COURS ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Transcription

1 COURS ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Ensemble N des entiers naturels I Propriétés de N: - Propriétés de l addition dans N: L opération est une loi de composition interne dans N a ε N b ε N, (a b) ε N La loi est commutative dans N : ( a b) ε N, a b b a La loi est associative dans N : ( a b c)εn, (a b) c a (b c) est l élément neutre de dans N : a ε N a a Tout élément de N est simplifiable ou régulier pour dans N : ( y z) ε N, z y z y - Propriétés de la multiplication dans N: La loi est une loi de composition interne dans N La loi est commutative et associative dans N est l élément neutre pour la dans N Tout élément non nul est simplifiable ou régulier par la Eemple de raisonnement par récurrence dans N: Démontrer par récurrence que n ε N n n est divisible par Pour n 7 6 est divisible par Supposons que n n est divisible par, montrons que (n) (n) est divisible par (n) (n) n n n 6 n n () n ( n n ) n Puisque n n est divisible par il eiste un nombre k tel que : n n k et il eiste k tel que : n k D où (n) (n) k k (n) (n) (k k ) est divisible par D après le principe de récurrence nεn n n est divisible par Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

2 Relation d ordre : est une relation d ordre total sur N Réfleive : ε N, Antisymétrique : ( y) ε N Transitive : ( y z) ε N y y y y z z y Deu éléments de N sont toujours comparables : ( y)εn y ou y II Division euclidienne dans N: - Activité : On donne a 7 et b 8 Trouver deu entiers q et r tels que : a bq r avec r < b Que représente q et r? -- 7 (8 8) 7 q 8 et r 7 q 8 est le quotient r 7 est le reste Théorème et définition : (a b)εn N *, il eiste un couple unique (q r) tels que a bq r avec r< b a dividende b diviseur q quotient r reste III Systèmes de numération: - Activité : Ecrire en base () Développement d un entier a selon une base b de numération : a) Théorème : Soit b un entier naturel supérieur ou égal à Pour tout nombre entier naturel non nul, il eiste une et une seule suite finie (a a a i a n ) de nombres entiers naturels telles que : - i à (n ) a i < b - < a n < b - a a b a b a n b n - L écriture a a b a b a n b n est appelée le développement du nombre dans la base b Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

3 Eemple : On donne 97 et b 9 Donner le développement du nombre dans la base neuf ( 9 ) 866 d où 97 ( 9 ) 866 b) Définition : Si le développement du nombre en base b est : a n b n a n b n a b a b a alors s écrit: ( b ) anan aa On dit qu on a représenté dans le système de numération à base b Remarques : Chaque nombre est strictement inférieur à la base b et représenté par un symbole appelé chiffre Les symboles utilisés dans la base di sont : Si la base b est supérieur à di on utilise les lettres A B C D pour représenter les nombres appartenants à [ b[ A di B onze C douze D treize Eemple : Ecrire 97 en base treize C () 8 BC B ou 97 treize Principales bases : a) Système de numération décimale (ou système à base di) : Les chiffres sont : Le nombre a s écrit a di ou a b) Système binaire (ou système à base deu) : C est la plus petite base rencontrée, les chiffres utilisés sont : et Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

4 Eemple : Ecrire en base deu 6 6 ( ) c) Le système headécimal (ou à base seize) : Les chiffres utilisés sont : A B C D E F Eemple : Ecrire en base seize le nombre 78 (6 ) On obtient 78 EC Opérations dans la base deu : a) Addition : Dresser la table d addition en base deu puis effectuer : ( ) ( ) report ( ) b) Multiplication : Dresser la table de multiplication en base deu puis ( ) ( ) effectuer : ( ) Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

5 Ensemble Z des entiers relatifs Z { } I Etension de la division euclidienne à Z: Théorème : Quels que soient les entiers relatifs a et b (a b) il eiste un couple unique (q r) d entiers relatifs tel que a bq r avec r < b Eemple : soit a 99 et b trouver (q r) ε Z tel que : a bq r avec r < b Effectuons la division euclidienne de a par b ( ) ( ) (98 ) 99 ( ) (99) donc q 99 et r Ensemble des multiples d un nombre : - Définition : Soit a et b deu entiers relatifs a est un multiple de b si et seulement si il eiste un nombre entier relatif k tel que a k b (a est multiple de b ) (Ů! k ε Z / a k b) Remarque : (a est multiple de b, b ) ( b a a pour reste ) L ensemble des multiples de a est noté : az { a a a a } Eemple : 7Z { 7 7 } Z { } Z Z Ensemble des diviseurs d un nombre : a) Définition : Soit a ε Z et b ε Z* On dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a si et seulement si a est un multiple de b On note : b/a «lire b divise a» b) Propriétés : La relation (/) est une relation d ordre partiel sur N* c) Notations : L ensemble des diviseurs d un entier relatif est noté : D a ou div (a) Dans la recherche de l ensemble des diviseurs d un nombre on se limitera au diviseurs positifs Eemples : div() { } div () { } Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

6 d) Détermination de l ensemble des diviseurs d un nombre: Eemple : a nous savons à priori que et sont des diviseurs de On cherche les diviseurs p de compris entre et a c'est-à-dire p ε [ ] p ε { } p p p ne divise pas p 6 Donc l ensemble des diviseurs de est : D { 6 6 } II Nombres Premiers: - Définition : On appelle nombre premier tout élément a de N { } qui admet comme diviseurs ( a a) dans Z* Donc par définition n est pas premier 7 sont premiers, par contre 6 8 ne sont pas premiers Remarque : a est premier ( a) est premier a est premier Il est donc suffisant d étudier les nombres premiers dans N Un entier naturel a est dit premier s il est différent de et admet comme diviseurs et a - Recherche des entiers naturels premiers: Pour étudier si un entier a de N { } est premier on peut rechercher l ensemble des diviseurs de a : D a Si D a { } alors a est premier Si aucun nombre premier compris au sens large entre et a, ne divise pas a, alors a est premier Eemple : 97 est-il premier? - Crible d Eratosthène : Cherchons les nombres premiers inférieurs ou égau à Les nombres premiers inférieurs à sont : Vérifions si 97 est premier Pour cela on cherche les nombres p compris entre et 97 9,8 p ε{ 7} donc 97 est premier Remarque : L ensemble des nombres premiers est infini Cours Arithmétique Page 6 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

7 III Congruence modulo n Anneau Z /nz: Définition : Soit n ε N* et deu entiers relatifs On dit que est congrue à modulo n si et seulement ( ) est un multiple de n Notation : [n] «se lit congrue à modulo n» Comme eemple [7] ε Z, ε Z, [n] ( ) ε nz Propriété caractéristique : Soit n ε N* ( ) ε Z [n] ( et ont même reste dans la division euclidienne par n) Propriété de la congruence modulo n : Réfleivité : Soit n ε N* ε Z [n] En effet : [n] car n Symétrie : ε Z ε Z [n] [n] En effet [n] k εz / kn kn [n] Transitivité : ( ɅɅ) ε Z En effet : ' ' ' [ n] '[ n] ' kn ' '' k ' n ' ' ' [ n] '[ n] '' ( k k' ) n ' ' [ n] ' ' Conclusion : la relation de modulo n est une relation d équivalence Règles de calculs sur la congruence modulo n : Soit (n k) ε (N*) ( y z t ) ε Z y [ n] R ) Si alors z) ( y t) [ n] z t [ n] y [ n] R ) Si alors z) ( y t) [ n] z t [ n] k R ) Si y [ n] alors k y [ n] ( ( [ n] Cours Arithmétique Page 7 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

8 Structure d anneau Anneau Z /nz: a) - Structure d anneau : Définition : L ensemble A est muni de et de On dit que (A ) est un anneau si et seulement si : (A ) est un groupe commutatif La loi est associative et distributive par rapport à De plus si la deuième loi est commutative on dit que A est un anneau commutatif Si la deuième loi admet un élément neutre, on dit que A est un anneau commutatif unitaire (ou unifère) Eemple : (Z ) est un anneau unifère b) - Anneau ( Z / nz ) : Classes modulo n : Nous savons que la congruence modulo n est une relation d équivalence sur Z On appelle classe d un élément a l ensemble des éléments qui sont en relation avec a On note : cl(a) ou a se lit «classe de a» Activité : Dans la congruence modulo ) Donnez ) Déterminer ) Comparer } n n I I I U U et Z ) } n Que remarque-t-on? Solution 6 9 { 8 7 } 6 6 sont les représentants de la classe de zéro { 7 8 } 6 n n n On remarque que dans la congruence modulo il n y a que classes : L ensemble des classes modulo est noté : Z /Z et s appelle ensemble quotient ) I I ) I U Z U sont disjoints deu à deu Cours Arithmétique Page 8 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

9 Conclusion : On dit que la relation de congruence modulo définie donc une partition de Z en classes (autant que de restes possibles dans la division euclidienne par ) } Plus généralement soit nεn*, Z /nz n car n- sont les restes possibles dans la division euclidienne par n Remarque : La classe d un élément a est généralement représentée par le plus petit élément positif ou nul de cette classe Eemple : Dans Z /Z on a : cl(6) est notée cl( ) est notée ( y) ε Z, y y [ n] Opérations dans Z /nz : Addition : Soit n ε N { }, dans Z /nz on définit une loi de composition interne notée et définie par : ε Z/nZ y ε Z/nZ 678 y y La loi est appelée la loi quotient du par la congruence modulo n Eemple : Dresser la table d addition dans Z/Z et dans Z/Z Multiplication : De façon analogue dans Z /nz on définit une loi de composition interne notée et définie par : ε Z/nZ y ε Z/nZ } y y La loi est appelée la loi quotient du par la congruence modulo n Eemple : Dresser la table de multiplication dans Z/Z Anneau intègre: a) Définition et propriété : On dit qu un anneau commutatif A est intègre si et seulement si ε A yε A y ou y (L anneau commutatif A est intègre ) ( y ou y ) Cours Arithmétique Page 9 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

10 Eemple : (Z ) est un anneau intègre par contre : (Z/9Z & & ) est non intègre car 6 mais 6 et & sont tous non nuls dans Z/9Z On dit que 6 et sont des diviseurs de zéro dans Z/9Z Plus généralement dans un anneau commutatif unifère, s ils eistent deu éléments non nuls dont le produit est nul : Ces éléments sont des diviseurs de zéro L anneau est non intègre b) Dans un anneau intègre : non intègre Dans Z/Z on a : a b et a b & mais & c) Si n est premier (Z/ Z/nZ & & ) est anneau intègre Ceci est fau dans un anneau d) Si n n est pas premier, il eiste dans Z/nZ des diviseurs de zéro Z/nZ est un anneau non intègre Eercice : Montrer que n ε N, n n est divisible par 9 ère Méthode : (Raisonnons par récurrence) Il suffit de montrer que n n [9] Si n n alors vraie n n n n n Supposons n n n n (n ) et montrons que n n ( n ) n n ( n ) n n ε N, n n est divisible par 9 ème Méthode : (restes de la division de n par 9) [9] période [9] donc k ε N, k [9] 7 [9] k [9] [9] k 7 [9] - Si n k on a : n [9] n [9] 8 [9] n n [9] n ( n ) D où Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

11 - Si n k on a : n [9] n 6 [9] - Si n k on a : n 7 [9] 8 [9] n n [9] n [9] 8 [9] n n [9] D où n ε N, n n est divisible par 9 ème Méthode : on peut aussi calculer les valeurs prises par n n lorsqu on substitue à n les valeurs respectives : 6 Équations dans (Z/nZ ) : a) Équations b ère méthode : Z/Z{ a : résoudre dans Z/Z } ème méthode : Définition : un élément a de Z/nZ est dit inversible si et seulement si il eiste un élément noté :a de tel que : a a a est appelé l inverse de a - Dans l équation a a b, si a est inversible on multiplie les deu membres par, est inversible dans Z/Z et son inverse est 6 b) Equations : b c a : Eemple : résoudre dans Z/7Z : alors ( ) intègre, on a : 6 ( ) 6 ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( 6 ( ) comme puisque Z/7Z est un anneau ou S Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

12 Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Eemple : résoudre dans Z/Z : 6 En général si n est premier on cherche l inverse de noté et on multiplie b par 7 est l inverse de 6 ( 7 ) ) ( 9 7) ( 7) ( ) 9 ( ) ( puisque l anneau est intègre on a : ou 8 S Eemple : résoudre dans Z/6Z : 6 Z/6Z est un anneau non intègre car 6 n est pas premier, donc admet des diviseurs de zéro : Les paires de diviseurs associés sont : 6 ( ) ou impossible ou S ou impossible ou Autre méthode : puisque n est petit nombre L ensemble des solutions est : S 7 Systèmes d équations: a) Résolvez dans Z/6Z le système y y b) Résolvez dans Z/6Z le système 6 y y

13 -- a) méthode : (substitution) Mise en garde : Z/6Z étant non intègre ne jamais essayer de simplifier une des équations y y () () () y, en remplaçant par sa valeur dans () on a : ( y ) y y y y y y * si y alors * si y alors S ( ) ( ) 8 Critères de divisibilité: Divisibilité par : Un nombre est divisible par s il est terminé par ou ou ou 6 ou 8 Divisibilité par : Un nombre est divisible par si la somme des ses chiffres est divisible par Divisibilité par : Un nombre est divisible par si le nombre constitué de ses deu derniers chiffres de la gauche vers la droite est divisible par Divisibilité par : Un nombre est divisible par si la somme de ses chiffres de rang impair moins la somme de ses chiffres de rang pair (de la droite vers la gauche) est divisible par Eemple : Soit divisible par donc est divisible par Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

14 Plus Petit Commun Multiple Plus Grand Commun Diviseur I Plus petit commun multiple de deu nombres : ) Eemple : Trouver Z Z que représente Z Z Quel est le plus petit élément positif non nul de Z Z? Z { } Z { } Z Z { } 6Z Le plus petit élément positif non nul de Z Z est 6 Cet élément est appelé le plus petit commun multiple à et On note : PPCM ( ) 6 ou 6 ) Définition : Soit a et b deu éléments de Z* On appelle plus petit commun multiple de a et b, le plus petit élément positif non nul de az bz Eemple : PPCM( ) On note : PPCM (a b) ou a b ) Théorème Fondamental: L ensemble des multiples communs à deu nombres est l ensemble des multiples de leur PPCM Autrement dit, lorsque PPCM(a b) µ on a : az bz µ Z m ε Z, [ m est multiple de a et b] [ m est multiple de µ] ) Propriétés: P ) Soient a et b deu entiers relatifs non nuls k ε N*, PPCM ( k a k b) k PPCM(a b) P ) Tout nombre divisible par a et par b n est pas toujours divisible par a b Eemple : est divisible par et par mais n est pas divisible par II Plus grand commun diviseur de deu nombres : ) Eemple : Soit a et b 8 Déterminer l ensemble des diviseurs positifs de et de 8 Quel est le plus grand élément de D D 8? D { 6 } D { 8 } alors a : D D 8 { } est le plus grand élément On note : PGCD ( 8) ou 8 ) Définition : Soit a et b deu éléments de Z* On appelle plus grand commun diviseur de a et b, le plus grand élément de :D a D b On note : PGCD (a b) ou a b Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

15 ) Théorème Fondamental: Lorsque PGCD(a b) δ on a : D a D b Dδ d εz*, [ d/a et d/b d/δ] ) Détermination pratique du PGCD de deu nombres: a) ère méthode : (Prendre le ma de D a D b ) Elle est bonne lorsque a et b sont des petits nombres b) ème méthode : on utilise la propriété suivante, pour tout nombre entier relatif non nul PGCD( y) PGCD ( y y) Eemple : 9 et y 6 PGCD(9 6) PGCD(9 6 6) PGCD(88 6) PGCD(88 6 6) PGCD(6 ) PGCD( 8) PGCD(68 8) PGCD(8 8) 8 c) ème méthode : (Algorithme d Euclide) Propriété (P) : PGCD(a b) PGCD(b r) avec a bq r Eemple : a 77 et b Donc PGCD(77 78) PGCD( 78 87) En réitérant 7 fois la propriété (P) on obtient le tableau ci-dessous a i b i r i Le PGCD cherché est le dernier reste non nul D où PGCD(77 78) 7 ) Nombres étrangers (ou nombres premiers entre eu) : a) Définition : Si a b alors on dit que a et b sont étrangers b) Théorème de Bézout : Deu entiers non nuls a et b sont dits étrangers s il eiste deu entiers relatifs k et l tel que : a k b l Cours Arithmétique Page sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

16 - Formulation : [a b ] [ Ů ( k l) ε Z / a k b l ] - Eemple: Déterminer et trouver deu entiers relatifs k et l tel que : k l Divisions Quotients 6 Restes ( ) 6 8) ( 6) ( 8) c) Théorème de GAUSS : D où k 6 et l 8 (a b c) ε(z*), si a / bc et a est étranger à b alors a/c d) Propriétés : Si a / bc Alors a / c et a b P ) ( a a b) ε(z*), [PGCD( a a b) P ) ( a a )ε(z*), n εz a a a a / n / n P ) Si a b alors a b n ( n ε N) a a P ) PGCD( a b) δ Ů! (a b ) ε(n*) tel que : P ) Si a b alors PPCM (a b) ab / n a a b b a δ a b δ b a b ] P 6 ) Si a est multiple de b alors PPCM(a b) a et PGCD(a b) b P 7 ) Soit m ε N* et m ε az bz PPCM(a b) m et sont étrangers m a m b Cours Arithmétique Page 6 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

17 e) Relation entre PGCD et PPCM : ( a b )ε(z*), PGCD (a b) PPCM (a b) a b 6) Eemple d utilisation du PGCD, du PPCM : Déterminer tous les couples d entiers naturels (a b) tels que En utilisant la propriété P ) on a : PGCD( a b) δ Ů! (a b ) ε(n*) tel que : a b 8 a δ a b δ a a b a b 7 a b 8 a 7a b 7b a b 7a b 7b 8 7( a b ) 8 7 a b 8 a a ε D et b ε D avec a b D { 6 } - er cas : si a et b alors a 7 et b 8 - ème cas : si a et b 6 impossible car et 6 sont non étrangers - ème cas : si a et b alors a et b 8 L ensemble des solutions est : S {(78)(87)( 8) (8 ) } 7) PGCD et PPCM de plusieurs nombres : Eemple : PGCD ( ) PGCD ( ) PPCM ( 78) PPCM ( 78) 6 8) Formule du binôme de Newton : n ( a b) n k C k n a n k b k C n a n b C k n C n a n b n! ( n k)! k! n n n n C n a b C n a b 9) Décomposition en produit de facteurs premiers : a) Eemples : Décomposer les nombres a 6 et b 97 en produit de facteurs premiers Cours Arithmétique Page 7 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

18 b) Application à la recherche du PGCD et du PPCM : Prenons a 787 et b 97 on a les décompositions suivantes a 7 b D où PGCD ( ) 7 Et PPCM ( ) 7 7 III Application à la résolution d une équation du er degré dans Z Z: En général soit à résoudre l équation : a by c (a b) ε (Z*), ( y) sont les inconnues dans Z Z (E) : a by c On cherche le PGCD (a b) δ Si δ ne divise pas c alors S(E) Ø Si δ/c alors on simplifie l équation par δ on obtient (E ) : a b y c avec a b On cherche une solution évidente ( y ) de (E ) à partir des multiples de a et b dont la différence donne c a b y c a b y c a ( ) b (y y ) a ( ) b (y y ) a ( ) b (y y ) a / b (y y ) d après Gauss que a / (y y ) k ε Z/ y y k a y y ka De même b / a ( ) d après Gauss que b /( ) kεz/ k b kb D où l ensemble des solutions de l équation est : Utilisation de la congruence: S {( kb y ka ) / k εz} a b y c a b y c a c [ b ] [ b ] kεz/ b k En remplaçant par valeur on a : y a k y Cours Arithmétique Page 8 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique

19 Eemples : Résoudre les équations a) 8y b) y -- a) 8y 8 δ ne divise pas donc S Ø b) y δ / donc on a : (E) : 7 y Une solution particulière de (E ) est le couple ( y ) ( ) à partir de 7N et N 7 y 7 y ( ) (y y ) 7 ( ) (y y ) 7 ( ) (y ) 7/(y ) d après Gauss 7/(y ) y 7k y 7k /7 ( ) d après Gauss /( ) k k L ensemble solution est S {(k 7k ) / k ε Z} Autre méthode : (utilisation de la congruence) y / donc on a : (E ) : 7 y 7 y 7 [] en multipliant par 8 on a : 6 6 [] [] k En remplaçant par sa valeur dans l équation 7 y, on obtient y 7k D où l ensemble solution est : S {(k 7k ) / k εz} Cours Arithmétique Page 9 sur 9 Adama Traoré Professeur Lycée Technique