Fonctions de référence, cours, première S

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1 Fonctions de référence, cours, première S F.Gaudon 8 mai Table des matières Fonction carré Fonction inverse Fonction racine carrée 4 Fonctions anes 5 Fonctions polynômes 4 5. Dénitions Fonctions polynômes du second degré Forme canonique et Étude des variations Équations du second degré et Études de signe Interprétation graphique

2 Fonction carré D f = R ; dénie pour tout x réel par x x ; décroissante sur ] ; ] et croissante sur [; + [ ; positive sur ] ; + [ ; représentée graphiquement par une parabole Fonction inverse D f = R ; dénie pour tout x par x x ; décroissante sur ] ; [ et décroissante sur ]; + [ ; négative sur ; [ et positive sur ]; + [ ; représentée graphiquement par une hyperbole ; http: // mathsfg. net. free. fr

3 Fonction racine carrée D f = R + ; dénie pour tout x par x f(x) = x ; croissante sur [; + [ ; positive sur [; + [ Fonctions anes D f = R + ; dénies pour tout x réel par x ax + b où a et b sont deux réels xés ; croissante sur R si a > et décroissante sur R si a < ; signe : si a, deux cas possibles : si a > : si a < : x b + a signe de - + ax + b Représentées graphiquement par une droite. x b + a signe de + - ax + b http: // mathsfg. net. free. fr

4 5 Fonctions polynômes 5. Dénitions Dénition : On appelle Fonction polynôme toute fonction dénie sur R par f(x) = a + a x + a x a n x n où a, a, a,..., a n sont des réels avec a n et n un entier naturel ; l'entier naturel n est appelé degré de la fonction polynôme ; les nombres a, a,..., a n sont appelés coecients de la fonction polynôme f ; les expressions a p x p avec p n sont appelés termes de degré p de la fonction polynôme. Cas particuliers : Toute fonction ane est une fonction polynôme de degré ; toute fonction f dénie par f(x) = ax + bx + c où a, b et c sont des nombres réels xés et a est une fonction polynôme du second degré (on dit aussi trinôme du second degré). Exemples : P (x) = x Q(x) = x x + R(x) = (x )(x ) = x 4x + 5. Fonctions polynômes du second degré 5.. Forme canonique et Étude des variations Propriété et dénition : Pour toute fonction polynôme du second degré f dénie par f(x) = ax + bx + c avec a, b, c R et a, on a : où et f(x) = a((x α) + β) α = b a β = b 4ac 4a Cette écriture est appelée forme canonique de la fonction f. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 Preuve : On a : f(x) = ax + bx + c = a(x + b a x + c a ) = a((x + b a ) b 4a + c a ) = a((x + b a ) b 4a + 4ac 4a ) = a((x + b a ) b 4ac 4a ) Exemple : Soit f la fonction dénie par f(x) = x 6x +. On a : f(x) = (x x + ) f(x) = ((x ) + ) f(x) = ((x ) ) donc le point S de coordonnées (; ) est le sommet de la parabole représentant la fonction f. Propriété : Soit f : x ax + bx + c avec a une fonction polynôme du second degré. Si a > alors la fonction est décroissante sur ] ; b [ et croissante a sur [ b ; + [ a ; si a < alors la fonction est croissante sur ] ; b [ et décroissante a sur [ b ; a + [. Preuve : Montrons le cas où a >, les autres cas se traitant de la même manière. Soient x et x deux réels de l'intervalle ] ; b ] a tels que x < x. On a x + b < x a + b < a puis (x + b a ) > (x + b a ) car x x est strictement décroissante sur ] ; ] d'où x + b a ) +β > (x + b a ) +β et a(x + b a ) +β) > a((x + b a ) + β) car a > ce qui signie que f(x ) > f(x ) donc f est strictement décroissante sur ] ; b b [. On montre de même que f est strictement croissante sur [ ; a a + [. Remarque (admise) : Dans un repère (O; i; j) du plan, la représentation graphique de la fonction trinôme du second degré f est une parabole dont le point S de coordonnées (α; aβ) est le sommet. Exemple : Soit f la fonction dénie par f(x) = x 6x +. On a vu que f(x) = ((x ) ) donc le point S de coordonnées (; ) est le sommet de la parabole représentant la fonction f. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 4 y = t² t S Équations du second degré et Études de signe Dénition : Toute solution de l'équation ax + bx + c = est appelée racine du trinôme f déni par f(x) = ax + bx + c pour tout x réel. On appelle discriminant du trinôme le réel déni par = b 4ac. Exemple : est une racine de x 5x +. Le discriminant du trinôme x 5x + est δ = 5 4 = 5 6 = 9. Remarque : Ordonner les termes du trinôme avant de calculer le discriminant. Propriété : Soit = b 4ac le discriminant du trinôme du second degré ax +bx+c. Si <, alors l'équation ax + bx + c = n'a pas de solution réelle. Si =, alors l'équation ax + bx + c = a une unique solution réelle dite racine double x = b a. Si >, alors l'équation ax + bx + c = a deux solutions réelles distinctes x = b+ a et x = b a. http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 Preuve : On a vu auparavant que f(x) = a((x α) + β) où α = b a et β = b 4ac. 4a On a f(x) = qui s'écrit encore puisque a, (x α) b 4ac = 4a Donc (x α) = b 4ac. 4a On reconnaît le discriminant = b 4ac. si <, comme le premier membre (x α) est nécessairement positif, l'équation n'a pas de solution ; si =, l'équation s'écrit (x α) = donc x = α = b est l'unique solution ; a si >, l'équation donne x+ b = ou x+ b = donc x = b + a 4a a 4a a ou x = b 4a a 4a d'où les deux solutions x et x en simpliant. Algorithmique : Algorithme de résolution des équations du second degré c'est à dire de l'équation ax + bx + c =. Données : a, b, c Début traitement prend la valeur b 4ac ; si < alors Acher "Pas de solution réelle" n si = alors x prend la valeur b a ; Acher "Une unique solution ",x ; n si > alors x prend la valeur b+ a ; x prend la valeur b a ; Acher "Deux solutions réelles distinctes",x," et ",x ; n Fin traitement. http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 Exemple : TI : Prompt A,B,C B 4 A C D Disp "Delta",D If D > Then ( B + D)/( A) U ( B D)/( A) V Disp "U",U Disp "V",V Else If D = Then B/( A) S Disp "S",S Else Disp "PAS DE SOLU- TION" Casio : A? A B? B C? C B 4 A C D "Delta" :D If D > Then (( B + D)/( A) U ( B D)/( A) V "U=" :U "V =" :V Else If D = Then B/( A) S "S=" :S Else "PAS DE SOLU- TION" XCas : equationnddegre():={ local a,b,c,d,x,x,x; saisir("a =",a); saisir("b =",b); saisir("c =",c); d:=b^-4a*c; si d< alors afficher("pas de solution réelle."); fsi; si d= alors x:=-b/(*a); afficher("une unique solution",x); fsi; si d> alors x:=(-b+sqrt(d))/(*a); x:=(-b-sqrt(d))/(*a); afficher("deux solutions distinctes : ",x,x); fsi; }; Propriété : Avec les mêmes notations que précédemment, on a pour f(x) = ax + bx + c : si =, f(x) = a(x x ) où x est la racine double du trinôme ; si >, f(x) = a(x x )(x x ) où x et x sont les deux racines distinctes du trinôme. si <, f(x) n'admet pas de factorisation dans R ; Preuve : On a vu précédemment que f(x) = a((x + b a ) b 4ac). 4a Si =, on a donc f(x) = a((x + b a ) ) ce qui est bien la factorisation attendue ; si >, on a a(x x )(x x ) = a(x (x + x )x + x x ) pour tout x réel. Or x + x = b+ + b = b = b a a a a. En outre, x x = ( b + )( b ) = = (b b + b ) donc x 4a 4a x = (b ) = 4a (b b + 4ac) = c 4a a. D'où a(x x )(x x ) = a(x + b x + c ) = a a ax + bx + c = f(x) ce qui justie le deuxième cas. Par l'absurde : si f(x) admettait une factorisation dans R, f(x) sécrirait f(x) = (x r)p (x) où P est un polynôme de degré inférieur strictement à et r est un réel. f(x) admettrait donc une racine r réelle ce qui est n'est pas le cas d'après la propriété précédente. http: // mathsfg. net. free. fr 8

9 Propriété : Avec les mêmes notations que précédemment, si <, f(x) est du signe de a sur R et ne s'annule pas ; si =, f(x) est du signe de a sur R et s'annule en x uniquement ; si >, f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines x et x et du signe opposé à l'intérieur. Preuve : Si <, on utilise la forme canonique f(x) = a((x + b ). On a (x + b a ) qui est positif tout réel x. pour tout réel x et b 4ac 4a = 4a qui est strictement positif donc f(x) est du signe de a pour Si =, f(x) = a(x x ) d'après la propriété précédente donc f(x) est du signe de a pour tout x réel et ne s'annule que pour x = x. Si >, f(x) = a(x x )(x x ). On fait un tableau de signe suivant le signe a. Faisons le par exemple pour a <. On obtient : x x x + a x x x x f(x) ce qui justie la propriété dans le cas où a <. On procède de même pour le cas a >. a ) b 4ac 4a Exemple : Résolution de x x+ x + = équivaut à x = donc - est la seule valeur interdite. Résolution de x + 6x + 7 =. On a = 6 4 () 7 = 64. > donc l'équation admet deux solutions distinctes x = 6+8 = et x = 6 8 = 7. Étude de signe : Donc S =] ; [ [; 7] x x x + 6x x +6x+7 x http: // mathsfg. net. free. fr 9

10 5.. Interprétation graphique Propriété : Les solutions de l'équation ax + bx + c = sont les abscisses des points d'intersection s'ils existent de la parabole représentant la fonction f et de l'axe des abscisses. Interprétation : Si >, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts ; si =, la courbe a pour unique point commun avec l'axe des abscisses son sommet ; si <, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. En outre, si a >, la parabole a ses branches tournées vers le haut et tournées vers le bas si a <. delta > delta > a > a < delta > delta < a < a < http: // mathsfg. net. free. fr