PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES

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1 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN PREMIÈRE SESSION - Janvier 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Le barème est indicatif Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Ce sujet comporte 3 pages, dont une annexe Exercice 1 - points Résoudre l équation et l inéquation suivantes : (E) : e x 1 = e x + 1 (I) : 10 t > 15 6 t Pour (I), on pourra utiliser les valeurs : ln 3 1, 1 et ln 5 1, 6 Exercice - 6 points On considère la fonction f définie par : f(x) = x ln(x) 1. Déterminer l ensemble de définition de f, noté D f.. Déterminer les ites de f aux bords de son ensemble de définition. 3. Déterminer la fonction dérivée f de f, puis donner le tableau des variations de f. 4. Etudier les asymptotes et branches infinies éventuelles de C f. 5. Démontrer que l équation (E) : x = ln(x) possède deux solutions réelles α et β (où α < β) dont vous donnerez un encadrement d amplitude 1 pour chacune d entre elles ; pour cela vous vous aiderez du tableau suivant : x f(x) 0, 31 0, 03 0, 06 0, 08 0, 07 0, 04 0, 01 0, 06 0, 1 0, 17

2 Exercice 3-9 points On considère la fonction f définie par : f(x) = x3 + 3x x 1 x Déterminer l ensemble de définition de f noté D f.. Effectuer la division euclidienne de P (X) = X 3 + 3X X 1 par Q(X) = X + 1. En déduire les réels a, b, c et d tels que f(x) = ax + bx + c + d x Déterminer les ites de f aux bords de son ensemble de définition. 4. Déterminer la fonction dérivée de f notée f, puis donner le tableau des variations de f sur D f. 5. Déterminer les asymptotes et branches infinies éventuelles de C f. 6. Soit P la parabole d équation y = ax + bx + c : déterminer les positions relatives de C f et P. 7. Tracer P pour x [ 4; ] dans le repère fourni en annexe : vous expliquerez brièvement cette construction (points d intersection avec les axes, sommet, axe de symétrie) puis tracez C f sur [ 4; ]. Exercice 4-3 points On considère la fonction f définie par : f(x) = x + x 4 x + 4x 3 x m ln(x) x 1 si 0 < x 1 si x > 1 (où m R) 1. Justifier que f est continue sur les intervalles ]0; 1[ et ]1; [.. Déterminer la valeur du paramètre m afin que f soit continue sur ]0; [.

3 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Annexe à l Examen, première session - Janvier 01 A rendre avec votre copie Exercice 3

4 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Corrigé de l examen - Janvier 01 Exercice 1 - points (E) : e x 1 = e x + 1 (e x 1)(e x + 1) = e x 1 = e x = 3 x = ln 3 x = ln 3 { } ln 3 Donc S = (I) : 10 t > 15 6 t ( ) 10 t > 15 ( 6) 5 t > 15 3 ( 5 t ln > ln 15 3) ln 15 t > ln(5/3) car 5 3 > 1 ln 3 + ln 5 t > ln 5 ln 3, 7 0, 5 t > 5, 4 Donc S =]5, 4; [ Exercice - 6 points On considère la fonction f définie par f(x) = x ln(x) 1. D f = R + car la fonction «ln» est définie sur R + et la fonction «racine carrée» est définie sur R +.. ln x = et x = 0 donc par différence, f(x) = x > 0, f(x) = x ln ln x = ( x 1 ln ln x ). x x Par croissances comparées, ln x = 0 comme x x f(x) = ln = 0 et x x x =, par x somme et produit on a : x 3. f est dérivable sur R +, et pour tout x > 0 : f (x) = 1. x x x = x. f (x) est du signe de x sur R +. On a donc le tableau de variations de f suivant : x f (x) f ln 4. D après l étude de f(x) =, C f admet l axe des ordonnées pour asymptote verticale.

5 f(x) En : x x = 1 ln x x x ln x = 0 (fonctions de référence et croissances x comparées) : donc C f possède une branche parabolique de direction horizontale au voisinage de. 5. On remarque que le minimum de f sur R + est f(4) = ln(8) 0, 1 < 0. On peut donc utiliser deux fois le théorème des valeurs intermédiaires : Sur ]0; 4[ : f est continue et strictement croissante : de plus f(x) = et f(4) < 0 donc d après le corollaire du T.V.I. 0 possède un unique antécédent α par f dans ]0; 4[. Enfin d après le tableau fourni < α < 3. Sur ]4; [ : f est continue et strictement décroissante : de plus f(4) < 0 et f(x) = x, donc d après le corollaire du T.V.I. 0 possède un unique antécédent β par f dans ]4; [. Enfin, d après le tableau fourni, 6 < β < 7. Conclusion : L équation (E) f(x) = 0, possède deux solutions sur R + : α et β Exercice 3-9 points 1. f définie par f(x) = x3 + 3x x 1 est définie en x si et seulement si x x + 1 x 1 donc D f = R { 1}. X 3 +3X X 1 X +1 (X 3 +X ) X +X 3 X X (X +X) 3X 1 ( 3X 3) Donc P (X) = X 3 + 3X X 1 = (X + 1)(X + X 3) + et pour tout x 1, f(x) = x + x 3 + x Limites en l infini : f(x) = x Limites en 1 : x 1 x> 1 x 1 x> 1 x x 3 x = + x x =. De même f(x) = x x x = x + 1 = 0 et x + 1 > 0 si x > 1, x 1 x3 + 3x x 1 = donc par quotient f(x) =. De même, x 1 x< 1 f(x) =. 4. f est une fonction rationnelle dérivable sur son ensemble de définition et x 1, f (x) = (3x + 6x 1)(x + 1) 1(x 3 + 3x x 1) (x + 1) = (x3 + 3x + 3x) (x + 1) Pour tout x D f, f (x) est du signe de N(x) = x 3 + 3x + 3x = x(x + 3x + 3) Posons N 1 (x) = x + 3x + 3 : le discriminant de N 1 (x) est = 9 1 = 3 < 0, donc N 1 (x) est strictement positif sur R et donc f (x) est du signe de x sur D f. On obtient ainsi le tableau de variations de f :

6 x 1 0 f (x) 0 + f(x) 1 5. D après ce qui précède, C f admet une asymptote verticale d équation x = 1. x 3 = x f(x) x 3 + 3x x 1 En, on a = x x x x(x + 1) possède une branche parabolique de direction verticale au voisinage de. x = x x = : C f f(x) De même, x x = x = : C f possède une branche parabolique de direction x verticale au voisinage de. 6. La position de P par rapport à C f est donnée par le signe de la différence f(x) (ax + bx + c) = x + x 3 + x + 1 (x + x 3) = x + 1 Sur ] ; 1[, P est au-dessus de C f, et sur ] 1; [ C f est au-dessus de P 7. P est ouvert vers le haut, elle a pour axe de symétrie la droite d équation x = 1 et pour sommet S( 1; 4). P coupe les axes en (0; 3), ( 3, 0) et (1; 0). Exercice 4-3 points On considère la fonction f définie par : x + x 4 x si 0 < x 1 + 4x 3 f(x) = x m ln(x) si x > 1 (où m R) x 1 1. f est une fonction rationnelle définie sur ]0; 1[ donc continue sur ]0; 1[ La fonction x x est définie et continue sur R, et la fonction x ln(x) est définie et x 1 continue sur ]1; [ comme quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas : f est donc continue sur ]1; [ comme somme de fonctions continues.. On vérifie que x + x 4 = (x 1)(x + ) et x + 4x 3 = (x 1)(x 3) (x + ) donc f(x) = x 1 x 1 (x 3) = 3 = f(1) ln(x) x 1 x = et = 1 donc x 1 x 1 f(x) = m x 1 Donc f continue en x = 1 si et seulement si m = f(1) = 3, soit m = 1.

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8 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXAMEN SECONDE SESSION - JUIN 01 - heures Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l ordre choisi par le candidat. Le barème est indicatif Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction. CALCULATRICES INTERDITES AUCUN DOCUMENT N EST AUTORISÉ LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Exercice 1-4 points Résoudre les équations et l inéquation suivantes : (E 1 ) : ln(x 5) + ln(x + 4) = ln(3x ) (Préciser le domaine de définition) (E ) : e x = e x+1 (I) : 6 t > 5 10 t (On prendra ln 3 1, 1 et ln 5 1, 6) Exercice - 6 points On considère le polynôme P (X) = X 3 + 3X 8X Calculer P (1), en déduire que P (X) est divisible par un polynôme de degré 1.. Effectuer la division euclidienne de P (X) par (X 1). En déduire la factorisation de P (X) en un produit de polynômes de degré En déduire la résolution de l inéquation (I) : P (X) X 0

9 Exercice 3-10 points Soit f la fonction définie par f(x) = x + ln(x ) 1. Donner l ensemble de définition de f, noté D f.. Déterminer la ite de f en. Vous donnerez la ite de f en sans justification. 3. Déterminer la ite de f en 0. + x ln x 4. Montrer que pour tout x > 0, f(x) =. En déduire la ite de f en 0 + x 5. Démontrer que pour tout x de D f, f (x 1) (x) = x. 6. En déduire les variations de f sur son ensemble de définition. 7. Donner l équation de la tangente à la courbe représentative C f de f au point A d abscisse Étudier la branche infinie de C f au voisinage de. 9. Montrer que l équation (E) : f(x) = 0 possède une unique solution réelle α 10. En déduire le signe de f sur D f.

10 UNIVERSITÉ DE CERGY U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Gestion L1 - S1 PRATIQUE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Corrigé de l examen - Juin 01 Exercice 1-4,5 points Résoudre les équations et l inéquation suivantes :,5 points (E 1 ) : ln(x 5) + ln(x + 4) = ln(3x ) (E 1 ) est définie en x si et seulement si : (1 Point) (E 1 ) ln ( (x 5)(x + 4) ) = ln(3x ) x + 5 > 0 x + 4 > 0 3x > 0 x > 5 x > 4 x > 3 ] [ 5 x ; (x 5)(x + 4) = (3x ) et x > 5 x = 18 et x > 5 (1 Point) x = 3 ou x = 3 et x > 5 Donc S = {3} (0,5 Point) 1 point (E ) : e x = e x+1 (E ) x = x + 1 x + x 3 = 0 P (x) = x +x 3 a pour discriminant = 16 donc P (x) possède deux racines x 1 = 1 et x = 3 Donc S = { 3; 1} 1 point (I) (I) : 6 t > 5 10 t ( ) 6 t > 5 10 ( ) 6 t ln 10 ( 3 t ln 5) > ln 5 > ln 5 t < ln 5 ( 3 ( ) car ln < 0 ln 3 5) 5 t < 3, 0, 5 Donc S =] ; 6, 4[

11 Exercice - 6,5 points On considère le polynôme P (X) = X 3 + 3X 8X point P (1) = 0, donc P (X) est factorisable par (X 1). points X 3 +3X 8X +3 X 1 (X 3 X ) X +5X 3 5X 8X (5X 5X) 3X +3 ( 3X +3) 3. 1,5 point Ainsi X 3 + 3X 8X + 3 = (X 1)(X + 5X 3). Posons Q(X) = X + 5X 3 : le discriminant de Q(X) est = 49 donc Q(X) possède deux racines réelles X 1 = 3 et X = 1 (, et Q(X) = (X + 3) X 1 ) ( Donc P (X) = (X 1)(X + 3) X 1 ) 0 4. points x X X X X P (X) X Donc P (X) X 0 X [ 3; 0[ [ 1 ; 1 ] Exercice 3-1 points Soit f la fonction définie par f(x) = x + ln(x ) 1. 0,5 point D f = R, car x 0, x > 0, donc x ln(x ) est définie sur R et la fonction inverse est elle aussi définie sur R.. 1,5 point x x = et x ln(x ) =. Et x 0,5 point De même, x ln x =, donc par composition, x = 0, donc par somme, x x + ln(x ) =. x x + ln(x ) = 3. 1,5 point x = 0 + et ln x = (cours), donc par composition, x<0

12 x<0 ln(x ) =. De plus, x x<0 = donc par somme, x + ln(x ) = x<0 4. 1,5 point La ite en 0 + est une forme indéterminée du type ; on a : x > 0, f(x) = + x ln(x ) + x ln x = x x Par croissances comparées, x ln x = 0 donc + x ln x =, donc par quotient, + x ln x = x 5. 1 point x D f, f (x) = x + x (x 1) = x x 6. 1 point Sur D f, le signe de f (x) est celui de x 1, on a donc : x 0 1 f (x) 0 + f(x) 7. 0,5 point La tangente à C f au point A(1; ) a pour équation y = (tangente horizontale). f(x) 8. 1,5 point on a = x x x x + ln x = 0 (croissances comparées) : C f x possède donc une branche parabolique d axe horizontal au voisinage de. 9. 1,5 point Sur ] ; 0[, f est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de plus 0 f (] ; 0[) =] ; [ : donc d après le théorème des va leurs intermédiaires, il existe un unique réel α ] ; 0[ tel que f(α) = 0. Sur ]0; [, f possède pour minimum, donc l équation (E) ne possède pas de solution sur ]0; [. Conclusion, l équation (E) : f(x) = 0 possède une solution réelle, α point x α 0 f(x) + 0 +