Fonctions : Dérivation-Composition
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- Jean-Baptiste Lheureux
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1 Fonctions : Dérivation-Composition Terminale S 2011/ septembre 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
2 Nombre dérivé Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
3 Nombre dérivé Définition 1 f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. Dire que le réel l est le nombre dérivé de f en a signifie que : la fonction h (h 0) a pour limite l en zéro. f (a+h) f (a) h Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
4 Nombre dérivé Définition 1 f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. Dire que le f (a+h) f (a) h réel l est le nombre dérivé de f en a signifie que : la fonction h (h 0) a pour limite l en zéro. On dit alors que la fonction f est dérivable en a. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
5 Nombre dérivé Définition 1 f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. Dire que le f (a+h) f (a) h réel l est le nombre dérivé de f en a signifie que : la fonction h (h 0) a pour limite l en zéro. On dit alors que la fonction f est dérivable en a. On note le nombre dérivé l de la fonction f en a, f (a). La quantité est appelée taux de variation. f (a+h) f (a) h Animation Geogebra Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
6 Nombre dérivé Exercice 1 Déterminer lim x 0 cosx 1 x Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
7 Nombre dérivé Exercice 1 Déterminer lim x 0 cosx 1 x Exercice 2 Démontrer que la fonction racine carrée est dérivable sur R + Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
8 Nombre dérivé Théorème Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I : si pour tout x I, on a f (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I ; si pour tout x I, on a f (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I ; si pour tout x I, on a f (x) = 0 alors f est constante sur I ; Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
9 Nombre dérivé Théorème Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I : si pour tout x I, on a f (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I ; si pour tout x I, on a f (x) < 0 alors f est strictement décroissante sur I ; si pour tout x I, on a f (x) = 0 alors f est constante sur I ; Remarque Le fait que f (x) = 0 = f constante permet de démontrer certaines égalités avec une approche fonctionnelle. Nous en verrons des exemples dans des chapitres ultérieurs. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
10 Équation de tangente. Approximation affine Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
11 Équation de tangente. Approximation affine Propriété Si f est une fonction dérivable en a, la représentation graphique de f admet au point (a,f (a)) une tangente de coefficient directeur f (a). Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
12 Équation de tangente. Approximation affine Propriété Si f est une fonction dérivable en a, la représentation graphique de f admet au point (a,f (a)) une tangente de coefficient directeur f (a). Équation de la tangente Si f est dérivable en a, alors une équation de la tangente en M a (a,f (a)) à la courbe représentative de f est : y = f (a)(x a) + f (a) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
13 Équation de tangente. Approximation affine Remarques Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
14 Équation de tangente. Approximation affine Remarques Lorsque lim h 0 h>0 f (a+h) f (a) h = l R, on dit que f est dérivable à droite en a. Dans ce cas, C f admet une demi-tangente (à droite) au point d abscisse a Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
15 Équation de tangente. Approximation affine Remarques Lorsque lim h 0 h>0 f (a+h) f (a) h = l R, on dit que f est dérivable à droite en a. Dans ce cas, C f admet une demi-tangente (à droite) au point d abscisse a Si lim f (a+h) f (a) h 0 h = ±, on parle de tangente verticale. (c est le cas pour la fonction racine carrée en 0, cf exercice 2) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
16 Équation de tangente. Approximation affine Remarques Lorsque lim h 0 h>0 f (a+h) f (a) h = l R, on dit que f est dérivable à droite en a. Dans ce cas, C f admet une demi-tangente (à droite) au point d abscisse a Si lim f (a+h) f (a) h 0 h = ±, on parle de tangente verticale. (c est le cas pour la fonction racine carrée en 0, cf exercice 2) Conséquence : Approximation affine : Autour du point d abscisse a, la courbe de f et sa tangente sont «très proches». D où la définition : Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
17 Équation de tangente. Approximation affine Remarques Lorsque lim h 0 h>0 f (a+h) f (a) h = l R, on dit que f est dérivable à droite en a. Dans ce cas, C f admet une demi-tangente (à droite) au point d abscisse a Si lim f (a+h) f (a) h 0 h = ±, on parle de tangente verticale. (c est le cas pour la fonction racine carrée en 0, cf exercice 2) Conséquence : Approximation affine : Autour du point d abscisse a, la courbe de f et sa tangente sont «très proches». D où la définition : Définition Si f est dérivable en a, on appelle approximation affine de f au voisinage de a la fonction g telle que : g(x) = f (a) + f (a)(x a). Si x est proche de a, on écrit alors : f (x) f (a) + f (a)(x a) Animation Geogebra : approximation affine et développement limité Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
18 Notation différentielle Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
19 Notation différentielle Si f est une fonction dérivable en x, on a f (x + h) = f (x) + hf (x) + hɛ(h) avec ɛ(h) = 0 (cela découle de la définition 1). lim h 0 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
20 Notation différentielle Si f est une fonction dérivable en x, on a f (x + h) = f (x) + hf (x) + hɛ(h) avec ɛ(h) = 0 (cela découle de la définition 1). lim h 0 On a donc : f (x + h) f (x) = hf (x) + hɛ(h). En prenant pour h un petit accroissement de x, noté x et en notant y l accroissement correspondant de f, on a : y = f (x) x + xɛ(x) soit : y f (x) x Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
21 Notation différentielle Si f est une fonction dérivable en x, on a f (x + h) = f (x) + hf (x) + hɛ(h) avec ɛ(h) = 0 (cela découle de la définition 1). lim h 0 On a donc : f (x + h) f (x) = hf (x) + hɛ(h). En prenant pour h un petit accroissement de x, noté x et en notant y l accroissement correspondant de f, on a : y = f (x) x + xɛ(x) soit : y f (x) x On utilise alors parfois la notation différentielle : dy = f (x)dx ou encore f (x) = dy dx. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
22 Étude de la fonction trigonométrique tangente Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
23 Étude de la fonction trigonométrique tangente Définition La fonction tangente est définie sur R { π 2 + kπ,k Z} par tanx = sinx cosx Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
24 Étude de la fonction trigonométrique tangente Définition La fonction tangente est définie sur R { π 2 Exercice + kπ,k Z} par tanx = sinx cosx 1) Démontrer que la fonction tangente est π-périodique. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
25 Étude de la fonction trigonométrique tangente Définition La fonction tangente est définie sur R { π 2 Exercice + kπ,k Z} par tanx = sinx cosx 1) Démontrer que la fonction tangente est π-périodique. 2) Étudier les limites de la fonction tangente aux bornes de I = [0; π 2 [ ] π 2 ;π]. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
26 Étude de la fonction trigonométrique tangente Définition La fonction tangente est définie sur R { π 2 Exercice + kπ,k Z} par tanx = sinx cosx 1) Démontrer que la fonction tangente est π-périodique. 2) Étudier les limites de la fonction tangente aux bornes de I = [0; π 2 [ ] π 2 ;π]. 3) En déduire que sa courbe C admet une asymptote D dont on précisera l équation. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
27 Étude de la fonction trigonométrique tangente Définition La fonction tangente est définie sur R { π 2 Exercice + kπ,k Z} par tanx = sinx cosx 1) Démontrer que la fonction tangente est π-périodique. 2) Étudier les limites de la fonction tangente aux bornes de I = [0; π 2 [ ] π 2 ;π]. 3) En déduire que sa courbe C admet une asymptote D dont on précisera l équation. 4) Compléter le tableau de valeurs (exactes) suivant : x 0 tanx π 6 π 4 π 3 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
28 Étude de la fonction trigonométrique tangente 5) Dresser le tableau de variations de la fonction tangente après avoir calculé sa dérivée. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
29 Étude de la fonction trigonométrique tangente 5) Dresser le tableau de variations de la fonction tangente après avoir calculé sa dérivée. 6) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
30 Étude de la fonction trigonométrique tangente 5) Dresser le tableau de variations de la fonction tangente après avoir calculé sa dérivée. 6) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0. 7) Démontrer que pour tout x I,tanx x. (on pourra étudier la fonction définie sur I par g(x) = tanx x) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
31 Étude de la fonction trigonométrique tangente 5) Dresser le tableau de variations de la fonction tangente après avoir calculé sa dérivée. 6) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0. 7) Démontrer que pour tout x I,tanx x. (on pourra étudier la fonction définie sur I par g(x) = tanx x) 8) En déduire, la position relative de la courbe C par rapport à sa tangente T. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
32 Étude de la fonction trigonométrique tangente 5) Dresser le tableau de variations de la fonction tangente après avoir calculé sa dérivée. 6) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse 0. 7) Démontrer que pour tout x I,tanx x. (on pourra étudier la fonction définie sur I par g(x) = tanx x) 8) En déduire, la position relative de la courbe C par rapport à sa tangente T. 9) Tracer soigneusement les droites D et T puis la courbe C. (On se placera entre les bornes 2π et 2π) Animation Geogebra : Représentation graphique de la fonction tangente Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
33 Composition de fonctions Définitions, exemples Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
34 Composition de fonctions Définitions, exemples Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble I, et dont l ensemble des images est f (I). Soit g une fonction définie sur un ensemble J contenant f (I). On peut, dans ces conditions, enchaîner les fonctions f et g selon le schéma suivant : Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
35 Composition de fonctions Définitions, exemples Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble I, et dont l ensemble des images est f (I). Soit g une fonction définie sur un ensemble J contenant f (I). On peut, dans ces conditions, enchaîner les fonctions f et g selon le schéma suivant : x f (x) g(f (x)) Alors la fonction h, qui au nombre x associe le nombre g(f (x)), est appelée composée de f par g et notée g f. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
36 Composition de fonctions Définitions, exemples Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble I, et dont l ensemble des images est f (I). Soit g une fonction définie sur un ensemble J contenant f (I). On peut, dans ces conditions, enchaîner les fonctions f et g selon le schéma suivant : x f (x) g(f (x)) Alors la fonction h, qui au nombre x associe le nombre g(f (x)), est appelée composée de f par g et notée g f. Exemple Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = x + 1, et soit g la fonction définie sur R par g(x) = x 2. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
37 Composition de fonctions Définitions, exemples Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble I, et dont l ensemble des images est f (I). Soit g une fonction définie sur un ensemble J contenant f (I). On peut, dans ces conditions, enchaîner les fonctions f et g selon le schéma suivant : x f (x) g(f (x)) Alors la fonction h, qui au nombre x associe le nombre g(f (x)), est appelée composée de f par g et notée g f. Exemple Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = x + 1, et soit g la fonction définie sur R par g(x) = x 2. Alors, la fonction h, composée de f par g est définie par : h(x) = (g f )(x) = g(f (x)) =... Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
38 Composition de fonctions Définitions, exemples Définition Soit f une fonction définie sur un ensemble I, et dont l ensemble des images est f (I). Soit g une fonction définie sur un ensemble J contenant f (I). On peut, dans ces conditions, enchaîner les fonctions f et g selon le schéma suivant : x f (x) g(f (x)) Alors la fonction h, qui au nombre x associe le nombre g(f (x)), est appelée composée de f par g et notée g f. Exemple Soit f la fonction affine définie sur R par f (x) = x + 1, et soit g la fonction définie sur R par g(x) = x 2. Alors, la fonction h, composée de f par g est définie par : h(x) = (g f )(x) = g(f (x)) =... La fonction k, composée de g par f est définie par : k(x) = (f g)(x) = f (g(x)) =..., et on peut constater que f (g(x)) g(f (x). Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
39 Composition de fonctions Dérivée d une composée Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
40 Composition de fonctions Dérivée d une composée Théorème : Dérivée d une fonction composée Si v est une fonction dérivable sur I et u une fonction dérivable en v(x) pour tout x de I, alors la fonction composée u v est dérivable sur I et pour tout x de I on a : (u v) (x) = v (x) (u v)(x) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
41 Composition de fonctions Dérivée d une composée De nouvelles formules de dérivées : (u est une fonction dérivable sur I) Fonction f Dérivée Condition f = 1 u f = u u 2 u ne s annule pas sur I f = u n f = nu u n 1 n N f = 1 u n f = nu u n+1 f = u f = u 2 u u ne s annule pas sur I et n N u > 0 sur I f = cos(u) f = sin(u) f = u sin(u) f = u cos(u) f = tan(u) f = u cos 2 (u) = u (1 + tan 2 (u) u ± π 2 + 2kπ sur I, (k Z) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
42 Composition de fonctions Dérivée d une composée Exercice Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : f (x) = (7x + 1) 2011 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
43 Composition de fonctions Dérivée d une composée Exercice Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : f (x) = (7x + 1) 2011 g(x) = cos(5x 2 + 1) Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
44 Composition de fonctions Dérivée d une composée Exercice Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : x + 1 f (x) = (7x + 1) 2011 g(x) = cos(5x 2 + 1) h(x) = x 1 Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
45 Composition de fonctions Limite d une composée Plan 1 Compléments sur la dérivation Nombre dérivé Équation de tangente. Approximation affine Notation différentielle Étude de la fonction trigonométrique tangente 2 Composition de fonctions Définitions, exemples Dérivée d une composée Limite d une composée Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
46 Composition de fonctions Limite d une composée Dans les théorèmes suivants, les lettres α, β et L désignent chacune soit un nombre réel soit ±. u et g sont deux fonctions telles que g u existe sur un intervalle dont une borne est α. Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
47 Composition de fonctions Limite d une composée Dans les théorèmes suivants, les lettres α, β et L désignent chacune soit un nombre réel soit ±. u et g sont deux fonctions telles que g u existe sur un intervalle dont une borne est α. Théorème Si on a lim x α u(x) = β et lim X β f (X) = L, alors, lim x α g u(x) = L Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
48 Composition de fonctions Limite d une composée Dans les théorèmes suivants, les lettres α, β et L désignent chacune soit un nombre réel soit ±. u et g sont deux fonctions telles que g u existe sur un intervalle dont une borne est α. Théorème Si on a lim x α u(x) = β et lim X β f (X) = L, alors, lim x α g u(x) = L Exemple 4x+9 Soit f la fonction définie sur ]1;+ [ par f (x) = x 1. f est la composée de la fonction rationnelle u définie par u(x) = 4x+9 x 1 suivie de g qui est la fonction racine carrée. On a : Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
49 Composition de fonctions Limite d une composée Dans les théorèmes suivants, les lettres α, β et L désignent chacune soit un nombre réel soit ±. u et g sont deux fonctions telles que g u existe sur un intervalle dont une borne est α. Théorème Si on a lim x α u(x) = β et lim X β f (X) = L, alors, lim x α g u(x) = L Exemple 4x+9 Soit f la fonction définie sur ]1;+ [ par f (x) = x 1. f est la composée de la fonction rationnelle u définie par u(x) = 4x+9 x 1 suivie de g qui est la fonction racine carrée. On a : lim x 1 lim X + + u(x) = + g(x) = + lim u(x) = 4 x + lim g(x) = 2 X 4 } } donc par composition lim g u(x) = + x 1 + donc par composition lim g u(x) = 2 x + Terminale S (2011/2012) Lycée Français de Valence 15 septembre / 21
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