + g est décroissante sur I. Remarques : 1. Il n y pas de résultat général lorsque f et g sont de sens de variations contraires. 2. Pour étudier les variations de f g, on peut remarquer que f g = f +( g) et étudier d abord les variations de la fonction ( g). Exercices : 17, 18 page , 22 page 24 et 29, 31, 32 page 25 9 [Déclic] 2.2 Sens de variation d une fonction composée Activité : Activité 1 page [Déclic] Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On appelle composée de u suivie de v la fonction f définie sur l intervalle I par : f (x) = v (u (x)). Ceci peut se résumer par le schéma suivant : On note alors : f = v u. f : I J R x X = u (x) v (X) = v (u (x)) Remarque : Pour pouvoir définir la fonction composée de u suivie de v, il faut absolument que la fonction v soit définie sur l ensemble correspondant aux images de u. La fonction composée, elle, a alors même ensemble de définition que la fonction u. Exercices : 20, 25, 26 page [Déclic] 7 Équation de tangente. 8 QCM. 9 Sens de variations de fonctions sommes. 10 Montage de fonctions : fonction composée. 11 Écriture de fonctions composées. 4

5 3 DÉRIVATION D UNE FONCTION COMPOSÉE 2.3 Sens de variation par dérivation Propriété : Sens de variation par composition Soit u une fonction définie sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J. Soit v une fonction définie sur l intervalle J. On note f = v u. Si u et v ont même sens de variations, alors f est croissante sur l intervalle I. Si u et v ont des sens de variations contraires, alors f est décroissante sur l intervalle I. Remarque : Attention! Les variations de u sont à étudier sur l intervalle I et celles de v sur l intervalle J. Exemple : Soit f la fonction définie sur [4 ; + [ par f (x) = 2x 8. On pose u (x) = 2x 8, définie sur [4 ; + [ et v (x) = x. On a alors f = v u x 4 + Les variations de u sur [4 ; + [ sont :. u (x) 0 Par suite, si x [4 ; + [, u (x) [0 ; + [. On doit donc étudier les variations de v sur [0 ; + [. Donc : u est croissante sur [4 ; + [, à valeurs dans [0 ; + [ v est croissante sur [0 ; + [ Par suite, f est croissante sur [4 ; + [. Exercices : 34, 35, 37 page page 24 et 36 page , 91 page [Déclic] 2.3 Sens de variation par dérivation Théorème fondamental (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si, pour tout x de I, f (x) 0 alors f est croissante sur I. Si, pour tout x de I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I. Si, pour tout x de I, f (x) = 0 alors f est constante sur I. Remarques : 1. On a aussi : f (x) > 0 donne f strictement croissante, etc. 2. Pour étudier les variations d une fonction, il suffit donc d étudier le signe de sa dérivée. Néanmoins, dans certains cas simples (trinôme du second degré, fonctions associées, somme de deux fonctions...), ceci n est pas toujours nécessaire. Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f s annule en changeant de signe en a I, alors f admet un extremum en a. Exercices : 16 page 23 et 41, 42 page , 48 page 27 et 82 page page 28 et 86 page [Déclic] 3 Dérivation d une fonction composée 3.1 Théorème fondamental Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J telles que, pour tout x I, u (x) J. Alors la fonction f définie par f (x) = v u (x) = v (u (x)) est dérivable sur I et, pour tout x I : f (x) = u (x) v (u (x)) 12 Sens de variation d une fonction composée. 13 Inverse d une fonction. 14 QCM, Vrai ou faux. 15 Sens de variation et dérivation. 16 Lien entre f et f. 17 Fonctions économiques. 5

6 3.2 De nouvelles formules de dérivation 4 CONTINUITÉ APPLICATION Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 5 ; 5[ par : f (x) = 1 x 2 25 On a f = v u avec u (x) = x 2 25 et v (X) = 1 X. Comme u (x) = 2x et v (X) = 1 X, on a : 2 ( ) f 1 2x (x) = 2x (x 2 25) 2 = (x 2 25) 2 Exercices : 57, 60 page 29 ; 65 page 30 et 83 page [Déclic] 3.2 De nouvelles formules de dérivation Quelques cas particuliers importants : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout entier naturel n non nul, la fonction u n est dérivable sur I et (u n ) = nu u n 1. Si pour tout x I, u (x) 0, La fonction 1 u est dérivable sur I et ( 1 u ) = u u 2. Si pour tout x I, u (x) 0, La fonction 1 u n est dérivable sur I et ( 1 u n ) = nu u n+1. Si pour tout x I, u (x) > 0, La fonction u est dérivable sur I et ( u) = u 2 u. Remarque : Dans le tableau des dérivées usuelles, on remplace x par u et on multiplie par u. Exercices : 58 page , 62, 64 page page [Déclic] 4 Continuité Application à la résolution d équations Activité : Activité 3 page [Déclic] 4.1 Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a I. On dit que f est continue en a si lim x a f (x) = f (a). Remarque : Il ne suffit pas que la fonction soit définie en a pour qu elle soit continue en a. Par exemple, la fonction partie entière (voir figure 2) est définie en 2 mais n est pas continue en 2 : E (2) = 2 et E (x) = 1. lim x 2 x<2 Fig. 2 Fonction partie entière Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel a de l intervalle I. Remarque : Graphiquement, la fonction f est continue sur l intervalle I si on peut tracer sa représentation graphique «sans lever le crayon». (voir figures 3 et 4) 18 Nombre dérivé de fonctions composées. 19 Vrai ou faux. 20 Calcul de dérivées. 21 Étude de fonctions. 22 Recherches de solutions d une équation. 6

7 4 CONTINUITÉ APPLICATION 4.1 Fonctions continues Fig. 3 Une fonction continue Fig. 4 Une fonction non continue 7

8 4.2 Théorème des valeurs intermédiaires RÉFÉRENCES Quelques cas particuliers : Les fonctions usuelles et les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles son t continues sur leur ensemble de définition. Les fonctions polynômes et rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle (mais la réciproque est fausse, voir activité 3 page 11[Déclic]) Exercices : 69, 71, 73 page 31 et 79 page [Déclic] 4.2 Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 1 : (admis) Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe (au moins) un réel c de [a ; b] tel que f (c) = k (voir figure 3). Remarque : L hypothèse de la continuité est essentielle. La fonction de la figure 4 n est pas continue sur [0 ; 4] et, bien que f (0) = 1 et f (4) = 5, l équation f (x) = 2, 5 n admet aucune solution. Théorème 2 : Cas des fonctions strictement monotones Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a, b I avec a < b. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe un unique réel c de [a ; b] tel que f (c) = k Remarque : Il n est en général pas possible de déterminer de manière exacte cette solution. Par contre, des méthodes (comme la méthode de balayage ou l utilisation du mode solveur des calculatrices) permettent d en trouver une valeur approchée (voir TD 1 page [Déclic]). Exercices : 74, 75 page page 31 ; 80, 81 page 32 et 93 page [Déclic] Références [Déclic] Déclic Term ES, Hachette éducation (édition 2006) 2, 3, 4, 5, 6, 8 23 Continuité d une fonction. 24 Résolution d équations à la calculatrice. 25 Théorème des valeurs intermédiaires. 26 Valeurs approchées de solutions. 8