Correction des exercices sur les fonctions numériques

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1 Correction des exercices sur les fonctions numériques I. les différentes désignations des fonctions numériques 1) les places de cinéma - une formule : pour x appartenant à IN : f(x)=8x - une phrase : si 8 est le prix d une place de cinéma, le prix de n places est 8xn Cette fonction est une fonction linéaire. Son ensemble de départ est IN ainsi que son ensemble d arrivée. Cette fonction est directement liée à la notion de proportionnalité : le prix payé est proportionnel au nombre de places achetées. La représentation graphique est une droite qui passe par l origine du repère. ) le tarif d une course en taxi - une phrase Distance parcourue Prix de la course une formule : pour x appartenant à IR : f(x)=0,5x + 3 Cette fonction est une fonction affine. Son ensemble de départ est IR ainsi que son ensemble d arrivée. Elle n est pas linéaire. Le prix de la course n est pas proportionnel à la distance parcourue en kilomètres. La représentation graphique est une droite qui ne passe plus obligatoirement par l origine du repère. 3) le magasin de location de VVT - des formules Si x est la durée de location et y le prix payé, on peut écrire : Pour 0 < x 3 : - pour 0 < x 1, y = 10x1 + 5 = 35 - pour 1 < x, y = 10x + 5 = 45 - pour < x < 3, y = 10x3 + 5 = 55

2 Pour 3 x 15 : Pour x=3 y = 8 x pour 3 < x 4, y = 8x4 + 5 = 57 - pour 4 < x 5, y = 8x5 + 5 = 65 - pour 5 < x 6, y = 8x6 + 5 = 73 - etc. C est une fonction dite «en escalier». Les situations du même type sont : - les tarifs postaux - les tarifs de parkings - les tarifs de téléphone Il existe aussi des fonctions affines par morceaux : les taux d imposition 4) la distance de freinage x est la vitesse en km/h, y est la distance de freinage en m - une formule : pour x appartenant à IR + : y = f(x)= - une phrase : si x est la vitesse en km/h, la distance de freinage est égale au carré de x divisé par 100. la distance est proportionnelle au carré de la vitesse et n est pas proportionnelle à la vitesse. Cette fonction est une fonction «puissance», ce n est pas une fonction linéaire. Son ensemble de départ est IR + et son ensemble d arrivée est. La représentation graphique est une branche de parabole. 5) Le rectangle Si L et l sont les dimensions du rectangle en cm, Lxl = 84 est la relation qui lie les deux dimensions - une formule : pour l appartenant à IR + : L = f(l)= Cette fonction est une «fonction» inverse. La représentation graphique est une branche d hyperbole. 6) Le général romain N est le nombre de jours et y le nombre de sesterces

3 on peut désigner cette fonction par : - une formule : pour N appartenant à IN: y = f(n)= Cette fonction est une fonction exponentielle. 7) Les restes de la division euclidienne d un nombre par 5 Par contre, on a du mal à trouver une formule : nombre reste ) dimensions du rectangle et périmètre Si L et l sont les dimensions du rectangle en cm, (L + l) = P est la relation qui lie les deux dimensions. - une formule : pour l appartenant à IR + : L = f(l)= - l f est une fonction affine.p étant différent de 0, la représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l origine. II. Problèmes : Exercice 1 Amiens 000-1) Po ur 1 jours, la location la plus intéressante est à la plage, pour 0 jours, la plus intéressante est au camping. ) Soit x le nombre de jours communs de location (x est un entier naturel non nul puisque l on suppose qu ils ont réellement loué un vélo). Montant (en francs) de la location en fonction de x :

4 Dans le 1er cas, on devrait avoir 30 x = 5 x ce qui est impossible puisque x est non nul. Dans le ème cas, on doit avoir x = 5 x soit 5 x = 80 d où x = 16. La durée correspondant à un même montant de location est de 16 jours. 3) a) Sur le graphique on trace deux représentations: Une correspondant à la location du camping y = 30 x pour x < 8 et y = x pour x 8 Une correspondant à la location de la plage y = 5 x. On obtient donc le graphique suivant : b) Un même montant de location est obtenu à l intersection des deux représentations graphiques, c est à dire au point B (16 ; 400) : soit une durée de location de 16 jours, pour un montant de 400 francs. c) Graphiquement, on peut affirmer que : Pour une durée de location inférieure strictement à 16 jours, la location à la plage est la plus intéressante. Pour une durée de location de 16 jours, les deux locations sont équivalentes. Pour une durée de location supérieure strictement à 16 jours, la location du camping est la plus intéressante. Exercice sujet ) a) v1=90km/h donc v1= 90x v = 130km/h donc v = 130x1000 = = 5m/s = 1300 = 36,11 m/s b) pour 90km/hsoit 5m/s, par lecture graphique : DF = 50m.Le temps de réaction est 1s et la vitesse est 5m/s donc DR = 5m donc DA = 75m. pour 130km/h soit 36,11m/s, par lecture graphique : DF = 105m.Le temps de réaction est 1s et la vitesse est 36.11m/s donc DR = 36.11m donc DA = m.

5 c) si la distance parcourue pendant le temps de réaction est 15m, la vitesse est de 15m/s soit 15x3600 = 3x36 = 54km/h 1000 d) pour 54 km/h soit 15m/s, par lecture graphique : DF = 18m.Le temps de réaction est 1s et la vitesse est 15m/s donc DR = 15m donc DA = 33m. Exercice 3 sujet -011 Partie 1 1. a) formule entrée dans la cellule B : =0,08*B1^ b) cette formule ne satisfait pas cette nouvelle contrainte, on peut proposer : = B$3 * B1^. a) pour une vitesse de 7 km/h soit 0m/s la distance de freinage sur route sèche sera 0,08 x(0) = 3m b) on veut que 0,08 x v > 45 soit v > 56,5 d où v > 85 km/h (arrondie à l unité) Partie : 1. pour v= 10m/s, on lit D= 16m donc k= 0,16. pour une vitesse v donnée avec k=0,08, la distance sur route sèche serait 0,08 v et avec k = 0,16 la distance sur route mouillée serait égale à 0,16 v et serait donc supérieure à la distance pour k= 0,08 puisque 0,08<0,16. Donc la représentation graphique donnant la distance de freinage sur route sèche sera située en dessous de la courbe tracée. Exercice 4 groupe ) La mesure en cm 3 du volume d un pavé droit est égale au produit des mesures en cm de ses trois dimensions. D où V1(x) = (1 x) donc V1(x) = x ) La pyramide de base SABCD a pour mesure de volume, en cm 3 : 1 3 (6 4) 11 et la pyramide SEFGH : 1 (3 ) 5,5. 3 D où V(x) = (3 x) (6 4) (3 ) 5,5, c est à dire V(x) = 6 x ) a) et b) V1 et V sont représentés graphiquement par des droites qui se coupent au point de volume en cm 3 111, V (x) = 6 x + 77 V 1 (x) = x ,75

6 coordonnées (5,7 ; 111,5). C est donc pour x 5,7 que V1(x) = V(x). y 1800 c) L équation V1(x) = V(x) s écrit 6 x + 77 = x y = x 4 x = 3 x = 5, C est très précisément pour x = 5,75 que V1(x) = V(x). y = 30 x d) V1(5,75) = 5, = 111,5 cm 3 or 1 cl = 10 cm 3 donc V1(5,75) = V(5,75) = 11,150 cl. Exercice 5 :(extrait sujet groupe6 006) Base + base 1) L'aire d'un trapèze est hauteur. Ce qui donne pour ABCD, dont les bases sont DC et AB et la hauteur AD : 30 = Le jardin à donc une aire égale à 1800 m. ) A(AMGD) = 30 x, d'où A(BMGC) = x. 3) A(AMGD) = A(BMGC) 30 x = x x = 1800 x = 30. C'est pour AM = 30 m que la pelouse et le potager ont même aire. AMGD est alors un carré. 4) a. et b. Les courbes se coupent au point de coordonnées (30, 900) : pour x = 30, le jardin et le potager ont même aire, 900 m. 5) La quantité de semence est proportionnelle à la superficie à ensemencer. Si 10 kg de semence sont nécessaires pour 500 m alors pour ensemencer m, il faut 500, c'est à dire 18 kg

7 Exercice 6 1) Etude du placement P : a) Au bout d'un an les intérêts avant imposition représentent euros x 8/100 soit 800 euros. Après l'imposition annuelle de 15%, il ne reste plus que 800euros euros x 15/100 soit 680 euros. b) Le pourcentage que représentent ces intérêts nets par rapport au capital de euros est donc de 6,8 % : 6,8 % de euros correspondent bien à 680 euros. c) Au bout d'un an les intérêts net sur un capital de euros s'élèvent à 680 euros. Comme il s'agit d'intérêts simples, on peut dire qu'au bout de n années, les intérêts s'élèveront à n x 680 euros S = euros euros x n f(n) = x n. C'est la restriction de la fonction affine x où x est un nombre réel dont la représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine. La représentation graphique de f (n) est une suite de points alignés sur cette droite. ) Etude du placement Q a) Au bout d'un an, le capital C obtenu aura pour valeur C + C x 5/100 = C x (1 + 5/100) Au bout de deux ans, le capital obtenu sera donc de C x (1 + 5/100) + C x (1 + 5/100) x 5/100 soit C x (1+5/100)². Au bout de n années, le capital devient C x (1 + 5/100) n. 3) Comparaison des deux placements; a) voir feuille jointe. b) Pour n = 8, f(n) > g(n). Monsieur Martin a donc intérêt à choisir le premier placement. c) L'intersection des deux courbes joignant les points des deux représentations graphiques se fait au voisinage de n = 13, donc no = 13. Calculons pour chaque sorte de placement, le capital acquis au bout de ces 13 années : Pour le placement P : S = euros + 13 x 680 euros = euros. Pour le placement Q : C = euros x (1 + 5/100) euros. L'écart est donc de 16 euros Exercice 7 AIX ) A est la somme de l'aire du carré ABCD et de l'aire du demi disque de diamètre [BC]. La longueur du côté du carré a pour mesure, comme le diamètre du disque. Donc A = 4 + π ) a) Si M appartient au segment [AB], A(x) est la mesure de l'aire du triangle AMO, dont la hauteur relative au côté [AM] (de mesure x) a pour mesure 1. Donc A(x)= x b) Si M appartient au demi- cercle d'extrémités B et C, A(x) est la somme des mesures des aires du triangle AOB et du secteur de disque de diamètre [BC] délimité par les rayons [OB] et [OM]. L'aire du secteur de disque est proportionnelle à la longueur de l'arc; pour un arc de longueur π (demi- cercle), l'aire est π, donc pour un arc de longueur x-, l'aire du secteur

8 (x ) de disque sera (x ) Donc A(x)= 1+ = x c) Si M appartient au segment [CD], A(x) est la somme des mesures des aires du triangle AOB, du demi disque de diamètre [BC] et du triangle OCM. Dans le triangle OCM, le côté [CM] a une mesure de x (π + ) et la hauteur correspondante mesure 1; D'où A(x)=1+ π x (π + ) + = x Autres méthodes : - pour trouver l aire du secteur de disque en fonction de la longueur de l arc on peut utiliser une formule apprise par cœur si on la connaît, formule reliant l angle au centre en radian et la longueur de l arc intercepté par cet angle. Si α est la mesure en radian de l'angle d'un secteur circulaire de rayon R, alors la longueur de l'arc correspondant est αr et l'aire du secteur est α R D'où ici : αr = α = x et α R = α = x - Il est possible aussi de décomposer le calcul dans un premier temps en trois parties indépendantes Aire AMO = d 1 aire BMO = d aire OMC= d 3 En faisant la somme on trouve : Aire = (d 1 + d + d 3 ) = x avec selon le cas d = d3 = 0 ou seulement d3=0 3) a) On cherche x tel que A(x)= 1 4 A Cherchons si M est placé avant D pour pouvoir appliquer le calcul précédent. L aire A(x) croit avec x. Si M est en D, l aire balayée est égale à fois l aire du triangle AOB plus celle du demi cercle ; elle est donc égale à + π. L aire cherchée est inférieure, donc M est situé avant D. On peut utiliser le calcul A(x) = x.donc x = 1+ π 8 d où x= + π 4 b) Comme AB=, on a x=ab + π 4 Or π représente le quart de la longueur du demi- cercle de rayon 1; 4

9 D'où la position de P au quart de du demi- cercle en partant de B. Pour construire P, il faut tracer un angle BOP de 45. On peut par exemple : - soit tracer une perpendiculaire [Oz) en O à (BC) et tracer au compas la bissectrice de l angle BO ˆ z qui coupe le cercle en P ; - soit plus simplement tracer un triangle rectangle isocèle BOE en portant BE = 1 sur la demi- droite [AB) et (OE) coupe le cercle en P.