( ) 2 2. Relation métriques dans un triangle rectangle. Relations métriques dans un triangle rectangle. 1

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1 Relations métriques dans un triangle rectangle. 1 Relation métriques dans un triangle rectangle 1 ) Théorème de Pythagore : Si ABC est rectangle en A, alors BC = AB + AC. Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cathètes. ) Réciproque du théorème de Pythagore : Si BC = AB + AC, alors ABC est rectangle en A. 3 ) Théorème de la hauteur : Si ABC est rectangle en A, alors 4 ) Théorème d'euclide : Si ABC est rectangle en A, alors 5 ) Théorème : Si ABC est rectangle en A, alors AB AC = BC AH. AH = BH HC. AB = BH BC ; CA = CH CB. Démonstration du théorème de Pythagore Hypothèse: le triangle ABC est rectangle en A. Thèse: a = b +c Aire du grand carré: ( b+ c) Aire des 4 triangles + aire du petit carré : bc 4 + a ( ) b c a bc + = 4 + b + bc+ c = bc+ a + = b c a = + a b c

2 Relations métriques dans un triangle rectangle. Démonstration de la réciproque du théorème de Pythagore Hypothèse: a = b + c Thèse: le triangle ABC est rectangle en A. Posons : a= BC ; b= AC ; c= AB BC = BA+ AC BC = BA+ AC ( ) BC = BA + BA AC+ AC a c b 0= BA AC BA AC = 0 BA AC ABC est rectangle en A Démonstration du théorème de la hauteur Posons : BH = c'; CH = b' et AH = h Hypothèse: le triangle ABC est rectangle en A. Thèse: h = b ' c' Théorème de Pythagore dans le triangle ABH : c = c' + h c' = c h () 1 Théorème de Pythagore dans le triangle AHC : b = b ' + h b' = b h ( ) Théorème de Pythagore dans le triangle ABC : a = b + c a b c = 0 ( 3) a = b' + c' ( ' ') = + a b c a = b' + b' c' + c' a = b h + b' c' + c h car b' b h ( ) + = a b c h b' c h = 0 b' c' = et c' = c h () 1 ' car a b c = 0 ( 3)

3 Relations métriques dans un triangle rectangle. 3 Démonstration du théorème d Euclide Posons : BH = c'; CH = b' et AH = h Hypothèse: le triangle ABC est rectangle en A. Thèse: c = a c'; b = ab' Théorème de Pythagore dans le triangle ABH : c = c' + h () 1 Théorème de Pythagore dans le triangle AHC : b = b ' + h h = b b' ( ) Théorème de Pythagore dans le triangle ABC : a = b + c b = a c ( 3) (1) : c = c' + h c = c' + b b' car h = b b' ( ) c = c' b' + b ( ' ') ( ' ') c = c + b c b + b a c = a( c' b' ) + a c car b = a c ( 3) c a c a b ' c' = ' + c = a c' c = ac' On montre de même que b = ab' Interprétation géométrique: L aire du carré de côté c= AB est égal à l aire du rectangle de longueur a = BC et de largeur c ' = BH.

4 Relations métriques dans un triangle rectangle. 4 Autre démonstration Les triangles ABH et ABC sont semblables, donc : BH AB c ' c AB BC c a = = c = ac' Démonstration du 5 ) théorème: Hypothèse: le triangle ABC est rectangle en A. Thèse: ah = bc ( ) aire ABC ( ) aire ABC AB AC bc = = ah = bc BC AH ah = =

5 Relations métriques dans un triangle rectangle. 5 Exemple A 6 cm 4.8 cm 8 cm B H 3.6 cm 6.4 cm 10 cm C Théorème de Pythagore On connaît BC = AB + AC BC = BC = BC = 100 BC = 100 AB et AC On connaît AB et BC On connaît AC et BC BC = AB + AC 10 = 6 + AC AC = 10 6 AC = AC = 64 BC = AB + AC 10 = AB + 8 AB = 10 8 AB = AB = 36 BC = 10 cm AC = 64 AB = 36 Théorème de la hauteur AC = 8 cm AB = 6 cm On connaît BH et HC On connaît AH et BH On connaît BH et BC AH = BH HC AH = BH HC AH = BH HC AH = 3, 6 6, 4 = AH = BH ( BC BH ) 4,8 3, 6 HC AH = 3,04 3,04 3,6 HC AH = 3,04 HC = = AH = 3, 6 ( 10 3, 6) 3,04 3, 6 AH = 4,8 cm HC = 6, 4 cm Théorème d'euclide AH = 3, 6 6, 4 AH = 3,04 AH = 3,04 AH = 4,8 cm On connaît AB et BH On connaît AB et BC On connaît BH et BC AB = BH BC AB = BH BC AB = BH BC 6 3,6 = BC 36 BC = 3, 6 6 = BH 10 AB = 3, BH = AB = BC = 10 cm BH = 3, 6 cm AB = 6 cm

6 Relations métriques dans un triangle rectangle. 6 Résultats importants Si c est la mesure du côté d un carré et d la mesure de la diagonale, alors : d = c Si c est la mesure du côté d un triangle équilatéral et h la mesure d une hauteur, alors : h= 3 c Démonstration Carré ABCD Triangle équilatéral PQR Pythagore dans le triangle rectangle ABC : AC = AB + BC AC = AB + AB AC = AB AC = AB En posant AB = BC = c et AC = d, on a bien : d = c Pythagore dans le triangle rectangle PHR : PR = PH + HR PR = PR + HR PR = PR + HR PR = HR PR = HR PH = PR En posant PQ = QR = RP = c et HR = h, on a bien : h= 3 c

7 Relations métriques dans un triangle rectangle. 7 Exercices pour s'entraîner 1) On considère la figure exacte ci-dessous. ABCD est un parallélogramme, CD = 78mm ; DH = 48mm et BD= 80mm. Calculer BH, AH, AD et AC. Donner les valeurs exacte et une valeur arrondie à 1 près. ) On considère la figure exacte ci-dessous. Calculer la longueur L sachant que le diamètre d un cercle est de 30 mm. On demande la valeur exacte.

8 Relations métriques dans un triangle rectangle. 8 3) On considère la figure exacte ci-dessous. a) Calculer l aire du triangle, puis celle des deux lunules d Hypocrate. Que constate-t-on? b) Emettre une conjecture (Vermutung) et démontrer. 4) On considère la figure exacte ci-dessous. ABCD est un carré et MNPQ est un rectangle, AB = 90mm et MQ= 3mm a) Calculer l aire du rectangle MNPQ. b) Reprendre l exercice précédent si AB = a et MN = b. c) Quelle relation doivent vérifier les réels positifs a et b pour que la figure soit constructible?

9 Relations métriques dans un triangle rectangle. 9 5) La longueur d un rectangle est double de sa largeur et sa diagonale mesure 10 cm. a) Quelle est l aire de ce rectangle, en centimètres carrés? d > 0. b) Même exercice si la diagonale mesure d cm ( ) 6) Soit dans le plan: un cercle Γ de centre O et de rayon 45 ; un point A dont la distance à O vaut 75 ; les points de contact B et C des deux tangentes à Γ issues de A. a) Déterminr la valeur exacte de BC? b) Même exercice si le rayon du cercle vaut r et OA = d ( d > r) 7) Six pièces de monnaie circulaires, identiques, ont été rangées sur le fond circulaire d une boîte de 1 cm de rayon. Chacune d elles est en contact avec le bord de la boîte ainsi qu avec deux autres pièces. a) Quel est, en centimètres, le rayon des pièces? r r > 0 cm. b) Même exercice si le rayon de la boîte vaut ( ) 8) Dans la figure ci-dessous, PRTS et PUVQ sont deux carrés isométriques ; dans le triangle PQR, la hauteur relative au sommet P est notée a. Si en outre QR = h, que vaut l aire du polygone QRTSUV?

10 Relations métriques dans un triangle rectangle. 10 1) Pythagore dans le triangle HBD : AH = AB BH = = 14mm Réponses BD = DH + BH 80 = 48 + BH BH = 64mm Pythagore dans le triangle AHD : AD = AH + DH AD = AD = 50mm Soit E le projeté orthogonal de A sur DC, alors d après Pythagore dans le triangle ACE : ( ) AC = AE + CE AC = AC = = 103, ,77 mm ) Idée : L = hauteur du triangle équilatéral ABC + x rayon d un cercle. Mesure d un côté du triangle équilatéral ABC : c= 4r = D= 30 = 60mm Hauteur du triangle équilatéral ABC : h= c= 60 = 30 3 mm Par conséquent : L= = 30( 1+ 3) mm [ 81,96mm ]

11 Relations métriques dans un triangle rectangle. 11 3) a) Le triangle ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ BC ], donc ABC est rectangle en A. Pythagore dans le triangle ABC : BC = AB + AC 85 = 77 + AC AC = 36mm AB AC ( ) = = = mm aire ABC aire du demi-disque de diamètre [ BC ] : aire du demi-disque de diamètre [ AB ]: aire du demi-disque de diamètre [ AC ]: 85 ( ) π 75 = π 8 77 ( ) π 595 = π 8 36 ( ) π = 16π aire des deux lunules d Hypocrate : π + 16π π = 1386mm 8 8 b) Conjectue : l aire des deux lunules d Hyporcrate est égale à l aire du triangle ABC. Posons : BC = a ; AB= c et AC = b Aire des deux lunules d Hyporcrate : c b ( ) ( ) a ( ) ab π π π ab π ab + + = ( b + c a ) = 8 0 car ABC est rectangle en A ( ) aire ABC

12 Relations métriques dans un triangle rectangle. 1 4) a) Le triangle AMQ est rectangle en A et isocèle de sommet principal A, donc : AM 3 3 = AQ = = = 16 mm Le triangle MBN est rectangle en B et isocèle de sommet principal B, donc: BM = BQ= AB AM = mm et MN = BM = 90 3mm ( ) = = 3 ( 90 3) = aire MNPQ QM MN mm b) MN AM = = b ; BM = AB AM = a b ; MN = BM = a b ( ) = = ( ) = aire MNPQ QM MN b a b ab b c) La figure est constructible si et seulement si a> 0 b< a et ( und )

13 Relations métriques dans un triangle rectangle. 13 5) a) Posons : BC = x, alors AB = BC = x Pythagore dans le triangle ABC : ( ) ( ) = = ( 5) 5= 40 aire ABC AB BC cm AC = AB + BC 10 = x + x x = 0 = 5 cm 5d AC = AB + BC d = x + x x = cm 5 5d 5d aire( ABC) AB BC = = = d cm b) Pythagore dans le triangle ABC : ( ) 6) a) Théorème d Euclide dans le triangle OAB : OB = OH OA 45 = OH 75 OH = 7 mm Théorème de Pythagore dans le triangle OHB : OB = OH + HB 45 = 7 + HB HB = 36 mm Par conséquent : BC = BH = 36 = 7mm b) Remarque : Le cercle de diamètre [ OA ] coupe le cercle Γ en B et en C. Les droites AB et AC sont les tangentes à Γ issues de A. r d r BC = d

14 Relations métriques dans un triangle rectangle. 14 7) a) On rappelle : 1 ) Si c est la mesure d un côté d un triangle équilatéral et h la mesure d une de ses hauteurs, 3 3 alors : h= c c= h. 3 ) Les médianes, les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices d un triangle équilatéral coïncident. 3 ) Si ABC est un triangle quelconque et G son centre de gravité, A' = mil BC ; B ' = mil AC ; C ' = mil AB et G = AA' BB ' CC ' alors : [ ] [ ] [ ] AG = AA'; BG BB 'et CG CC ' 3 = 3 = 3 OC = OD = OI = 1mm et les triangles OCD et OAB sont équilatéraux OK = OA = OI = 1 = 4 3 cm 3 3 OKG est la moitié d un triangle équilatéral de côté OG : 3 3 OG = OK = 4 3 = 8 cm 3 3 OG = OK + KG 8 = KG KG = 4cm Pythagore dans le triangle OKG : ( ) Le rayon d une pièce est 4cm. Autrement : OG = OI = 1 = 8 cm ; sin KOG = sin 30 = KG KG = 8 sin 30 = 4 cm 3 3 OG b) Le rayon d une pièce est OC r KG = = cm. 3 3

15 Relations métriques dans un triangle rectangle. 15 8) PH = a ; QH = HR = h Pythagore dans le triangle PQH : Si QPH = θ, alors JPU θ 90 θ PQ = QH + PH PQ = h + a PQ = a + h = = et ( 90 ) PUJ = θ = θ HQP = θ = PUJ QPH = PUJ = θ QP = PU PQH et PUJ sont isométriques HQP JPU = = 90 θ Les triangles HPQ et PUJ sont isométriques (cas d isométrie angle-côté-angle) ah aire( UVQRTS ) = ( a + h ) + 4 = ( a + h + ah) ( ) = aire( RTSP) QHP) = HRP) = aire( PUJ ) = aire( PSJ ) aire VQPU