2 Mathématiques financières

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1 2 Mathématiques fiacières 2.1 Cours et TD Les créaciers prêtet des capitaux cotre ue rémuératio : les itérêts, ce que l o rembourse e plus du capital empruté. Nous percevos égalemet des itérêts lorsque ous plaços otre arget sur u produit bacaire qui rapporte u certai taux d itérêts. Par covetio, o compte 365 jours das l aée civile, mais 360 jours das l aée commerciale et comptable, partagés e 12 mois de 30 jours. Par exemple, u placemet effectué du 1 er février au 1 er mai est u placemet de 90 jours, c est à dire aussi u quart de l aée alors qu e réalité ce placemet a duré 89 jours, soit 89/365 e de l aée. O voit par cet exemple que la règle suivie e fiace simplifie grademet les échages et les calculs Les itérêts simples Cette rémuératio est dite à itérêts simples lorsque tout au log du remboursemet d u prêt (ou du placemet sur u compte) ceux-ci sot calculés uiquemet sur la valeur du capital de départ empruté ou placé. Lorsqu ue durée s est écoulée depuis le début du remboursemet, le motat total des itérêts simples payés est proportioel à (o parle de prorata temporis). Les itérêts simples sot utilisés pour des prêts de courte durée ; aisi, ils sot réglés e ue fois e début ou e fi de période. Notos : C 0 le capital empruté ou placé iitialemet t le taux d itérêts auel la durée de remboursemet ou de placemet a. Calcul de l itérêt simple : i si est doé e aées : i = C 0 t si est doé e mois : i = C 0 t 12 si est doé e jours : i = C 0 t 360 Pour la suite, o doera des formules où s exprime e aées, à otre charge de covertir e aées ue durée exprimée e mois ou e jours. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 15 sur 69

2 b. Valeur acquise d u capital placé à itérêts simples : C si est doé e aées : C = C 0 + i = C 0 (1 + t) Valeur actuelle d u capital : C est la somme C 0 que l o doit placer aujourd hui pour obteir C das aées. O a immédiatemet : C 0 = C 1 +t. c. Taux proportioels E itérêts simples, u taux auel t correspod par exemple à deux taux semestriels t/2. E effet, au bout de six mois, = 1/2 aée ; aisi, u capital placé C 0 aura rapporté e itérêts la somme i = C 0 t 1/2, soit la moitié des itérêts qu il rapporterait e u a. O peut déduire de ce pricipe que les itérêts accumulés ou payés sot proportioels à la durée et que le taux correspodat l est aussi, bie etedu Les itérêts composés U capital est dit placé ou rémuéré à itérêts composés lorsque les itérêts s ajoutet périodiquemet au capital actuel pour costituer le capital de la période suivate et géérer à leur tour des itérêts. O parle alors de capitalisatio. Ils sot utilisés das le cas d empruts ou de placemets à moye et log terme. a. Valeur acquise d u capital placé à itérêts composés : C Notos : C 0 le capital empruté ou placé iitialemet t le taux d itérêts auel la durée de remboursemet ou de placemet, ici e aées Expliquos le processus e détail, période après période, sur l exemple d u placemet : # aée Capital de début Itérêts de (= période) d aée l aée Capital de fi d aée 1 C 0 C 0 t C 0 + C 0 t = C 0 (1 + t) 2 C 0 (1 + t) C 0 (1 + t) t C 0 (1 + t) + C 0 (1 + t) t = C 0 (1 + t) 2 3 C 0 (1 + t) 2 C 0 (1 + t) 2 t C 0 (1 + t) 2 + C 0 (1 + t) 2 t = C 0 (1 + t) 3 C 0 (1 + t) -1 C 0 (1 + t) -1 t C 0 (1 + t) -1 + C 0 (1 + t) -1 t = C 0 (1 + t) ( t ) C = C IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 16 sur 69

3 Valeur actuelle d u capital C est la somme C 0 que l o doit placer aujourd hui pour obteir C das aées. 0 1 ( ) C = C + t Le ombre 1 ( 1 +t ) est le taux d actualisatio. b. Cas où la durée est pas u ombre d aées etier : E itérêts composés, les taux et les durées e sot pas proportioels! Par exemple, u taux auel t e correspod pas par exemple à deux taux semestriels t/2. E effet, si, à u capital iitial C 0, j appliquais à deux reprises tous les six mois u taux t/2, alors au bout d u a le capital vaudrait C 0 (1 + t/2) 2, qui e vaut pas C 0 (1 + t)! U exemple umérique pour s e covaicre : Augmetos 1000 deux fois de suite de 10% : ,10 1,10 = 1210 Augmetos 1000 ue fois de 20% : ,20 = 1200 Sur deux périodes, l écart est pas très importat, mais il est pas ul ; plus le ombre de périodes augmete, plus l écart est grad par rapport aux valeurs. La solutio : les itérêts accumulés ou payés sur ue durée se calculet sur la base d u coefficiet multiplicateur égal à (1 + t) où, à exprimer e aées, est pas teu d être u ombre etier. Repreos otre exemple : U taux auel de 20% correspod à u coefficiet multiplicateur de 1,20. Sur six mois, = 6/12 = 1/2 = 0,5, le coefficiet correspodat est 1,2 0,5 1,09545, soit u taux d itérêts semestriel d eviro 9,545 %. Sur u mois, = 1/12, le coefficiet correspodat est 1,2 1/12 1,01531, soit u taux d itérêts mesuel d eviro 1,531 %. c. Taux équivalets U capital peut être placé pedat aées au taux d itérêts t, ou pedat p aées au taux d itérêts v. Les deux taux d itérêts sot dits équivalets lorsqu à l issue des périodes les capitaux acquis sot les mêmes. Exemple : plaços 1000 à 5% sur 8 as. Quel taux serait équivalet sur 6 as? Valeur acquise : ,05 8 = 1477,46. (1+v) 6 = 1,47746, soit v = 1, /6 1 = 0,06722 = 6,722% IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 17 sur 69

4 d. Capitaux équivalets U capital est, u jour doé, équivalet à plusieurs autres si sa valeur actuelle est égale à la somme des valeurs actuelles des autres capitaux. Soit trois capitaux iitiaux placés à 8% : 1000 sur 2 as, 500 sur 4 as, 1500 sur 5 as. Quelle est l échéace d u capital équivalet de 3200 iitiaux placés au même taux e itérêts composés? ,08² , ,08 5 = 4050, ,08 = 4050,64 doc 1,08 = 1,2658 doc = l(1,2658)/l1,08 = 3,0629 as = 36,75 mois Les empruts idivis Ce sot des empruts cotractés auprès d u prêteur uique. Deux modalités existet : - le remboursemet par amortissemets costats - le remboursemet par auités costates L amortissemet est la valeur du capital remboursé chaque aée. L auité est la somme que l o débourse auellemet pour remboursemet de l emprut. ANNUITE = AMORTISSEMENT + INTERETS Les itérêts sot calculés pour chaque période sur la base du capital restat dû. a. Remboursemet par amortissemets costats Exemple : l etreprise Alpha emprute le 01/01/N sur 5 as, remboursables par amortissemet costat, au taux de 5% l a. O calcule d abord l amortissemet auel, puis les capitaux restats dûs, sur la base desquels le taux d itérêts est appliqué. Aées Capital restat Amortissemet Itérêts Auités de Capital restat dû (début de remboursemet dû (fi de période) période) N N N N N IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 18 sur 69

5 b. Remboursemet par auités costates Notos «a» l auité que l empruteur devra rembourser chaque aée. A la fi du remboursemet, le prêteur devra avoir récupéré ue valeur C C ( t ) k Or, la valeur fiale acquise d ue auité a versée k aées avat la fi est a( 1 + t ). Doc, la somme des valeurs fiales des auités devat coïcider avec C : 1 k= 0 ( 1 ) C = a + t k = , qui se trouve être la somme des premiers termes d ue suite géométrique de premier terme a et de raiso ( 1 t) ( t ) ( t ) C = a = a 1 + t 1 t +. La formule cosacrée, pour ces suites, doe :, et comme C C ( t ) a = C L auité à rembourser est doc : 0 1 ( 1 + ) ( ) t = 0 +, o a : C0 = a. t t t. Exemple : l etreprise Alpha emprute le 01/01/N sur 5 as, remboursables par auités costates, au taux de 5% l a. O calcule d abord l auité, puis le premier itérêt (égal au taux appliqué au capital de départ) qui ous permet d e déduire le premier amortissemet, d où le capital restat dû e fi de première aée, et aisi de suite. Aées Capital Amortissemet Itérêts Auités de Capital restat dû (début de période) remboursemet restat dû (fi de période) N , , , , ,52 N , , , , ,17 N , , , , ,69 N , , , , ,60 N , , , ,48 0, , , ,40 a C Motat total des itérêts («coût du prêt») : 0 O peut remarquer que les amortissemets progresset géométriquemet, avec 1,05 pour raiso : l amortissemet de l aée N + k est celui de l aée N multiplié par 1,05 k. Il e découle qu e cours de remboursemet, l amortissemet total remboursé au bout de k aées, A k, s exprime comme suit : ( t ) Ak = A1. t k IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 19 sur 69

6 2.2 TD A l occasio de l achat d u véhicule, u de vos cliets evisage de vous empruter ue somme de 8000, à rembourser par mesualités costates. Vous pouvez lui proposer de vous rembourser e 3 as au taux auel et (TEG + assurace) de 6,55 %. a. Calculer le motat de la mesualité correspodate, e déduire le coût total du prêt. b. Dresser et compléter les deux premières liges du tableau d amortissemet du prêt. c. Quel est le taux équivalet pour ue durée de remboursemet de 4 as? Quelle serait la ouvelle mesualité? IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 20 sur 69

7 d. Votre cliet les mesualités (questio a.) trop élevées et souhaite les voir abaissées e-dessous de 200. Vous lui proposez u remboursemet sur 4 as, mais e élevat de deux poits le taux d itérêts auel. Est-ce que cela répod à ses attetes? 2.3 Exercices (les itérêts sot composés, sauf metio cotraire) O place u capital C 0 = à itérêts composés au taux auel t = 5%. Exprimer C +1 e foctio de C et de t, calculer le capital possédé au bout de 10 as et dire au bout de combie de temps o obtiedra le double du capital de départ Ue persoe souhaite obteir ue somme de au 1 er octobre Quelle somme doitelle placer, au taux auel de 5%, le 1 er javier 2014? U capital de 5000 est déposé à itérêts composés pedat 7 as. Détermier le taux d itérêt auel sachat que ce capital a produit 3569 d itérêts Vous placez 1000 le 1 er javier, au taux auel de 6%, mais vous désirez retirer votre arget au bout de 6 mois. Combie retirerez-vous? Ue persoe place du 15 mai N au 18 septembre N sur u compte rapportat 9,5% l a. Quelle est la valeur acquise à l issue du placemet? Quelle somme doit-o placer sur u compte rapportat à itérêts simples 7,5% l a pour obteir das oze mois? IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 21 sur 69

8 2.3.7 Le 1 er mars N, sot placés au taux auel de 6%. Quel serait le taux équivalet pour que la même somme placée le 1 er juillet N rapporte autat que la première au 31 décembre N? Ue société est débitrice de trois capitaux, au taux d itérêts auel de 7% : à échéace d u a, à échéace de 2 as et das 3 as. a. Elle souhaite remplacer ces dettes par u capital uique à échéace de 5 as. Quel doit être le motat de ce ouveau capital? b. Elle souhaite remplacer ces dettes par u capital de Détermier la date d échéace de ce derier Calculer le taux auel équivalet au taux mesuel de 1%. Calculer le taux mesuel équivalet au taux auel de 8% O propose à l acquéreur d u appareil valat 4000 de régler 1600 au comptat, puis 24 mesualités égales calculées sur la base du capital restat dû majoré de 20%. Quel est le taux d itérêts simples auquel est accordé ce crédit? Sur u compte rémuéré à 3% d itérêts auels, o dépose 2000 le 01/01/2014, puis 500 tous les six mois. Le 01/01/2016, o retire De quelle somme dispose-t-o fi 2018? Ue société emprute 0 le 1 er mai 2013 pour fiacer u ivestissemet, au taux auel et de 8%. Préseter le tableau d amortissemet de l emprut, e amortissemets auels costats, sur 4 as Ue société emprute le 1 er mai 2013 pour fiacer u ivestissemet, au taux auel et de 8%. a. Préseter le tableau d amortissemet de l emprut, e auités costates, sur 5 as. b. Si le remboursemet s effectuait e mesualités costates sur 5 as (60 mois), à combie se moterait ue mesualité? Quel serait le capital restat dû au bout d u a? U groupemet d agriculteurs décide de la costructio d u silo. Pour cela, sot écessaires. Ce groupemet va e fiacer 20% mais doit empruter le reste, au taux de 7% sur 8 as, remboursable par auités costates. Calculer l auité de remboursemet et le coût de l emprut (motat total des itérêts). IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S1 CalcA CoursEx Rev2014 page 22 sur 69