Exemple : Translation du centre de masse et rotation autour du centre de masse. Évaluer expérimentalement la position du centre de masse

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1 Chaptre 4. Le centre de asse Centre de asse Le centre de asse d un corps est un pont de référence agnare stué à la poston oenne de la asse du corps. Voc quelques caractérstques du centre de asse : Cette poston n est pas toujours au centre du corps. Le centre de asse d un corps hoogène (asse voluque constante) qu possède un haut nveau de sétre est stué au centre géoétrque du corps (e : sphère, cube, tge) Le centre de asse n est pas nécessareent stué sur le corps luêe (e : Booerang). Lorsqu un corps effectue un ouveent lbre (aucun ae de rotaton posé sur le corps), alors le centre de asse du corps effectue un ouveent de translaton tands que les autres ponts du corps effectue une rotaton autour du centre de asse. h h/ * Eeple : Translaton du centre de asse et rotaton autour du centre de asse g Un trangle hoogène lancé dans la gravté. Un plongeur effectue un saut avec de la rotaton. Évaluer epérentaleent la poston du centre de asse Pour évaluer la poston du centre de asse epérentaleent d un corps, l sufft de pousser sur le corps à tros endrots dfférents et dans tros drectons dfférentes sans que celu-c n effectue de rotaton. L ntersecton des tros drotes forées à l ade des ponts d applcaton des forces et l orentaton des forces localse le centre de asse. Eeple de corps aant un ae de rotaton posé : porte et charnère. Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page ote de cours rédgée par : Son Vézna

2 Densté de asse La densté de asse est une esure de asse oenne par unté de longueur L, de surface A ou de volue V. À partr d une géoétre partculère, on peut évaluer la asse ale d un objet grâce au équatons suvantes : Densté de asse Densté lnéare de asse : [ ] kg / Densté surfacque de asse : [ ] kg / Densté voluque de asse : [ ] kg / Équaton µ µ L σ σ A ρ ρv où : Masse du corps hoogène (kg) L : Longueur du corps () A : Surface (are) du corps ( ) V : Volue du corps ( ) La poston oenne Pour évaluer la poston du centre de asse, l faut évaluer la oenne des postons des asses en utlsant la asse coe facteur de pondératon. Plus l a de asse à un endrot, plus le centre de asse sera près de cet endrot. Eeple : M 0 kg est stuée à la poston 5 M 5 kg est stuée à la poston Le centre de asse de assocé à la asse ale M M + M sera plus près de 5, car la asse de M est plus portante que la asse de M. Afn de déterner coent on peut évaluer une poston pondérée par une asse, nous allons fare une analoge avec le calcul d une oenne générale dans un cours de phsque. Stuaton : La oenne pondérée de deu eaens. Dans son cours de phsque, Albert a obtenu la note de 80% au preer eaen, qu vaut pour 5 ponts ; l a obtenu la note de 88% au deuèe eaen, qu vaut 5 ponts. On désre déterner sa oenne pour le cours. ous avons : P 5 et 80% pus P 5 et 88% Ce qu nous donne la oenne suvante : P P + + P P ( 5)( 80% ) + ( 5)( 88% ) ( 5) + ( 5) 85% Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page ote de cours rédgée par : Son Vézna

3 La poston du centre de asse Le centre de asse d un corps est une poston oenne pondérée par la asse du corps et se calcul de la façon suvante : Centre de asse en Centre de asse en Masse ale où : Poston du centre de asse selon l ae () : Poston du centre de asse selon l ae () : La asse de l objet (kg) : La poston selon l ae de l objet () : La poston selon l ae de l objet () : Le nobre d objet à consdérer dans le calcul. (.. ) : La asse ale de tous les objets (kg) Rearque : et peuvent être égaleent la poston du centre de asse d un corps coplee. Pour évaluer le centre de asse d un enseble d objets, l est utle de calculer le centre de asse de chaque objet ndvduelleent et de calculer à nouveau le centre de asse du sstèe. Stuaton : Le centre de asse d un sstèe de partcules. Une partcule de 5 kg est stuée à l orgne d un sstèe d ae de coordonnée. Une partcule de 4 kg est stuée à la poston (; ) ( ; ) et une partcule de kg est stuée à la poston (; ) ( ; 0). On désre déterner les coordonnées du centre de asse du sstèe coposé des partcules. () 5 kg 4 kg kg () La asse du sstèe : ( 5) + ( 4) + ( ) kg Le selon : ( 5)( 0) + ( 4)( ) + ( )( ) ( ) 0,8 Le selon : ( 5)( 0) + ( 4)( ) + ( )( 0) ( ) 0,667 Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page ote de cours rédgée par : Son Vézna

4 Stuaton 4 : Le centre de asse d une tge plée en fore de trangle. Un fl de étal hoogène et de secton unfore est plé afn de forer un trangle représenté c-contre. On désre déterner les coordonnées du centre de asse du trangle. () () Schéa : () () () C B A () C B A () () des tges Masses ponctuelles Poston fnale Pour trouver le centre de asse du trangle, nous pouvons découper ce trangle en tros tges. ous allons évaluer le centre de asse de chaque tge et les consdérer coe des asses ponctuelles. Pusque les tges sont hoogènes, le centre de asse de chaque tge sera au centre géoétrque de la tge : Tge A : L A,5 A µ L µ 0 A A A Tge B : L + 8,8 B B µ L, 8µ B B B Tge C : L + 5,4 0,5 C C µ L, 4µ C C ous pouvons évaluer le : ( µ ) + (,8µ ) (, 4µ ) + A,B,C C 8,07µ ( µ )(,5 ) + (,8µ )( ) + (,4µ )( 0,5),µ ( 8,07µ ) 8,07µ A,B,C ( µ )( 0) + (,8µ )( ) + (,4µ )( ) 5,07µ ( 8,07µ ) 8,07µ A,B,C Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page 4 ote de cours rédgée par : Son Vézna,4 0,68

5 Stuaton A : La plaque d alunu trouée. Une plaque carrée en alunu (asse voluque est percée d un clndre de raon ρ 700 kg/ ) R 0,6 à une dstance d égale à du centre de la plaque à 45 o par rapport à l horzontale (vor schéa c-contre). Évaluez le centre de asse ( et ) de la plaque par rapport au con nféreur gauche de la plaque s celle-c possède une largueur L égale à 4 et une épasseur e égale à 0,. Pour résoudre ce problèe, on peut consdérer la asse d un trou coe étant une asse négatve. Plaque sans trou : LLe L e plaque sans trou (asse postve) ( 700)( 4) ( 0,) ρ ρ 40 kg ( 4) / plaque sans trou L / plaque sans trou plaque sans trou ( 4) / L / plaque sans trou plaque sans trou Le trou de la plaque : (asse négatve) ( 700) π ( 0,6) ( 0,) trou ρπr e kg ( 45 ) ( 4) / + ( ) cos trou 05,4 L / + d cos 45,7 trou ( 45 ) ( 4) / + ( ) sn trou L / + d sn 45,7 trou trou La plaque avec trou : plaque sans trou trou ( 40) + ( 05,4) + 404,6 kg ( 40)( ) + ( 05,4)(,7) ( 404,6),946 ( 40)( ) + ( 05,4)(,7) ( 404,6),946 Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page 5 ote de cours rédgée par : Son Vézna

6 La stablté et polgone de sustentaton Pour être en équlbre statque, l faut satsfare F v 0 et τ z 0. Lorsqu un corps repose sur une surface, ces deu condtons sont satsfates lorsque le centre de asse du corps est stué au-dessus du polgone de sustentaton. Le polgone de sustentaton se construt en relant tous les ponts du corps en contact avec la surface par un segent de drote. Plus le polgone de sustentaton est grand, plus l est facle de antenr l équlbre. Élsabeth est en équlbre sur un pett polgone de sustentaton. Élsabeth augente son polgone de sustentaton à l ade de son trotteur. Voc un eeple de stablté et d nstablté : Stable (PS eagéré) Instable (PS eagéré) PS * g v n v Pour deeurer en équlbre, la gnaste dot postonner son centre de asse au-dessus de sa an afn que les oents de force assocés à g et n pussent s annuler. PS nv * g v Pour retrouver l équlbre, le coureur devra déposer sa jabe drote pour agrandr son polgone de sustentaton afn que son centre de asse sot au-dessus du polgone. Le centre de asse par ntégraton À partr de l ntégrale, nous pouvons évaluer la poston du centre de asse d un corps à partr des epressons suvantes : d et d et Stuaton B : Un bâton de bos. En constructon nceofbaseball/pool/rando/ Référence : Marc Ségun, Phsque XXI Volue A Page 6 ote de cours rédgée par : Son Vézna