La transformée en Z inverse

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1 La trasformée e Z iverse La questio posée... Exercice... Recherche d'origiaux par décompotio e élémets mples, cas cocrets... 4 Situatio o... 5 Situatio Exemple... ) Trasformatio de l égalité à l aide de la trasformée e Z...7 ) X () est isolé... 8 ) La décompotio e élémets mples ) Recherche de l origial... 5) Cocluo... Situatio Exemple... Exercices d'applicatio...

2 La questio posée Comme pour la Trasformatio de Laplace o se pose la questio suivate: X : X() est ue foctio de la variable complexe ; existe-il u gal causal discret x : x() tel que la foctio X soit sa Trasformée e Z? Si u tel gal x existe il sera appelé origial de X. Cet origial est uique. Utilisatio O sera ameé à trouver l origial d ue foctio X : X() lorsque l o voudra exprimer u gal causal discret qui vérifie ue équatio. Exemple O veut trouver le gal causal discret (ou tout mplemet la suite umérique défiie pour tout etier potif) s qui vérifie s( ) as( ) bs() u(). u() est ue suite doée. O oeuvrera comme pour la résolutio des équatios différetielles par la Trasformatio de Laplace : o trasformera l équatio à l aide de la Trasformée e Z, o isolera la Trasformée e Z du gal icou et o trouvera so origial qui sera la solutio. Pour trouver u origial o utilise le tableau de la Trasformée e Z qui se trouve das le Formulaire de Mathématiques dot o e se sépare jamais.

3 Exercice Exercice Trouver les origiaux des foctios suivates Z : Z : Z : Z : pour k etier potif. k b est u réel o ul. b k k Z : Z : k est Réposes Origial Suite de Dirac. d : d(). d() d() Suite de Dirac retarde de k. d : d() d() k d(k) Echelo uité discret causale. < e : e() < x : b e() b x : b r() b > Echelo uité retardé de k < k : e( k) k Echelo uité retardé de. < e : e( ) Début b ( b) u etier supérieur à. Z : ( ) Foctio Z : Z : Z : Z : Z : k b Z : pour k etier potif. b ( b) k e ( ) Z : b est u réel o ul. k est u etier supérieur à

4 4 Recherche d'origiaux par décompotio e élémets mples, cas cocrets. U élémet mple est ue foctio S : S() dot o coaît «mplemet l origial». Cas o Origial x : x() a (Théorème du retard) k e( k) Elémet mple k a Si o veut coaître l origial d ue foctio qui est pas mple o peut parfois la décomposer e ue somme d élémets mples est effectuer la somme de leurs origiaux. Exemple Trouvos l origial de la foctio : X : X() ( )( ) Cette foctio est pas mple, par cotre, est u élémet a a mple dot l origial est : < x : a e( ). a Décomposos la foctio X e élémets mples : trouvos les réels A et B tels que : A B X() ( )( ) Ue réductio au même déomiateur doe l idetificatio suivate : A B A B A ;B Doc : X() L origial de la foctio X est doc : x : e( ) e( ) <

5 5 Situatio o O veut trouver le gal icou s causal discret qui vérifie : s( ) as( ) bs() u() Les valeurs de s () et s () sot fixées à l avace (les coditios iitiales). Cas gééral (o étudié ici) s( k) a k s( k )... a s( k (k )) a s() u(). s( k) a k s( k )... a s( ) a s() u(). Ici : k :a 5, a Remarque : cette équatio géérale est plus lible écrite e augmetat les idices : as() as( )... ak s( k ) ak s( k ) aks( k) u() avec e gééral :ak Méthode et résolutio ) Trasformer l égalité à l aide de la Trasformée e Z. ) Isoler X (). ) Décomposer e élémets mples. 4) Retrouver l origial. 5) Coclure Souveos-ous X est la Trasformée e Z du gal s : x()e() S k est la Trasformée e Z du gal : x( k)e( k) k X() k x() k x()... k Sk () x(k ) x(k )

6 Situatio Exemple Exemple : trouver le gal causal discret s : s() x() e() tel que avec : s() s( ) 5s( ) s() d(), s(). C'est à dire :. x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() d() avec x(), x() Le gal d est cou (la suite de Dirac). Le gal s : s() x() e() est icou, à exprimer.. O va appliquer le programme I. ) Trasformer l égalité à l aide de la Trasformée e Z. ) Isoler X (). ) Décomposer e élémets mples. 4) Retrouver l origial. 5) Coclure

7 7 ) Trasformatio de l égalité à l aide de la trasformée e Z x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() d() avec x(), x(). ) Trasformos l égalité à l aide de la Trasformée e Z. X représete la trasformée e Z du gal icou s : s() x() e(). X est la Trasformée e Z du gal s : La Trasformée e Z du gal : x( k)e( k) est : k X() k x()e() x() k x()... k x(k ) x(k ) O applique cette formule pour k et k avec x() et x() La Trasformée e Z du gal x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e()) est : X() x() x() 5 [ X() x() ] X(). Compte teu des coditios iitiales x (), x (), o obtiet : X() 5 X() X(). La coditio : x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e()) d() doe X() 5 X() X() la Trasformée e Z de la suite de Dirac état la foctio costate. L'équatio a été trasformée L égalité a été trasformée à l aide de la Trasformée e Z.

8 8 ) X () est isolé Voici l'équatio de départ: x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() d() avec x(), x(). Cette équatio a été trasformée e: X() 5 X() X() où X : X() représete la trasformée e Z du gal icou x() e(). Factorisos: 5 X() Isolos X () X(). 5 Le polyôme 5 admet et pour racies Doc il peut être factorisé: 5 ( )( ) X() ( )( ) X () a été isolé. Remarque Face à u polyôme je me demade souvet s'il possède ue racie évidete. Pour trouver les racies, j'ai d'abord cherché ue racie évidete; j'ai trouvé après avoir essayé, puis j'ai factorisé à vue le polyôme : 5??. ( )( )

9 9 ) La décompotio e élémets mples. Nous recherchos le gal x() e() tel que: x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() d() avec x(), x() Sa Trasformée e Z est dégée par X : X(). O a trouvé:. X() ( )( ) Décomposos e élémets mples: trouvos les réelsa et b tels que X() ( )( ) a b. La réductio au même déomiateur doe: (a b) a b X() ( )( ) ( )( ) a b a b d'où : a,b O obtiet la décompotio e élémets mples: X() X () a été décomposé e élémets mples., d'etre eux. sot des élémets mples car o coaît l'origial pour chacu

10 4) Recherche de l origial. Origial de O sait que l'origial de e() comme je l'ai trouvé das mo Formulaire de Mathématiques qui e me quitte jamais: Sigal causal x() pour N Trasformatio e Z (Zx)() Lige 5 f() a,a R { } (Zf )() a Das le Formulaire o e s'occupe que de gaux causaux, doc: le gal x()e() est dégé mplemet par x(). e() Et il est rappelé : N. est doc dégé par f() s'écrit : Formulaire de Mathématiques qui e me quitte jamais: Sigal causal Trasformatio e Z x() pour N (Zx)() Lige y() x( ),( ) N (Zy)() (Zx)() 7 ou y() x( )e( ). Ils sot bie obligés de l'écrire comme moi Z(f )() avec f() L'origial l'origial de est e( ). De même: de est e( ).

11 O peut maiteat coclure.

12 5) Cocluo La Trasformée e Z du gal icou est X() X : ). e( est de 'origial L ). e( est de 'origial L Le gal discret ) e( ) e( est X() de 'origial L ) e( ) e( est x(), x() avec. d() e() x() )) e( ) 5x( ) e( ) x( vérifie qui e() x() gal Le <. s() ) 5s( ) s( vérifie : s() : s Vérificatio (o demadée e gééral) O a bie ( ) ( ). s() ) 5s( ) s( : 5 s() ) 5s( ) s( : s() ) 5s( ) s( : <

13 Situatio Exemple Exemple : trouver le gal causal discret s : s() x() e() tel que : < s ( ) 5s( ) s() e() avec : s(), s().. c'est à dire: < x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() e(). avec x() x() ) Trasformos l égalité à l aide de la Trasformée e Z. X représete la trasformée e Z du gal icou s : s() x() e(). La trasformée e Z du gal s( ) 5s( ) s() est comme das l'exemple : X() 5 X() X(). La coditio : s( ) 5s( ) s() e() doe : X() 5 X() X() la Trasformée e Z de la suite de l'échelo uité état la foctio : L égalité a été trasformée à l aide de la Trasformée e Z. ) Isolos X (). Le polyôme X() 5 X() X() 5 X () a été isolée. 5 ( )( ) admet et X() 5 X() pour racies doc : ( )( )( ) X() 5.

14 ) Décomposos e élémets mples. Trouvos les réels A, B et V tels que : C B A ) )( )( ( X() Ue réductio au même déomiateur doe: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) C B A C 4B 5A C B A C B A X() Pour idetifier il suffit de résoudre le système : C B A C 4B 5A C B A Choissos C pour paramètre das la première et derière équatio : 4C C C B, C C C C A C B A C B A E remplaçat das la deuxième équatio : Doc : X() X () a été décomposée e élémets mples. 4 A, B, C 9C C 5C

15 4) Retrouvos l origial. ) e( ) e( ) e( O peut maiteat coclure. 5) Cocluo. Le gal discret < <. s() ) 5s( ) s( vérifie : s() : s Vérificatio (o demadée e gééral) O a bie ( ). s() ) 5s( ) s( : s() s() ) 5s( ) s( : 9 4 5s() s() s() ) 5s( ) :s( s() ) 5s( ) s( : < Haut du documet 5

16 ) trouver le gal causal discret s : s() x() e() tel que avec : s() Exercices d'applicatio s( ) 5s( ) s() d(), s(). C'est à dire :. x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() d() avec x(), x(). ) trouver le gal causal discret s : s() x() e() tel que : < s ( ) 5s( ) s() e() avec : s(), s().. c'est à dire: < x( ) e( ) 5x( ) e( )) x() e() e(). avec x(), x() Haut du documet