1. Convergence des Séries Numériques

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1 Séries umériques 8 - Sommaire. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique Séries géométriques Coditio élémetaire de covergece Suite et série des différeces Opératios sur les Séries Covergetes Somme de 2 séries Produit par u scalaire Séries à termes positifs Séries à termes positifs Critère de comparaiso Critère d équivalece Comparaiso à ue itégrale impropre Règle de Riema Règle de d Alembert Séries Absolumet Covergetes Covergece absolue Cov. des séries absolumet cov Ue covergece absolue Séries Numériques Réelles Alterées Séries alterées Critère spécial des séries alterées Calcul Exact de Sommes de Séries Sommatio e domios Avec des séries etières ou de Fourier Calcul Approché Pricipe gééral Avec le critère spécial Autres cas Complémets Colbert, lycée umérique Les mathématicies du chapitre..... L objet de l étude des séries umériques est de doer u ses à des sommes ifiies de ombres réels ou complexes et, évetuellemet, de les calculer.. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique Défiitio : Soit (u ) N ue suite d élémets de K (K = R ou C). O appelle suite des sommes partielles de (u ) N, la suite (s ) N, avec s = u k. Défiitio : O dit que la série de terme gééral u, coverge la suite des sommes partielles (s ) N coverge. Sio, o dit qu elle diverge. Notatio : La série de terme gééral u se ote u. Défiitio : Das le cas où la série de terme gééral u coverge, la limite, otée s, de la suite (s ) N est appelée somme de la série et o ote : s = u. Le reste d ordre de la série est alors oté r et il vaut : r = s s. =0 Défiitio : La ature d ue série est le fait qu elle coverge ou diverge. Étudier ue série est doc simplemet étudier ue suite, la suite des sommes partielles de (u ). Le but de ce chapitre est de développer des techiques particulières pour étudier des séries sas écessairemet étudier la suite des sommes partielles. Das certais cas, o reviedra à la défiitio e étudiat directemet la covergece de la suite des sommes partielles.

2 8-2 Séries umériques La covergece d ue série e déped pas des premiers termes Exemple fodametal : les séries géométriques La série de terme gééral x coverge x <. De plus, la somme est : s = x = x. Démostratio : x + x =0 x k = x+ x pour x. a de limite fiie que si x <, cette limite est alors D autre part, pour x =, x k = + diverge. x. La raiso d ue suite géométrique est le coefficiet par lequel il faut multiplier chaque terme pour obteir le suivat. «le premier terme» La somme des termes d ue série géométrique covergete est doc :. «la raiso» Ceci prologe et gééralise la somme des termes d ue suite géométrique qui est : «le premier terme» «le premier terme maquat» «la raiso» Quad la série coverge, il y pas de termes maquats... La formule est la même..3. Coditio écessaire élémetaire de covergece u coverge lim u = 0. Démostratio : u coverge (s ) coverge vers s (s + ) coverge vers s lim s + s = 0 lim u + = 0 lim u = 0. Si ue série coverge, so terme gééral ted vers 0. Das le cas où le terme gééral e ted pas vers 0, o dit que la série diverge grossièremet..4. Suite et série des différeces La suite (v ) coverge la série (v + v ) coverge. Démostratio : O cosidère (v + v ), sa suite des sommes partielles est (s ) avec s = (v k+ v k ) = v + v 0 Les suites (s ) et (v + ) sot de même ature, il e est de même de (v ).

3 Séries umériques Opératios sur les Séries Covergetes 2.. Somme de 2 séries u et u coverget et ot pour somme s et s (u + u ) coverge et a pour somme (s + s ). Démostratio : O applique simplemet le théorème équivalet sur les suites, appliqué bie sûr aux suites des sommes partielles Produit par u scalaire u coverge et est de somme s,λ K (λu ) coverge et est de somme λs. Démostratio : O applique ecore le théorème équivalet sur les suites à la suite des sommes partielles. Il y a bie sûr ue otio sous-jacete d espace vectoriel des séries covergetes. 3.. Séries à termes positifs 3. Séries à termes positifs Défiitio : O dit qu ue série u est ue série à termes positifs N, u 0. Défiitio : O dit qu ue série u est ue série à termes positifs à partir d u certai rag N N, N,u Critère de comparaiso u et v deux séries positives à partir d u certai rag N, telles que N, u v Si v coverge, alors u coverge. Si u diverge, alors v diverge. Démostratio : Seule la première assertio est à motrer, l autre est équivalete. O le motre pour les séries positives (N = 0). O pose s = u k, s = v k et s = v, o a s s. =0 Les suites (s ) et (s ) sot croissates et la deuxième coverge. O a doc s s. Ce qui prouve que (s ) est croissate majorée et doc coverge. Pour le cas de séries positives à partir du rag N, o cosidère les sommes partielles s = Exemple : Etudios la covergece de + l = 2. C est ue série à termes positifs (ou plus simplemet positive), o va pouvoir utiliser le critère de comparaiso. A l ifii, l ( ) l ted vers 0 et doc est ue suite borée par A. O a doc N, 0 l A ce qui doe N, 0 l 2 A 2 qui est le terme gééral d ue série géométrique de raiso 2, doc covergete. k=n u k...

4 8-4 Séries umériques Ceci prouve que + = l 2 coverge Critère d équivalece u et v deux séries positives à partir d u certai rag N, telles que : u v + alors u et v sot de même ature. Démostratio : A partir d u certai rag N, o a 0 2 u v 2u. Si u coverge, 2u coverge et doc v coverge. Si v coverge, 2 u coverge et doc u coverge. O peut remarquer que le critère d équivalece est, par liéarité, applicable à des séries de sige costat à partir d u certai rag. E effet, la covergece de u équivaut à celle de u. Par ailleurs, o veillera à appliquer le critère d équivalece au terme gééral : u, et o à la série : u. Exemple : Etudios la covergece de + = + 2. C est ue série à termes positifs (ou plus simplemet positive), o va pouvoir utiliser le critère d équivalece qui est le terme gééral d ue série géométrique de raiso, doc covergete. 2 Ceci prouve que coverge. = 3.4. Comparaiso à ue itégrale impropre alors la série f () et Et si elles coverget, Soit f ue applicatio positive et décroissate sur [a,+ [, + a + + f (t)dt sot de même ature. f (t) dt + k=+ f (k) + x f (t) dt Démostratio : Remarquos d abord que, comme f (t) dt est croissate, a + ( p ) f (t)dt coverge la suite f (t)dt coverge. a a O predra pour la démostratio a = 0. Comme f décroît sur [, + ], x [, + ], f ( + ) f (x) f () et e itégrat, comme o peut le voir sur la figure, page ci-cotre : f ( + ) d où e sommat p f () p p 0 f (t)dt f (), ce qui assure le résultat. = =0 + f (t)dt f (). O a tout itérêt à mémoriser cette figure qui, associée à la relatio de Chasles, fourit démarche et résultat! Exemple : Etudios la covergece de + = + 2.

5 Séries umériques 8-5 y y = f (x) f ( ) f () f ( + ) 0 f () + f ( + ) x Figure Comparaiso série-itégrale f défiie par f (t) = est positive, décroissate sur [0,+ [ et + t2 même ature que la série étudiée. Ceci prouve que coverge. = + 0 dt coverge et est de + t Règle de Riema α R, + = coverge α >. α Ce sot les séries de Riema. Démostratio : O compare cette série avec Ceci ous doe la règle de Riema. + k α R, u + α, alors : u coverge α >. f (t)dt et le résultat est immédiat. Démostratio : Il suffit d utiliser le critère d équivalece et le théorème précédet Règle de d Alembert lim u + u = l u ue série à termes positifs o uls (à partir d u certai rag) telle que : si l >, u diverge grossièremet, si l <, u coverge, et si l =, o e peut pas coclure.

6 8-6 Séries umériques Ce théorème est séduisat à priori, mais o tombe très souvet sur le cas douteux. Il s utilise souvet das le cadre des séries etières qu o étudiera das quelques chapitres. Avec les séries umériques, il s utilise pricipalemet quad o se trouve e présece de factorielles ou de termes de ature géométrique du type : a. Démostratio : Pour l >, la suite positive (u ) croit et e ted doc pas vers 0. O a bie la divergece grossière. Pour l <, à partir d u certai rag N u + + l u 2. ( ) N ( ) + l + l u et doc par récurrece très facile, pour N, u u 2 N = N 2 ( ) N. + l 2 Cette derière série est géométrique, le théorème de comparaiso etre séries positives fourit le résultat. Exemple : Étudios la covergece de +! =. C est ue série à termes strictemet positifs, o va pouvoir utiliser le critère de d Alembert. ( + )! ( + ) + =! Ceci prouve que + ( + ) ( ( + ) + = = +! coverge. ) = ( + ) + e < 4. Séries Absolumet Covergetes 4.. Covergece absolue d ue série umérique Défiitio : Ue série u est absolumet covergete u est covergete. Ue série covergete mais o absolumet covergete est dite semi-covergete Covergece des séries absolumet covergetes Toute série absolumet covergete est covergete. Démostratio : Comme Reu u et Imu u, il suffit par liéarité de le motrer pour les séries à valeur réelle. Pour celles-ci, o pose u + = max(u,0) et u = max( u,0). Les séries u + et u sot positives et u + u, u u prouvet par comparaiso que ces séries coverget. Comme u = u + u, o a bie u coverge. Attetio, ceci est pas ue équivalece, o verra qu il existe des séries semi-covergetes. L exemple le plus classique est + ( ). = 4.3. U moye classique de motrer ue covergece absolue de série Ceci est pas u théorème mais u procédé usuel qu il ( faut ) justifier à chaque fois. Si il existe α > tel que lim α u = 0, alors u = o α, comme coverge, par comparaiso, α u coverge absolumet.

7 Séries umériques Séries Numériques Réelles Alterées 5.. Séries alterées Défiitio : La série u est alterée ( ) u est ue série de sige costat. O parle aussi de série alterée à partir d u certai rag. Il s agit doc de séries à valeur réelle. Exemple : ( ) est ue série alterée, mais pas cos Critère spécial des séries alterées u ue série alterée telle que la suite ( u ) est décroissate tedat vers 0 à l ifii. Alors, u est covergete de somme s et s [s,s + ] (ou [s +,s ]). De plus, avec r = s s, o a r u +, et r est du sige de u +. O dit que la somme de la série est ecadrée par 2 termes cosécutifs et que le reste de la série est, e valeur absolue, majorée par so premier terme. Ce théorème est illustré par la figure 2, ci-dessous. u 2+ r 2 s 2+ s s 2+2 s 2 Figure 2 Covergece d ue série répodat au critère spécial Démostratio : O va faire la démostratio quad u est du sige de ( ). s 2+2 s 2 = u u 2+ = u 2+2 u 2+ 0 d où (s 2 ) est décroissate. s 2+3 s 2+ = u u 2+2 = u u d où (s 2+ ) est croissate. D autre part, s 2+ s 2 s 0 = u 0. (s 2+ ) est croissate majorée, doc covergete. De même, s 2 s 2+ s. (s 2 ) est décroissate miorée, doc covergete. Comme s 2+ s 2 = u 2+ ted vers 0, ces deux suites sot adjacetes et coverget vers la même limite s. D où, par mootoie s 2+ s s 2 et s 2+ s s 2+2. C est à dire : r u + que soit pair ou impair. ( ) Exemple : des séries alterés. est ue série alterée clairemet covergete par applicatio du critère spécial

8 8-8 Séries umériques Il faut bie vérifier qu o applique scrupuleusemet le critère spécial. Exemple : Le critère spécial des séries alterées e s applique pas à des équivalets. O écrit parfois u = v + w avec v alterée répodat au critère spécial des séries alterées et w absolumet covergete. + = ( ) ( ) est ue série alterée telle que : ( ) ( ) qui coverge par applicatio simple du critère spécial des séries alterées. + ( ) Cepedat, ( ) diverge. = E effet, ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ( )) + ( ) + o = ( ) }{{} t.g. série covergete ( ) + + avec ( ) + o } {{ } + = t.g. série divergete } {{ } ( ) terme gééral d ue série divergete O a bie motré sur u exemple que le critère d équivalece e s applique pas aux séries alterées Calcul Exact de Sommes de Séries Pour l istat, o e coaît que la somme exacte des séries géométriques. 6.. Sommatio e domios O travaillera exclusivemet sur u exemple. Soit la série : + ( + ). = O motre facilemet la covergece car ( + ) + qui est le terme gééral d ue série cover- 2 gete par le critère de Riema. Pour le calcul de la somme, o reviet e fait à la défiitio e calculat effectivemet la somme partielle. O a : ( + ) = + d où : s = k= k (k + ) = ( k= k ) = quad +. k + + E effet, o peut procéder e domios : u = 2 u 2 = 2 3 u 3 = 3 4 = u = + Et e sommat, les termes se simplifiet e domios, et o obtiet : s = +.

9 Séries umériques 8-9 O aurait aussi pu réidexer la somme, o repred le même calcul : s = ( k ) = k + k k + = k + k = +. k= k= k= 6.2. Utilisatio de séries etières ou de séries de Fourier k= k=2 O se reportera à ces chapitres que ous allos bietôt étudier pour calculer des sommes exactes de séries umériques. 7. Calcul Approché de Sommes de Séries Il est quad même rare de savoir calculer facilemet la somme exacte d ue série umérique. Ce qui fait l importace du calcul approché de ces sommes. 7.. Pricipe gééral O ous doe ue série covergete s = + u et u réel strictemet positif ε. O cherche u rag tel que le reste d ordre, r vérifie r ε. Esuite, o predra s comme valeur approchée à ε près de s. O va étudier les faços usuelles de chercher selo la série. Sauf das le premier cas, e gééral, l éocé guide vers la méthode à utiliser... = Série alterée répodat au critère spécial Coditio : La covergece de la série peut se motrer e utilisat le critère spécial des séries alterées. C est le seul cas que vous devez savoir traiter sas idicatio. C est le cas le plus simple puisqu o a u théorème. Comme o sait que si u vérifie les coditios du critère spécial, r u +, o cherche simplemet tel que u + ε et o calcule s. E plus, le théorème ous doe le sige de l erreur qui est celui de u +. Exemple : s = + ( ) à 0 2 près. Il ous suffit = + 0 2, c est à dire ( ) est ue valeur approchée 0 2 près de + ( ) = =. Il suffit de calculer cette somme Autres cas Ces autres cas sot doés sur u exemple pour illustrer ce qu u problème peut vous faire faire... Il y a pas, au programme, de théorème sur ce sujet. a/ Série comparable à ue série géométrique positive Coditio : La covergece absolue de la série peut se motrer e utilisat le critère de d Alembert. C est souvet la méthode la plus rapide quad elle est applicable. Solutio : u lim + = l <, d où, à partir de N, u + λ <, et doc, u u

10 8-0 Séries umériques pour N, r + λ N+ u k u + k=+ λ λ u N. Ceci permet le bo rag e majorat cette quatité par ε. Ce rag sera bie sûr au mois égal à N. Exemple : O cherche + =0 2 + à 0 3 prés. La covergece de cette série positive est facilemet obteue (par exemple) par équivalece avec ue série géométrique. O a 0 u k qui est le terme gééral d ue série covergete, 2k et doc : 0 + u k + k=+ k=+ 2 k = 2 + = 2. 2 Il suffit doc de chercher tel que 2 0 3, c est à dire ou efi 3l0 l2 9,97 Doc = 0 coviet, 0 =0 2 + est ue valeur approchée à 0 3 prés de + = Il suffit doc de calculer cette somme. b/ Série comparable à ue itégrale de Riema Coditio : La covergece absolue se motre e utilisat le critère de Riema. Solutio : O a pour N, u K avec α >, et doc, α pour N, r + u k K + k=+ k=+ k α. + Comme ( + ) α dt + t α, o obtiet : r dt K t α = K (α ) α. Ceci permet le bo rag e majorat cette quatité par ε. Ce rag sera bie sûr au mois égal à N. Exemple : O cherche + =0 2 + à 0 3 prés. La covergece de cette série positive est facilemet obteue (par exemple) par comparaiso avec ue itégrale gééralisée. E effet, f défiie par f (t) = t 2 est positive, décroissate et d itégrale + covergete à l ifii. k + O a 0 u k t 2 dt, doc, 0 u k + k + + k=+ k=+ k t 2 + dt = + t 2 dt + t 2 dt =. k Il suffit doc de chercher tel que 0 2, c est à dire 00. Doc = 00 coviet, 00 =0 2 + est ue valeur approchée à 0 2 prés de + Il suffit doc de calculer cette somme. = Colbert, lycée umérique 8. Complémets Les logiciels coaisset la somme de ombreuses séries classiques... Mais aucu logiciel e permet de doer la somme exacte de toutes les séries! E mode approché, pour ue série covergete, o aura presque toujours u résultat correct.

11 Séries umériques 8 - a/ Maple C est le mot-clef «sum» qui permet de calculer ue somme de série. > sum(/( ** 2),=..ifiity) ; calcule + π2 qui vaut b/ HP 40G-40GS O trouve le symbole sur la touche +, L9C5. Elle trouve bie π2 6 c/ HP 50G à otre série test de base. = O trouve le symbole sur la touche SIN, L5C3. Elle trouve aussi π d/ TI 89 La commade sum est das le meu CALC, LC3 à partir de l écra HOME, ou par le meu MATH, L8C3, sous-meu Calculus. Deviez ce qu elle répod à otre série test? e/ TI N-ispire CAS C est das la bibliothèque de modèles qu o trouve le symbole sum. f/ ClassPad Les mathématicies du chapitre Beroulli Jacob Mathématicie suisse de la grade famille des Beroulli. O lui doit des travaux sur les courbes, les coordoées polaires, le calcul itégral, les séries umériques... C est lui qui a motré la covergece de 2... Euler Léoard L apport de ce mathématicie suisse est plus que cosidérable. La défiitio précise de foctio, l expoetielle complexe, les équatios différetielles liéaires, les courbes paramétrées, les quadriques et, etre autres, de ombreux résultats sur les séries umériques...