Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

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1 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I Annee du chapitre 6: Fonctions trigonométriques A. Limites de fonctions trigonométriques Théorème des deu gendarmes Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l une f est "prise en sandwich" entre les deu autres. Si g et h ont la même limite lorsque tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi : y y = g() y = f () y = h() soit h() f () g() pour tout ]b ; c[ contenant a. Si lim a g() = lim a h() = L, alors lim f () = L a On acceptera ce théorème sans preuve a L Eercice A6. : Soit f une fonction telle que pour tout on ait f () a) Déterminer lim f () 2 b) Qu en est-il si f () Remarque : Le théorème des deu gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un eemple : Eemple : À l aide du théorème des deu gendarmes, montrer que lim sin = 0. 0

2 II ANNEXE CHAPITRE 6 Eercice A6.2 : Utiliser le théorème des deu gendarmes pour calculer lim 2 sin 0 2 Indications : - sin(angle), puis constater que 2 sin 2 est comprise entre deu paraboles. Eercice A6.3 : On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon. En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que : sin() tan() si 0 < < π/2 En déduire que : cos() sin() sin() Puis montrer que lim 0 + sin() Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim 0 Eercice A6.3 bis : sin() Que devient le raisonnement précédent si l angle est en degré et alors que vaut lim? 0 Eercice A6.4 : sin() Sachant que lim =, en déduire les limites suivantes : 0 sin(2) a) lim 0 b) lim 0 sin(3) sin(2) tan() c) lim 0 a 2sin 2 d) lim a a Eercice A6.5 : Calculer, si elles eistent, les limites suivantes : cos() a) lim 0 Eercice A6.6 : b) lim 0 cos 2 () tan() cos() c) lim 0 sin() ( ) 2 En amplifiant les fractions par + cos(), montrer que cos() cos() a) lim = 0 b) lim = 2 Eercice A6.7 : Utiliser le théorème des deu gendarmes pour calculer : sin() a) lim b) lim e 2 + cos() sin() c) lim

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques Les règles de dérivation des fonctions trigo : 9 ème règle : Si f () = sin().. 0 ème règle : Si f () = cos().. ème règle : Si f () = tan().. ou.. Eercice A6.8: Voici la preuve de la 9 ème règle ci-dessus qu il s agit de compléter f f ()... (a) = lim a = lim a Truc : on utilise la formule de soustraction d angle (Formulaire page 3) f (a) = lim a 2 cos... sin a = lim a cos... 2 sin a = lim cos... sin a = lim cos... lim a... a sin = cos 2a = cos(a) 2 En changeant la variable de a en, on obtient bien : f () =... Eercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.

4 IV ANNEXE CHAPITRE 6 A.3 Les fonctions trigonométriques réciproques Introduction (à compléter) Nous avons vu dans le chapitre que pour définir la fonction réciproque d une fonction f, il faut que celle-ci soit, c est-à-dire que si a b dans l ensemble de de f, alors f (a)...f (b). On peut alors résumer ceci par : u = f (v) v = On a les propriétés suivantes : () l ensemble de définition de r f = (2) l ensemble image de r f = (3) f ( r f ()) =... pour tout (4) r f( f ()) =... pour tout (5) les graphes de r f et f sont l un de l autre par rapport à la droite d équation La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin - ), est définie par : [ ; ] [ : ] arcsin() De même, on peut définir : La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos - ), est définie par : [ - ; ] [ : ] arccos()

5 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V Introduction (à compléter) La fonction arctangente, notée arctan (ou tan - ), est définie par : IR [ : ] arctan() Eemple : Déterminer : sin sin 2, cos cos π 4 et sin sin 2π 3 Eercice A6.0 : Déterminer sans calculatrice : a) cos cos 2 b) sin sin 4π 3 c) cos cos 5π 6 d) tan tan 7π 4

6 VI ANNEXE CHAPITRE 6 A.4 Les dérivées des fonctions réciproques Eercice A6. : On considère sur IR + la fonction f () = et le point P( ; f ()). a) Déterminer r f. b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de r f ainsi que le point P. c) Calculer la dérivée de f et celle de r f. d) Calculer f () et graphique. e) Que constatez-vous? ( r f ) f () f) Cette constatation reste-t-elle vrai pour : ( ), puis représenter ces valeurs sur le f () = pour [ 2;2] et le point P(/2 ; f (/2)) 2 Dont on propose ci-dessous une représentation graphique : g) En déduire ( r f ) (0).

7 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII Théorème : Dérivée d une fonction réciproque Si f est dérivable sur un intervalle I et si f ne s annule pas sur I alors : f possède une fonction inverse r f dérivable en tout point (f () ; ) où I. ( r f ) () = f ( r f () ) Justification :

8 VIII ANNEXE CHAPITRE 6 Eemple : Soit f () = 2 avec 0. Déterminer la dérivée de r f () = a) À l aide de la formule ci-dessus. b) À l aide du calcul «traditionnel», comparer. Eercice A6.2 : Effectuer la même démarche pour les fonctions : a) f () = 3 et r 3 f () = 4 4 b) f () = m (m 0) et r f () =... Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses: ème règle : Si f () = sin () f () = 2 ème règle : Si f () = cos () f () = ème règle : Si f () = tan () f () = + 2

9 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX Eercice A6.3: Voici la preuve de la ème règle ci-dessus qu il s agit de compléter : Posons f () = sin() et ainsi r f () =... ( r f ) () =... = cos(...) = sin 2 (...) =... Eercice A6.4: Démontrer la 2 ème règle ci-dessus qu il s agit de compléter : Eercice A6.5: Dériver les fonctions suivantes: a) f () = sin 2 + c) f () = sin ( ) b) f () = cos ( ) avec > 0 Eercice A6.6: Eercice A6.7: a) Déterminer l équation de la tangente à la courbe d équation y = tan() au point P(π/4 ; ). b) Déterminer l équation de la tangente à la courbe d équation y = tan () au point P ( ; π/4). Soit f () = a) Déterminer f () et f (). b) Déterminer r f (3) et ( r f ) (3).

10 X ANNEXE CHAPITRE 6