FIABILITE. Eléments de cours CONCEPTION - RÉALISATION FIABILITÉ DE CONDUITE FIABILITÉ PRÉVISIONNELLE FIABILITÉ FIABILITÉ D'EXPLOITATION

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1 Ce chapire es le premier, d une série de rois, consacré à ce que l on appelle en mainenance le concep «FMD» ; c es à dire, MAINTENABILITE e DISPONIBILITE. Les objecifs de ce chapire seron de déerminer les indicaeurs de fiabilié d un bien pour ensuie proposer des axes de soluions visan à en améliorer sa fiabilié. 1. LE CONCEPT DE 1-1 DEFINITION. Apiude d'un bien à accomplir une foncion requise dans des condiions données pendan un emps donné (NF EN 13306) ou «caracérisique d'un bien exprimée par la probabilié qu'il accomplisse une foncion requise dans des condiions données pendan un emps donné» (NF X ). La noion de emps peu prendre la forme : De nombre de cycles effecués machine auomaique De disance parcourue maériel roulan De onnage produi équipemen de producion 1-2 COMMENTAIRES : Un équipemen es fiable s'il subi peu d'arrês pour pannes. La noion de fiabilié s'applique : à du sysème réparable équipemen indusriel ou domesique. à des sysèmes non réparables lampes, composans donc jeables La fiabilié noée R() sera exprimée par le aux de défaillance λ (lambda), le emps de foncionnemen, la M.T.B.F. (emps moyen de bon foncionnemen), la M.T.F.F.(emps moyen jusqu à la première défaillance) ; M.T.T.F. (durée de vie) La fiabilié d'un équipemen dépend de nombreux faceurs : Qualié des éudes Soluions reenues FIABILITÉ DE CONCEPTION CONCEPTION - RÉALISATION Qualié des composans Tess de récepion FIABILITÉ DES COMPOSANTS FIABILITÉ PRÉVISIONNELLE STS M I ~ U62 ~ Sraégie de Mainenance Qualié des méhodes Monage FIABILITÉ DE FABRICATION FIABILITÉ OPÉRATIONNELLE (Sur le errain) 02 UTILISATION FIABILITÉ DE CONDUITE Défaillances Inervenions FIABILITÉ D'ENTRETIEN FIABILITÉ D'EXPLOITATION 02_Concep FMD N1.doc Dernière modificaion le 29/03/2009 Page 1 / 14

2 2. LOIS DE COMPOSITION EN ASSOCIATIONS DE MATERIELS Le problème qui se pose à la mainenance au niveau de la fiabilié es son amélioraion consane. Il peu pour cela inervenir sur la echnologie du composan, agencer les composans ou sous-sysèmes de manière à les rendre plus fiables. 2.1 SYSTEME SERIE. On di qu un sysème es un sysème série d un poin de vue fiabilié si le sysème ombe en panne lorsqu un seul de ses élémens es en panne. E1 E2 Ei En n Rs = Ri Cee associaion es caracérisique des équipemens en ligne de producion. 2.2 SYSTEME PARALLELE. On di qu un sysème es un sysème // d un poin de vue fiabilié si, lorsqu un ou plusieurs de ses élémens omben en panne, le sysème ne ombe pas en panne Redondance acive : Une redondance acive es réalisée par la mise en parallèle d élémens assuran les mêmes foncions e ravaillan en même emps. i = 1 E1 E2 Rs = 1 (1 Ri ) n i = 1 Ei En Dans un sysème //, la fiabilié du sysème es plus grande que la plus grande des fiabiliés des élémens composan le sysème. Si on désire effecuer un calcul en foncion du emps, on doi inroduire la foncion R(). Si R( ) e λ Redondance passive : Dans ce cas, un seul élémen foncionne, les aures son en aene. Ceci a l avanage de diminuer ou de supprimer le vieillissemen des élémens ne ravaillan pas. En conreparie, on a l inconvénien d êre obligé d avoir un organe de déecion des pannes e de commuaion d un sysème sur un aure. Le calcul d un sysème à redondance passive ou «sand-by» se fai en enan compe de la variable emps. Il fau donc connaîre au préalable, pour chaque composan, son aux de défaillance λ() e sa loi de fiabilié R() Redondance majoriaire : E1 E2 E3 D =, alors Rs = 1 (1 e λ ). n i = 1 La redondance majoriaire es elle que la foncion es assurée si au moins la majorié des élémens es en éa de foncionnemen. Cee redondance concerne surou des signaux de grande sécurié, e en pariculier les équipemens élecroniques. Le signal de sorie es celui de la majorié des composans. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 2/14

3 Applicaion :Un processus es représené par le processus suivan : M1 0,85 M2 M3 M4 La fiabilié globale du sysème enier es : Rs =. Pour améliorer cee fiabilié, on peu appliquer des redondances sur les sysèmes les moins fiables : M1 e T1. M5 T1 0,8 T1 T2 T3 M1 M2 M3 M4 M5 T1 T2 T3 M1 T1 R S =. 3. APPROCHE DE LA PAR LES PROBABILITES 3.1 RAPPEL DE NOTIONS SUR LES PROBABILITES. La valeur d une probabilié es comprise enre 0 e 1 ou enre 0 e 100%. Probabilié d un événemen : c es le rappor : Nb cas favorables < 1 Nb cas possibles Probabilié qu un événemen se produise + probabilié qu il ne se produise pas = 1 Définiion : Variable Aléaoire Variable à laquelle on peu associer une probabilié, par exemple : durée d inervenion pour une même anomalie, inervalle enre deux défaillance. Cee variable pourra êre : - Coninue : inervalle enre deux défaillance - Disconinue (varian par unié enière) : nombre de pièces défecueuses dans un lo. On di aussi dans ce cas qu elle es discrèe. Soi une loi de probabilié relaive à une VA coninue T. Cee loi es caracérisée par sa foncion de disribuion (appelée aussi densié de probabilié) f() qui représene la probabilié qu un événemen survienne juse au emps e par sa foncion de répariion F() elle que : = o F ( ) f ( ) d La foncion F() représene la probabilié qu un évènemen (défaillance) survienne à l insan T dans l inervalle [0,] : F( ) = P( T < ) 3.2 DEFINITIONS NORMALISEES. Définiion selon la NF X : la fiabilié es la caracérisique d un disposiif exprimée par la probabilié que ce disposiif accomplisse une foncion requise dans des condiions d uilisaion données e pour une période de emps déerminée. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 3/14

4 Un disposiif mis en marche la 1 ère fois à =0 ombera inexorablemen en panne à un insan T non connu à priori. T (dae de la panne), es une VA de la foncion de répariion F(). Fiabilié à : R() Probabilié de bon foncionnemen ou de non-défaillance dans l inervalle de emps de [0,] c es à dire la probabilié pour que la défaillance inervienne à T>. Risque de défaillance à : F() Probabilié pour que la défaillance inervienne à T< (probabilié de défaillance avan un insan ) R() + (F() = EXPRESSION MATHEMATIQUE DE LA M.T.B.F. «Mean Time Beween Failure» Le M.T.B.F. es souven radui comme éan la moyenne des emps de bon foncionnemen mais représene la moyenne des emps enre deux défaillances. M.T.B.F. = R ( ) d 0 La valeur du MTBF à reenir pour définir une périodicié d inervenion es à 0.90 corriger par un coefficien k, en foncion du nombre de défaillances considéré e du niveau de confiance souhaié (on prend généralemen 0,90) Exemple : Foncionnemen d'un équipemen sur 24 heures : 0 h 1 h ½ h 1 h 24 h Panne Arrê pour bourrage Panne BF BF BF BF (Bon Foncionnemen) M.T.B.F λ (lambda)«taux moyen de défaillance» 1 = aux de défaillance ramené à l unié de emps M. T. B. F. Pour l'exemple précéden : λ = panne / heure 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 4/14

5 3.3.3 λ()«foncion du aux de défaillance ou aux d avarie» Probabilié de subir une défaillance à l insan pour un disposiif ayan vécu jusqu à l insan, exprimé en défaillance par unié d usage (généralemen pannes / heure) nombre de défaillans sur un inervalle de emps λ ()= nombre de survivans au débu de la période x inervalle de emps Calcul de λ() avec N S () N 0 nombre iniial de disposiif N S () nombre de survivans à l insan C( ) nombre de défaillans pendan soi N S () N S (+ ) N S (+ ) Temps de service Si défaillans remplacés :.. Si défaillans non remplacés :. Applicaions : Cas N 1 : les défecueux son remplacés. Une éude a éé menée sur 70 véhicules pendan une période allan de 80000km à 90000km. 41 défaillances on éé réparées. Déerminer le aux de défaillance pour cee période. Cas N 2 : les défecueux ne son pas remplacés. On ese un lo de 50 élecrovannes soumises en coninu à 8 impulsions par minue. A la 50 ème heure, il en rese 33. A la 60 ème heure, il en rese 27. Déerminer le aux de défaillance sur cee classe, par heure e par impulsion. 3.4 EXPRESSION GRAPHIQUE DE LA Courbe de survie : Soi un échanillon de N 0 élémens en bon éa de marche à l insan 0 du débu de l éude. A l insan, en foncion du nombre oal des défaillances N survenues, le nombre d élémens survivans sera : N 0 -N() = S() ; la courbe S() es la «courbe de survie» On peu porer en ordonnées, au lieu du nombre de nombre de survivans survivans, le rappor : R( ) = N 0 Courbe (0) :dégradaion par usure ou vieillissemen parfai, ce qui ne se rouve pas en réalié. Courbes (1), (2), (3) processus de défaillance dans lesquels prédomine le vieillissemen ou l usure. Courbe (5) : période de jeunesse avec grand nombre de défaillances (mise au poin, déverminage, rodage ) Courbe (4) : défaillances de cause aléaoire indépendanes enre elles e indépendanes du emps. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 5/14

6 3.4.2 Foncion aux de défaillance : La variaion de λ() représene l évoluion du cycle de vie de l équipemen (courbe en baignoire) Période 1 : Jeunesse -soumis à des défaillances précoces mainenance préconisée : correcif correspond au rodage (méca) ou déverminage (élec) Période 2 : Maurié - λ() consan soumis à des défaillances aléaoires mainenance préconisée : correcif + visies prévenives Période 3 : Obsolescence (vieillesse) soumis à des défaillances d usure mainenance préconisée : prévenif sysémaique 4. Principales lois de probabiliés uilisées en fiabilié 4-1 Les lois de survie Pour évaluer la fiabilié d un produi, il es nécessaire de savoir commen il devien défaillan dans le emps : la loi de survie le précise Echanillonnage des données si N >50 : - Regrouper les données en K classes. L inervalle de classe es égal à e K =, - n i ( 1 représene l effecif de la classe i Déerminaion des Indicaeurs de Fiabilié : - =somme des effecifs des classes enre 0 e (fin de classe i) = somme des effecifs des classes enre 0 e (débu de classe i). i = valeur cenrale de la classe i Représenaion graphique : F e R son représenées par le polygone des fréquences cumulées. λ es représené par un hisogramme λ() Fiabilié R() en foncion de la durée de l essai, ou loi de survie Applicaion : 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 6/14

7 Eude de Fiabilié réalisée sur un moeur de camion. Enreprise GENERAL-TRUCK 2-1 La loi Exponenielle. Cee loi es uilisée pour les périodes où le aux de défaillance es consan Déerminaion des Indicaeurs de Fiabilié : ( ). 0 ( ) λ u du e comme λ( ) R = e u = ce = λ λ. du 0 λ. u λ. R( ) = e = e = e 0 R =. F = 1 - R MTBF = Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé. λ R ( ) = e ln R ( ) = λ. =.ln R ( ) =.ln λ λ R ( ) Applicaion : Un composan a une MTBF de 2000 heures. A quelle dae «j» ce composan aura une fiabilié de 90%? Ajusemen d un échanillon : L échanillon éudié compore N données Méhode pariculièremen adapée aux lois Exponenielle e Weibull. On éabli un ableau comporan les correspondances suivanes : - i : valeur de la donnée, en général des TBF, - R = 1-F : valeur de la foncion fiabilié correspondane (approximée couvran le nombre de données que l on possède) Rang i R i 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 i Si R( ) L esimaion de F i dépend du nombre de données e es calculée par : Nbr de données N Prise en charge des données Données i classées par ordre croissan (un rang i es affecé à chaque données) Esimaion de F i 0,3 0,4 méhode des rangs médians Représenaion graphique :. = e λ, alors ln R( ). 1 méhode des rangs moyens = λ en logarihmes népériens e Données rangées par classe i ni : effecif de la classe i -. logr()= 2,3 λ en logarihmes décimaux. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 7/14

8 Porer les couples de poins (i ; R) sur un papier semi logarihmique (i sur l axe des abscisse en échelle arihméique e Ri sur l axe des ordonnées en échelle logarihmique. Si les couples de poins son sensiblemen alignés alors le modèle es Exponeniel e l hypohèse aux de défaillance consan es vérifié. Loi exponenielle sur échelle linéaire R() R % Loi exponenielle sur papier semi logarihmique 100% 1 Droie de pene λ/2,3 1/e=0,368 36,8% m=1/λ MTBF λ ou MTBF Esimaion du aux de défaillance : - Porer sur papier semi logarihmique les N poins formés des couples (i, Ri) - Tracer la courbe de régression des N poins - Si les N poins son sensiblemen alignés, alors la loi de fiabilié es exponenielle - Déerminer λ par la pene de la courbe - En déduire MTBF = 1/ λ - En déduire R( ) =. e λ 2-2 La loi de Weibull Paramères de la loi C es une loi de fiabilié à 3 paramères qui perme de prendre en compe les périodes où le aux de défaillance n es pas consan (jeunesse e vieillesse). Cee loi perme : Une esimaion de la MTBF Les calculs de λ() e de R() e leurs représenaions graphiques Grâce au paramère de forme d oriener un diagnosic, car peu êre caracérisique de cerains modes de défaillance : Paramère de forme >0 sans dimension: Si >1, le aux de défaillance es croissan, caracérisique de la zone de vieillesse o 1,5 < < 2,5 : faigue o 3 < < 4 : usure, corrosion Si =1, le aux de défaillance es consan, caracérisique de la zone de maurié Si <1, le aux de défaillance es décroissan, caracérisique de la zone de jeunesse f() 1 0,5 =3 =1 R() 1 =3 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 8/14 =1 =0,5 λ() =3 =1 =0,5

9 Remarque : pour γ=0 e =1, on rerouve la disribuion exponenielle, cas pariculier de la loi de Weibüll : 1 1 λ = = η MTBF η : Paramère d échelle >0 qui s exprime dans l unié de emps f() η 2 η 1 avec η 2 < η 1 γ : paramère de posiion, - < γ < +, qui s exprime dans l unié de emps : f() γ>0 : survie oale sur l inervalle de emps [0, γ] γ=0 : les défaillances débuen à l origine des emps γ<0 : les défaillances on débué avan l origine des emps ; ce qui monre que la mise en service de l équipemen éudié a précédé la mise en hisorique des TBF γ < 0 γ = 0 γ > 0 Relaions fondamenales : 1 γ Densié de probabilié : γ η f( ) =.. e avec γ η η Foncion de répariion : F( ) = 1 e Loi de fiabilié : R( ) = 1 F( ) = e Taux de défaillance : γ η γ η 1 γ 1 η λ γ η f ( ) f ( ) γ 1 γ λ( ) = = =.. e. ( ) =. R( ) 1 F( ) η η η η e MTBF e écar ype : E( ) = MTBF = Aη + γ σ = Bη Où A e B son des paramères issus de ables. Ex : pour =1,2, γ=0 e η=550 heures. MTBF = 0,9407x heures. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 9/14

10 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé, en pariculier les roulemens à billes. γ 1 1 η γ 1 γ γ 1 1 R( ) = e ln R( ) = ln = = ln = η. ln + γ η R( ) η η R( ) R ( ) 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 10/14

11 Papier Weibüll ou graphique d Allen Plai : C es un papier log / log qui compore 4 axes : AXE a AXE A AXE b AXE A AXE B Axe A : axe des emps sur lequel on pore les valeurs i des TBF Axe B : valeurs des probabiliés de défaillance Fi calculées par la méhode des rangs moyens ou des rangs médians. On esime R() par R() = 1 F() Axe a : axe des emps en logarihmes népériens : ln() Axe b : axe qui perme l évaluaion de 1. Préparaion des données : déerminaion des couples (i, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians 2. Tracé du nuage de poins 3. Tracé de la droie de Weibüll 4. Déerminaion de, η, γ 5. Déerminaion des équaions de la loi de Weibüll 6. Calcul de la MTBF 7. Exploiaion des données issues de la loi 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 11/14 Déerminaion graphique des paramères de la loi :

12 4-3.2 Exemple d applicaion : Préparaion des données : Ordre i TBF Fi 0,11 0,26 0,42 0,58 0,73 0,89 Tracé du nuage de poins : η=770 =1,4 D1 D2 Déerminaion des paramères de la loi : Le fai d obenir direcemen une droie D1 sans faire de redressemens indique que γ=0 La droie D2 // à D1, passan par l origine coupe l axe «b» en un poin =1,4. La droie D1 coupe l axe des emps à =η=770 heures. C es le paramère de la loi de Weibüll Equaions de la loi : R( ) = e ( 1, 4 ) 770 Déerminaion de la MTBF : Les ables annexes donnen les valeurs de A e B pour =1,4 : A=0,911 e B=0,660. On en dédui MTBF = Aη + γ = 0,911x 770 = 700 heures e σ = Bη = 0,660 x 770 = 508 heures. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 12/14 Tracé de la droie de Weibüll D1 : le racé se fai sans difficulé «au jugé».

13 4-3.3 Opimisaion d une période d inervenion sysémaique : La quesion qui revien sans cesse dans un service mainenance pour un équipemen es : fau-il choisir de garder le correcif ou de mere en œuvre un prévenif sysémaique? Pour répondre à cee quesion, il exise plusieurs ouils (abaques de Noire par exemple) don l uilisaion de la loi de Weibüll. La mise en praique de cee loi va permere de répondre aux 2 quesions suivanes : Exise--il une période d inervenion sysémaique T elle que la mainenance prévenive soi plus économique que la mainenance correcive? Si oui, quelle es cee période opimisée θ? Ce ouil d opimisaion sera nommé ouil «r,». Mise en œuvre de la méhode : Sur un sysème réparable, don un consiuan «fragile» es inerchangeable, commen faire pour déerminer la période θ de remplacemen prévenif? Il fau en 1 er lieu connaîre : La loi comporemenale R() du consiuan Le coû «p» du correcif qui, par hypohèse, es égal au coû de l inervenion prévenive liée au remplacemen du consiuan défecueux Le coû indirec «P» des conséquences de la défaillance On appellera r=p/p le raio de «criicié économique» de la défaillance. Domaine de validié : 2 < r < 100. Evaluaion du coû C1 de l inervenion correcive : Le coû moyen d une inervenion correcive es p + P. p + P Le coû moyen par unié d usage devien : C1 = MTBF Evaluaion du coû C2(θ) d une inervenion prévenive sysémaique : Si θ es la période de remplacemen sysémaique du composan, le coû aura 2 ermes : Le coû de l inervenion p Le coû du correcif résiduel lié au risque de défaillance avan θ e évalué par sa probabilié F() avec < θ. Ce coû es égal à : P. F( ) = P.(1 R( )). p + P.(1 R( )) Le coû moyen par unié d usage es donc C2( θ ) =, avec m(θ) la durée de vie moyenne des m( θ ) composans ne dépassan pas θ, puisqu ils on éé changés à cee dae. Crière de choix : C2( θ ) Le prévenif sysémaique sera choisi s il exise une période θ elle que C2(θ)<C1 ou encore < 1. C1 Principe de l opimisaion de θ : C2( θ ) On éudie les variaions de quand θ varie. C1 C2( θ ) Si > 1, alors il n y a pas de soluions C1 Si le rappor à minimum inférieur à 1, la valeur = θ, correspondan à ce minimum, es opimisée. C2( θ ) p + P(1 R( θ )) MTBF On forme le rappor : =. C1 m( ) p + P R(θ) es modélisable par une loi de Weibüll à 2 paramères (γ=0). R( θ ) = e θ 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 13/14 θ η

14 C2( x) On consae que le rappor es dépendan de 2 C1 paramères : caracérise la forme de la disribuion, r, paramère économique, qui caracérise le rappor des coûs indirecs / direcs (criicié des défaillances). C2( x) Exploiaion du rappor : C1 En plus des 2 paramères ciés précédemmen, le rappor fai aussi inervenir le emps. On race alors sur C2( x) un graphique une série de courbes = f ( x) pour C1 des valeurs successives de θ e de r. On obien alors des abaques elles que celle ci-conre : CONCLUSION : Un bien commence son cycle de vie avec une fiabilié inrinsèque qu il es difficile de corriger fondamenalemen (le choix des maériaux e des composans es bien souven irréversible). Un invesissemen supplémenaire (quelque fois rédui à de simples modificaions) sur l équipemen peu pallier les insuffisances iniiales (souven liées à des budges d achas limiés). Les éudes de fiabilié devron donc amener à éudier, sinon de nouveaux choix, au moins des soluions visan un meilleur conrôle des risques de défaillances. Ce conrôle passe donc obligaoiremen par la mise en place d indicaeurs adapés. A ce ire, le aux de défaillance es celui qui es le plus représenaif de la fiabilié. L objecif des lois de fiabilié es alors de déerminer des périodiciés d inervenion en mainenance prévenive sysémaique, puis par reour d expérience (hisoriques) d en mesurer les effes (posiifs ou négaif) sur le aux de défaillance. La sélecion des inervenions prévenives pourra alors se faire comme le monre le diagramme ci-conre. 02_Concep FMD N1.doc 02- Page 14/14

15 PAPIER SEMI LOG

16 PAPIER WEIBULL