TRANSLATION ET VECTEURS

Transcription

1 TRNSLTION ET VETEURS I. Translation Exemple : T 80m Une translation est n glissement : - aec ne direction donnée : câble d téléphériqe, la droite (), - aec n sens donné : le téléphériqe monte de ers, T - aec ne longer donnée : 80m, longer On dit qe : Le téléphériqe T est l image d téléphériqe T par la translation qi transforme en. Soit P et P dex points distincts d plan. On appelle translation qi enoie P sr P la transformation dont l image F d ne figre F est obtene en faisant glisser la figre F : - selon la direction de la droite (PP ), P - dans le sens de P ers P, - d ne longer égale à PP. F P F Page 1 sr 13

2 Méthode : onstrire l image d ne figre par ne translation Soit t la translation qi transforme en. onstrire l image D E d trapèze DE par la translation t. II. Vecters 1. Soit t la translation qi enoie sr, sr et sr. Les coples de points ( ; ), ( ; ) et ( ; ) définissent n ecter caractérisé par : - ne direction : celle de la droite ( ), - n sens : de ers, - ne longer : la longer. On note ce ecter et on écrit : = '. On dit qe ' est n représentant de. ' et ' sont également des représentants de. Remarqe : La longer d n ecter est assi appelée la norme d ecter. Page 2 sr 13

3 2. Egalité de ecters Les ecters et D sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer. On note = D. Exemple : i-dessos, on pet poser : = = D. et D sont des représentants d ecter. D D Propriété d parallélogramme : Soit,, et D qatre points dex à dex distincts. Dire qe les ecters et D sont égax reient à dire qe le qadrilatère D est n parallélogramme, éentellement aplati. D D Démonstration : - Si = D, la translation de ecter transforme le point en D. Les segments [] et [D] ont donc même longer et même direction. Le qadrilatère non croisé D est donc n parallélogramme éentellement aplati. - Réciproqement : Les côtés opposés d n parallélogramme sont parallèles et de même longer donc les ecters et D, définis à l aide des segments [] et [D] d n parallélogramme D, sont égax. Page 3 sr 13

4 Méthode : partir d parallélogramme D, constrire les points E, F, G et H tels qe : DE = F = D G = H = D H G D F E Propriété d milie : Dire qe est le milie d segment [] reient à dire qe et sont égax. 3. Vecter nl Un ecter est nl lorsqe les points et sont confonds. On note : = 0. Remarqe : Por tot point M, on a : MM = Vecters opposés Il ne fat pas confondre sens et direction! Une droite définit ne direction, ci-dessos la direction de la droite (). ependant ne direction possède dex sens, ici de «ers» o de «ers». Page 4 sr 13

5 Dex ecters sont opposés lorsq ils ont la même direction, la même longer et q ils sont de sens contraire. et sont des ecters opposés. On note = - III. Somme de ecters 1. Définition Exemple : Soit t 1 la translation de ecter et t 2 est la translation de ecter. ppliqer la translation t 1 pis la translation t 2 : t 1 t 2 M M 1 M 2 M 1 reient à appliqer la translation t de ecter w : t M M 2 M w M 2 Propriété : La composée (o l enchaînement) de dex translations est ne translation. et sont dex ecters qelconqes. On appelle somme des ecters et, notée +, le ecter w associé à la translation composée des translations de ecters et. Page 5 sr 13

6 Propriétés : Por tos ecters,, w, on a : 1) + = + + = + 2) ( + ) + w = + ( + w ) = + + w 3) + 0 =. + + w w + + w 2. Une relation fondamentale La relation de hasles : Por tos points, et d plan, on a : = +. Remarqe : Dans le triangle, on a également les relations : = + = +. Page 6 sr 13

7 Méthode : Simplifier les écritres : a) M + MN b) MP + M c) OP + KO + NK d) MN + NM e) MO + PM + OP f) KN ON + OK a) M + MN b) MP + M c) OP + KO + NK = N = M + MP = KO + OP + NK = P = KP + NK = NK + KP = NP d) MN + NM e) MO + PM + OP f) KN ON + OK = MM = MO + OP + PM = KN + NO + OK = 0 = MP + PM = KO + OK = MM = KK = 0 = 0 3. onséqence : Propriété caractéristiqe d parallélogramme : Dire qe D est n parallélogramme reient à dire qe = + D, D Démonstration : D après la relation de hasles, l égalite = + D pet s écrire : D D D soit D, soit encore : D est n parallélogramme. Page 7 sr 13

8 4. Différence de dex ecters et sont dex ecters qelconqes. On appelle différence d ecter aec le ecter, le ecter noté -, tel qe : - = + (- ). - Méthode : onstrire n point défini à partir d ne somme de ecters Soit n triangle. onstrire le point F tel qe F = + F F On constrit à partir de (origine de F ) le ecter + en mettant «bot à bot» les ecters et. On a ainsi constrit n ecter F et donc le point F. Page 8 sr 13

9 IV. Prodit d n ecter par n réel 1. Définition Exemple : Soit n ecter d plan. ppliqer 5 fois la translation de ecter reient à appliqer la translation de ecter w = = 5 5 Remarqes : - Les ecters 5 et ont la même direction et le même sens. - La norme d ecter 5 est égale à 5 fois la norme d ecter. est n ecter qelconqe différent de 0 et k n nombre réel non nl. On appelle prodit d ecter par le réel k, le ecter noté k : - de même direction qe, - de même sens qe, si k > 0 et de sens contraire, si k < 0, - de norme égale à k fois la norme de si k > 0, -k fois norme de si k < 0. k > 0 : k < 0 : k k Remarqe : Si = 0 o k = 0 alors k = 0. Exemples : 1,5-3 Les ecters, 1,5 et -3 ont la même direction. et 1,5 sont de même sens. et -3 sont de sens contraire. La norme d ecter 1,5 est égale à 1,5 fois la norme de. La norme d ecter -3 est égale à 3 fois la norme de. Page 9 sr 13

10 Méthode : Représenter n ecter défini comme prodit et somme de ecters 1) Soit dex ecters et. Représenter les ecters siants : 2, -, 2. 2) Soit trois points, et. Représenter le ecter 3. 1) Por représenter le ecter 2, on place bot à bot dex ecters. Por représenter le ecter, on représente n ecter de même direction et même longer qe mais de sens opposé. Por représenter le ecter 2 - o 2 +(- ), on place bot à bot les ecters 2 et. Dans «le chemin» de ecters ainsi constrit, le ecter 2 - a por origine l origine d ecter 2 et por extrémité l extrémité d ecter. On obtiendrait le même résltat en commençant par placer le ecter et ensite le ecter 2. 2) -3-3 Por représenter le ecter - 3 o + (-3 ), on place bot à bot les ecters et - 3. Page 10 sr 13

11 Méthode : onstrire n point érifiant ne égalité ectorielle 1) Soit dex ecters et et n point O d plan. onstrire le point tel qe O = 3 -. O 2) Soit trois points,, d plan. onstrire le point M tel qe M = ) O O =3-3 - Por représenter le ecter O = 3 -, on place bot à bot à partir d point O les ecters 3 et -. Le point se troe à l extrémité d ecter - dans «le chemin» de ecters ainsi constrit. 2) M = M - 3 Por représenter le ecter M = - + 3, on place bot à bot à partir de les ecters - et 3. Le point M se troe à l extrémité d ecter 3 dans «le chemin» de ecters ainsi constrit. Page 11 sr 13

12 Méthode : Exprimer par lectre graphiqe n ecter en fonction d atres ecters Par lectre graphiqe, exprimer le ecter en fonction des ecters a et b. b a b a On constrit «n chemin» de ecters a et b mis bot à bot reliant l origine et l extrémité d ecter. On compte ainsi le nombre de ecters a et b formant «le chemin». = 3 a + 3 b. 2. olinéarité Dex ecters non nls et sont colinéaires signifie q ils ont même direction c est à dire q il existe n nombre réel k tel qe = k. Remarqe : Le ecter nl est colinéaire à tot ecter d plan. Exemple : = -3 = -3 et sont colinéaires. Page 12 sr 13

13 Méthode : Démontrer qe des ecters sont colinéaires On donne n ecter d plan. Soit n ecter tel qe = 0. Démontrer qe les ecters et sont colinéaires = 0-4 = = Il existe n nombre réel k = 4 3 tel qe = k. Donc et sont donc colinéaires. Propriétés : 1),, et D étant qatre points dex à dex distincts d plan. Dire qe les droites () et (D) sont parallèles reient à dire qe les ecters et D sont colinéaires. 2) Dire qe les points distincts, et sont alignés reient à dire qe les ecters et sont colinéaires. Page 13 sr 13