Mathématiques appliquées à la gestion - TESTS PARAMÉTRIQUES ET NON PARAMÉTRIQUES

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1 IMBS3 - ISCID-CO, ste de Dunkerque, 2015/2016 Mathématques applquées à la geston - TESTS PARAMÉTRIQUES ET NON PARAMÉTRIQUES Fche de Mathématques 3 - Test d ajustement du χ 2. 1 Introducton Certans tests ont pour objet de trer des conclusons relatves à la valeur des paramètres (moyenne, fréquence, varance) d une ou pluseurs populatons, sur la base d nformatons partelles fournes par un ou pluseurs échantllons. La même démarche peut être applquée pour porter un jugement sur les caractérstques encore plus générales de la populaton : la forme même de dstrbuton du caractère étudé, la valdté de sa représentaton à l ade de telle ou telle lo de probablté partculère, les relatons éventuelles entre pluseurs varables. Concrètement, on dspose d une dstrbuton statstque emprque se présentant sous la forme d une table d effectfs ou de fréquences du caractère étudé. On désre savor s ces effectfs ou ces fréquences sont compatbles avec une dstrbuton théorque détermnée telle que la lo bnomale, la lo de Posson, la lo normale ou toute autre lo de probablté. Il s agt en d autres termes d apprécer l adéquaton d une dstrbuton théorque partculère, en tant que représentaton d un phénomène concret observé (sére emprque). La démarche consste donc à tester l hypothèse selon laquelle notre échantllon serat tré d une populaton rége par une certane lo de probablté. Il est évdent que, même s le phénomène étudé sut effectvement la lo de probablté dont on teste l adéquaton, les fréquences expérmentales (ou emprques) observées sur un échantllon partculer dfféreront nécessarement plus ou mons des probabltés (fréquences que l on devrat théorquement observer selon la lo en queston). La problématque du test revent en défntve à savor s les dfférences constatées entre la dstrbuton expérmentale et la dstrbuton théorque supposée sont explcables par l aléa lé à la consttuton de l échantllon ou s elles sont trop mportantes pour être mputables au seul hasard. En ce cas, c est l hypothèse de traval avancée sur la nature de la dstrbuton qu devrat être mse en cause. 2 Test d ajustement du χ 2 pour une lo spécfée Très souvent, lors de la résoluton d un problème, on rencontre des phrases du type : S la lo de la varable X est normale... ou Supposons que la lo de X sot de Bernoull de paramètre p = 1/2,... ou en employant un langage plus courant Supposons que deux structures dfférentes soent également répartes chez les bactéres. Comment vérfer l exacttude de ces hypothèses? Les technques approprées sont appelées les tests d ajustement ou tests d adéquaton (ft tests en anglas). Étant donné une lo de probablté théorque, l s agt de savor, à partr d un n-échantllon, c est-à-dre de n observatons ndépendantes, d une varable aléatore X, s cette varable obét ben à la lo spécfée. Le test le plus usuel est celu du χ 2 d ajustement pour une lo multnomale décrt au début du paragraphe suvant. 2.1 Cas d une varable dscrète X a un nombre fn de modaltés, notées 1, 2,..., r et l s agt de tester l hypothèse H 0 : p(x = 1) = p 1, p(x = 2) = p 2,..., p(x = r) = p r, où p 1, p 2,..., p r sont des probabltés données à l avance. Alors on consdère la satstque r E 2 (N np ) 2 = np =1 qu mesure l écart relatf enter les effectfs observés N et les effectfs moyens np appelés auss effectfs attendus (de l anglas expected ) s H 0 est vrae. On peut démontrer que, s H 0 est vrae, et pourvu que tous les np soent assez grands (supéreurs à 5), E 2 sut (approxmatvement) une lo du χ 2 à (r 1) dgrés de lberté (notés ddl).

2 2.2 Test d ajustement du χ 2 pour une varable contnue S l on pose la queston de savor s une varable X sut ou non la lo normale N (0, 1), on peut se ramener au problème précédent en dscrétsant la varable : c est-à-dre que l on fat une partton fne de l ensemble R de toutes les valeurs possbles de X formée de r ntervalles successfs sans pont commun : ], a 1 ], ]a 1, a 2 ],..., ]a r 1, + [. S l on a observé un n-échantllon de valeurs de X soent x 1, x 2,..., x n, on résume ces observatons en (N 1,..., N r ) où N désgne le nombre des x qu sont nféreurs à a 1, N 2 le nombre de ceux qu tombent entre a 1 (non comprs) et a 2 (comprs),... Sous l hypothèse H 0 : X N (0, 1), les probabltés p j pour que X tombe dans chacun des r ntervalles I j =]a j 1, a j ] peuvent être calculées : aj } p j = exp { z2 dz. 2π 2 a j 1 1 Et on vot donc comment se ramener au problème du paragraphe précédent pour toute lo contnue dont la densté est complètement spécfée. 2.3 Rappels sur la dstrbuton du χ 2 Defnton 2.1 On consdère n varables ndépendantes d une lo normale centrée rédute : T 1, T 2,...,T n. La quantté T T T 2 n = est une varable aléatore dont la dstrbuton est celle d un χ 2 à n degrés de lberté, ˆ de moyenne E(χ 2 n) = n ˆ de varance V (χ 2 n) = 2n n =1 T 2 Graphquement, p(χ 2 n) α x χ 2 n La varable χ 2 est tabulée en foncton du nombre n de degrés de lberté. La table (dsponble à la fn de la fche) donne pour dfférentes valeurs de α, la valeur de x telle que : p(χ 2 n > x) = α Exemple 2.1 Calculer p(χ 2 10 > 20, 5). On récupère à l ade de la table, la probablté p(χ 2 10 < 20, 5) = 0, 975. Par conséquent, la probablté recherchée p(χ 2 10 > 20, 5) est égale à 1 0, 975 = 0, /11

3 On a la proprété suvante : Proposton 2.1 On a la relaton χ 2 m + χ 2 n = χ 2 m+n Ce χ 2 admet ˆ une moyenne E(χ 2 m+n) = m + n ˆ une varance σ 2 (χ 2 m+n) = 2(m + n) et cec par applcaton drecte du théorème sur l addton de varables aléatores ndépendantes. 2.4 Ajustement d une dstrbuton observée à une dstrbuton théorque Étant donnée une populaton décrte par une varable X, un échantllon prélevé dans cette populaton permet de construre l hstogramme et la courbe des fréquences qu caractérsent la dstrbuton observée de X. Ces représentatons peuvent ressembler à celles d une lo théorque, toutefos avec certans écarts. Le test du χ 2 permet de juger s les écarts constatés entre la dstrbuton observée et la lo théorque d ajustement peuvent ou non être mputés au hasard. Constructon du test 1. Les hypothèses du test sont les suvantes : H 0 : X sut la lo théorque L, H 1 : X ne sut pas L. 2. La varable observée est : ˆ sot dscrète et prend k valeurs x 1, x 2,...,x k ˆ sot contnue et classée en k classes [a 0, a 1 [, [a 1, a 2 [,..., [a k 1, a k [ de centres respectfs x 1, x 2,..., x k 1, x k. 3. Les N observatons de l échantllon sont répartes sur les k valeurs de X (s X est dscrète) ou sur les k classes de X (s X est contnue). On a les tableaux suvants : x n x 1 n 1 x 2 n 2.. x k n k Classes Centres x Effectfs n [a 0, a 1 [ x 1 n 1 [a 1, a 2 [ x 2 n 2... [a k 1, a k [ x k n k k avec N = n = n 1 + n n k. =1 4. Sous H 0 on note p la probablté dte théorque défne par p = p(x = x /X L) s X est dscrète, p = p(x [a 1, a [/X L) s X est contnue. e = Np est l effectf théorque de la -ème classe de X. 5. L ndcateur d écart entre les dstrbutons observées et théorques est k χ 2 (n Np ) 2 obs = (1) Np =1 dt χ 2 observé ou calculé. Cet écart sut pour N suffsamment grand une lo du χ 2 ν d où le nom du test. 3/11

4 Intutvement, on comprend que cette grandeur statstque traduse l écart entre l échantllon et la lo conjecturée. S l ajustement état parfat, cette expresson du χ 2 serat nulle, les effectfs emprques coïncdant exactement avec les effectfs théorques. En revanche, plus grands sont les écarts entre les effectfs observés et les effectfs théorques (n e ) et plus forte sera la valeur du χ 2. En outre, comme la quantté (1) ne peut pas être négatve, le test d ajustement est nécessarement un test unlatéral drot. Defnton 2.2 Le paramètre ν ndçant χ 2 ν défnt le nombre de degrés de lberté. C est le nom donné au nombre d observatons lnéarement ndépendantes qu apparassent dans une somme de carrés. Autrement dt, c est le nombre d observatons aléatores ndépendantes mons le nombre de contrantes mposées à ces observatons. Le nombre ν de degrés de lberté est égal à ˆ ν = k 1 s les paramètres de la lo d ajustement L sont donnés. Aucun paramètre n est à estmer pusque la lo d ajustement est totalement spécfée. Le χ 2 est consttué de k écarts (n e ) relés par la contrante (n e ) = (n Np ) = n N p = N N = 0 (en d autres termes, lorsqu on connaît la valeur de k 1 écarts, on peut en dédure la valeur du derner qu n est donc pas lbre de varer de manère aléatore). ˆ ν = k r 1 s la lo d ajustement L comporte r paramètres nconnus. On mpose de ce fat autant de contrantes supplémentares entre les observatons, dmnuant d autant le nombre de degrés de lberté. Remarque 2.1 Le nombre d observatons par classes ne dot pas être fable, Np dot être supéreur à 5, = 1, 2,..., k. Dans le cas contrare, on regroupe deux ou pluseurs classes adjacentes de façon à réalser cette condton. On tent compte de ce regroupement pour le nombre de degrés de lberté. 6. Pour un rsque de premère espèce α, la régon crtque est défne pour d où la règle de décson : k (n Np ) 2 =1 Np χ 2 ν,1 α χ 2 obs < χ2 ν,1 α, on décde H 0 et X L, χ 2 obs χ2 ν,1 α, on décde H 1 et X ne sut pas la lo L. 2.5 Exemple : lo unforme Une statstque relatve aux résultats du concours d entrée à une grande école fat ressortr les réparttons des canddats et des adms selon la professon des parents. Professon des canddats Nombre de canddats Nombre d adms 1O Fonctonnares et assmlés O Commerce, ndustre O Professons lbérales O Proprétares renters O Proprétares agrcoles O Artsans, petts commerçants O Banque, assurance Total 402 Problème : Tester l hypothèse (rsque α = 0, 05) selon laquelle la professon des parents n a pas d nfluence sur l accès à cette grande école. Il s agt du test d ajustement d une dstrbuton théorque, on pose les hypothèses 4/11

5 H 0 : la professon des parents n a pas d nfluence sur l accès à cette grande école, la proporton des adms est constante pour toutes les professons sot p = 402 0, 0814 H 1 : la professon des parents nflue sur l accès à cette grande école. Sous H 0, le nombre d adms pour la -ème professon est N p. N n effectf observé N p effectf théorque (n N p) 2 N p 182, 76 0, , 47 0, , 83 0, , 45 0, , 37 4, , 10 0, , 02 0 Total , 8181 Le χ 2 observé vaut 5, Le nombre de degrés de lberté est 7 1 = 6. La table fournt χ 2 6;0,95 = 12, 59 donc χ 2 observé < χ 2 6;0,95. On ne rejette pas H 0, ce qu sgnfe que la professon des parents n a pas d nfluence sur l accès à cette grande école. 2.6 Exemple : lo bnomale Supposons qu on at recuell 300 boîtes contenant chacune tros ampoules. Dans chaque boîte, on compte le nombre d ampoules défectueuses. On obtent les résultats suvants : Nombre d ampoules Nombre de boîtes défectueuses x observées n Total 300 Pour chaque ampoule testée, on peut observer deux états dfférents : l ampoule est défectueuse ou non. Le nombre X d ampoules défectueuses par boîte sut une lo bnomale de paramètres n = 3 et p. Détermnons p. Dans la dstrbuton observée, le nombre d ampoules défectueuses est de = 130 sot 130 ampoules défectueuses sur un total de 900 ampoules. La proporton d ampoules défectueuses est alors de 130 0, 144. Prenons p = 0, Problème : Tester l hypothèse (au rsque α = 0, 01) selon laquelle le nombre d ampoules défectueuses par boîte sut une lo bnomale de paramètres n = 3 et p = 0, 15. On consdère donc les hypothèses suvantes : 5/11

6 H 0 : X B(3; 0, 15) H 1 : X ne sut pas cette lo bnomale et on détermne ensute les probabltés théorques : p 0 = p{x = 0/X B} = (0, 85) 3 0, 6141 p 1 = p{x = 1/X B} = C 1 3(0, 15)(0, 85) 2 0, 3251 p 2 = p{x = 2/X B} = C 2 3(0, 15) 2 (0, 85) 0, 0574 p 3 = p{x = 3/X B} = (0, 15) 3 0, 0034 On a le tableau (provsore) suvant : x effectf observé effectf théorque p n Np , , , , , , , , 02 Total N = L effectf théorque de la quatrème classe est fable, en effet 1, 02 < 5! On effectue un regroupement de classes, les classes 2 et 3. (n Np ) 2 x n Np Np , 23 0, , 53 0, ou , 24 0, Total , Après le regroupement, le nombre de classes est 3, le nombre de degrés de lberté est 3 1 = 2. Au rsque α = 0.01, χ 2 2;0,99 = 9, 21. Donc χ 2 obs = 0, < χ2 2;0,99. On ne rejette pas H 0 au proft de H 1. On consdère que le nombre d ampoules défectueuses par boîte sut une lo bnomale de paramètre n = 3, p = 0, 15 au rsque α = 0, Exemple : lo normale On suppose que le rendement X (quntaux par hectares d une parcelle de blé) sut une lo normale N (m, σ). L observaton du rendement de 1000 parcelles a donné les résultats suvants : Rendement Nombre de parcelles [0, 10[ 5 [10, 20[ 6 [20, 30[ 40 [30, 40[ 168 [40, 50[ 288 [50, 60[ 277 [60, 70[ 165 [70, 80[ 49 [80, 90[ 2 Total 1000 Afn de mettre en place un test d ajustement, détermnons dans un premer temps la moyenne arthmétque et l écarttype de la dstrbuton observée : n x x = N = 49, 76 6/11

7 σ 2 = n x 2 N x 2 = 164, 5424 donc σ 12, 827 Problème : Tester l hypothèse (rsque α = 0, 05) selon laquelle l ajustement de la dstrbuton observée à une lo normale N (n = 50, σ = 13) est acceptable. Les hypothèses du test du χ 2 sont les suvantes : H 0 : X N (50, 13) H 1 : X ne sut pas N (50, 13) On désgne par [a 0, a 1 [, [a 1, a 2 [,...,[a 8, a 9 [ les classes et par x 1, x 2,...,x 9 les centres de ces classes. Sous H 0, X N (50, 13) et Z = X 50 N (0, 1), donc p = p(x [a 1, a [) = Π(z ) Π(z 1 ) avec z = a 50 et z 1 = a L effectf théorque de la ème classe est 1000p et (n Np ) 2 χ 2 13 Np ν. On a le tableau suvant : Classe Np n (n Np ) 2 corrgé corrgé Np [x 1, x [ n z Π(z ) p Np [0, 10[ 5 3, , 001 0, , 9 [10, 20[ 6 2, , , , 5 10, , 0346 [20, 30[ 40 1, , , , 5 51, , 568 [30, 40[ 168 0, , , , 9 158, , 5211 [40, 50[ , 5 0, , 1 279, , 283 [50, 60[ 277 0, , , , 1 279, , 0158 [60, 70[ 165 1, , , , 9 158, , 234 [70, 80[ 49 2, , , , 5 51, , 1214 [80, 90[ 2 3, , , , 5 9, 5 2 5, 9211 Total , 7 On effectue le regroupement des deux premères classes car Np < 5. Le χ 2 observé vaut 9, 7. Après le regroupement, l reste 8 classes, les deux paramètres de la lo normale sont donnés, le nombre de degrés de lberté est ν = 8 1 = 7. À l ade de la table, on obtent χ 2 7;0,95 = 14, 07. Ans, χ 2 obs < χ2 7;0,95. On ne rejette pas H 0, l ajustement de la dstrbuton observée à une lo normale N (50, 13) est acceptable. 2.8 Exemple : lo de Posson Souvent, lorsqu on envsage une modèle pour un phénomène qu on étude, on ne spécfe pas complètement la lo qu on consdère. Supposons qu on s ntéresse au nombre de votures se présentant par mnute à un poste de péage sur une autoroute. On peut se demander s cette varable aléatore peut être modélsée par une lo de Posson. On souhate donc tester l hypothèse fondamentale H 0 : X P(λ) contre l hypothèse alternatve H 1 : X ne sut pas P(λ). On ne précse pas la valeur du paramètre λ. On peut toutefos l estmer à partr des données dsponbles mas dans ce cas, r = 1. Le nombre de degrés sera alors ν = k r 1 = k 2. On effectue 200 comptages au péage. x Total n n x où x et n désgnent respectvement le nombre de votures par mnute et l effectf correspondant lors de l observaton n o (par exemple, x 1 = 0 et n 1 = 6 c est-à-dre que lors de 6 observatons, l y a 0 voture). La moyenne arthmétque de cette dstrbuton observée est n x x = = 727 = 3, 635 3, 5 n 200 7/11

8 Problème : Tester l hypothèse (au rsque α = 0, 01) selon laquelle X sut une lo de Posson de paramètre 3, 5. On pose H 0 : X P(3, 5) H 1 : X ne sut pas P(3, 5) Sous H 0, p = p(x = ) = e 3,5 3, 5!, on a donc le tableau de valeurs suvant : x n p Np Np corrgé n corrgé (n Np ) 2 Np 0 6 0, , 04 6, , , , 14 21, , , , , , 16 43, , , , 76 37, , , , 44 26, , , , 42 15, , , , 7 7, , , , , , 96 5, , Total , On a effectué le regroupement des deux dernères classes car l effectf théorque y est nféreur à 5. Après ce regroupement, le nombre de classes est de 9. Le nombre de degrés de lberté est = 7. Au rsque α = 0, 01, χ 2 7;0,99 = 18, 48 donc χ 2 obs = 8, < χ2 7;0,99. On ne rejette pas l hypothèse H 0 et X P(λ = 3, 5) au rsque α = 0, Exercces Exercce 1 En lançant successvement 60 fos un dé, un joueur obtent les résultats suvants : Faces x Effectfs n Le dé est-l truqué? Exercce 2 On a enregstré le nombre X de clents entrant dans un magasn en 1 mnute. On a obtenu le tableau suvant : Nombre de mnutes où X = x Nombre de clents x (où l est entré x clents) plus de 5 7 Peut-on admettre que les arrvées sont réges par une lo de Posson de paramètre m = 2 (au seul α = 0, 05)? Exercce 3 Une enquête sur les chffres d affares mensuels de 103 magasns de détal a donné les résultats suvants (en mllers d euros) : 8/11

9 Classes de chffres d affares Centres de classes Nombre de magasns 5, 5 à mons de 6, , 5 à mons de 7, , 5 à mons de 8, , 5 à mons de 9, , 5 à mons de 10, , 5 à mons de 11, , 5 à mons de 12, , 5 à mons de 13, , 5 à mons de 14, , 5 à mons de 15, Peut-on consdérer que l échantllon est tré d une lo normale? Exercce 4 On a étudé le nombre de garçons dans 1883 famlles de 7 enfants. Les résultats sont présentés en foncton du nombre x de garçons, rangés de 0 à 7 : Nombre de garçons x Effectf des famlles n Peut-on admettre au seul de 5% que le nombre x de garçons par famlle obésse à une lo bnomale? Laquelle? Exercce 5 Une étude est menée dans une pette unversté sur l absentésme des étudants. On amerat savor s certanes plages horares sont plus propces à une absence aux cours qu une autre. Pour cela, on a relevé, au cours d un mos, le nombre d absences d étudants aux cours d une pette composante à dfférents moments de la journée. Les résultats sont les suvants : Heures de la journée Nombre d étudants absents [8, 10] 25 [10, 12] 15 [13, 15] 18 [15, 17] 32 En consdérant cet échantllon tré au hasard, peut-on dre, au seul de 5%, que les absences des étudants aux cours se répartssent unformément tout au long de la journée? Exercce 6 Au départ d une course de chevaux, l y a habtuellement hut postons de départ, la poston numéro 1 est la plus proche de la palssade. On soupçonne qu un cheval a plus de chances de gagner quand l porte une numéro fable, c est-à-dre lorsqu l est plus proche de la palssade. Voc les données de 144 courses : Numéro de départ Nombre de vctores d un cheval ayant ce numéro La comparason de la dstrbuton observée à la dstrbuton théorque s effectue par un test du χ 2. Que peut-on en conclure? Exercce 7 Le nombre d accdents mensuels à un certan carrefour est une varable aléatore X. On observe X durant 32 mos : Nombre d accdents Nombre de mos /11

10 Peut-on admettre au seul de 10% que X sut une lo de Posson de paramètre 2? Exercce 8 Une entreprse fabrquant des produts almentares sucrés veut élargr sa gamme de barres de céréales en en lançant une nouvelle sur le marché. Le drecteur du marketng décde de fare une enquête de goût en fasant tester ce nouveau produt à 200 personnes. Le test a leu en aveugle, et les personnes ont donc à se prononcer sur leur préférence concernant la nouvelle barre et quatre autres barres de céréales concurrentes. Les produts étant appelés A (la nouvelle barre), B, C, D et E, les résultats du test dont les suvants : Barres A B C D E Nombre de préférences Au seul 5%, peut-on dre au vu des résultats d échantllon que la nouvelle barre a melleur goût que les autres? Exercce 9 Un responsable qualté d une entreprse fabrquant de l apparellage électronque a mesuré la durée de ve de 60 dspostfs électronques d un même type. Il a obtenu les résultats suvants : Durée de ve (en heures) Nombre de dspostfs [250; 270[ 3 [270; 290[ 5 [290; 310[ 15 [310; 330[ 22 [330; 350[ 13 [350; 370[ 2 Les donnée permettent-elles, au seul de 5%, de penser que la durée de ve d un dspostf électronque de ce type est dstrbué selon une lo normale? Exercce 10 On a observé le nombre de défauts de pèces de tssu tratées par un tenturer. Les résultats de 50 observatons sont reproduts dans le tableau c-dessous (par exemple, 8 des 50 pèces présentaent 3 défauts). Des études antéreures avaent perms de fare l hypothèse que le nombre de défauts par pèce pouvat être consdéré comme une varable aléatore X obéssant à une lo de Posson. Les observatons permettent-elles de confrmer cette hypothèse, au seul de 5%? x n /11

11 ANNEXE - Quantles de la lo du χ 2 ν La table donne les valeurs (quantles) χ 2 ν,1 α telles que P (χ 2 ν < χ 2 ν,1 α) = 1 α. ν 1 α 0, 005 0, 010 0, 025 0, 050 0, 100 0, 900 0, 950 0, 975 0, 990 0, , , , , , , 71 3, 84 5, 02 6, 63 7, , , , , 103 0, 211 4, 61 5, 99 7, 38 9, 21 10, , 072 0, 115 0, 216 0, 352 0, 584 6, 25 7, 81 9, 35 11, 34 12, , 207 0, 297 0, 484 0, 711 1, 064 7, 78 9, 49 11, 14 13, 28 14, , 412 0, 554 0, 831 1, 145 1, 61 9, 24 11, 07 12, 83 15, 09 16, , 676 0, 872 1, 24 1, 64 2, 20 10, 64 12, 59 14, 45 16, 81 18, , 989 1, 24 1, 69 2, 17 2, 83 12, 02 14, 07 16, 01 18, 48 20, , 34 1, 65 2, 18 2, 73 3, 49 13, 36 15, 51 17, 53 20, 09 21, , 73 2, 09 2, 70 3, 33 4, 17 14, 68 16, 92 19, 02 21, 67 23, , 16 2, 56 3, 25 3, 94 4, 87 15, 99 18, 31 20, 48 23, 21 25, , 60 3, 05 3, 82 4, 57 5, 58 17, 28 19, 68 21, 92 24, 73 26, , 07 3, 57 4, 40 5, 23 6, 30 18, 55 21, 03 23, 34 26, 22 28, , 57 4, 11 5, 01 5, 89 7, 04 19, 81 22, 36 24, 74 27, 69 29, , 07 4, 66 5, 63 6, 57 7, 79 21, 06 23, 68 26, 12 29, 14 31, , 60 5, 23 6, 26 7, 26 8, 55 22, 31 25, 00 27, 49 30, 58 32, , 14 5, 81 6, 91 7, 96 9, 31 23, 54 26, 30 28, 85 32, 00 34, , 70 6, 41 7, 56 8, 67 10, 09 24, 77 27, 59 30, 19 33, 41 35, , 26 7, 01 8, 23 9, 39 10, 86 25, 99 28, 87 31, 53 34, 81 37, , 84 7, 63 8, 91 10, 12 11, 65 27, 20 30, 14 32, 85 36, 19 38, , 43 8, 26 9, 59 10, 85 12, 44 28, 41 31, 41 34, 17 37, 57 40, , 03 8, 90 10, 28 11, 59 13, 24 29, 62 32, 67 35, 48 38, 93 41, , 64 9, 54 10, 98 12, 34 14, 04 30, 81 33, 92 36, 78 40, 29 42, , 26 10, 20 11, 69 13, 09 14, 85 32, 01 35, 17 38, 08 41, 64 44, , 89 10, 86 12, 40 13, 85 15, 66 33, 20 36, 42 39, 36 42, 98 45, , 52 11, 52 13, 12 14, 61 16, 47 34, 38 37, 65 40, 65 44, 31 46, , 16 12, 20 13, 84 15, 38 17, 29 35, 56 38, 89 41, 92 45, 64 48, , 81 12, 88 14, 57 16, 15 18, 11 36, 74 40, 11 43, 19 46, 96 49, , 46 13, 56 15, 31 16, 93 18, 94 37, 92 41, 34 44, 46 48, 28 50, , 12 14, 26 16, 05 17, 71 19, 77 39, 09 42, 56 45, 72 49, 59 52, , 79 14, 95 16, 79 18, 49 20, 60 40, 26 43, 77 46, 98 50, 89 53, , 71 22, 16 24, 43 26, 51 29, 05 51, 81 55, 76 59, 34 63, 69 66, , 99 29, 71 32, 36 34, 76 37, 69 63, 17 67, 50 71, 42 76, 15 79, , 53 37, 48 40, 48 43, 19 46, 46 74, 40 79, 08 83, 30 88, 38 91, , 28 45, 44 48, 76 51, 74 55, 33 85, 53 90, 53 95, , 4 104, , 17 53, 54 57, 15 60, 39 64, 28 96, , 9 106, 6 112, 3 116, , 20 61, 75 65, 65 69, 13 73, , 6 113, 1 118, 1 124, 1 128, , 33 70, 06 74, 22 77, 93 82, , 5 124, 3 129, 6 135, 8 140, 2 11/11