Thème 1 : Calculs dans un repère et vecteurs

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1 SAVOIR-FAIRE ÉLÉMENTAIRES EN MATHÉMATIQUES pour aborder la classe de première Lycée ascan : séries S et STID Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Exercice (résolu) Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points A( ; 3), ; ) Calculer la distance A. ) Calculer les coordonnées du milieu E du segment [C]. 3) Calculer les coordonnées du point D symétrique de par rapport à A. et C(5; ). Correction Exercice ) On utilise la formule de la distance : A = ( x x ) + ( y y )² A = + + ( 3)² = + ( 4)² = + 6 = = 4 4 ) On utilise la formule des coordonnées du milieu d un segment : + 5 x + xc y + yc + x E = = = et ye = = = 0 Ainsi les coordonnées du point E sont : ; ) D est le symétrique de par rapport à A signifie que A est le milieu de [D], donc + x x + + D xd y + xa = et ya = = et 3 = 4 = + xd et 6 = + 9 xd = et = 7 Ainsi, les coordonnées du point D sont 9 ; 7. Exercice Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points E(; - 4), F(0; - 3) et G(- 7; - 8). ) Calculer la distance EF. ) Calculer les coordonnées du milieu A du segment [EG]. 3) Calculer les coordonnées du point symétrique de E par rapport à G. A A Exercice 3 Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points M(- ; 0), N 3 ; 6 ) Calculer la distance PN. ) Calculer les coordonnées du milieu Q du segment [MN]. 3) Calculer les coordonnées du point R symétrique de P par rapport à M. et P(4; 3 ). Exercice 4 Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne les points D 5 ;, E(3; 7) et F( 8 ; 4 ). ) Calculer la distance FE. ) Calculer les coordonnées du milieu G du segment [DE]. 3) Calculer les coordonnées du point H symétrique de F par rapport à D. Page - - sur 5

2 Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Exercice 5 (résolu) On considère un triangle AC, construire les points D, E et F tels que : 3 AE = A + AC ; D = AC et F = AC C. 3 Correction Exercice 5 Pour construire F, on peut transformer la dernière égalité en l égalité équivalente : 3 F = AC+ C. 3 Exercice 6 On considère un parallélogramme EFGH, construire les points A et tels que : 3 EA = 3FH et F = EF GH. 4 Exercice 7 On considère un triangle IJK, construire les points E et F tels que : IE = IJ + KJ et FJ = IK JK. Exercice 8 On considère un parallélogramme ACD, construire les points I et J tels que : 5 AI = AC et J = A + D. 3 4 Exercice 9 (résolu) : On considère les vecteurs u ( ; 3 ) et v ( ; 5 ) dans un repère ( O ; i, j ). Déterminer les coordonnées des vecteurs u + v, 3 u et 3 u + v. Correction Exercice 9 : u + v ( +( ) ; 3+5) soit u + v (0 ; 8) ; 3 u ( 3 ; 3 3 ) soit 3 u ( 6; 9 ) ; 3 u + v ( 6 + ( ) ; ) soit 3 u + v ( 0 ; ) Exercice 0 : On considère les vecteurs u ( ; ) et v ( ; ) dans un repère ( O ; i, j ). Déterminer les coordonnées du vecteur u 4 v. Page - - sur 5

3 Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Exercice (résolu) On considère les vecteurs u ( 6 ; 3 ), v ( ; ) et w ( 4 ; ) dans un repère ( O ; i, j ). Étudier la colinéarité des vecteurs u et v, puis de v et w. Correction Exercice : Première méthode : 6 = 3 On a donc u = 3 v 3 = 3 ( ) On en conclut que les vecteurs u et v sont colinéaires. On a 4 = ( ) Deuxième méthode : ( 6 ) ( ) 3 = 6 6 = 0 ( ) 4 = = 8 0 Donc v et w ne sont pas colinéaires.. Donc u et v sont colinéaires.. Donc v et w ne sont pas colinéaires. Exercice (résolu): On considère un repère du plan ( O ; i, j ). Soit les points A( ; ), ( 3 ; ), C( ; 3) et D (6 ; ). ) Calculer les coordonnées des vecteurs A et CD. ) Montrer que les vecteurs A et CD sont colinéaires. 3) Que pouvez-vous en déduire pour les droites (A) et (CD)? Correction Exercice : ) On a A ( 3 ( ) ; ) soit A (4 ; ) et CD ( 6 ( ) ; ( 3) soit CD (8 ;). ) On a CD = A donc les vecteurs A et CD sont colinéaires. 3) On en déduit donc que les droites (A) et (CD) sont parallèles. Remarque : On pourrait calculer le coefficient directeur des droites (A) et (CD) qui est 4 pour montrer que les droites sont parallèles. Exercice 3(résolu) : On considère un repère du plan ( O ; i, j ). Soit les points ( 3 ; ), D( 6 ; ) et E (5; 0). Montrer que les points, D et E sont alignés. Correction Exercice 3 : 3 On a D (3; 3) et E ( ; ). On en déduit donc que D = E. Les vecteurs D et E sont donc colinéaires. Les points, D et E sont donc alignés. Exercice 4 : Soit les points A( ; ), ( 9 ; 3), C( ; ), D(7 ; ) et E( 4 ; 5) dans un repère du plan. ) Les droites (A) et (CD) sont-elles parallèles? ) Les droites (AC) et (DE) sont-elles parallèles? Exercice 5 : ) Soit les points A( ; ), ( 5 ; ) et C( ; ) dans un repère du plan. Les points A, et C sont-ils alignés? Justifier. ) Même question avec les points A( ; 4), ( 5 ; 3) et C( ; ). Page sur 5

4 Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Exercice 6 (résolu) : On considère un repère du plan ( O ; i, j ). Soit les points M( 3 ; ), N( ; 3) et R (4; ). Calculer les coordonnées du point S tel que MNRS soit un parallélogramme. Correction Exercice 6 : MNRS est un parallélogramme si et seulement si MN = SR. = 4 x Cette égalité vectorielle se traduit à l aide des coordonnées : en prenant S de coordonnées (x ; y) 5 = y x = soit. Le point S a donc pour coordonnées ( ; 3 ). = 3 Exercice 7( résolu) : On considère un repère du plan ( O ; i, j ). Soit les points A( ; ) et (3; ). Calculer les coordonnées des points M, N et P tels que : a) AM = A b) N = A c) PA 3P = 0. Correction Exercice 7: a) Posons M(x ; y). x = x = 4 AM = A ssi soit. M a donc pour coordonnées (4 ; 3). ( ) = = 3 b) Posons N(x ; y). 3 x = 5 = x N = A ssi soit. Le point N a donc pour coordonnées (5 ; 5). y = 5 = y c) Posons P(x ; y). 7 ( x) 3( 3 x) = x = 0 x = PA 3P = 0 ssi soit c est-à-dire. ( y) 3( y) = x = 0 = 7 Le point P a donc pour coordonnées ;. Exercice 8 : Soit les points A( 4 ; 3), ( ; 5) et C(3 ; ) dans un repère du plan. Déterminer les coordonnées du point G tel que GA + G + GC = 0. Page sur 5

5 Thème : Calculs dans un repère et vecteurs Réponses succinctes : Exercice : ) EF = ; ) A ( 3 ; - 6) ; 3) ( 5 ; - ). Exercice 3 : ) PN = 349 ; ) Q ; 3 8 ; 3). 4 Exercice 4 : ) FE = ; ) G 9 ; ; 3) H (0; 9). 4 Exercice 6 : Exercice 7 : Exercice 8 : Exercice 0 : u 4 v a pour coordonnées ( 7 ; ). Exercice 4 : ) Les droites (A) et (CD) ne sont pas parallèles. ) Les droites (AC) et (DE) sont parallèles. Exercice 5 : ) Les points A, et C ne sont pas alignés. ) Les points A, et C sont alignés. Exercice 8 : Le point G a pour coordonnées ; 3. Page sur 5