Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles?

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Marie-Thérèse Lavallée
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1 B1 ESH Exercices de déombremet Corrigé Exercice 1 A la catie du lycée, o a le choix etre 3 etrées, 2 plats et 4 desserts. Combie de meus (composés d'ue etrée, d'u plat et d'u dessert) sot possibles? Soit E,P et D les esembles des etrées, des plats et des desserts, respectivemet. Soit M l'esemble des meus. U meu est u triplet formé d'ue etrée, d'u plat et d'u dessert. Doc : M=E X P X D (produit cartésie). Doc card(m) = card(e) x card(p) x card (D) = 24 Exercice 2 Le loto : o tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combie de tirages possibles? ( 49 6 ) Exercice 3 O cosidere les mais de 5 cartes que l o peut extraire d u jeu de 52 cartes. 1. Combie y a-t-il de mais différetes? ( Combie y a-t-il de mais compreat exactemet u as? ( 4 1) 3 ) 3. Combie y a-t-il de mais compreat au mois u valet? Esemble complémetaire : mais sas valet. Il y e a : Doc le ombre cherché est ( Combie y a-t-il de mais compreat (a la fois) au mois u roi et au mois ue dame? Complémetaire : sas roi ou sas dame. Nombre de mais sas roi : Nombre de mais sas dame : Nombre de mais sas roi ou sas dame : (cardial de l'uio ) ( + 48 ( - 44 Doc le ombre cherché est ( 52 - ( + - ( 44 ) Exercice 4 La course et le podium : das ue course de 100m, il y a huit partats umérotés de 1 a 8. Sur le podium, il y aura les trois médaillés (or - arget - broze). Combie y a-t-il de podiums possibles? $ 3-listes sas répétitio : 8 7 6

2 Exercice 5 U tiroir cotiet 5 paires de chaussures oires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaussures rouges. O choisit deux chaussures au hasard et simultaémet ; et o suppose toutes les chaussures différetiables. 1. Combie y a-t-il de tirages possibles? 20 chaussures au total. O e pred deux simultaémet. Doc : ( 20 2 ) tirages possibles. 2. Combie de tirages ameet deux chaussures vertes? deux chaussures de même couleur? Il y a 6 chaussures vertes. Doc il y a 6 tirages possibles. 2 Tirages de même couleur : Soiet N,V,R les esembles de tirages costitués de 2 chaussures oires, vertes et rouges, respectivemet. Soit E l'esemble des tirages ameat deux chaussures de la même couleur. Alors : E=N V R Il s'agit évidemmet d'uios disjoites. Doc card(e) = card(n) + card(v) + card(r) Soit card(e) = Combie de tirages ameet u pied gauche et u pied droit? au mois u pied gauche? U pied gauche et u pied droit : Pied gauche : 10 1 (ou 10) possibilités. Idem pour le pied droit. Doc 100 tirages possibles. Au mois u pied gauche : Aucu pied gauche : ( 10 2 ) Doc au mois u pied gauche : ( 20 2 ) - ( 10 2 ) 4. Combie recostituet ue paire de chaussures avec u gauche et u droit de même couleur? La aussi, uio disjoite d'esembles (la paire est oire OU verte OU rouge). Les cardiaux s'additioet. Doc résultat : 5² + 3² + 2² = 38 tirages possibles. Exercice 6 O tire 3 cartes au hasard das u jeu de 52 cartes classique (13 hauteurs et 4 couleurs ). 1. Nombre de tirages possibles? 2. Détermier alors le ombre de tirages coteat a) 3 cartes (exactemet) de même hauteur b) 2 cartes (exactemet) de même couleur O tire 3 cartes au hasard das u jeu de 52 cartes classique (13 hauteurs et 4 couleurs ). 1. Nombre de tirages possibles? Tirage simultaé, sas ordre. Doc 52 3 tirages possibles. 2. Détermier alors le ombre de tirages coteat a) 3 cartes (exactemet) de même hauteur

3 O fixe la hauteur e questio : 13 1 (ou 13) possibilités. Il y 13 hauteurs.. Esuite o choisit les cartes a l'itérieur de cette hauteur : 4 3 Doc = 52 tirages possibles. 3 b) 2 cartes (exactemet) de même couleur Choix de la couleur répétée deux fois : 4 1 (il y a 4 «couleurs»: Pique, Trefle, Carreau, Coeur) Choix de la troisieme carte : 'importe laquelle mais pas das la couleur précédemmet choisie: 39 1 possibilités. Doc tirages possibles. Exercice 7 O fait 5 tirages d ue boule- successivemet et avec remise- das ue ure coteat 9 boules umérotées de 1 a Nombre de tirages possibles? Il s'agit de compter les applicatios de [[1;5]] das [[1;9]]. Soit Déombrer alors l esemble des tirages coteat a) (exactemet) 2 fois la boule 2 O fixe les rags de tirage pour les deux tirages de la boule 2 : 5 2 possibilités. Doc fialemet : tirages Esuite, il faut placer des uméros (sauf le 5) aux trois autres tirages : 8 3 b) au mois 1 fois la boule 9 O passe au complémetaire : tirages c) 3 fois la boule 3 et 1 fois la boule 1 Pour les 3 boules 3 : 5 3 plus qu'ue possibilité pour les 2 boules 1. Doc 5 3 tirages. possibilités. Ue fois que les places des boules 3 sot attribuées, il e reste 3. a) Nombre de tirages tels que le 2e tirage ait doé la boule 1? Le tirage uméro 2 est pris. Reste a attribuer 4 uméros. Doc 9 4 tirages possibles.

4 b) Nombre de tirages tels que la 2e boule 1 tirée l ait été au 3e tirage? Rag de premiere boule 1 : 2 1 possibilités. Esuite, il faut ue boule différete de la boule 1 pour la place laissée libre avat le 3e tirage. 8 1 Et pour les 2 deriers tirages, les 9 boules sot possibles. Soit 9 2 possibilités. Fialemet : tirages. Exercice 8 Combie de uméros de téléphoe peut-o attribuer e Frace, sachat que : L idicatif de régio est 01, 02, 03, 04 ou 05. Les deux chiffres suivat doivet être disticts. Choix de l'idicatif : 5 possibilités. Choix des deux chiffres suivats : 10 9 (2-liste sas répétitio). Choix des 8 autres chiffres : 10 8 (8-liste) Doc le ombre cherché est Exercice 9 Das ue ure, o place boules blaches et ue oire. O tire simultaémet k boules. Eocé ambigu comme d'hab. Il y a deux réposes selo que les boules blaches sot distiguables (cas a) ) ou pas (cas b) ). 1. Combie y a-t-il de tirages sas boule oire? a) b) 1 2. Combie y a-t-il de tirages avec au mois ue boule oire? a) ( k 1) b) 1 3. Combie y a-t-il de tirages possibles e tout? a) ( +1 k ) b) 2 Exercice 10

5 1. Combie d aagrammes peut-o former avec les lettres du mot OIGNON? 6! 2! 2! 2. Combie d aagrammes peut-o composer avec les lettres du mot BALKANISATION? 13! 3! 2! 2! 3. Combie d aagrammes peut-o composer e utilisat toutes les lettres du mot FILOZOFI? 8! 2! 2! 2! Exercice 12 (plus difficile) Soit E u esemble de cardial. 1. Combie y-a-t-il de couples(a,b) de parties de E tels que A B= Soit F cet esemble. F = { (A,B);A E, B E, A B= } Soit F k = { (A,B);card (A)=k, A E,B E, A B= } k= Il est clair que F= Fk et que cette uio est disjoite. Doc card(f) = card(f k ) Soit maiteat F A =B E ;A B= O a alors : F k = A E ;card( A)=k F A La ecore, cette uio est disjoite. Doc card( F k ) = card (F A ) A E;card (A)=k card(e) card(a card(a) card (E) card (A) Mais card( F A ) = )( i=0 i ) = ( card(a) i=0 i ) (ombre de parties a k élémets parmi card(e) card(a), pour k variat de 0 a card(e)-card(a)) Et card( F k ) = A E;card (A)=k k i=0 ( k i ) k Mais ( k i=0 i ) =2 k (Biôme de Newto de (1+1) k ) Il y a parties de E a k élémets. Doc card( F k ) = 2 k Et efi card(f) = 2 k = 3 (Biôme de Newto de (1+2) ) Et tels que A B=E? A B=E <=> A B=A B= L'esemble des couples (A,B) est e bijectio avec l'esemble des couples (A,B) Doc le ombre de couples cherché est ecore 3.

6 2. Combie y-a-t-il de triplets(a,b,c)de parties de E tels que A B C=E? Pour compter ces triplets, o peut compter les couples ( ( A B),C ), tels que ( A B) C =E et 0 card( A B ) Choix du sous-esemble A B de k élémets : possibilités. Combie de couples (A,B) : 3 k d'apres 1. Combie de faços de choisir C tel que (A B) C = E : autat de faços qu'il y a de sous esembles de A B. E effet, C est parfaitemet défii par so itersectio avec A B. Il y a 2 k sous-esembles d'u esemble de cardial k. (Voir plus haut) Doc, pour card( A B )= k, il y a 3k 2 k triplets. Et o fait la somme sur k. Doc fialemet, le ombre de triplets cherché est : ( k) 3k 2 k = 6k = 7 Exercice 13 Soit E u esemble de cardial. 1. Combie y-a-t-il de parties de E formées de k élémets? 2. Combie y-a-t-il de k-uplets d élémets de E? k 3. Combie y-a-t-il de k-uplets d élémets deux a deux disticts de E?! ( k)! 4. Combie y-a-t-il de k-uplets d élémets deux a deux disticts de E, tel que le premier élémet est le plus petit et le derier élémet est le plus grad? (k 2)! 5. Combie y-a-t-il de k-uplets d élémets de E ordoés das l ordre strictemet croissat?

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