Intégrales de Wallis

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1 Intégrales de Wallis John Wallis, mathématicien anglais, est né en 66 et est mort en 73. Wallis est donc antérieur à Newton. ) Définition. On pose n N, sin n t dt. existe pour tout entier naturel n car la fonction t sin n t est continue sur [, ]. ) Autres expressions de. Le changement de variables u t fournit n N, cos n t dt. Soit ε un réel de ], [. La fonction u Arcsinu t est de classe C sur [, Arcsin( ε)] et on peut poser t Arcsin u ou / ε Arcsin(/ ε) encore u sin t pour obtenir sin n t dt du. Quand ε tend vers par valeurs supérieures, u ε sin n t dt tend vers et il en est de même de converge. Comme la fonction u Quand ε tend vers, on obtient alors un u Arcsin(/ ε) u du de sorte que l intégrale u du est positive sur [, [, on en déduit que cette fonction est intégrable sur [, [. n N, u du. On peut aussi poser u sin t dans l intégrale définissant + pour obtenir + cos n+ t dt 3) Sens de variation de la suite ( ) n N. n N, + ( sin t) n cost dt ( u ) n du. ( u ) n du. Pour tout entier naturel n et tout réel t de ], [, on a < sin t < et en multipliant les trois membres de cet encadrement par le réel strictement positif sin n t, on obtient < sin n+ t < sin n t. Puisque les trois membres de cet encadrement sont des fonctions continues sur [, ] les inégalités strictes sont préservées par intégration et on obtient n N, < + <. 4) Limite. ère idée. On montre «à la main» que La suite ( ) n N est strictement positive et strictement décroissante. lim. Soit ε >. Soit a un réel de ], [. Pour tout naturel n, on a a sin n t dt + a sin n t dt a sin n a + ( a). On choisit alors a dans ], [ de sorte que < a < ε. Pour tout entier naturel n, on a alors a sin n a + ε. Maintenant, puisque a est dans ], [, sin a est dans ], [ et donc lim a sinn a. http :// c Jean-Louis Rouget, 8. Tous droits réservés.

2 Il existe ainsi un entier naturel n tel que, pour n n, a sin n a < et donc < ε + ε ε. On a montré que ε >, n N/ ( n N), (n n < ε) et donc lim. ème idée. On utilise le théorème de convergence dominée pour atteindre le même but. Pour t [, ] et n N, on pose f n(t) sin n t (avec la convention usuelle t [, ], f (t) ). Chaque fonction f n est intégrable sur le segment [, ] car continue sur ce segment. La suite de fonction f n converge simplement sur [, ] vers la fonction f définie par : t [, ], f(t) De plus, f est continue par morceaux sur [, ]. n N, t [, ], f n(t) ϕ(t) où ϕ est une fonction continue et intégrable sur [, ]. si t < si t. D après le théorème de convergence dominée, lim 3ème idée. L équivalent de obtenu en ) fournit en particulier 5) Premières valeurs. W dt et W 6) Relation de récurrence. sint dt. f(t) dt. W et W. lim. Soit n un entier naturel. Les deux fonctions t cost et t sin n+ t sont de classe C sur [, ]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit Donc, + (n + ) sint sin n+ t dt [ costsin n+ t ] / + (n + ) ( sin t)sin n t dt (n + )( + ). cos t sin n t dt 7) Calcul de. Soit p un entier naturel non nul. n N, (n + )+ (n + ) ou encore + n + n +. W p ce qui reste vrai pour p. (p )(p 3)... (p)(p )... W p N, W p De même, si p un entier naturel non nul, (p)(p )(p )(p 3)... ((p)(p )...) (p)! p p! Cp p p, (p )(p 3)... (p)(p )... et p N, W p (p)! p p!. W p+ (p)(p )... (p + )(p )... W ((p)(p )...) (p + )(p)(p )... p p! (p + )!, http :// c Jean-Louis Rouget, 8. Tous droits réservés.

3 ce qui reste vrai pour p. p N, W p+ 8) + est équivalent à. (p)(p )... (p + )(p )... et p N, W p+ p p! (p + )!. D?après 3), la suite ( ) n N est strictement positive et strictement décroissante. Donc, pour tout naturel n, on a + < + <. Après division par le réel strictement positif ( > car est l intégrale d une fonction continue, positive et non nulle sur [, ], on obtient d?après 6) n + n + + < + Quand n tend vers l?infini, le théorème des gendarmes montre que 9) Formule de Wallis. +. W p+ D après 8), lim. D autre part, d après 7), W p+ p + W p W p une première version de la formule de Wallis lim p + < (p ) p (p) + lim ou encore ( 4... (p)) ( (p )). On obtient ainsi (p + ) ou encore, en élevant au carré et après simplification, on obtient (avec une formulation médiocre car les produits apparaissant aumérateur et au dénominateur sont divergents) : ) La suite ((n + ) + ) n N est constante D?après 6), pour tout entier naturel n, on a (n + )+ (n + ) et donc (n + )+ + (n + ) +. Ainsi, la suite ((n + ) + ) n N est constante et donc, pour tout entier naturel n, (n + ) + W W. n N, (n + ) +. ) Equivalent simple de quand n tend vers +. D?après 8), + Puisque >, on en déduit que et donc, d?après ), ) Série entière associée à. Puisque n, la série entière f(x) + (n + )+ n. n n. x n a un rayon de convergence égal à. De plus, pour tout réel t de [, ], tout réel x tel que x < et tout entier naturel n, on a (cos n t)x n x n. Puisque la série géométrique de terme général x n converge pour x donné tel que x <, la série de fonctions de terme général t cos n tx n est normalement convergente et donc uniformément convergente sur le segment [, ]. D après un théorème d intégration terme à terme, pour x ], [ fixé, on obtient http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 8. Tous droits réservés.

4 f(x) n x n ( / n cos n t dt ) x n ( + (x cost) )dt n n x cost dt. Soit x ], [ fixé. Calculons l intégrale précédente en posant u tan t du et donc dt. On obtient + u f(x) + x x cost dt u + ( x + x x u + u du + u du ) du + x + x x Arctan ( x) + u ( + x) du u x + x x Arctan + x x. Donc, x ], [, n x n + x Arctan x x. Maintenant, pour x, puisque n, la série de terme général diverge ou encore f n est pas défini en. D autre part, pour x, la suite est positive et tend vers en décroissant. Donc la série de terme général ( ) n converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Montrons alors que la somme f est continue en. Soit x [, ]. La suite ( ) n x n x n est positive et tend vers en décroissant (produit de deux suites positives décroissantes). La série de terme général x n est donc une série alternée. D après une majoration classique du reste à l ordre n d une série alternée, on a W k x k + x n+ +, kn+ et donc sup { kn+ W k x k, x [, ] } +. Ainsi, la série entière de somme f converge uniformément vers f sur [, ]. On en déduit que f est continue sur [, ] et en particulier que f( ) lim x x> f(x) lim x x> + x Arctan x x. Maintenant, quand x tend vers, + x Arctan x x + x x x x. On a montré que x ], [, n x n ( ) + x Arctan et ( ) n. x x n 3) Volume de la boule unité en dimension n. Soit E un espace euclidien de dimension n strictement positive et B n (R) la boule de centre O et de rayon strictement positif R. Le volume de B n (R) est V n (R) dx... dx n. x +...+x n R http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 8. Tous droits réservés.

5 On effectue déjà le changement devariables x Ry,..., x n Ry n. Le jacobien de ce changement de variables linéaire est R n et donc V n (R) R n dy...dy n R n V n (). y +...+y n ( R > ), ( n N ), V n (R) R n V n (). Il reste à calculer V n (). Soit n un naturel supérieur ou égal à. où I n V n () ( dx...dx n x +...+x n xn x n x +...+x n x n ( x ) n V n () dx I n V n (), dx... dx n dx n ( x ) n dx x ) n dx ou encore, en posant x cost : En tenant compte de V () I n ( cos t) n ( sint) dt / dx, on obtient V () et n, V n () V n (). Par suite, pour n, V n () V n ()(W )(W 3 )...( ) n n k xn x n sin n+ t dt +. R >, V (R) R, V (R) R et V 3 (R) 4 3 R3. V n ( x n ) dx n W k (puisque W ). On retrouve en particulier Plus généralement, en tenant compte de l égalité, valable pour tout entier naturel n, + entier naturel non nul donné p m V p () p W k p W k W k p k p N, V p () p p! k La formule donnant V p+ (R) est moins jolie et n est pas donnée ici. p k (k) p p!. et p N, R >, V p (R) p R p. p!, on a pour p (n + ) http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 8. Tous droits réservés.