Terminale S Problème de synthèse n 1 Fonctions irrationnelles - Fonction ln - Suites - Calcul d'aire

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1 Terminale S Problème de synthèse n f est la fonction définie sur par f() = orthonormal (O; i ; j )(unité graphique : 2 cm). A. Etude de la fonction f + - et C sa courbe représentative dans un repère ² + ) a) Trouver les limites de f en + et en -. b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 2) a) Trouver une équation de la tangente T à C au point d abscisse 0. b) Etudier la position de T par rapport à C. 3) Tracer T et la courbe C. B. Etude d une suite On définit la suite (u n ) par u 0 tel que - < u 0 < 0 et pour tout entier naturel n, u n+ =f(u n ). ) a) Démontrer que tout entier positif n, - < u n < 0. b) Démontrer que la suite (u n ) est décroissante. 2) a) Prouver que pour tout entier positif n : 0 < u n+ + b) En déduire que 0 < u n + k n (u 0 + ) avec k = u n + u 0 ² + u 0 ² +. c) Prouver que la suite (u n ) est convergente et trouver sa limite. C. Un calcul d aire On note F la fonction définie sur par : et pour tout réel > 0 : l() = 0 +t² dt et J() = 0 t +t² dt ) a) Calculer F () pour tout réel. b) En déduire I(). c) Calculer J(). F() = ln( + + ²), 2) On note A(λ) l aire, en unités d aire, du domaine D λ défini par la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équations respectives = 0 et = λ avec λ > 0. a) Calculer A(λ). b) En déduire lim A(λ)

2 Terminale S Problème de synthèse n A Etude de la fonction f CORRECTION ) a) lim f() = lim = -2 lim f() = lim = 0 b) f() = u() v() - avec u() = + et v() = ² + u () v() u() v () f () = v²() u () = et v () = f () = ² + ² + (+) ² + ² + ( + ) = ² + (² + ) ² + = f () est du signe de Tableau de variations de f : (² + ) ² + f' f() f() = = 2 2) a) Une équation de la tangente T au point d abscisse 0 est : y = f (0)( 0) + f(0) f (0) = et f(0) = 0 Une équation de T est donc y =. b) f() = + ² + - = ( + )( ² + - ) Donc ² + - > 0 ² + > > ² + < ² < 0 ² + Impossible car un carré est toujours positif. - < 0 pour tout réel. ² + 2

3 Terminale S Problème de synthèse n f() est donc du signe de ( + ) Si < - alors f() > 0 : la courbe C est au dessus de T. Si = - alors f() = : la courbe C et T se coupent au point (- ;-) Si - < < 0 alors f() < 0 : la courbe C est en dessous de T. Si = 0 alors f() = : la courbe C et T se coupent au point (0 ;0) Si > 0 alors f() < 0 : la courbe C est en dessous de T. 3) 3

4 Terminale S Problème de synthèse n B Etude d une suite ) a) Soit P n la propriété «- < u n < 0 pour tout entier positif n». P 0 est vraie car - < u 0 < 0 Supposons P n vraie. C'est-à-dire - < u n < 0. La fonction f étant croissante sur [- ;0], on a : f(-) < f(u n ) < f(0) Soit - < u n+ < 0 Donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence, P n est vraie pour tout n. b) Soit P n la propriété «u n+ < u n pour tout entier positif n». u u 0 = f(u 0 ) u 0 < 0 car la courbe C est en dessous de la droite d équation y = pour - < < 0 et - < u 0 < 0 et - < u < 0. Donc u < u 0 Donc P 0 est vraie. Supposons P n vraie. C'est-à-dire u n+ < u n u n et u n+ appartiennent à l intervalle ]- ;0[ d après la question précédente. Alors f(u n+ ) < f(u n ) car f est croissante sur [- ;0]. Donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence, P n est vraie pour tout n. Donc la suite (u n ) est décroissante. 2) a) u n+ + = u n + u n ² + Or - < u n u 0 < 0 car la suite (u n ) est décroissante. u n ² u 0 ² car la fonction carré est décroissante sur [- ;0]. u n ² + u 0 ² + u n ² + u 0 ² + car la fonction racine carré est croissante u n ² + car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+ [. u 0 ² + Donc u n+ + - < u n+ < 0 Donc u n+ + > 0 Donc : 0 < u n+ + u n + u 0 ² + u n + u 0 ² + 4

5 Terminale S Problème de synthèse n b) Soit P n la propriété «0 < u n + k n (u 0 + ) avec k =. pour tout entier positif» u 0 ² + P 0 est vraie 0 < u 0 + u 0 + Supposons P n vraie. Alors 0 < u n+ + P n. u n + u 0 ² + (u 0 + ) kn en utilisant la question précédente et la propriété u 0 ² + On a donc : 0 < u n+ + k n+ (u 0 + ) Donc P n+ est vraie. D après le principe de récurrence, P n est vraie pour tout n. c) La suite (u n ) est décroissante et minorée par - : elle est donc convergente. - < u 0 < 0 < u 0 ² + < 2 < u 0 ² + < 2 2 < u 0 ² + < Donc k < lim k n (u 0 + ) = 0 car k < n + Donc 0 lim u n+ + 0 n + Donc lim u n+ = - n + C Un calcul d aire ) a) F() = ln(u()) avec u() = + + ² F () = u () u() u () = + F () = Soit : F () = + ² + + ² + + ² = + ² + ² + + ² + + ² = + ² + + ²( + + ² = + ² ) b) Donc I() = F() F(0) = ln( + + ²) t c) Une primitive de k : t est K : t + t² + t² Donc J() = K() K(0) = + ² - + ² + + ²( + + ²) 2) a) A(λ) = 0λ f() d = J(λ) + I(λ) - λ 5

6 Terminale S Problème de synthèse n A(λ) = ln(λ + + λ²) + + λ² - - λ ( + λ² - λ)( + λ² + λ) b) A(λ) = ln(λ + + λ²) + ( + λ² + λ) A(λ) = ln(λ + + λ²) + A(λ) = ln(λ + + λ²) + + λ² - λ² + λ² + λ + λ² + λ D où : lim A(λ) = + car lim ln(λ + + λ²) = + et lim + λ² + λ = 0 6