CORRECTION DU BREVET 2013

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1 CORRECTION DU BREVET 0 Amérique du Nord Exercice ) La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à a On effectue alors l opération : + = + = = = La probabilité manquante sous la tache est 5. 9 ) Soit x le nombre de tables à pieds. Alors x = = 69 6=. D où x =, et par suite, x = Il y a tables à pieds. ) 90 % du volume d un iceberg est situé sous la surface de l eau. Ainsi 0 %, c est-à-dire un dixième, de cet iceberg est situé au dessus de l eau. Or la hauteur de la partie visible est de 5 m, d où 5 0= 50. La hauteur totale d un iceberg, dont la partie visible est 5 m, mesure environ 50 m.. 4) La réponse correcte est la b). Exercice Choix des inconnues : Soit x le nombre de billets de 5 et y le nombre de billets de 0. Mise en équations : Arthur possède billets ; alors on obtient l égalité : x+ y =. Il possède en tout 5 ; alors on obtient l égalité : 5x+ 0y = 5. x + y = On est donc amené à résoudre le système :. + 0y = 5 Résolution du système d équations : x + y = + 0y = 5 5x 5y = y = 5 5y = 0 + y = On multiplie chaque membre de la première égalité par 5 On additionne membre à membre les deux égalités, et on garde une des deux égalités du départ 5y 0 = y = y + 4 =

2 y x = 4, c est-à-dire y = 7 On en déduit qu Arthur possède 7 billets de 5 et 4 billets de 0. Exercice )On réalise l arbre des possibles avec les probabilités : rollers gris casque A casque B casque C = 87 + = = 6 rollers noirs casque A casque B = casque C = 8 Il y a 4 possibilités sur les 6 que l ensemble lui coûte moins de 0. D où la probabilité que l ensemble lui coûte moins de 0 est égale à 4, ou. 6 0 ) a) Faire une réduction d un nombre de 0 % consiste à multiplier ce nombre par, 00 c est-à-dire 0,8. Or 44 0,8 = 5, 0. D où, après la réduction de 0 %, la paire de rollers noirs et le casque à 45 coûteront 5,0. b) Cela modifiera la probabilité obtenue à la question ). En effet, Il y aurait dans ce cas 5 possibilités sur les 6 que l ensemble lui coûte moins de 0. Par suite, la probabilité que l ensemble lui coûte moins de 0 est égale à 5. 6 Exercice 4 ) =,75, alors 76 ne divise pas 045. Donc Flavien ne peut pas répartir la totalité des 045 dragées aux amandes dans 76 sachets. ) a) Comme il veut répartir la totalité des dragées de chaque sorte dans des sachets, il faut chercher les diviseurs communs de 760 et 045. De plus, il souhaite le maximum de sachets ; on va donc chercher le PGCD des nombres 760 et 045. Il ya trois méthodes : D après l algorithme d Euclide :

3 a b reste division euclidienne = = = = Le PGCD de 045 et 760 est le dernier reste non nul, c est-à-dire 95. D après l algorithme des différences successives : a b a Le PGCD de 045 et 760 est la dernière différence non nullle, c est-à-dire 95. D après la calculatrice (puisque qu on ne demande pas dans l énoncé de détailler les calculs) : b Casio FX-9 Collège D+ TI-Collège Plus `r045` f60v Ce qui nous donné à l écran : Flavien pourra donc réaliser au maximum 95 sachets. b) = et = 8. Il pourra donc mettre 8 dragées au chocolat et dragées aux amandes dans chaque sachet. Exercice 5 ) 4 + 0, 5 = + 0, 5 =, 5 et Donc Julie a raison :,5 = 4+ 0,5.,5 =, 5. ) 7,5 = ,5= 56,5.

4 ) Soit n un nombre entier positif. n+ 0,5 = n + n 0,5+ 0,5 = n + n + 0,5. ( ) n n+ + 0,5= n n+ n + 0,5= n + n + 0,5. ( ) n n n n n Quel que soit le nombre entier positif n, ( ) ( ) + 0,5 = + + 0,5= + + 0,5 Exercice 6 ) Les valeurs de x possibles sont comprises entre 0 et 0 (0 et 0 exclus). ) Le volume d un parallélépipède est égal à longueur largeur hauteur. Or longueur= largeur0 5 5= 0 cm et hauteur= 5 cm. D où Par conséquent, lorsque x= 5 cm, le volume de la boîte est égal à cm. ) a) Le volume de la boîte est maximum lorsque x est environ égal à 6,5 cm. b) Le volume de la boîte est égal à 000 cm lorsque x est égal à,5 cm ou à 4 cm. Exercice 7 ) Comme le bâtiment a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O, et comme A et B sont deux sommets consécutifs de ce pentagone, alors 60 AOB = = 7. 5 ) Comme [ OA ] et [ OB ] sont des rayons du cercle, alors le triangle AOB est isocèle en O. Or dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal, la hauteur issue du sommet principal, la médiatrice du segment opposé au sommet principal et la bissectrice issue du sommet principal sont toutes confondues. Donc ( OM ) est aussi la bissectrice de l angle AOB et la médiatrice de [ AB ]. ) Dans le triangle AOM rectangle en M : - [ AM ] est le côté opposé à AOM

5 - [ AO ] est l hypoténuse Alors ( AM sin AOM) =, c est-à-dire sin AOM AO Comme ( ) ( ) AM =. 8 OM est la bissectrice de l angle AOB, alors AOB 7 AOM = = = 6. AM D où sin( 6 ) =. Par suite, ( ) 8 AM = 8 sin 6 40 m. 4) Comme ( OM ) est la médiatrice de [ AB ], alors M est le milieu de [ ] AB. D où AB= AM= 40= 80 m. Comme un pentagone régulier a 5 côtés de même longueur, alors le périmètre du Pentagone est égal à environ mètres. Exercice 8 ) a) L aire de ce trapèze est égale à l aire du grand rectangle à laquelle on retranche les aires des deux triangles rectangles. base hauteur b) Or l aire d un triangle est égale à et l aire d un rectangle à longueur largeur 9 On effectue alors le calcul : 7 = = 6= 5. D où l aire de trapèze ABCD est égale à 5 cm. ) On remplace b par, B par 7 et h par dans chacune des expressions, et on compare les résultats obtenus à celui trouvé dans la question ) b). ( b B) h 7 = =,5 5 ( b+ B) h ( + 7) 0 0 = = = = 5 b+ B h= + 7 = 6 0= 60 5 ( ) ( ) Donc la bonne formule est ( + ) a= b B h. Autre méthode : on découpe le trapèze de la façon suivante : L aire du trapèze est donc égale à la somme des aires des triangles ABC et ABD. base hauteur b h base hauteur B h Or aire( ABC) = = et aire( ABD) = =. D où : aire( ABCD) ( b B) ( + ) b h B h b h+ B h + h = + = = = b B h.