Devoir corrigé Terminale S. D3n NOMBRE D OR

Transcription

1 Aters : France et Michel Villiamey D3n NOMBRE D OR TI-Nspire CAS Thème : Nombre d or et site de Fibonacci. Fichiers associés : D3n_NombreOr_CAS.tns. Enoncé a) Démontrer q il existe n sel nombre réel positif noté φ tel qe φ = + φ ; donner sa valer exacte et ne valer décimale approchée a millième. Ce nombre est nommé «Nombre d or». b) Cette qestion sera résole en grande partie grâce à n logiciel de géométrie. Constrire n segment [AB], pis la perpendiclaire en B à la droite (AB). Le cercle de centre B passant par A cope en dex points cette perpendiclaire. On nommera P n de ces dex points. Le cercle de centre I, milie d segment [AB], passant par le point P, cope la demi-droite [AB) en n point M. AM Mesrer à l aide d logiciel, les longers AM et AB et calcler le rapport. AB AM En modifiant la position d point B, étdier l évoltion d rapport. AB Etablir ne conjectre précise. Démontrer cette conjectre. c) On désigne par A le symétriqe d point A par rapport à B. Le cercle de centre A et de rayon [AM] cope le cercle de centre B passant par A en dex points dont l n sera noté N. Mesrer en degré, à l aide d logiciel, l angle A' A ˆ N. Etdier l évoltion de cette mesre qand on fait varier le point B. Etablir ne conjectre et la valider à l aide d n logiciel de calcl formel. d) On considère la site ( n ) de nombres réels positifs définie de la manière sivante : = = = + n+ n n+ por tot entier natrel n > 0. A l aide d n tabler, établir la liste des 50 premiers termes de cette site ; on ne recopiera pas cette liste sr la copie mais on fera figrer la procédre tilisée. Donner les valers exactes de 5, 37 et 44. Utiliser ne novelle colonne d tabler por faire apparaître les sommes sccessives : S = S = +.. S 50 = Etablir ne conjectre concernant la valer de la somme S n en fonction de n. Démontrer cette conjectre. Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -

2 Remarqe : on porra écrire = 3 3= 4 n + = n + n. e) Dans cette qestion (et la sivante), on désignera par f le nombre noté φ à la première qestion. Par définition f = + f. Montrer qe f 3 = + f. Ecrire de la même manière f 4, f 5 et f 6 sos la forme a + b. f où a et b représentent dex entiers natrels. En tilisant les résltats de la qestion d) donner, dans ne novelle colonne d tabler, la décomposition de f n por n variant de à 50 en détaillant la procédre tilisée. Donner la décomposition de f 3 et f. f) Démontrer qe f = +, pis qe f = +, pis qe f = +. f + + f + f Utiliser n logiciel approprié por constrire ne site de fractions qi converge vers le nombre φ de la première qestion. Donner les dix premières fractions de cette site et la valer décimale sr laqelle la site semble se stabiliser. g) Etdier à l aide d tabler le comportement de la site (w n ) définie par : w n n + = por tot entier natrel n non nl. n. Commentaires Les objectifs de ce devoir sont de mettre en évidence plsiers propriétés d nombre d or, d ordre algébriqe et géométriqe, en tilisant n tabler, n logiciel de calcl formel et n logiciel de dessin géométriqe, et d introdire la site de Fibonacci en liaison avec le nombre d or. 3. Réponses Les différentes pages d fichier : D3n_NombreOr_CAS.tns permettent de visaliser les principax écrans demandés et de répondre ax différentes qestions posées. L écran de la page détaille la démonstration de la qestion a) à l aide de l application Calcls avec le calcl formel. Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -

3 Mise en évidence de plsiers propriétés d Nombre d Or d ordre géométriqe : Constrire la figre de la qestion b) à l aide de l application Graphiqes & Géométrie, écran de la page. Mesrer les longers des segments [AM] et [AB]. AM Calcler le rapport et étdier son évoltion qand AB B varie. Conjectrer qe le rapport est constant. Les écrans de la page 3 présentent la démonstration de cette conjectre. Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -3

4 Dans ne page Graphiqes & Géométrie reprendre la figre de la page. Désigner par A le symétriqe d point A par rapport à B. Mesrer l angle A' A ˆ N, en degré, avec l otil angle dans le men Mesres. Etdier l évoltion de cette mesre en faisant varier le point B. Conjectrer qe la mesre de l angle est constante qelqe soit la position d point B. Démontrer cette conjectre à l aide des applications Editer de mathématiqes et Calcls, écran de la page 5. Etdier avec l application Tablers & Listes la site ( n ) définie à la qestion d) à l aide des formles figrant dans l écran de la page 6. Lire : 5 = = = Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -4

5 Conjectrer et démontrer qe : S n = n + en additionnant membre à membre les égalités proposées dans le sjet. La recherche des écritres sccessives demandées se fera dans l application Calcl, écran 7. Prendre la précation d effacer le conten de la mémoire f avant d aborder le calcl. Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -5

6 Les décompositions sccessives de f n s obtiennent dans l application Tabler & listes dans la colonne B. f 3 = 33*f + 44 f = 0 946*f Dans ne page Calcls, constrire la site de fractions demandée, écran de la page 9. Por cela remplacer f précédemment tilisée par g et constrire la site de fractions en validant par de manière répétitive à partir de la troisième ligne. Remarqer, en remplaçant la valer exacte par son approximation décimale, qe la site converge vers ϕ (,68.) Dans l application Tablers et Liste, étdier le comportement de la site des valers approchées de w n et remarqer q elle semble converger vers ϕ. Texas Instrments 007 / Photocopie atorisée D3n -6