APPROXIMATION PAR RÉSEAUX À FONCTIONS RADIALES DE BASE APPLICATION À LA DÉTERMINATION DU PRIX D ACHAT D UNE

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1 APPROXIMATION PAR RÉSEAUX À FONCTIONS RADIALES DE BASE APPLICATION À LA DÉTERMINATION DU PRIX D ACHAT D UNE OPTION. A. Lendasse, J. Lee 2, E. de Bodt 3, V. Wertz, M. Verleysen 2 Unversté catholque de Louvan, CESAME, 4 av. G. Lemaître B-348 Louvan-la-Neuve, Belgum, {lendasse, wertz}@auto.ucl.ac.be. 2 Unversté catholque de Louvan, Département d Electrcté, 3 pl. du Levant, B-348 Louvan-la-Neuve, Belgum, {lee, verleysen}@dce.ucl.ac.be. 3 Unversté catholque de Louvan, IAG, pl. des Doyens, B-348 Louvan-la-Neuve, Belgum, debodt@fn.ucl.ac.be. Résumé. Nous proposons une méthode d approxmaton de foncton par réseaux à fonctons radales de base. Nous montrerons que cette méthode d approxmaton peut être amélorée par un prétratement des entrées basé sur un modèle lnéare. Cette méthode d approxmaton sera applquée à la détermnaton du prx d achat d une opton. Abstract: APROXIMATION USING RADIAL BASIS FUNCTION NETWORKS: APPLICATION TO PRICING DERIVATIVE SECURITIES. The general scheme of approxmaton supposes the exstence of a relatonshp between several varables (the nputs) and a dependent varable (the output). Ths relatonshp s unknown; we try to buld an approxmator between the nputs and the output. In that purpose, we need a set of nputs-output couples that form the learnng data of the approxmator. In ths paper, we wll use a neural network approxmator: the radal bass functon network (or network). Many technques have been developed for the learnng phase of ; we use the technque descrbed n [5]. We wll show that the results obtaned wth these can be mproved by a pre-processng technque. Ths preprocessng s based on lnear models. It does not ncrease the complexty of the learnng phase but mproves the accuracy of the approxmator. These technques are appled to prcng dervatve securtes. Hutchnson, Andrew and Poggo [6] have treated ths problem. They used smulated data and showed that are adequate models to prcng dervatve securtes and also to hedgng them. The results we obtaned are comparable to Hutchnson's results but the learnng scheme s smplfed n our case. We wll use ths example to llustrate the advantages of our preprocessng technque for. BF are non-lnear parametrc approxmaton models based on combnatons of Gaussan functons. In most cases, these Gaussan functons are radal (ther output value depends only on the Eucldean dstance between the nput vector and a centre). As a consequence, nput varables are not scaled n, whle a proper scalng could be more adequate. Our purpose s to elmnate ths lmtaton, wthout penalsng the smplcty of the learnng phase. If we buld a lnear model between the nputs and the output, ths output wll be approxmated by a weghted sum of the nputs. The weght assocated to each nput determnes ts mportance on the approxmaton of the output. Ths gves a very smple technque to determne the mportance of all the nputs on the output. Therefore we are gong to scale the nputs by the correspondng weghts. A new so-called Weghted s bult, gvng adequate mportance to each of the nputs. We test our weghted on the example of prcng dervatve securtes. Ths example has been used by par Hutchnson, Lo and Poggo, we apply the same method to generate the data. In ths paper, the authors use the Black-Scholes formula to generate the data and to smulate the prce of dervatve 275

2 securtes (named C). The purpose of the model s to gve an approxmaton Ĉ of C. Three measures of performance are used. The frst one s the determnaton coeffcent R 2 between C and Ĉ. The two other measures are the trackng and predcton errors. To measure the qualty of the results obtaned by the tradtonal and the weghted, we smulated a sx-month prce sample. In both cases, the number of Gaussan functons s chosen equal to 6. Then, 500 dfferent sx-months test sets are generated; the three performance measures are evaluated on both. The results obtaned for R 2 are presented n the next Fgure. The X-coordnate s a desgn coeffcent k (used n the approxmaton scheme) and the Y-coordnate s the value of R 2. The dotted lne shows the results obtaned wth the classcal and the sold lne shows the results of the weghted. The mprovement obtaned thanks to weghtng s undenable. In ths paper, we used a tradtonal method to parameterse a. We then suggested an mprovement, consstng n weghtng the nputs by the coeffcents obtaned by a lnear model. Ths approxmaton scheme s tested to prcng dervatve securtes. The results obtaned show an undenable advantage for the weghted. Moreover, the results are comparable to the best and mult-layer perceptron bult n the Hutchnson's paper. The advantage of the weghted s the smplcty of the learbng phase, whle keepng the qualty of the approxmaton.. Introducton L approxmaton de foncton est une des utlsatons les plus courantes des réseaux de neurones artfcels. Le cadre général du problème d approxmaton est le suvant. On suppose l exstence d une relaton entre pluseurs varables (les entrées) et une varable de sorte. Cette relaton étant nconnue, on essae de construre un approxmateur «boîte nore» entre ces entrées et cette sorte. La structure de cet approxmateur dot être chose et l'approxmateur calbré pour représenter au meux la dépendance entrées-sorte. Pour réalser ces dfférentes étapes, on dspose d un ensemble de couples entrées-sorte qu forment les données d apprentssage de l approxmateur. Le type d approxmateur le plus courant est l approxmateur lnéare. Celu-c a l avantage d être smple et peu coûteux en calculs, mas l ne convent évdemment pas s la vrae relaton entre les entrées et la sorte est non lnéare. On se tourne alors vers les approxmateurs non lnéares comme les réseaux de neurones artfcels. Les réseaux de neurones artfcels les plus populares sont les perceptrons multcouches qu ont été développés par Werbos [] et Rumelhart [2]. Dans cet artcle, nous utlserons un autre type de réseaux de neurones : les réseaux à fonctons radales de base (ou réseaux ) [3]. Ces réseaux ont l avantage d être beaucoup plus smples que les perceptrons tout en gardant la fameuse proprété d approxmaton unverselle de fonctons [4]. De nombreuses technques ont été développées pour l apprentssage des. La technque que nous avons chose a été développée par Verleysen et Hlavačkova [5]. Cette technque est sans doute une des plus smples mas elle donne de très bons résultats. Les ans que la technque d apprentssage chose seront présentées au paragraphe 2. Nous allons montrer que les résultats obtenus à l ade des peuvent être amélorés par une technque de prétratement des entrées. Cette technque de prétratement est basée sur des modèles lnéares. Elle ne complque pas l apprentssage des mas permet d obtenr des résultats ntéressants. Cette technque de prétratement sera présentée au paragraphe 3. Ces dfférentes technques seront applquées à la détermnaton du prx d achat d optons. Ce problème a été traté avec succès par exemple par Hutchnson, Andrew et Poggo en 994 [6]. Ceux-c ont utlsé des données smulées et ont montré que les permettaent de détermner le prx d achat d optons mas également d effectuer la couverture de ces optons. Les résultats que nous obtenons sont comparables aux résultats de Hutchnson et al. mas avec un processus d apprentssage smplfé. Nous montrerons sur cet 276

3 exemple les avantages de notre technque de prétratement des données. Cet exemple sera traté en détals au paragraphe Approxmaton par Nous dsposons d un ensemble d entrées x t et un ensemble de sortes y t. L approxmaton de y t par un sera notée ŷ t. Cette approxmaton sera la somme pondérée de m fonctons gaussennes Φ : m ŷ, () t = λφ(xt,c, σ ) = 2 xt C 2σ avec Φ (x,c, σ ) = e. (2) Le est schématsé à la fgure. t La complexté du est détermnée par le nombre de noyaux Gaussens. Les dfférents paramètres à détermner sont la poston des noyaux Gaussens (C ), leurs varances (σ ) et les facteurs multplcatfs (λ ). La technque qu permet de les détermner est développée en détals dans [5]. Nous allons l explquer brèvement. Nous allons chosr la poston des noyaux gaussens en foncton de la dstrbuton de x t dans l espace. Aux endrots où l y a peu d'entrées x t nous mettrons peu de noyaux et nversement, là où l y a beaucoup de ponts, nous mettrons beaucoup de noyaux. x x 2 Φ λ Φ 2 λ 2 y t λ m x n- Φ m x n Fgure : Représentaton d un. La technque qu permet de réalser cette opératon porte le nom de quantfcaton vectorelle et les ponts qu résument l nformaton de départ portent le nom de centroïdes. La quantfcaton vectorelle se compose de deux étapes. On ntalse d abord les centroïdes aléatorement dans l espace. Ensute on va les déplacer de la manère suvante. Tous les ponts x t sont passés en revue et pour chacun de ceux-c le centroïde le plus proche sera déplacé dans la drecton de x t selon la formule suvante : C = C + α(x C ), (3) t 277

4 avec x t le pont consdéré, C le centroïde le plus proche de x t et α un paramètre qu décroît au cours du temps. Des détals supplémentares sur les méthodes de quantfcaton vectorelle peuvent être trouvés dans [7,8]. Le second paramètre à chosr est la largeur des dfférents noyaux gaussens (σ ). Nous avons chos de travaller avec des largeurs dfférentes pour chaque noyau. A cette fn, nous défnssons la zone de Voronoï d un centroïde comme la régon de l espace qu est plus proche de ce centroïde que de n mporte quel autre centroïde. Dans chacune de ces zones de Voronoï, on calcule la varance des ponts de cette zone. La largeur d une gaussenne donnée sera le produt de la varance dans la zone de Voronoï où se stue le noyau, multplée par un facteur k. Nous montrerons sur notre exemple comment chosr ce paramètre. Cette méthode a pluseurs avantages, le plus mportant de ces avantages étant que les dfférentes gaussennes recouvrent largement l espace des entrées du. Les derners paramètres à détermner sont les facteurs multplcatfs λ. Mas s tous les autres paramètres sont fxés, ceux-c sont détermnés par la résoluton d un smple système d'équatons lnéares. Le nombre total de paramètre est égal à m*(n+)+ avec n la dmenson de l espace des entrées et m le nombre de gaussennes utlsées dans le. 3. avec entrées pondérées Une des lacunes des que nous avons présentés est qu ls donnent une mportance égale à toutes les varables d'entrée. Cela n est pas le cas d autres approxmateurs de fonctons comme les perceptrons multcouches. Nous allons tenter d élmner cette lacune tout en ne pénalsant pas le processus de détermnaton des paramètres du. Supposons d abord que toutes les entrées sont normalsées. Nous entendons par-là qu elles ont toutes une moyenne nulle et une varance untare. S nous construsons un modèle lnéare entre nos entrées et la sorte, la sorte sera approxmée par une somme pondérée des dfférentes entrées. La pondératon assocée à chaque entrée détermne l mportance que celle-c a sur l approxmaton de la sorte. En effet, s l on dérve le modèle lnéare par rapport aux dfférentes entrées, ce sont ces pondératons que l on retrouve. Cec est llustré dans l exemple suvant : y ŷ = 2x + x 2, (4) et donc nous avons : y x y x 2 ŷ x ŷ x 2 = 2, (5) =. (6) Nous dsposons donc d un moyen très smple pour détermner l mportance relatve des dfférentes entrées sur la sorte. Nous allons ensute multpler les dfférentes entrées normalsées par ces facteurs de pondératon. Ces nouvelles entrées seront utlsées dans un tel que nous l avons présenté dans la secton précédente. Ce nouvel que nous qualferons de «pondéré», donnera donc une mportance dfférente aux dfférentes varables d'entrées. 278

5 4. Détermnaton du prx d achat d une opton 4. Génératon des données Nous allons tester notre avec entrées pondérées sur un exemple de détermnaton du prx d achat d une opton. Cet exemple a été traté par Hutchnson, Lo et Poggo en 994 [4], nous utlserons la même méthode de génératon des données. Dans cet artcle les auteurs utlsent pour générer leurs données la formule de Black-Scholes [9] pour smuler le prx d achat d une opton. Cette formule est la suvante : avec et r(t t ) C(t) = S(t) Φ(d) Xe Φ(d 2), (7) d 2 S(t) σ ln + r + (T t) X 2 =, (8) σ T t d 2 = d σ T t. (9) Dans les formules c-dessus, C(t) est le prx d achat d une opton, S(t) le prx de l acton, X le prx de l exercce, r le taux d ntérêt sans rsque, T-t le temps jusqu à maturté, σ la volatlté et Φ est la foncton de dstrbuton normale standardsée. S r et s sont fxes, ce qu est le cas dans nos smulatons, le prx de l achat d une opton sera unquement foncton de S(t), X et T-t. Le type d approxmaton qu est chos est le suvant : S(t) (t) = f, T t X Ĉ. (0) De façon tradtonnelle, pour notre smulaton, le prx de l acton pendant une pérode de deux ans sera généré par la formule suvante : t Z = S (t) = S(0)e, () en prenant le nombre ouvrés de jours par année égal à 253 et Z t une varable aléatore extrate d une dstrbuton normale de moyenne µ = 0.0/253 et de varance σ 2 = 0.04/253. La valeur S(0) est égale à 50 US$. Le prx e l exercce X et le temps jusqu à maturté T-t sont détermnés par les règles du «Chcago Board Optons Exchange» (CBOE) [0]. En résumé, les règles sont les suvantes : le prx de l exercce est un multple de 5$ pour des prx d acton entre 25 et 200$ ; les deux prx d exercce les plus proches des prx d actons sont utlsés à chaque expraton d optons ; un trosème prx d exercce est utlsé lorsque le prx d acton est trop proche du prx d exercce (mons d un dollar) ; 279

6 4 dates d expratons sont utlsées : la fn du mos courant, la fn du mos suvant et les fns des 2 trmestres suvants. Une trajectore typque obtenue grâce à ces règles est représentée à la fgure 2. Fgure 2 : Le trat contnu représente le prx de l acton. Les trats en oblque représentent les dfférents prx d exercces. Ceux-c sont représentés en oblque pour rendre les dfférentes dates d ntroducton et d expraton vsbles. Les prx d opton d achat obtenus en utlsant ces trajectores sont représentés à la fgure 3. Fgure 3 : prx d opton d achat obtenus en utlsant les trajectores smulées et la formule de Black- Scholes. 280

7 4.2 Mesure des performances Tros mesures de performances vont être utlsées. La premère mesure est le coeffcent de détermnaton R 2 entre C et Ĉ. Les deux autres mesures de performance sont les erreurs de "trackng" ξ et de prédcton η. Ces erreurs sont défnes comme sut : [ V(T) ] ξ = e rt E, (2) [ V(T) ] + Var[ V(T) ] rt 2 η = e E, (3) avec V(t) = V (t) + V (t) V (t). (4) S B + C V(t) est la valeur du portefeulle au temps t, V S la valeur de l acton, V B la valeur des oblgatons et V C la valeur de l opton. Les valeurs ntales de ces termes peuvent être calculées de la manère suvante : V (0) = S(0) (0), (5) S F(0) ( 0) =, (6) S V (0) = F (0), (7) C BS V (0) = (V (0) V (0)), (8) B S + C avec F BS le prx de l opton par la formule de Black-Scholes et F son approxmaton par un. On peut ensute calculer les autres termes : V (t) = S(t) (t), (7) S F (t) ( t) =, (8) S r V (t) = e V (t ) S(t)( (t) (t )). (9) B B 4.3 Résultats Pour mesurer la qualté des résultats obtenues par les classques et pondérés, nous avons smulé un échantllon de prx d une durée de 6 mos (en utlsant les formules (7) et ()). Deux sont calbrés sur ces données : un classque et un pondéré. Le nombre de gaussennes utlsé est de 6. Cela correspond en effet à 9 paramètres par, ce qu est plus ou mons équvalent au à 20 paramètres qu est utlsé dans [6]. Ensute, 500 ensembles de test sont générés (en utlsant les mêmes formules) et l on mesure R 2 pour chacun des deux. On mesure également ξ et η obtenus pour les deux ans que pour la formule exacte de Black-Scholes. 28

8 Les résultats obtenus pour R 2 sont présentés à la Fgure 4. On y trouve en abscsse le coeffcent k utlsé pour calculer la largeur des noyaux et en ordonné la valeur du R 2 (moyennée sur les 500 ensembles de test). Les résultats du classque sont en pontllés alors que ceux du pondéré sont en trat plen. La valeur de k à utlser est chosr comme la plus pette valeur donnant un résultat (en termes de R 2 ) proche de l'asymptote, c'est à dre une valeur stuée dans le coude des courbes de la fgure 4. Une valeur de k = 4 a été chose. Le gan obtenu grâce à la pondératon est ncontestable. Le R 2 obtenu dépasse les 99% ce qu est tout à fat équvalent aux résultats de [6] mas en utlsant des beaucoup plus smples. Fgure 4 : Valeur du R 2 en foncton du coeffcent k du : en pontllé les résultats du classque et en trat plen ceux du pondéré. Les résultats obtenus pour ξ et η sont également à l avantage du pondéré. En moyenne, pour le classque nous avons ξ =.80 et η = Pour le normalsé, nous avons ξ =.24 et η =.50. En ce qu concerne les mesures de performance pour la formule exacte de Black-Scholes, nous avons ξ = 0.57 et η = Conclusons Dans ce paper, nous avons montré une méthode smple pour paramétrer un. Nous avons ensute proposé une améloraton de ce classque. Elle consste en la pondératon des entrées par les coeffcents obtenus à travers un modèle lnéare. Ces dfférentes méthodes ont été ensute testées pour la détermnaton du prx d achat d une opton. Les résultats que nous avons obtenus ont montré un net avantage pour le pondéré quelle que sot la mesure de performance utlsée. De plus, les résultats sont comparables aux melleurs ou perceptrons multcouches que l on peut trouver dans la lttérature. Les avantages de ce pondéré sont donc smplcté de paramétrage et qualté de l approxmaton. 282

9 Remercements Mchel Verleysen est chercheur qualfé du Fonds Natonal de la Recherche Scentfque belge (FNRS). Le traval de John Lee a été réalsé avec le support du Mnstère de la Régon wallonne, dans le cadre du Programme de Formaton et d Impulson à la Recherche Scentfque et Technologque. Une parte des résultats présentés dans ce paper a été fnancée par le Pole d Attracton Inter-Unverstare (PAI), nté par l état belge, mnstère des scences, des technologes et de la culture. La responsablté scentfque est lassée aux auteurs. Références [] Werbos P., Beyond regresson: new tools for predcton and analyss n the behavoral scences, PhD thess, Harvard Unversty, 974. [2] Rumelhart D., Hnton G., Wllams R., Learnng representaton by back-propagatng errors, Nature 323, pp , 986. [3] Powell M., Radal bass functons for multvarable nterpolaton : A revew, J.C. Mason and M.G. Cox, eds, Algorthms for Approxmaton, pp.43-67, 987. [4] Poggo T. et Gros F., Networks for approxmaton and learnng, Proceedngs of IEEE 78, pp , 987. [5] Verleysen M. et Hlavačkova K.: An Optmsed Network for Approxmaton of Functons. In: Proc of European Symposum on Artfcal Neural Networks, Brussels (Belgum), Aprl 994. [6] Hutchnson J., Lo A. et Poggo T., A Nonparametrc Approach to Prcng and Hedgng Securtes Va Learnng Networks, The Journal of Fnance, Vol XLIX, N 3, July 994. [7] Kohonen T., Self-organsng Maps, Sprnger Seres n Informaton Scences, Vol. 30, Sprnger, Berln, 995. [8] Gray R., Vector Quantzaton, IEEE Mag., Vol., pp. 4-29, Aprl 984. [9] Black F. et Sholes N., The prcng of optons and corporate labltes, Journal of Poltcal Economy, pp , 98. [0] Hull J., Optons, Futures, and Other Dervatve Securtes, 2 nd Ed., Prentce-Hall, Englewood Clffs, New Jersey,