CHAPITRE IV. Rappels et compléments sur les suites

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Hugues Mathieu
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1 CHPITRE IV Rappels et complémets sur les suites SUITES NUMÉRIQUES 1 Sommaire I Notio de suite Exemples B Défiitio C Deux modes de défiitio de suites D Comportemet global II Suites classiques Suites arithmétiques B Suites géométriques III Notio de limite Limite fiie B Limite ifiie C Comparaiso de suites Feuille d exercices 4 Rappels et complémets sur les suites

2 I Notio de suite Exemples Complétez les débuts de séqueces suivats : 1, 1, 1, 1, 1,... 1, 3, 5, 7, 9,... 1, 2, 4, 8, 16, , 1 2 2, , 4 2, 1 52, , 50, 25, 12,5, 6,25,... 1, 1, 2, 3, 5, 8,... l(1), l(2), l(3), l(4), l(5),... 1, 11, 21, 1211, ,... B Défiitio Ue suite est u procédé associat à chaque etier aturel u réel u. isi, ue suite est ue foctio de N das R. O otera (u ) (ou plus simplemet (u ), ou (u )) la suite (i.e. la foctio), et u le terme de la suite associé à l idice (i.e. la valeur de la foctio e ). O recotre souvet les suites das la descriptio des algorithmes : o peut cosidérer la suite des états de la mémoire lors de l exécutio d u programme, la suite des temps de calcul associée à la taille de l etrée, qui ous permet de mesurer la complexité d u algorithme, etc. C Deux modes de défiitio de suites O peut défiir la suite (u ) explicitemet, e se doat ue foctio associat à chaque etier le réel u. Par exemple, o peut défiir les suites (u ), (v ) et (w ) par : { 2 u = , v = , w = lors, o peut calculer directemet : u 7 = = 75, v 5 = si est pair 2 3 si est impair = 11 8, w 13 = = 29 O peut défiir la suite (u ) par récurrece, e se doat ue foctio permettat de passer d u terme au suivat. Il faut alors se doer u terme iitial u 0. Par exemple, o peut défiir les suites (u ) et (v ) par : { { u0 = 0 v0 = 0, v et 1 = 1 ( N) u +1 = 2u +3 ( N) v +2 = v +1 +v lors, pour calculer u 4 et v 5, il faut calculer les termes itermédiaires : u 1 = 2 u 0 +3 = 3, u 2 = 2 u 1 +3 = 9u 3 = 2 u 2 +3 = 21, u 4 = 2 u 3 +3 = 45 et v 2 = v 1 +v 0 = 1, v 3 = v 2 +v 1 = 2, v 4 = v 3 +v 2 = 3, v 5 = v 4 +v 3 = 5 Remarquos que cette deuxième méthode, si elle est plus aturelle, demade plus de calcul. Imagiez le ombre de calculs écessaires pour obteir la valeur de v 1000! D Comportemet global Ue propriété est particulièremet recherchée lors de l étude d ue suite : so ses de variatio. Défiitio 1 : O dit que la suite (u ) est croissate si, pour tout etier, u +1 u. Elle est dite strictemet croissate si l iégalité est toujours stricte. 30

3 Par exemple, la suite (u ) défiie par u 0 = 1 et u +1 = u +2 (qui éumère les ombres impairs) est strictemet croissate, puisque pour tout etier, u +1 u = 2 > 0, d où u +1 > u. O défiit de la même faço la otio de suite décroissate. Bie faire attetio au fait que décroissat est pas le cotraire de croissat : la plupart des suites e sot i croissates, i décroissates, et certaies suites sot à la fois croissates et décroissates. Par exemple, la suite (u ) défiie par u = ( 1) pred alterativemet les valeurs 1 et +1, elle est i croissate, i décroissate. Pouvez-vous trouver les suites qui sot à la fois croissates et décroissates? II Suites classiques Suites arithmétiques Défiitio 2 : La suite (u ) est dite arithmétique s il existe u réel r tel que pour tout N, u +1 = u +r. Le réel r est alors appelé raiso de la suite (u ). Par exemple, si vous déposez tous les mois 100e sur votre compte bacaire, la suite des sommes sur votre compte est ue suite géométrique de raiso 100. Ue suite arithmétique est aisi défiie par ue relatio de récurrece. O peut obteir ue relatio explicite, qui caractérise d ailleurs les suites de ce type : Théorème 1 Si (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 = a et de raiso r, alors pour tout N, u = a+r. Réciproquemet, ue suite (u ) défiie par ue relatio de la forme u = α + β est arithmétique, de raiso α et de premier terme u 0 = β. Exercice : La suite (u ) est arithmétique, o sait que u 3 = 5, et u 7 = 17. Calculer so premier terme et sa raiso. Ue autre formule ous itéresse parfois : la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique. Théorème 2 Si (u ) est ue suite arithmétique, et si p et q sot deux idices (p < q), alors u p +u q u p +u p+1 + +u q 1 +u q = q p+1 }{{}}{{ 2 } bre de termes moyee des termes extrêmes Par exemple, la somme des premiers etiers est : = (+1). 2 B Suites géométriques Défiitio 3 : La suite (v ) est dite géométrique s il existe u réel r tel que pour tout N, v +1 = v r. Le réel r est alors appelé raiso de la suite (v ). Par exemple, si votre baque rémuère votre compte à 2% d itérêts composés, la suite des sommes sur votre compte (après placemet iitial) est ue suite géométrique de raiso 1,02. Ue suite géométrique est aisi défiie par ue relatio de récurrece. O peut obteir ue relatio explicite, qui caractérise d ailleurs les suites de ce type : 31

4 Théorème 3 Si(v ) est ue suite géométrique de premier termev 0 = a et de raisor, alors pour tout N, v = a r. Réciproquemet, ue suite (v ) défiie par ue relatio de la forme v = β α est géométrique, de raiso α et de premier terme u 0 = β. Exercice : La suite (v ) est géométrique, de premier terme v 0 = 100, et de raiso 1,05. Calculer v 10, aisi que la première valeur de telle que v 2v 0. Ue autre formule ous itéresse parfois : la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique. Théorème 4 Si (v ) est ue suite géométrique de raiso r 1, et si p et q sot deux idices (p < q), alors v p +v p+1 + +v q 1 +v q = v p 1 rq p+1 1 r Par exemple, la somme des premières puissaces de 2 est : = III Notio de limite Limite fiie Quad les valeurs d ue suite (u ) sot de plus e plus proches d u réel l doé, o dit que cette suite a pour limite l. Plus précisémet : Défiitio 4 : O dit que la suite (u ) a pour limite 0 si u peut être redu arbitrairemet petit, pourvu que soit suffisammet grad. O dit que la suite (u ) a pour limite l R si la suite (v ) défiie par v = u l a pour limite 0. Voici quelques exemples de référece : Propriété 1 Les suites suivates ot pour limite 0 : ( ) ( ) 1 1 2,, et plus gééralemet ( ) 1 k pour k N, (a ) pour 0 < a < 1 Preuve Démotros-le pour la suite (u ) défiie par u = 1 : si ε > 0 est u petit ombre réel, alors 1 < ε équivaut à > 1 ε. Doc dès que est plus grad que N, premier etier plus grad que 1 ε, 0 < u < ε. Ces exemples de référeces permettet, à l aide de raisoemet simple, d obteir d autres limites. Exemple : Soit la suite (u ) défiie par u = Ue expérimetatio à la calculatrice motre que +2+4 pour de grade valeur de, u est très proche de 3. Essayos de compredre pourquoi : u = 2( ) ( ) 4 = Le umérateur de cette fractio a pour limite 3, le déomiateur a pour limite 1, o compred pourquoi le quotiet u a pour limite 3. Cet exemple illustre ue méthode géérale pour obteir des limites : lorsqu o pese qu ue quatité est détermiate das le calcul d ue limite (par exemple la plus grade puissace de l etier ), o la factorise, et regarde ce qui reste à coté. 32

5 B Limite ifiie Le plus souvet, le temps de calcul d u algorithme maipulat des tableaux de taille deviet de plus e plus grad au fur et à mesure que augmete. Par exemple, l algorithme de tri à bulles trie u tableau de taille e faisat de l ordre de 2 2 comparaisos etre élémets du tableau. Pour = 1000, o fait comparaisos, pour u tableau de taille 10000, o fera comparaisos, etc. O peut très facilemet imagier la taille écessaire d u tableau pour que le temps de tri dépasse, disos, l âge de l uivers! Quad ue suite a u tel comportemet, o dit qu elle a pour limite +. Plus précisémet : Défiitio 5 : O dit que la suite (u ) a pour limite + si u peut être redu arbitrairemet grad, pourvu que soit suffisammet grad. Voici quelques exemples à coaître : Propriété 2 Les suites suivates ot pour limite 0 : ( k ) pour k N, (log a ) et (a ) pour a > 1 Preuve Démotros-le pour la suite (u ) défiie par u = 2 : si > 0 est u grad ombre réel, alors 2 > équivaut à >. Doc dès que est plus grad que N, premier etier plus grad que, u >. C Comparaiso de suites Très souvet, c est mois la limite d ue suite (u ) qui ous itéresse (e algorithmique, malheureusemet, l immese majorité des complexités, spatiales ou temporelles, a pour limite + ) que la comparaiso de (u ) à d autres suites. Défiitio 6 : O dit que deux suites (u ) est (v ) sot équivaletes si la suite (w ) défiie par w = u v a pour limite 1. O dit que (u ) est prépodérate devat (v ) (ou que (v ) est égligeable devat (u )) si la suite (w ) défiie par w = u v a pour limite +. isi, si deux suites (u ) et (v ) ot pour limite +, dire que (u ) est prépodérate devat (v ) sigifie que (u ) ted beaucoup plus vite vers + que (v ). Propriété 3 Si p et q sot deux etiers, p < q, et si a et b sot deux réels tels que 1 < a < b, alors : (log a ) << ( p ) << ( q ) << (a ) << (b ) (u ) << (v ) sigifiat que la suite (u ) est égligeable devat la suite (v ). isi, par exemple, l algorithme de tri à bulles, dot la complexité temporelle est de l ordre de 2 /2, est asymptotiquemet mois performat que l algorithme de tri fusio, dot la complexité temporelle est de l ordre de log 2, car : 2 /2 log 2 = 2log

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