Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Transcription

1 f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère orthonormal (O; i ; j ). b) Démontrer que la droite d d équation y = x est tangente à C f en un point A dont on déterminera les coordonnées. c) Tracer cette droite d dans le même repère que C f. 2) On note (u n ) la suite définie par la donnée d un réel u 0 de D et la relation de récurrence : Pour tout n, u n+1 =f(u n ). Quelle est la nature de la suite lorsque u 0 = 1? Le but du problème est d étudier le sens de variation et la convergence de la suite suivant le choix de u 0. 3) On suppose dans cette question que u 0 < 1. a) Utiliser les représentations graphiques du 1) pour conjecturer la monotonie et la convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Utiliser l étude des variations de f faite au 1 pour justifier la proposition suivante : «si u n < 1 alors u n+1 < 1». Si un terme de la suite appartient à l intervalle ]- ;1[, que peut-on dire de tous les termes qui le suivent? (On admettra ce résultat et ainsi l existence de u n quel que soit n.) c) Démontrer que, pour tout entier n, u n+1 u n = (u n 1)² et en déduire que (u n ) est strictement croissante. 1 d) On pose, pour tout entier n, v n = u n - 1. Calculer v n+1 v n pour prouver que v n est une suite arithmétique, préciser son premier terme et sa raison. e) Exprimer v n en fonction de n. Quelle est la limite de (v n ) lorsque n tend vers +? En déduire la limite de (u n ) lorsque n tend vers +. 1

2 4) On suppose, dans cette question que u 0 > 3. a) Utiliser les représentations graphiques du 1 pour conjecturer la monotonie et la convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Démontrer que u 1 < 1, et utiliser les résultats de la question 3 pour préciser les monotonies et convergences éventuelles de la suite (u n ) à partir du rang 1. 5) On se situe dans l intervalle I = ]1 ;3[. a) On pose u 0 = 5. Utiliser les représentations graphiques du 1 pour conjecturer la monotonie et la 2 convergence éventuelles de la suite (u n ). b) Quand x parcourt I, quel est l ensemble des valeurs prises par f(x)? c) Déterminer a, solution dans I, de l équation f(x) = 3, puis b, solution dan I, de l équation f(x) = a. Que se passe t-il si l on choisit u 0 = a ou u 0 = b? d) On pose, pour tout entier n 1, w n = n + 2 n. Calculer les cinq premiers termes de la suite (w n ) puis démontrer que, quel que soit n > 1, w n appartient à I. (On pourra remarquer que w n = n ). Vérifier que, pour tout n 1, f(w n+1 ) = w n. Expliquer pourquoi, pour tout n > 1, si l on choisit u 0 = w n, la suite (u n ) n est pas définie à partir d un certain rang à préciser. 2

3 CORRECTION 1) a) f(x) = u(x) avec u(x) = x + 1 et v(x) = 3 x v(x) u (x)v(x) u(x)v (x) f (x) = (v(x))² u (x) = 1 et v (x) = -1 f (x) = 3 x + x + 1 (3 x)² f (x) > 0 sur D. 4 = (3 x)² x lim f(x) = lim x - x - -x = -1 lim f(x) = lim x + x + lim f(x) = + x 3 lim f(x) = - x 3+ x -x = -1 Tableau de variations de f : x f' f(x)

4 b) Une équation de la tangente à f en un point d abscisse a est : y = f (a)(x a) + f(a) 4 a + 1 Soit y = (x a) + (3 a)² 3 -a La droite d équation y = x a pour coefficient directeur égal à 1. 4 On doit donc avoir (3 a)².= 1 Soit : 4 = (3 a)² Soit 3 a = 2 ou 3 a = -2 Soit a = 1 ou a = 5 Pour a = 1, une équation de la tangente en 1 est : y = (x 1) Soit y = x Pour a = 5, une équation de la tangente en 5 est : y = (x 5) Soit y = x 2 Conclusion : la droite d équation y = x est tangente en 1 à la courbe C f. c) 4

5 2) u 1 = u u 0 = 2 2 = 1 Montrons par récurrence que pour tout n u n = 1 C est vrai pour n = 0. Supposons que u n = 1. u n+1 = f(u n ) = u n + 1 = 2 2 = 1 Donc d après le principe de récurrence, on a bien u n = 1 pour tout entier n. La suite (u n ) est stationnaire si u 0 = 1. 3) a) La fonction f étant croissante sur ]- ;3[, il semble que la suite (u n ) est croissante et converge vers 0 pour u 0 < 1 Exemple avec u 0 = -5 5

6 b) La fonction f étant croissante sur ]- ;3[, on a si u n < 1 alors f(u n ) < f(1) Soit u n+1 < 1 Si un terme de la suite appartient à l intervalle ]- ;1[, tous les termes qui le suivent appartiennent aussi à l intervalle ]- ;1[. c) u n+1 u n = u n + 1 u n = u n + 1 u n ( ) = u n² - 2u n + 1 = (u n 1)² u n+1 u n est du signe de. Or u n < 1 donc > 0 On a donc : u n+1 u n > 0 Soit u n+1 > u n La suite (u n ) est donc strictement croissante. 1 d) v n+1 v n = u n u n - 1 = u n + 1 u n - 1 = 1 - u n u n u n v n+1 v n = 2u n 2-1 u n - 1 = 2 2(u n 1) = Donc (v n ) est la suite arithmétique de raison et de premier terme v 1 0 = u 0-1. e) v n = v n lim v n = - n + u n = v n 4) a) On en déduit que : lim u n = 1 n + 6

7 Il semble que la suite (u n ) est croissante à partir d un certain rang et qu elle converge vers 1. b) D après le tableau de variations de f, on a si x > 3 alors f(x) < 1 Donc si u 0 > 3 alors f(u 0 ) = u 1 < 1. D après la question 3b) on déduit que u n < 1 pour tout n > 0 D après la question 3c), on déduit que (u n ) est croissante à partir du rang 1. D après la question 3d), on déduit que la limite de (u n ) est 1. 5) a) Il semble que la suite (u n ) est croissante à partir d un certain rang et qu elle converge vers 1. b) D après le tableau de variations de f, quand x parcourt I, f(x) parcourt l intervalle ]f(1) ;+ [ soit ]1 ;+ [. c) f(x) = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 9 3x 4x = 8 x = 2 3 x a = 2 f(x) = 2 x x = 2 x + 1 = 6 2x 3x = 5 x = 5 3 Si u 0 = 2, alors u 1 = 3 et u 2 n est pas défini. Si u 0 = 5 3, alors u 1 = 2 et u 2 = 3 et u 3 n est pas défini. 7

8 d) w 1 = 3 w 2 = 4 2 = 2 w 3 = 5 3 w 4 = 6 4 = 3 2 w 5 = 7 5 w n = n pour n > 1, 2 n < 2 et n < 3 2 n > 0 donc w n > 1 On a donc bien w n appartient à I pour n > 1. n+3 f(w n+1 ) = f( n+3 n+1 ) = n n+3 = 2n + 4 2n = n + 2 n = w n n+1 Si u 0 = w n, alors u 1 = f(w n ) = w n-1 et par suite u 2 = w n-2 On aura ainsi u n-1 = w 1 = 3 et u n ne sera pas défini. 8