Le pivot de Gauss. La matrice A est équivalente à une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale donc A est inversible.

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1 Le pivot de Gauss I Principe général Le pivot de Gauss est une méthode qui peut s appliquer sur des matrices ou sur des systèmes d équation. Le but de cette méthode est de transformer notre matrice ou système de départ en une matrice ou un système qui soit triangulaire. Les opérations autorisée seront détaillées dans le paragraphe suivant. Le système ou la matrice obtenus sont dit équivalents au système ou à la matrice de départ. II Opérations sur les lignes Voici la liste des opérations autorisées sur les lignes d un système ou d une matrice : L i L j : on échange la ligne d indice i avec la ligne d indice j. L i al i avec a 0 : on multiplie la ligne d indice i par a. Attention a ne doit pas être nul!!!!! L i al i + bl j avec a 0 : on remplace la ligne d indice i par la somme de la ligne d indice i multipliée par a et de la ligne d indice j multipliée par b. Attention il faut toujours s assurer que a n est pas nul. Par exemple dans un système avec un paramètre λ, on ne peut pas faire l opération L 1 (1 λ)l 1 +2L 2 car on ne connait pas la valeur de λ et ici si λ = 1 alors on fait en fait l opération L 1 0 L 1 +2L 2 et on fait donc disparaitre la ligne 1!!!!!!! Par contre b peut être quelconque : on peut effectuer L 1 2L 1 +(1 λ)l 2 Il existe aussi des opérations possibles sur les colonnes mais elles sont beaucoup plus délicates à utiliser et ne sont pas nécessaires pour le programme d ECE. III Application aux matrices 1 Déterminer si une matrice est inversible Principe : La matrice équivalente obtenue après les opérations du pivot de Gauss possède les mêmes propriété d inversibilité que la matrice de départ. Méthode : Pour répondre à la question la matrice A est-elle inversible? on commence par appliquer les opérations du pivot de Gauss à la matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire B. On regarde alors les termes diagonaux de la matrice B. S il n y a pas de 0 alors B est inversible et donc A est inversible. S il y a un ou plusieurs 0 alors B n est pas inversible et donc A n est pas inversible. Exemple 1: Cherchons si la matrice A = est inversible L 2 3L 1 2L L 3 2L 3 L L 3 L 3 L 2 La matrice A est équivalente à une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale donc A est inversible. Algèbre Page 1 Pivot de Gauss

2 Remarque : Il existe aussi quelques méthodes astucieuses permettant de répondre en une ligne à la question la matrice A est-elle inversible? : si on est capable de donner une matrice B qui vérifie A B = I alors on peut immédiatement répondre que A est inversible et A 1 = B. si on remarque un lien entre les lignes de A, ou si une ligne ne contient que des zéros, on peut alors dire que A n est pas inversible. (possible avec les colonnes aussi) Exemple 2: Soit la matrice B = 2 1 2, déterminer les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B λi n est pas inversible. 2 λ 2 1 B λi = 2 1 λ λ 2 L 2 λ L 3 0 λ 3 2λ 6 L 2 2L 1 +L 2 0 2(λ+3) λ 2 4λ 3 L 3 L 3 +(2+λ)L 1 0 λ 3 2λ λ 2 +9 L 3 L 3 2L 2 Les valeurs de λ pour lesquelles B λi n est pas inversibles sont les valeurs de λ pour lesquelles l un des termes de la diagonale de la dernière matrice du pivot de Gauss s annule. Plusieurs cas se présentent à nous : - Si λ 3 = 0 λ = 3 alors B λi est équivalente à une matrice triangulaire possédant un zéro sur sa diagonale donc B λi n est pas inversible. - Si λ 2 +9 = 0 λ = 3 ou λ = 3 alors B λi est équivalente à une matrice triangulaire possédant un zéro sur sa diagonale donc B λi n est pas inversible. - Sinon B λi est équivalente à une matrice triangulaire sans zéro sur sa diagonale donc B λi est inversible. Conclusion : Les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B λi n est pas inversible sont 3 et 3. 2 Calculer l inverse d une matrice Principe : Lorsqu une matrice est inversible, grâce aux opérations du pivot de Gauss on peut la transformer en la matrice identité. Si on applique alors exactement les même opérations à la matrice identité, on obtient la matrice A 1. Méthode : On commence par écrire côte à côte la matrice A et la matrice identité. A l aide des opérations sur les lignes il faut transformer la matrice A en la matrice identité. A chaque étape de la transformation de A il faudra effectuer les opérations sur les lignes aussi sur la matrice identité que vous avez écrite à côté. A la fin, la matrice que vous aurez à côté de la matrice identité est la matrice A 1. Algèbre Page 2 Pivot de Gauss

3 Exemple 3: Reprenons l exemple 1 et calculons A 1 : L 1 L L 2 3L 1 L L 3 2L 1 L L 1 6L 1 5L L 3 2L 3 L L 1 L 1 +7L 3 L 2 L 2 5L L 1 1L L 2 1 L On a donc A = Il est toujours prudent de vérifier au brouillon que l on a bien A A 1 = I. Algèbre Page 3 Pivot de Gauss

4 IV Application aux système 1 Systèmes sans paramètre Pour résoudre un système d équations sans paramètre il existe deux grandes méthodes : la méthode par substitution et le pivot de Gauss. Voici un exemple de résolution par le pivot de Gauss : Exemple 4: Résolvons le système suivant : 4x + 2y z = 5 2x + y + 2z = 5 5y + 10z = 5 10y + 15z = 5 y + 2z = 1 5z = 15 x = 2 y = 5 z = 3 2x + y + 2z = 5 4x + 2y z = 5 L 2 2L 1 +L 2 L 3 L 3 +4L 1 L L 2 L 3 2L 2 L 3 Le système admet une unique solution, le triplet ( 2,5, 3). L 1 L 3 2 Systèmes à paramètre Pour étudier proprement un système à paramètre il est très fortement conseillé d utiliser le pivot de Gauss qui pourra vous éviter de faire des opérations du type division par 0... Exemple 5: Étudions le nombre de solutions du système suivant en fonction des valeurs du paramètre λ : Première étape : il faut mettre le système sous forme triangulaire en s assurant bien de ne pas faire d opérations interdites. Par exemple il est interdit dans la première étape d effectuer l opération L 2 (2+λ)L 2 2L 1 car on ne peut pas remplacer L 2 par une combinaison linéaire où nous ne sommes pas sûr que le coefficient devant L 2 est non nul. (λ+3)y + 2(λ+3)z = 0 2(λ+3)y + (λ 2 +4λ+3)z = 0 L 1 L 3 L 2 2L 1 +L 2 L 3 L 3 +(2+λ)L 1 (λ+3)y + 2(λ+3)z = 0 (λ 2 9)z = 0 L 3 L 3 2L 2 Algèbre Page 4 Pivot de Gauss

5 Deuxième étape : On résout le système en faisant bien attention aux différents cas : Si λ (c est-à-dire λ 3 et λ 3) alors on a : x + 2y = 0 (λ+3)y = 0 x = y = z = 0 z = 0 Donc l ensemble des solutions du système est S = {(0,0,0)}. Si λ = 3, alors on a x + 2y + 5z = 0 6y + 12z = 0 0 = 0 { x = z y = 2z Donc l ensemble des solutions du système est S = {(z, 2z,z)/z R} Si λ = 3, alors on a x + 2y z = 0 0 = 0 z = x+2y 0 = 0 Donc l ensemble des solutions du système est S = {(x,y, x+2y)/(x,y) R 2 } Algèbre Page 5 Pivot de Gauss