I. Fonctions

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1 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions Générlités sur les fonctions ) Prité 4 b) Fonctions périodiques 4 c) Fonctions monotones 4 d) Mjorée, minorée et bornée 4 e) Domine de définition 4 2. Fonctions Usuelles ) Fonction ffine 5 b) Polynômes à coefficients réels 5 c) Vleur bsolue 5 d) Rcine crrée 6 e) Fonction inverse 6 f) Trinôme 6 g) Trigonométrie 7 h) Fonction logrithme népérien 8 i) Fonction eponentielle 9 j) Puissnce 0 II. Limites Limites usuelles ) Limites des fonctions usuelles 0 b) Tu d ccroissement (ou nombre dérivé) c) Croissnces comprées 2. Opértions sur les limites ) Opértions lgébriques sur les limites b) Théorème de composition des limites 3. Théorèmes ) Pssge à l limite dns une inéglité 2 b) Théorème d encdrement (ou théorème des gendrmes) 2 c) Limites infinies pr comprison 2 d) Limite d une fonction monotone sur un intervlle 2 4. Asymptotes ) Asymptote verticle 2 b) Asymptote horizontle 3 c) Asymptote oblique 3 III. Continuité et Dérivtion Continuité d une fonction numérique ) Continuité d une fonction 3 b) Continuité des fonctions usuelles 3 Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge sur 27

2 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE c) Théorème des vleurs intermédiires 3 2. Bijection ) Définition 4 b) Théorème dit «de l bijection» 4 3. Dérivée d une fonction ) Dérivée en 0 4 b) Eqution de l tngente 5 c) Fonction dérivée 5 4. Dérivtion et sens de vrition ) Théorème sur l dérivtion et sens de vrition 5 b) Vrition stricte 5 5. Formules usuelles de dérivtion ) Opértions sur les fonctions dérivbles 5 b) Dérivtion des fonctions usuelles 6 IV. Clcul intégrl Générlités sur les primitives ) Définition 6 b) Propriétés 6 2. Primitive d une fonction continue ) Clcul de b f (t)dt vec f continue sur [, b] 7 3. Propriétés ) Linérité de l intégrle 7 b) Reltion de Chsles 7 c) Fonctions pires et impires 8 d) Fonctions périodiques 8 e) Comprison et inéglités 8 V. Suites Définitions ) Nottion 9 b) Bornes d une suite 9 c) Sens de vrition d une suite 9 2. Convergence ) Définition 9 b) Divergence 20 c) Théorème de composition des limites 20 d) Comprison de deu suites convergentes 20 e) Comprison d une suite vec une suite ynt une limite infinie 20 f) Théorèmes d encdrement (ou théorème des gendrmes) 2 Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 2 sur 27

3 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE 3. Suites djcentes ) Définition 2 b) Théorème de convergence 2 c) Appliction : Théorème des suites monotones 2 4. Suites usuelles ) Suite rithmétique 2 b) Suite géométrique Risonnement pr récurrence VI. Eercices Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 3 sur 27

4 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE. Générlités sur les fonctions I. Fonctions Dns tout ce prgrphe f désigne une fonction définie sur un ensemble I (qui est souvent un intervlle) inclus dns et de courbe représenttive C f. ) Prité f est une fonction pire sur I si pour tout de I, I et f ( ) = f () C f : symétrique pr rpport à l e des ordonnées (Oy). f est une fonction impire sur I si pour tout de I, I et f ( ) = f () C f : symétrique pr rpport à O, origine du repère. b) Fonctions périodiques f est une fonction de période T sur I si pour de I, : + T I et f ( + T) = f () c) Fonctions monotones f est croissnte sur I si pour tout et b de I : b f () f (b) f est décroissnte sur I si pour tout et b de I : b f () f (b) f est strictement croissnte sur I si pour tout et b de I : < b f () < f (b) f est strictement décroissnte sur I si pour tout et b de I : < b f () > f (b) d) Mjorée, minorée et bornée L fonction f est mjorée sur I pr M (réel indépendnt de ) si pour tout de I, f () M. minorée sur I pr m (réel indépendnt de ) si pour tout de I, m f (). est bornée si elle est à l fois minorée et mjorée sur I. e) Domine de définition Le domine de définition d une fonction f est le sous-ensemble des éléments de qui ont une imge pr f. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 4 sur 27

5 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE 2. Fonctions Usuelles ) Fonction ffine f () = + b : coefficient directeur ou pente b : ordonnée à l origine. L fonction + b est : croissnte sur si et seulement si 0 ; décroissnte sur si et seulement si 0. constnte si et seulement si = 0 y b 0 y = + b b) Polynômes à coefficients réels P() = n n + n n est rcine de P P( 0 ) = 0 P est fctorisble pr ( 0 ) P() = ( 0 )Q() vec Q polynôme c) Vleur bsolue est l prtie numérique de. si 0 = = m { ; } si 0 = 0 = 0 Pour > 0, = = ou = Pour > 0,. Pour, y = y Pour y 0, 2 = 2 = 2 2 y 2 y y = y Pour n, n = n = y = 0 Inéglité tringulire : + y + y + + n + + n Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 5 sur 27

6 d) Rcine crrée FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE L fonction est définie, continue et strictement croissnte sur +. Pour 0, 2 = et 2 = Pour, 2 = y = 2 y = Pour et b positifs, b = b Pour 0 et b > 0 lors b = b 0 y e) Fonction inverse y L fonction est définie, continue et impire sur. Elle est strictement décroissnte sur 0 + et strictement décroissnte sur. y = f) Trinôme f () = 2 + b + c vec, b, c réels et 0. = b 2 4c. Si > 0 lors f deu rcines réelles distinctes = b et 2 2 = b + 2 f est fctorisble et f () = ( )( 2 ). f est du signe de à l eterieur des rcines. Si = 0 lors f une rcine double 0 = b 2 f est fctorisble et f () = ( 0 ) 2. f est du signe de Si < 0 lors f n ps de rcines réelles. f n est ps fctorisble dns. f est du signe de et ne s nnule jmis. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 6 sur 27

7 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Courbe représenttive : Prbole d etremum tteint en b orientées vers + si > 0 et vers si < 0. 2 et les brnches sont > 0 > 0 y > 0 < 0 0 < 0 = 0 g) Trigonométrie Cercle trigonométrique y Le cercle trigonométrique est un cercle de ryon et orienté dns le sens direct. Le sens direct ou le sens trigonométrique est opposé u sens des iguilles d une montre. Un tour complet dns le sens direct fit 2π rdin. sin() 0 + cos() Modulo 2π ( OI, OM) = θ 0 [2π] équivut à ( OI, OM) = θ 0 + 2kπ vec k Fonctions trigonométriques Un point M situé sur le cercle tel que ( OI, OM) = [2π] pour bscisse cos () et ordonnée sin (). sin () tn () = cos () est définie sur \ π 2 + kπ vec k cotn () = cos () sin () est définie sur \ {0 + kπ vec k } Les fonctions sinus, cosinus, tngente et cotngente sont continues sur leur domine de définition et n ont ps de limite en ±. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 7 sur 27

8 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Vleurs remrqubles 0 sin () 0 cos () tn () 0 cotn () π π = 3 3 π π = Formules cos () sin () cos 2 () + sin 2 () = L fonction cosinus est 2π-périodique et pire sur. L fonction sinus est 2π-périodique et impire sur. Les fonctions tngente et cotngente sont π-périodiques et impires sur leur domine de définition. cos ( + b) = cos () cos (b) sin () sin (b) sin ( + b) = sin () cos (b) + cos () sin (b) tn () + tn (b) tn ( + b) = tn () tn (b) Applictions pour : b = π b = π b = π 2 b = π 2 = b = Résolution d équtions trigonométriques cos (y) = cos () y = + 2kπ vec k ou y = + 2kπ vec k sin (y) = sin () y = + 2kπ vec k ou y = π + 2kπ vec k tn (y) = tn () y = + kπ vec k h) Fonction logrithme népérien L fonction logrithme népérien notée ln est définie sur +. ln () = 0 L fonction ln est continue et dérivble sur + et ln () = L fonction logrithme est strictement croissnte sur +. Pour > 0 et b > 0 ln () = ln (b) = b ln () ln (b) b ln (b) = ln () + ln (b) ln = ln () ln (b) ln = ln (b) b b Si y > 0 lors ln ( y) = ln + ln y ln = ln ln y. Pour > 0 et réel, ln ( ) = ln () ln = ln () 2 Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 8 sur 27 y

9 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE 4 3 y = e y = ln() i) Fonction eponentielle, e > 0 L fonction e est continue et dérivble sur et ep () = ep (). L fonction eponentielle est strictement croissnte sur. Pour et y > 0, y = e = ln (y). Pour > 0, ep (ln ) = e ln = Pour, ln ep () = ln e =. ln (e) =, e = e et e 0 = vec e 2, 78. Pour tous réels et b e = e b = b e e b b. e +b = e e b e b = e e b e b = e b = e b e 2 = e e 2 = e 2 Eponentielle de bse : Soit > 0 lors : = e ln(). L fonction eponentielle de bse est croissnte si et décroissnte si 0 <. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 9 sur 27

10 j) Puissnce FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE α vec α Pour > 0 et α, α = e α ln L fonction α est strictement croissnte sur + si α > 0 et strictement décroissnte sur + si α < 0. Pour > 0 et y > 0 : ( y) α = α y α α α = y y α α+β = α β α β = αβ α = = α α α β = α β n vec n p q L fonction n est définie sur pr n =. }{{} n fois Pr convention 0 =. Pour 0, n = = n Pour, ( ) n = ( ) n n si n est pir ( ) n = si n est impir = ( ) n ( ) n = ( ) n+ = ( ) n L fonction n est strictement croissnte sur +. vec p et q Soit p et q lors pour tout > 0, Remrque : 2 =. p q = p q = q p = q p = q p n II. Limites. Limites usuelles ) Limites des fonctions usuelles lim ± = 0 lim 0 + = + lim e = 0 lim + e = + lim ln () = lim ln () = si α > 0 lim α = si α = 0 lim α = si α < 0 0 si α > 0 si α = 0 + si α < 0 lim 0 = Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 0 sur 27

11 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE b) Tu d ccroissement (ou nombre dérivé) ln(+) lim 0 + = ln() lim = sin() lim 0 = tn() lim 0 = lim e 0 = c) Croissnces comprées Puissnces entre-elles Pour α > β > 0, lim + α β = + lim + β α = 0 lim α = β Logrithme et puissnce ln() lim + = 0 lim ln () = Fonction linéire et eponentielle e lim + = +, lim + e = 0 donc lim e = 0 Logrithme et eponentielle e lim + ln() = + lim ln + ()e = 0 2. Opértions sur les limites ) Opértions lgébriques sur les limites Il est possible d dditionner, soustrire, multiplier (en respectnt l règle des signes) et diviser (en respectnt l règle des signes) des limites finies ou infinies entre-elles suf dns les cs des formes indéterminées qui sont : «(+ ) + ( )» «0» «0 0» Certines formules permettent de lever ces indétermintions : Croissnces comprées et tu d ccroissement. Remrques : Soit l. «l ± = 0» et si l 0 lors «l 0 = ±» (Pour trouver le signe de l limite, on pplique l règle des signes) (Certines formes nécessitent le pssge à l eponentielle :, «0» et «0» b) Théorème de composition des limites Soit, b et c des vleurs finies ou infinies. Soit X = f () b. Si lim X b g(x) = c lors lim g f () = c Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge sur 27

12 3. Théorèmes FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE ) Pssge à l limite dns une inéglité Soit 0 ou 0 = ± et l Si f 0 ou f > 0 u voisinge de 0 et si lim 0 f () = l lors l 0 Si f et g ont des limites finies en 0 et si u voisinge de 0, f g lors lim f lim g 0 0 b) Théorème d encdrement (ou théorème des gendrmes) Soit 0 ou 0 = ±. Si u voisinge de 0, f g h et lim 0 f () = lim 0 h() = l vec l fini lors c) Limites infinies pr comprison g dmet une limite finie en 0 et lim 0 g() = l Soit 0 ou 0 = ±. Si u voisinge de 0, f g et lim f () = + lors lim g() = Si Si u voisinge de 0, f g et lim g() = lors lim f () = 0 0 d) Limite d une fonction monotone sur un intervlle Eistence des limites des fonctions monotones Soit f une fonction définie sur I =], b[ vec (, b) des vleurs finies ou infinies. Si f est monotone sur ], b[ lors f possède une limite finie ou infinie en et b. En prticulier : Si f est croissnte et mjorée sur ]; b[ lors f dmet une limite finie en b. Si f est croissnte et non mjorée sur ]; b[ lors lim b f () = + Si f est décroissnte et minorée sur ]; b[ lors f dmet une limite finie en b. Si f est croissnte et non minjorée sur ]; b[ lors lim b f () = 4. Asymptotes ) Asymptote verticle L courbe représenttive d une fonction f définie u voisinge du réel 0 dmet une symptote verticle d éqution = 0 si lim + 0 f = ± ou lim 0 f = ±. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 2 sur 27

13 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE b) Asymptote horizontle L courbe représenttive d une fonction f définie u voisinge de + (resp ) dmet une symptote horizontle d éqution y = b, b si lim f () = b + (resp. lim f () = b). Si f () b (resp. f () b) u voisinge de ± lors l courbe représenttive de f est u dessus de l symptote (resp. en dessous). c) Asymptote oblique Soit f une fonction telle que lim ± f () = ±. L courbe représenttive d une fonction f dmet une symptote oblique d éqution y = + b u voisinge de ± si f () ( + b) = 0 lim ± Si u voisinge de ±, f () ( + b) 0 lors l courbe est u dessus de l symptote et si f () ( + b) 0 lors l courbe est en dessous de l symptote. III. Continuité et Dérivtion. Continuité d une fonction numérique ) Continuité d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle I contennt 0. f est continue en 0 si lim f () = f ( 0 ), 0 f est continue à droite de 0 si lim f () = f ( 0 ) + 0 f est continue à guche de 0 si lim 0 f () = f ( 0 ) Une fonction f est continue sur un intervlle I si elle est continue en tout point de l intervlle I. b) Continuité des fonctions usuelles Les fonctions : polynômes, fonctions rtionnelles, vleur bsolue, rcine crrée, sinus, cosinus, tngente, cotngente, logrithme Népérien, eponentielle,, et r sont continues en tout point où elles sont définies. c) Théorème des vleurs intermédiires Soit f une fonction continue sur un intervlle I. Soit et b deu vleurs de I vec < b et f () f (b) Alors f prend toutes les vleurs «intermédiires» comprises entre f () et f (b), c est à dire : Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 3 sur 27

14 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Pour tout m compris entre f () et f (b), l éqution d inconnue définie pr f () = m dmet u moins une solution dns [, b]. Fonctions continues et monotones Si f est une fonction croissnte et continue sur [, b] lors f ([, b]) = [f (), f (b)]. Si f est une fonction décroissnte et continue sur [, b] lors f ([, b]) = [f (b), f ()]. 2. Bijection ) Définition f est une bijection de l intervlle I sur l intervlle J si et seulement si : pour tout élément y de J, l éqution d inconnue définie pr f () = y dmet une et une seule solution (ou rcine) dns I. L fonction f dmet lors une fonction réciproque, notée f définie sur J et : b) Théorème dit «de l bijection» y = f () = f (y) Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervlle I, lors f est une bijection de l intervlle I sur l intervlle J = f (I) et s réciproque f est continue sur J et est strictement monotone sur J et de même sens de vrition que f. Les courbes représenttives des fonctions f et f sont symétriques pr rpport à l droite y =. 3. Dérivée d une fonction ) Dérivée en 0 Tu d ccroissement : rpport : Le tu d ccroissement ou le tu de vrition en 0 est le f () f ( 0 ) 0 L fonction f est dérivble en 0 si le tu d ccroissement en 0 dmet une limite finie lorsque tend vers 0. f () f ( 0 ) lim = f ( 0 ) 0 0 Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 4 sur 27

15 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE b) Eqution de l tngente Si f est dérivble en 0 lors f ( 0 ) est le coefficient directeur de l tngente à l courbe u point M 0 0 ; f ( 0 ) et l éqution de l tngente à l courbe u point M 0 est donnée pr : y = f ( 0 )( 0 ) + f ( 0 ) c) Fonction dérivée Une fonction f est dérivble sur un intervlle I si elle est dérivble en tout point de I. L fonction dérivée f est définie pr : f I f () 4. Dérivtion et sens de vrition ) Théorème sur l dérivtion et sens de vrition Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I non réduit à un point. f est constnte sur I f = 0 sur I f est croissnte sur I f 0 sur I f est décroissnte sur I f 0 sur I. b) Vrition stricte Soit f une fonction dérivble sur I. Si f > 0 sur I suf éventuellement en un nombre fini (ou dénombrble) de points où elle s nnule lors l fonction f est strictement croissnte. Si f < 0 sur I suf éventuellement en un nombre fini (ou dénombrble) de points où elle s nnule lors l fonction f est strictement décroissnte. 5. Formules usuelles de dérivtion ) Opértions sur les fonctions dérivbles Soit α et β des réels. Soit f et g deu fonctions dérivbles sur un intevlle I. α f + β g = α f + β g (linérité de l dérivtion) (f g) = f g + f g g Si g() 0, = g g 2 f f Si g() 0, g f g = (g f ) () = g [f ()] f () g g 2 Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 5 sur 27

16 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE b) Dérivtion des fonctions usuelles u : u() désigne dns le tbleu une fonction dérivble sur un intervlle I. f () = D f D f f () = Composition k, k 0 n, n n n [u n ] = nu n u si > 0 si < si u 0 lors ln () + + ln e e e u = eu u, > 0 ln () u = ln ()u u α, α + + α α si u > 0, u α = αu α u cos () sin () sin () cos () π π tn () \ 2 [π] \ 2 [π] cos 2 () ou + tn 2 () si u > 0 lors u = 2 u u = u u 2 u si u > 0 lors ln (u) = u u si u 0 lors ln u = u u cos (u) = sin (u) u sin (u) = cos (u) u cos 2 (u) u tn u = ou + tn 2 (u) u IV. Clcul intégrl. Générlités sur les primitives ) Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de. F est une primitive de f sur l intervlle I si elle est dérivble sur I et pour tout de I : F () = f () b) Propriétés Les primitives de f définies sur un intervlle I diffèrent d une constnte. Si F est une primitive sur l intervlle I de f lors l ensemble des primitives est k est ppelé l constnte d intégrtion {F + k vec k } Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 6 sur 27

17 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Soit 0 I. Il eiste une et une seule primitive de f qui s nnule en 0. Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervlle I lors F + G est une primitive de f + g, λf est une primitive de λ f et λf + µg est une primitive de λ f + µg. Les primitives des fonctions polynômes sont des fonctions polynômes. 2. Primitive d une fonction continue Toute fonction continue f sur un intervlle I dmet une primitive définie sur l intervlle I. Soit I. L fonction f continue sur I dmet une et une seule primitive qui s nnule en. I L ppliction F est l primitive de f qui s nnule en. f (t) dt F () = f () F() = f (t)dt f (t)dt = f () F() = 0 f (t)dt = 0 ) Clcul de b f (t)dt vec f continue sur [, b] Si f est continue sur un intervlle I lors f est intégrble sur tout segment inclus dns I. Soit F une primitive de f définie sur I. b f (t) dt = F(b) F() = [F(t)] b Pour trouver une primitive d une fonction f, se reporter u tbleu de l pge 6 3. Propriétés ) Linérité de l intégrle Soit f et g des fonctions (u moins) continues sur l intervlle [, b]. b b) Reltion de Chsles (αf + βg)(t) dt = α b f (t) dt + β b g(t) dt Soit f une fonction (u moins) continue sur un intervlle I. Pour tous réels, b et c de I : b c b f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt c b f (t) dt = f (t) dt f (t) dt = 0 b Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 7 sur 27

18 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE c) Fonctions pires et impires Soit 0 et f une fonction continue sur [ ; ]. Si f est pire sur [ ; ] lors Si f est impire sur [ ; ] lors d) Fonctions périodiques f (t) dt = 2 0 f (t) dt = 0 et f (t) dt = f (t) dt = f (t) dt Soit f une fonction continue sur et de période T. Alors pour tout réel : e) Comprison et inéglités +T f (t) dt = T 0 f (t) dt 0 f (t) dt L ire (en unité d ires) comprise entre l courbe représenttive d une fonction f continue et positive sur un segment [, b], l e des bscisses et les droites d équtions = et = b est b Pssge à l intégrle dns une inéglité f (t)dt. Si f est continue et positive sur [, b] lors b f (t)dt 0 Soit f et g, deu fonctions continues sur un intervlle [, b] vec b. Si f g sur [, b] lors b f (t) dt b g(t) dt Inéglité de l moyenne Soit f une fonction continue sur [, b] ( b) vec m un minornt de f sur [, b], M un mjornt de f sur [, b] lors : m(b ) b f (t)dt M(b ) Inéglité tringulire pour le clcul intégrl Soit f une fonction continue sur [, b] ( b) lors : b b f (t) dt f (t) dt Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 8 sur 27

19 . Définitions ) Nottion FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE V. Suites Une suite (u n ) nn0 est une succession de termes rngés et numérotés en fonction du rng n qui est supérieur à un certin rng noté n 0. (u n ) nn0 est un condensé de l suite de termes infinie u n0, u n0 +,..., u n, u n, u n+,... Nottion : (u n ) nn0 ; (u n ) n I ; u ; (u n ) b) Bornes d une suite Définition L suite (u n ) nn0 est : mjorée lorsqu il eiste un réel M tel que pour tout n n 0, minorée lorsqu il eiste un réel m tel que pour tout n n 0, bornée lorsque l suite est à l fois mjorée et minorée. u n M u n m c) Sens de vrition d une suite Définition Une suite (u n ) nn0 est dite constnte à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0 : u n = c où c est un réel. croissnte à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0 : u n+ u n strictement croissnte à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0 : u n+ > u n décroissnte à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0 : u n+ u n strictement décroissnte à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0 : u n+ < u n monotone si elle est croissnte ou bien décroissnte strictement monotone si elle est strictement croissnte ou bien strictement décroissnte Méthodes Pour étudier le sens de vrition d une suite on peut étudier le signe de l différence u n+ u n 2. Convergence ) Définition Une suite (u n ) converge vers une limite réelle finie l si u n peut pprocher l, non seulement de plus en plus, mis encore utnt que l on veut. u n peut-être ussi Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 9 sur 27

20 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE proche que l on veut de l du moment que n est pris suffisment grnd, c est à dire, supérieur à un certin rng. Remrque : Toute suite convergente est bornée. L réciproque est fusse. b) Divergence Une suite est divergente si elle n est ps convergente. Une suite divergente est une suite qui : soit une limite infinie, soit n ps de limite. c) Théorème de composition des limites Soit f une fonction définie sur un intervlle I et (u n ) n une suite d éléments à vleurs dns I à prtir d un certin rng. Soit (, 0 ) des réels finis ou des vleurs infinies (± ). Si lim u n = 0 et lim f () = lors n + 0 d) Comprison de deu suites convergentes lim f (u n) = n + Suite convergente à termes positifs Si (u n ) est une suite positive (ou strictement positive) à prtir d un certin rng et convergente vers l lors l 0. Pssge à l limite dns une inéglité Si (u n ) et (v n ) sont deu suites convergentes et si u n v n à prtir d un certin rng lors lim u n lim v n n + n + Limites et bornes Si l suite (u n ) converge l et qu à prtir d un certin rng u n M lors l M. Si l suite (u n ) converge l et qu à prtir d un certin rng u n m lors l m. Si l suite (u n ) converge l et qu à prtir d un certin rng m u n M lors m l M. e) Comprison d une suite vec une suite ynt une limite infinie Si pour tout n n 0, u n v n et si lim v n = + lors lim u n = + n + n + Si pour tout n n 0, u n v n et si lim v n = lors lim u n = n + n + Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 20 sur 27

21 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE f) Théorèmes d encdrement (ou théorème des gendrmes) Soit (u n ) nn0, (v n ) nn0 et (w n ) nn0 trois suites telles que pour tout n n 0, u n v n w n Si lim u n = l et lim w n = l lors l suite (v n ) nn0 n + n + vers cette limite l. est convergente et converge 3. Suites djcentes ) Définition Deu suites (u n ) et (v n ) sont djcentes si à prtir d un certin rng, l une est croissnte, l utre est décroissnte et lim (v n u n ) = 0 n + b) Théorème de convergence Deu suites djcentes sont convergentes et convergent vers l même limite. c) Appliction : Théorème des suites monotones Toute suite croissnte et mjorée est convergente. Toute suite croissnte non mjorée tend vers +. Toute suite décroissnte minorée est convergente. Toute suite décroissnte non minorée tend vers. 4. Suites usuelles ) Suite rithmétique Définition Soit r un nombre réel ou éventuellement complee. Une suite (u n ) est rithmétique de rison r à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0, u n+ = u n + r Remrque : Pour trouver l rison d une suite rithmétique, on clcule l différence de deu termes consécutifs quelconques. Propriétés Une suite (u n ) est rithmétique de rison si et seulement si pour tout n : u n = n + b Pour tout n n 0 et p n 0, u n = u p + (n p)r Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 2 sur 27

22 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Somme des n premiers termes n n(n + ) k = n = 2 k= Soit (u n ) nn0 une suite rithmétique. Alors n nombre de termes (premier terme+dernier terme) u k = u n0 + + u n = 2 k=n 0 b) Suite géométrique Définition Soit q un nombre réel ou éventuellement complee. Une suite (u n ) est géométrique de rison q à prtir du rng n 0 si pour tout n n 0, u n+ = qu n Remrque : Pour trouver l rison d une suite géométrique on clcule le rpport de deu termes consécutifs quelconques. Propriétés Une suite (u n ) est géométrique de rison q et de premier terme si et seulement si pour tout n : u n = q n Pour tout n n 0 et p n 0, u n = q n p u p Somme des k n k = n = k=0 n+ si n + si = Soit (u n ) nn0 une suite géométrique de rison q. Alors S n = u n0 + u n u n = er de termes qnombre terme q si q er terme nombre de termes si q = Limite usuelle Soit q. lim n + qn = 0 si q ] ; [ si q = + si q > Ps de limite si q Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 22 sur 27

23 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE 5. Risonnement pr récurrence Soit H(n) une proposition définie pour n n 0. Initilistion : H(n 0 ) est vrie. Hérédité : Soit n n 0 tel que H(n) soit vrie ; montrons lors que H(n + ) vrie. VI. Eercices Synte mthémtiques signifie : «pour tout» ou bien «quel que soit» signifie : «il eiste un réel de» Comment border l liste des eercices? Les eercices sont clssés pr ordre de difficultés. Pour obtenir le corrigé, envoyer moi un mil à l dresse gbriel.desintgeorge@ gmil.com et je vous retourneri le corrigé u formt PDF. Essyez de résoudre les eercices sns vous ider des corrigés puis vérifiez ensuite votre production à l ide de l correction. Si vous vous êtes idé(e) de l correction (ou si vous vez commis des erreurs), reprenez le même eercice quelques jours plus trd sns l correction. E. Sous réserve d eistence (dénominteurs non nuls) écrire les epressions suivntes vec un seul trit de frction :. A = b c 2. A 2 = b 3. A 3 = b b 4. A 4 = b +c c b +c 5. A 5 = 2 b b b + 6. A 6 = + b b 7. A 7 = b +b b b + 8. A 8 = 2b b +b E2. n désigne un entier nturel non nul. On rppelle que n! = n(n ).... Simplifiez u mimum les écritures suivntes : A = (n+)! A 4 = 2 n 2 n n! A 2 = (n+)! n! A 5 = 2 2n 2 n + 2 2n +2 n + n A 3 = 2 n + 2 n A 6 = (n+)(n+)! + (n+)! nn! Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 23 sur 27

24 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE E3. Dresser le tbleu de vrition de l fonction f définie sur pr f () = e ( ) puis montrer que :, e E4. En considérnt l fonction f définie sur + pr : +, f () = ln ( + ), montrer que : +, ln ( + ) E5. Soit f l fonction définie sur pr f () = 6e 2 + 7e 3. Etudier en fonction de le signe de f (). E6. Résoudre dns, l inéqution : e 3 e 2 0 E7.. Montrer que :, 2 + et en déduire que :, Montrer que : t +, t2 + t + E8. E9. Etudier les limites en 0, et + de : f () = 3 2 ln () Dériver l fonction f : ln + + e 2. E0. Soit l suite (u n ) définie sur pr u 0 = et n, u n+ = 3u n 2 u n Montrer que l suite (u n ) est constnte. E. Résoudre dns l éqution : sin () = sin 2 + π 2 E2. Soit et b deu nombres réels strictements positifs. Montrer que b + b 2 puis en déduire que : + b (ln + ln b) ln 2 2 E3. Soit l suite (u n ) définie sur pr : n, u n = n+ n e d. Clculer u n en fonction de n et vérifier que l suite (u n ) est une suite géométrique dont vous déterminerez le premier terme u 0 et s rison q. 2. Justifier que l suite (u n ) est convergente. 3. Clculer en fonction de n l somme : S n = u 0 + u + + u n Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 24 sur 27

25 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE E4. Soit l fonction f définie pr : f () = ln () Déterminer le domine de définition. Justifier que l fonction f est dérivble sur ]0; [ puis clculer s dérivée. E5. Déterminer les limites en +, et 0 de l fonction f définie pr f () = e. E6. Soit l fonction f définie sur pr, f () = e ln ( + e ). Justifier que l fonction f est dérivble sur et vérifier que :, f () = f () e + e 2. En déduire une fonction primitive de f. E7. Soit l fonction f définie sur [0; + [ pr f () = e sin.. Montrer que : [0; + [, e f () e et en déduire que f dmet une limite en Justifier que l fonction f est dérivble sur [0; + [, vérifier que f () = 2e cos + π 4 puis en déduire les intervlles sur lesquels l fonction f est croissnte. E8. Soit l fonction f définie pr f () = sin () 2 cos (). Déterminer le domine de définition de l fonction f. 2. ) Etudier l prité et l périodicité de l fonction f. b) En déduire qu il suffit d étudier l fonction f sur l intervlle [0; π]pour trcer s courbe représenttive sur le domine de définition en entier. 3. Etudier les vritions de l fonction f sur [0; π]. 4. Clculer I = π 3 0 sin () 2 cos () d E9. Soit l fonction f définie pr : f () = ln e + ln + e. Après voir déterminé le domine de définition de l fonction f, montrer que f est l fonction identité de, c est à dire :, f () =. E20. Soit l fonction f définie sur pr f () = Vérifier que 2 est une rcine de f. Que peut-on en déduire pour f? Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 25 sur 27

26 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE 2. Déterminer les réels, b et c tels que f () = (2 )( 2 + b + c) et en déduire le tbleu de signes de l fonction f. 3. Résoudre dns l inéqution : 2e 3 3e 2 + 3e 0 E2.. Soit l fonction polynôme f définie pr : f () = Etudier le signe de l fonction f. 2. Résoudre dns + l inéqution : 2 ln 3 () + ln 2 () 5 ln () E22. Soit l fonction f définie pr f () = Déterminer le domine de définition de f. Sur quel ensemble l fonction f est-elle dérivble 2 5? Clculer s dérivée lorsqu elle eiste. E23.. Soit q un réel différent de. Démontrer pr récurrence que : n, + q + q q n = qn+ q 2. En déduire pour un réel quelconque que n : E24. Démontrer que : n, + = ( ) n 2n 2n+2 n+ + ( ) n(n + ) = E25. Montrer pr récurrence que : n, n 2 = n n + n, u n > 0 E26. Soit (u n ) n une suite géométrique telle que : u = 3 u 3 + u 5 = 5 Déterminer l rison q de cette suite géométrique. E27. Soit (, b) un couple de réels strictement positifs tels que : + b ln = ln () + ln (b). 3 2 Clculer le rpport b n(n + )(2n + ) 6 6 E28. Soit l suite (u n ) définie sur pr : u 0 = 2 3 et n, u n+ = u n 2 u n. Montrer que : n, u n ]0; [ 2. Soit l suite (v n ) définie pr : n, v n = u n Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 26 sur 27

27 FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE ) Justifier que l suite (v n ) est bien définie sur et que n, v n 0. b) Montrer que l suite (v n ) est géométrique. c) En déduire pour tout n de, v n puis u n en fonction de n. L suite (u n ) est-elle convergente? E29.. On rppelle que : n, n! = n(n )... 2 et pr convention 0! =. Démontrer pr récurrence que : n, Cette inéglité est-elle vrie pour n = 0? n! 2 n 2. Soit l suite (u n ) n définie pr : u n = 0! +! + 2! + + n! = n k! k=0 ) Montrer que l suite (u n ) est croissnte. b) Montrer que : n, u n 4 et en déduire que l suite (u n ) est convergente. E30. Soit l fonction f définie sur pr :, f () = ( )e.. Déterminer les limites de f en + et. 2. On désigne pr f (n) l dérivée n ème de f. On : n, f (n) = f (n ) et pr convention : f (0) = f. Montrer que :, n, f (n) () = ( ) n e ( n) 3. Soit l fonction g définie sur + pr : +, g() = f ) Justifier que g est dérivble sur + et clculer s dérivée. b) Montrer en l clculnt que g dmet une limite finie en 0. E3. Soit l fonction g définie pr g() = sin () cos () + sin (). Déterminer le domine de définition de l fonction g puis vérifier que l 2. fonction g est périodique. Vous préciserez l période. Soit h l restriction de l fonction g sur l intervlle π 4 ; 3π 4. Etudier les vritions de l fonction h. Vous déterminerez les limites u bornes de l intervlle. 3. Montrer qu il eiste des réels et b tels que : π 4 ; 3π sin () + cos (), h() = + b 4 cos () + sin () En déduire l primitive H qui s nnule en 0 de l fonction h. Lycée TOUCHARD-WASHINGTON CPGE ECS Pge 27 sur 27