Mécanique : dynamique. Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force
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- Marie Chevalier
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1 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 56 Mécanque : dynamque Les eets des orces et les modcatons mécanques des systèmes sont souvent décrts à l ade du concept de l énerge mécanque. Or, les transmssons d énerge mécanque provennent des travau des orces qu agssent. Chaptre 6 : Traval et pussance d'une orce. Traval d une orce constante sur un chemn rectlgne a) Force parallèle au déplacement Déplacement rectlgne : s AB Traval de F = ( F (F) F pour s=constant ) : ( F ) Fs (F) s pour F=constant L unté pour ( F ) est chose tel que la constante de proportonnalté sot égale à! Le traval de la orce F s écrt donc : ( F ) = Fs b) Force perpendculare au déplacement F n agt pas suvant le déplacement F n nluence pas le mouvement Le traval de la orce F est nul : ( F ) = 0. c) Force quelconque = angle entre F et s. On décompose F en F t (composante tangentelle au déplacement) et en F n (composante normale au déplacement). Donc : F Ft Fn (F) (F t ) (F n ). Or : ( F t ) = F t s = Fcoss et : ( F n ) = 0.
2 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 57 Fnalement, le traval de la orce F au cours du déplacement s vaut : ( F ) = Fscos On retrouve que s = 0, alors = Fs, et s = 90, alors = 0! d) Dénton du traval d une orce F constante au cours d un déplacement rectlgne s ( F ) = Fscos = F s Eemple : F = 3 N; s = m; = 30. Traval de F : ( F ) = Fscos = 3 N mcos30 = 5, J. e) Unté S.I. : le joule (J) Pour = 0, s F = N et s = m, alors ( F ) = Nm = joule = J. ) Rappel : produt scalare de deu vecteurs u et v Soent u (u, u y ) et v (v, v y ), alors : u v = u v + u y v y = uvcos ( = angle entre u et v) g) Traval moteur et traval résstant * 0 90 cos 0 0 : traval moteur, car la orce contrbue au mouvement! * = 90 cos = 0 = 0 : la orce ne travalle pas!
3 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 58 * cos 0 0 : traval résstant, car la orce s oppose au mouvement!. Traval d une orce constante sur un chemn quelconque Le corps se déplace de A vers B suvant chemns dérents : chemn rectlgne () et chemn curvlgne quelconque (). Il est soums (entre autres) à la orce constante F. Evaluons le traval de la orce F! * suvant le chemn () : F s * suvant le chemn () : On subdvse le chemn en un très grand nombre n de très petts déplacements (déplacements élémentares s, s, s 3,..., s n ), et on calcule pour chacun de ces déplacements le traval. Le traval de la orce F sur le chemn curvlgne de A vers B est égal à la somme de ces travau élémentares. Fs Fs... Fsn F ( s s... s n ) F s On obtent cette même epresson quelle que sot la trajectore curvlgne! Concluson Le traval d une orce F constante est ndépendant du chemn suv entre le pont de départ A et le pont d arrvée B : (F) F AB FABcos AB
4 e B et C 6 Traval et pussance d une orce Eemple : traval du pods d un corps a) Epresson mathématque * Corps transporté de A vers B vers le haut (par un opérateur, par eemple). Consdérons le repère d aes O (ae horzontal) et Oz (ae vertcal = ae des alttudes). A = pont ntal = pont de départ; B = pont nal = pont d arrvée. Le pods P est constant au cours du déplacement, donc son traval ( P ) est ndépendant du chemn suv, et : (P) P AB = PABcos. = PABcos() = PAC Or AC = z B z A = z z = z > 0. Donc : ( P ) = Pz = mgz < 0 (traval résstant) * Corps transporté de B vers A vers le bas. (P) P BA = PBAcos = PBC Or BC = z B z C = z z = z > 0. Donc : ( P ) = Pz = mgz > 0 (traval moteur). Conclusons. Quel que sot le déplacement, le traval du pods s écrt : ( P ) = Pz = mgz. ( P ) sur chemn AB = ( P ) sur chemn BA.
5 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 60 Remarque La orce nécessare pour soulever, en lgne drote et à vtesse constante, un corps de pods P est F = P (prncpe d nerte!). Cette orce est eercée par un opérateur, par eemple. Ou ben elle est la résultante de pluseurs orces qu ont pour eet d équlbrer le pods. En tout cas : ( F ) = ( P ) = +mgz 4. Eemple : traval de la tenson d un ressort a) Force nécessare pour tendre un ressort On dént un ae O des abscsses : F : T : Orgne O : etrémté lbre du ressort non tendu; Drecton : parallèle à la drecton de la tenson T ; Orentaton tel que l allongement > 0. orce eercée par un opérateur sur le ressort, nécessare pour tendre le ressort d une longueur. tenson du ressort = orce eercée par le ressort tendu sur l opérateur = orce de rappel qu tend à ramener le ressort dans son état non tendu. Prncpe des actons récproques : F = T Intenstés : F = T Rappel de la lo de Hooe : T = où est la radeur du ressort. Untés S.I. : s F = N et = m, alors = N/m. Attenton : Tconstant, T vare au cours du déplacement (T augmente s augmente, T dmnue s dmnue).
6 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 6 b) Epresson mathématque du traval de la tenson d un ressort étré à partr de son état non-déormé. On tend le ressort de radeur d un pont ntal A d abscsse = 0 (orgne O = pont A), jusqu à un pont nal B d abscsse > 0. An de trouver le traval T utlsons la méthode graphque : Représentons l ntensté de la orce de rappel du ressort T en oncton de l abscsse. Comme la tenson T n est pas une orce constante sur le déplacement de A vers B, la relaton (T) T AB n est pas valable. AB On subdvse alors le déplacement de A vers B en un très grand nombre n de très petts déplacements élémentares,, 3,... n, de longueur dentques. Sur chacun de ces déplacements élémentares la orce T peut être consdérée comme constante, de sorte que la ormule du traval d une orce constante peut être applquée ( (T) T s T s )! Ans sur le déplacement de (= 0) vers, on consdère que la tenson reste constante de norme (= 0). Sur ce premer déplacement élémentare, le traval élémentare eectué vaut donc = (= 0) et correspond à l are (). Sur le deuème déplacement élémentare de vers, la tenson sera de nouveau constante de norme et le traval élémentare eectué vaut donc = et correspond à l are du rectangle ().
7 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 6 Sur le trosème déplacement élémentare 3 de vers 3, la tenson sera de nouveau constante de norme et le traval élémentare eectué vaut donc 3 = 3 et 3 correspond à l are du rectangle (3). On répète cec pour les n déplacements. Fnalement sur le derner déplacement élémentare n de n- vers n =, la tenson sera de nouveau constante de norme et le traval élémentare eectué vaut donc n = n- n et n et correspond à l are du rectangle (n). Le traval total de la tenson sur le déplacement de vers est égal à la somme de tous les travau élémentares: AB (T) 3 n. La valeur absolue de ce traval correspond donc à la somme des ares des rectangles () jusqu à (n). Pourtant ce processus n est valable que s le déplacement est très pett et, à la lmte, tend vers zéro, ce qu veut dre que n tend vers l nn. Dans ce cas, la somme des ares des rectangles tend vers l are du trangle ABC. Ans on obtent AB (T) = are du trangle ABC : AB T Comme nous addtonnons des travau élémentares résstants, le traval total de la tenson est résstant : AB T Remarque : La méthode est générale. La valeur absolue du traval d une orce correspond à l are en dessous de la courbe représentant l ntensté de la orce en oncton du déplacement parallèlement à la orce. De même : représentaton graphque du traval du pods P : On représente P = (z)! Comme P est constant, la représentaton de P = (z) ournt une drote horzontale. Le déplacement se at de z à z. (P) mg z correspond à l are en-dessous de la courbe P = (z) et l ae Oz, prse entre le pont ntal et le pont nal!
8 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 63 c) Epresson mathématque générale du traval de la tenson d un ressort * On tend le ressort d un pont ntal d abscsse = 0 (orgne O), jusqu à un pont nal d abscsse > 0. C est la stuaton du paragraphe précédent! L are entre la courbe T = () et l ae O prs entre et est égal à T! T Or ( T ) résstant ( T ) < 0. Donc : T * On relâche le ressort d un pont ntal d abscsse 0, jusqu à un pont nal d abscsse = 0 (orgne O). T Or ( T ) moteur ( T ) > 0, donc : T * On tend le ressort d un pont ntal d abscsse 0, jusqu à un pont nal d abscsse >. T Or ( T ) résstant ( T ) < 0, donc : T
9 e B et C 6 Traval et pussance d une orce 64 * On relâche le ressort d un pont ntal d abscsse 0, jusqu à un pont nal d abscsse < ( 0). T Or ( T ) moteur ( T ) > 0, donc : T Concluson Quel sot le déplacement de l etrémté d un ressort (et donc de sa tenson), le traval de la tenson du ressort s écrt : T c) Traval de la orce nécessare pour tendre le ressort Cette orce est la orce F = T. Donc : T F
10 e B et C 6 Traval et pussance d une orce Pussance P d une orce constante a) Dénton * P = traval eectué par la orce par seconde. Donc, s une orce eectue un traval pendant la durée t, sa pussance P vaut : P Δt * S < 0, alors P < 0; mas généralement on ne s ntéresse qu à la valeur absolue de la pussance. b) Untés S.I. : le watt () S = J et t = s, alors P = watt =. c) Relaton entre pussance et vtesse de déplacement du corps Il aut que la orce F sot constante et que la vtesse v de déplacement sot constante (mouvement rectlgne unorme)! Dans ce cas : ( F ) = Fscos et : s = vt. Fs cos F v t cos La pussance P de la orce s écrt alors : P Δt t t P F vcos α F v d) Autre unté pour le traval : le lowatt-heure (h) On a : = P t. * S P = et t = h, alors = h = h. * h = s = 3,60 6 J J h 6 3,6 0
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