On suppose que l on a choisi une unité de longueur dans le plan. Rappel. Les vecteurs sont utilisés en 3 pour caractériser les translations.

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1 Seconde Vecters Repérage I Vecters d plan On sppose qe l on a choisi ne nité de longer dans le plan Rappel Les ecters sont tilisés en 3 por caractériser les translations Un ecter c est : ne direction, n sens, ne norme (ne longer) Por représenter n ecter, on choisit n point de départ Sr la figre on a représenté 3 fois le même ecter En effet on a : la même direction (parallèle à ()) le même sens (de ers ) la même norme (la longer ) E F ce qi s écrit EF Remarqes On note la norme d ecter Dex ecters peent aoir même direction mais être de sens contraire (illstrer) Le ecter nl, noté 0, de norme nlle, n a pas de direction Il est représenté par n point Por tot point M d plan, MM 0 «e ecter joe le même rôle qe le 0 ordinaire mais por l addition des ecters» «En sciences physiqes, les ecters sont tilisés por représenter ne force (le point d application de la force est l origine d ecter), o ne itesse (on retroe l idée d déplacement)» Propriété admise (égalité de dex ecters) et sont dex points d plan distincts D et D sont même direction, même sens, même norme D est n parallélogramme (attention à l ordre des lettres!) les segments [D] et [] ont même milie c est la même translation qi transforme en et en D Exemple d tilisation D et DFE sont des parallélogrammes Montrer qe FE est n parallélogramme Définition (ecters opposés) e sont dex ecters de même direction, même norme mais de sens contraire (illstrer) Le ecter opposé à est noté (le signe moins indiqe l opposé, comme por l opposé d n nombre) «Nos errons qe la somme de dex ecters opposés donne le ecter nl»

2 II Somme ectorielle Somme de dex ecters Définition onstrction d ecter : on choisit n point, on constrit, pis ; alors (le ecter est n représentant de ) «insi, por constrire la somme de dex ecters, il sffit de les mettre bot à bot» On en dédit, Propriété (relation de hasles), et étant trois points qelconqes, Remarqes Le je de coler est important por mémoriser la relation mais en général + (inégalité trianglaire) On a 0 Les ecters et sont opposés et ler somme est le ecter nl On note o tre méthode por constrire le ecter somme Lorsqe les dex ecters et ont la même origine, et D, le ecter est égal à, où est le point tel qe D est n parallélogramme (illstrer) Propriété admise (règle d parallélogramme) D D est n parallélogramme Différence de dex ecters Définition La différence trement dit s obtient en ajotant a ecter l opposé d ecter «Sostraire n ecter, c est ajoter son opposé (comme por les nombres)» Illstrer Qand les dex ecters et ont la même origine, on note Nos saons qe le ecter Pet-on simplement troer le ecter et est la diagonale D d parallélogramme D sr cette figre? Illstrer!

3 III Prodit d n réel par n ecter Définition désigne n ecter non nl et k n réel non nl Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 k et ont le même sens La norme de k est le prodit de k par la norme de Lorsqe k < 0 k et sont de sens contraire La norme de k est le prodit de l opposé de k par la norme de k k Dans tos les cas, les égalités de longers peent se résmer par = k Lorsqe 0 o k = 0, par conention k 0 o par k k Exercice D après la figre on a : ; EF ; GH E G F H Placer dex points et ) onstrire le point tel qe ) onstrire le point D tel qe D

4 Exemples de calcls 3 M 0 éqiat à M 0 soit M = 5 i j 5i 5 j ttention et en général Exercice ) Tradire à l aide de phrases contenant des égalités ectorielles les phrases siantes I est le milie de [] G est le centre de graité d triangle (on note,, les miliex de [], [], []) Le théorème de la droite des miliex, dans n triangle aec milie de Le théorème de Thalès, dans n triangle, aec et ) Les ecters i et j étant donnés, simplifier les expressions siantes a) i i j j b) i j i j 5 4 c) w i j i j 4 IV Vecters colinéaires Définition Dire qe dex ecters non nls et D sont colinéaires signifie q ils ont la même direction, ce qi éqiat encore à dire qe () et (D) sont parallèles Illstrer Théorème (admis) Dex ecters non nls et sont colinéaires il existe n nombre réel k non nl tel qe k (o q il existe n réel k tel qe k en prenant k = k ) e nombre est alors appelé coefficient de colinéarité Par conention, on dit qe le ecter nl est colinéaire à tot ecter Théorème (admis) Les droites () et (D) sont parallèles il existe n nombre réel k non nl tel qe D k Les points distincts,, sont alignés il existe n nombre réel k non nl tel qe k Exercice 3 est n triangle, les points I et J sont tels qe I 3 et J 3 Exprimer I et J en fonction de et En dédire qe les droites (I) et (J) sont parallèles

5 V Repérage d n point dans le plan Sr ce qadrillage à maille carrée, on a choisi n point origine O et dex points nités I et J et on a représenté les ecters i OI et j OJ es 3 éléments ( O ; i ; j ) forment n repère orthonormal (o orthonormé) M (o OM ) a por abscisse x et por ordonnée y signifie OM x i y j O i 3 j donc a por coordonnées ( ; ) O 4 i j donc a por coordonnées ( ; ) i j donc a por coordonnées ( ; ) J O I Sr ce qadrillage à maille rectanglaire, on procède de la même façon mais cette fois le repère ( O ; i ; j ) est orthogonal (l nité de mesre est différente sr les dex axes) OE i j donc E a por coordonnées ( ; ) OF i j donc F a por coordonnées ( ; ) EF i j J O I E F donc EF a por coordonnées ( ; ) Remarqe Il existe des qadrillages faits aec des parallélogrammes Notation x M et y M représentent les coordonnées d point M Les coordonnées peent se noter en ligne o en colonne Formlaire (à connaître!) oordonnées d milie de [] oordonnées d n ecter x x ; y y oordonnées d ecter w = x ; y + x' ; y' w x x' ; y y' oordonnées d ecter w = k x ; y w k x ; k y x x ; y y Distance (aec n repère orthonormal) = x x y y Norme d n ecter x ; y = olinéarité de dex ecters, dex ecters si x y = x y (c est-à-dire lers coordonnées sont proportionnelles) x y x ; y et x' ; y' sont colinéaires si et selement retenir Une égalité (o ne opération) aec des ecters éqiat à ne égalité (o ne opération) aec les x et ne aec les y

6 Exemples (facltatifs) Si ; et 3 ;, alors a por coordonnées 3 ; ; Si ( ; ) et ( 3 ; ), alors a por coordonnées 3 ; 5 ; 3 Si ( ; ) et ( ; ), alors le milie I de [] a por coordonnées ; ; 0 Si ( ; ) et ( ; ), alors x x y y Remarqes (facltaties) = = = x x y y x x y y x x y y Por calcler ne distance, on pet assi tiliser le théorème de Pythagore et le qadrillage La racine carrée et les carrés ne se compensent pas car a b a b en général Par exemple tandis qe = 7 Qand il n y a pas de précision dans l énoncé, il fat donner la aler exacte (et donc soent sos la forme d ne racine carrée) Exercice 4 On donne ( ; 4 ), ( 6 ; ), ( 7 ; 6 ), E ( ; 4 ), F ( 9,5 ; 7 ), G ( 8 ; ) a) Faire la figre b) alcler les coordonnées des ecters, et et les distances, et c) alcler les coordonnées de I et J, miliex de [E] et [] Qe pet-on en dédire? d) Montrer qe les points, et G sont alignés e) Montrer qe les droites () et (GF) sont parallèles f) Déterminer le point M ( x ; y ) tel qe M soit n parallélogramme

7 Seconde Vecters Repérage Exercices d cors Exercice D après la figre on a : ; EF ; GH E G F H Placer dex points et ) onstrire le point tel qe ) onstrire le point D tel qe D Exercice ) Tradire à l aide de phrases contenant des égalités ectorielles les phrases siantes I est le milie de [] G est le centre de graité d triangle (on note,, les miliex de [], [], []) Le théorème de la droite des miliex, dans n triangle aec milie de Le théorème de Thalès, dans n triangle, aec et ) Les ecters i et j étant donnés, simplifier les expressions siantes a i i j j b i j i j 5 4 c w i j i j 4 Exercice 3 est n triangle, les points I et J sont tels qe I 3 et J 3 Exprimer I et J en fonction de et En dédire qe les droites (I) et (J) sont parallèles Exercice 4 On donne ( ; 4 ), ( 6 ; ), ( 7 ; 6 ), E ( ; 4 ), F ( 9,5 ; 7 ), G ( 8 ; ) a) Faire la figre b) alcler les coordonnées des ecters, et et les distances, et c) alcler les coordonnées de I et J, miliex de [E] et [] Qe pet-on en dédire? d) Montrer qe les points, et G sont alignés e) Montrer qe les droites () et (GF) sont parallèles f) Déterminer le point M ( x ; y ) tel qe M soit n parallélogramme

8 Seconde Vecters et repérage orrection des exercices d cors Exercice D après la figre on a : 3,5 ; EF ; GH 0,5 E G F H Plaçons dex points et ) onstrisons le point tel qe ) onstrisons le point D tel qe D Exercice ) Tradisons à l aide de phrases contenant des égalités ectorielles les phrases siantes I est le milie de [] I est le milie de [] G est le centre de graité d triangle (on note,, les miliex de [], [], []) ' G ' ' G est le centre de graité d triangle

9 Le théorème de la droite des miliex, dans n triangle aec milie de J I est le milie de Le théorème de Thalès, dans n triangle, aec et J I et ) Les ecters et étant donnés, simplifions les expressions siantes Exercice 3 est n triangle, les points I et J sont tels qe I 3 et J 3 J I Exprimons I et J en fonction de et Nos allons en dédire qe les droites (I) et (J) sont parallèles On a facilement d après ce qi précède : Pisqe, les ecters et sont colinéaires et donc

10 Exercice 4 On donne ( ; 4 ), ( 6 ; ), ( 7 ; 6 ), E ( ; 4 ), F ( 9,5 ; 7 ), G ( 8 ; ) a) Faisons la figre 8 F 6 4 J I E o M G b) alclons les coordonnées des ecters, et et les distances, et donc donc donc donc donc donc c) alclons les coordonnées de I et J, miliex de [E] et [] omme est le milie de alors pis donc omme est le milie de alors pis donc Les points et sont confondes, donc les segments et ont le même milie, donc est n parallélogramme d) Montrons qe les points, et G sont alignés On calcle d abord (déjà fait) et donc pis On a alors le tablea : abscisse ordonnée Les prodits en croix sont égax : et donc les coordonnées de et sont proportionnelles, donc les ecters et sont colinéaires, donc les points et sont alignés

11 e) Montrons qe les droites () et (GF) sont parallèles alclons (déjà fait) et donc pis On a alors le tablea : abscisse ordonnée Les prodits en croix sont égax : et donc les coordonnées de et sont proportionnelles, donc les ecters et sont colinéaires, donc les droites et sont parallèles f) Déterminons le point M ( x ; y ) tel qe M soit n parallélogramme omme est n parallélogramme, alors donc les coordonnées de ces ecters sont égales, ce qi donne le système : donc pis et Donc le point tel qe soit n parallélogramme, a por coordonnées

12 Seconde Vecters Repérage Exercices Vecters d plan Exercice En considérant la figre ci-dessos, remplir le tablea aec oi o non Les, ecters ont la même direction ont le même sens ont la même norme sont égax sont opposés et D et DF et et ED et F F D E Exercice D est n losange de centre O En tilisant la figre ci-contre, donner : dex ecters égax dex ecters opposés dex ecters ni égax, ni opposés, mais ayant la même norme dex ecters n ayant pas la même direction, mais ayant la même norme O Exercice 3 Soit,, trois points donnés et les points D, E, F définis par : D E F ) onstrire les points D, E, F sr la figre ci-dessos ) ombien de parallélogrammes pet-on tracer à partir de ces six points? iter lers noms 3) Donner dex ecters égax à E, pis dex ecters égax à D D

13 Somme ectorielle Exercice 4 On considère les ecters et D ) onstrire le point tel qe ) onstrire le point E tel qe E 3) onstrire le point F tel qe F ( ) 4) onstrire le point G tel qe G 5) Jstifier la natre d qadrilatère EGF D Exercice 5 Dans chaqe cas de figre : ) onstrire le point M tel qe M ) onstrire le point N tel qe N o o Exercice 6 En tilisant la relation de hasles, compléter les égalités siantes IJ I MN P P H IJ D F G JK M Exercice 7 Simplifier en tilisant la relation de hasles ; ; w M M

14 Mltiplication d n réel par n ecter Exercice 8 et sont dex points distincts 3 ) Placer le point tel qe (conseil, placer d abord le milie d segment []) ) Déterminer, à l aide de la figre, les réels x, y et z tels qe : x, y, z Exercice 9 est n triangle Les points M et N sont tels qe ) Placer les points M et N sr ne figre M 3 et N 3 ) Troer le nombre k tel qe M k N Qe pet-on dire des points, M et N? Exercice 0 est n triangle On considère les points M et N définis par ) Exprimer M en fonction de et onstrire M ) Exprimer N en fonction de et onstrire N M et N N Exercice est n triangle Placer les points M et N tels qe M et N Déterminer le réel k tel qe M k N Qe pet-on dire des points, M et N? 4 3 Exercice Soit n parallélogramme D a) onstrire les points E et F tels qe E et F 3 D onstrire le point G tel qe EGF soit n parallélogramme b) Démontrer qe les points, et G sont alignés (exprimer et G en fonction de et D) Exercice 3 est n triangle, est le milie de [] On se propose de démontrer la propriété : «G est le centre de graité d triangle» éqiat à «G G G 0» ) Qelle égalité ectorielle entre G et G ' caractérise le centre de graité G? ) a) Proer qe G G G' (partir d premier membre et tiliser la relation de hasles ) b) En dédire la propriété énoncée a débt de l exercice 3) Qelle interprétation de cette propriété pet-on donner en physiqe?

15 Repérage Exercice 4 La figre présente dex qadrillages M N j P oo i ) Lire les coordonnées des points M, N, P : a) Dans le repère (O ; i, j ) b) Dans le repère (O ;, ) ) alcler les coordonnées des ecters MN, MP, NP : a) Dans le repère (O ; i, j ) b) Dans le repère (O ;, ) Exercice 5 On considère les points et le point défini par On note x et y les coordonnées de Le bt de cet exercice est de troer (par le calcl) les coordonnées de ) alcler les coordonnées d ecter pis d ecter ) Tradire l égalité sos forme d n système (ne éqation aec x, ne aec y) 3) Résodre le système et conclre Exercice 6* Dans n repère (O ; i, j ), on donne les points et alcler les coordonnées : ) D milie d segment ; ) D ecter ; 3) D ecter ; 4) D ecter ; 5) D ecter Exercice 7 Dans le plan mni d n repère (O ; i, j ), on donne les points : et Montrer qe le qadrilatère est n parallélogramme

16 Exercice 8* On donne les points et ) Placer ces points dans n repère ) alcler et, pis en dédire la natre d triangle 3) Donner (en jstifiant) les coordonnées d centre et le rayon d cercle circonscrit a triangle 4) Soit le point de coordonnées Montrer qe est n point d cercle 5) alcler cos, et en dédire ne aler arrondie de l angle (a dixième de degré près) 6) alcler l aire d triangle a millimètre carré près Exercice 9* Soit n repère orthonormal d plan (nité cm) On considère les points et ) Faire ne figre ) Montrer qe les droites et sont parallèles 3) Montrer qe les points sont alignés 4) Troer x tel qe soit aligné aec et 5) Soit Por qelle(s) aler(s) de m, le qadrilatère est-il n trapèze aec et comme bases? Exercice 8* On donne les points et ) Placer ces points dans n repère ) alcler et, pis en dédire la natre d triangle 3) Donner (en jstifiant) les coordonnées d centre et le rayon d cercle circonscrit a triangle 4) Soit le point de coordonnées Montrer qe est n point d cercle 5) alcler cos, et en dédire ne aler arrondie de l angle (a dixième de degré près) 6) alcler l aire d triangle a millimètre carré près Exercice 9* Soit n repère orthonormal d plan (nité cm) On considère les points et ) Faire ne figre ) Montrer qe les droites et sont parallèles 3) Montrer qe les points sont alignés 4) Troer x tel qe soit aligné aec et 5) Soit Por qelle(s) aler(s) de m, le qadrilatère est-il n trapèze aec et comme bases?

17 Seconde Vecters Repérage orrection des exercices Vecters d plan Exercice En considérant la figre ci-dessos, remplir le tablea aec oi o non Les, ecters ont la même direction ont le même sens et D x x ont la même norme sont égax sont opposés et DF x x x et et ED x x x x et F x F D E Exercice D est n losange de centre O En tilisant la figre ci-dessos, donnons : dex ecters égax : dex ecters opposés : dex ecters ni égax, ni opposés, mais ayant la même norme : dex ecters n ayant pas la même direction, mais ayant la même norme : O D

18 Exercice 3 Soit,, trois points donnés et les points D, E, F définis par : D E F ) onstrisons les points D, E, F sr la figre ci-dessos D F E ) On pet tracer 4 parallélogrammes à partir de ces six points : 3) Donnons dex ecters égax à E : Pis dex ecters égax à D : Exercice 4 E D' D G ' F Pisqe = et qe G = alors et G sont des ecters opposés et G ont la même longer, la même direction mais des sens contraires, donc est le milie de [G] Pisqe F = et qe E = alors F et E sont des ecters opposés F et E ont la même longer, la même direction mais des sens contraires, donc est le milie de [EF] insi les diagonales d qadrilatère EGF se copent en ler milie, c est donc n parallélogramme

19 Exercice 5 N M M N N N M Exercice 6 M o En tilisant la relation de hasles, complétons les égalités siantes IJ I J MN MP PN HJ HI IJ FD FG GD JM JK KM Exercice 7 Simplifions en tilisant la relation de hasles 0 ; ; w M M M M Mltiplication d n réel par n ecter o Exercice 8 et sont dex points distincts 3 ) Plaçons le point tel qe (on place d abord le milie d segment []) ) Déterminons, à l aide de la figre, les réels x, y et z tels qe : x, y, z

20 Exercice 9 est n triangle Les points M et N sont tels qe : et ) Plaçons le point sr ne figre On place d abord et tels qe : et Plaçons le point sr ne figre On place d abord et tels qe : et Q M S N R P ) Troons le nombre k tel qe M k N Pisqe et, alors onclsion : Pisqe, les ecters et sont colinéaires, donc les points, M et N sont alignés

21 Exercice 0 est n triangle On considère les points M et N définis par ) Exprimons M en fonction de et M et N N Pis on pet constrire : On constrit d abord o tels qe : et ) Exprimons N en fonction de et Pis on pet constrire : On constrit d abord o tels qe : et P M S N R Q Exercice est n triangle Plaçons les points M et N tels qe et N M Déterminons le réel k tel qe M k N Pisqe et, alors et omme et, alors, donc omme, alors et sont colinéaires, donc les points, M et N sont alignés

22 Exercice Soit n parallélogramme D a) onstrisons les points E et F tels qe E et F 3 D pis constrisons le point G tel qe EGF soit n parallélogramme E D F G b) Démontrons qe les points, et G sont alignés Exprimons et G en fonction de et D omme et, alors règle d parallélogramme règle d parallélogramme Donc Les ecters et sont colinéaires, donc les points sont alignés Exercice 3 est n triangle, est le milie de [] On se propose de démontrer la propriété : «G est le centre de graité d triangle» éqiat à «G G G 0» ' ' G ' ) L égalité ectorielle entre G et G ' caractérise le centre de graité G ) a) Proons qe G G G' (partir d premier membre et tiliser la relation de hasles ) b) Nos allons en dédire la propriété énoncée a débt de l exercice d après la qestion précédente Et comme, alors onclsion : 3) En physiqe, l égalité signifie qe l on pet mettre n triangle en éqilibre sr ne pointe placée a centre de graité

23 Repérage Exercice 4 La figre présente dex qadrillages M N j P oo i ) Lisons les coordonnées des points a) Dans le repère (O ; i, j ) : b) Dans le repère (O ;, ) : ) alclons les coordonnées des ecters : a) Dans le repère (O ; i, j ) : soit donc soit donc soit donc b) Dans le repère (O ;, ) : soit donc soit donc soit donc Exercice 5 On considère les points et le point défini par On note x et y les coordonnées de Le bt de cet exercice est de troer (par le calcl) les coordonnées de ) alclons les coordonnées d ecter pis d ecter donc donc omme, on mltiplie par les coordonnées de por obtenir celles de Donc donc ) Tradisons l égalité sos forme d n système (ne éqation aec x, ne aec y) Les ecters et sont égax, donc lers coordonnées sont égales, or les coordonnées de sont assi soit, ce qi donne le système : 3) Résolons le système : donc donc En conclsion, a por coordonnées

24 Exercice 6* Dans n repère (O ; i, j ), on donne les points et alclons les coordonnées : ) D milie d segment ) D ecter 3) D ecter 4) D ecter On calcle d abord les coordonnées de soit donc Pis comme et alors donc 5) D ecter omme et alors pis soit Exercice 7 Dans le plan mni d n repère (O ; i, j ), on donne les points : et Montrons qe le qadrilatère On calcle les coordonnées de et de est n parallélogramme (ne figre pet aider) donc donc donc donc omme et alors, et donc est n parallélogramme

25 Exercice 8* On donne les points et ) Plaçons ces points dans n repère E - o I ) alclons et On commence par les calcls des coordonnées des ecters correspondants : donc donc donc donc donc donc omme, alors omme, alors omme, alors Pisqe et, alors, ce qi proe (par le théorème de Pythagore) qe le triangle est rectangle en 3) Donnons les coordonnées d centre et le rayon d cercle circonscrit a triangle omme le triangle est rectangle, le centre de son cercle circonscrit est le milie de son hypoténse L hypoténse est n diamètre d cercle, comme, alors, donc 4) Soit le point de coordonnées Montrons qe est n point d cercle Il s agit de oir si On calcle soit donc Donc Donc omme, cela proe qe appartient a cercle 5) alclons cos Pisqe le triangle est rectangle en, alors Soit et donc 6) alclons l aire d triangle a millimètre carré près Pisqe le triangle est rectangle en, alors on a :

26 Exercice 9* Soit n repère orthonormal d plan (nité cm) On considère les points et ) Faisons ne figre 4 D E O o ) Montrons qe les droites et sont parallèles On calcle les coordonnées des ecters et donc De même donc alclons le déterminant des ecters et : omme, alors les ecters et sont colinéaires, et donc les droites et sont parallèles 3) Montrons qe les points sont alignés On calcle les coordonnées des ecters et : déjà fait, pis donc alclons le déterminant des ecters et : omme, alors les ecters et sont colinéaires, et donc les points sont alignés 4) Troons x tel qe soit aligné aec et est sr la droite et sont colinéaires et sont colinéaires et sont colinéaires Il fat qe por qe soit aligné aec et

27 5) Soit Le qadrilatère est n trapèze aec et comme bases Donc le qadrilatère est n trapèze aec et comme bases