MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES RÉSEAUX LINÉAIRES EN COURANT CONTINU

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1 MÉTHODES DE ÉSOLUTION DES ÉSEUX LINÉIES EN OUNT ONTINU I. DEUX FÇONS DE POSE LE POLÈME On considèr l circuit suivant. Nous chrchons à connaîtr l état élctriqu du circuit, c st à dir connaîtr ls potntils ds différnts nœuds (par rapport à un potntil d référnc choisi qu l on appll la mass t qui st l un ds nœuds du circuit). Il y a 3 intnsités inconnus. On a 2 nœuds, donc 1 nœud indépndant. On put choisir l point comm potntil d référnc : V. i 1 i 2 i 3 E 3 I.1 Prmièr façon d raisonnr : rchrch ds intnsités ds branchs Il y a trois inconnus : i 1, i 2, i 3. Il faut donc un systèm à trois équations t trois inconnus : loi ds nœuds n t dux lois ds maills (par xmpl maill E, t puis maill, 3 ) : On put n déduir ls intnsités puis l potntil V. i i + i 3 E i + i i i Inconvénint : ls calculs dvinnnt très vit très lourds car il y a souvnt baucoup d inconnus. I.2 Duxièm façon d raisonnr : rchrch ds potntils ds nœuds On chrch ls potntils ds nœuds. Pour cla, on utilis la méthod d la loi ds nœuds n trms d potntil qu l on mt n plac sur ct xmpl. Il y a (2 1) 1 nœud indépndant. La méthod consist à écrir la loi ds nœuds n trms d potntil, c'st à dir xprimr ls intnsités i 1, i 2, i 3 à l'aid ds potntils ds points t ( V ). Nous obtnons : E V E V V 1 2 i ; i ; i 3 3 La loi ds nœuds n donn : i 1 + i 2 + i 3 La loi ds nœuds n trms d potntil s'écrit donc : E V E V V Nous n déduisons immédiatmnt V. Nous somms donc ramnés à un systèm à un équation t un inconnu. ircuits linéairs (32-3) Pag 1 sur 9 JN ury

2 II. LOI DES NŒUDS EN TEMES DE POTENTIEL (LDN) II.1 Exposé d la méthod Soit un circuit linéair comprnant n nœuds. hoisissons un potntil d référnc (mass souvnt imposé par l'énoncé). Il y a (n 1) nœuds indépndants. Méthod systématiqu pour obtnir ls (n 1) équations S il y a un génératur d tnsion ntr un nœud t la mass, l potntil d c nœud st connu. Il st inutil d écrir la loi ds nœuds n c point. Sinon écrir la loi ds nœuds n 1) Si dans un branch on a un génératur d courant J, l intnsité dans la branch vaut J. 2) Sinon écrir l'intnsité dans ls branchs sous la form d un différnc d potntil ntr dux nœuds n faisant intrvnir ds résistancs (d où l nom d loi ds nœuds n trms d potntil). onsidérons un parti d un circuit où on mt n évidnc ls nœuds,,, D t E. ppliquons la loi ds nœuds n trms d potntil au nœud n introduisant ls courants qui arrivnt au nœud : I + I + I + I 3 4 J2 D E3 3 I3 I2 I1 J1 I4 E4 4 calcul d I 1 : I 1 J 1 ( V V ) calcul d I 2 : I J calcul d I 3 : Il faut donc xprimr I 3 n fonction d V D, E 3, 3 t V. ( V + E V ) D 3 V V E + I. D où I D calcul d I 4 : Il faut xprimr I 4 n «trms d potntil». V E V E 4 V V E + I. On n déduit immédiatmnt qu : E I 4 On a I + I + I + I 3 4 La loi ds nœuds n trms d potntil n s écrit donc : J ( ) ( V V ) ( V + E V ) ( V E V ) D 3 E 4 + J E 4 ircuits linéairs (32-3) Pag 2 sur 9 JN ury

3 II.2 Un conséqunc d la LDN n trms d potntil : l théorèm d Millman Nous n'utilisrons l théorèm d Millman qu'avc ds circuits comprnant ds résistancs (ou impédancs n régim sinusoïdal forcé) t ds génératurs d courant. théorèm découl dirctmnt d la loi ds nœuds n trms d potntil. I2 D 3 I3 I1 1 I4 4 E I + I + I + I 3 4 ( ) ( ) ( ) ( V V ) V V V V V V D E d où : Théorèm d Millman : V V V V V D E Moyn mnémotchniqu pour appliqur l théorèm d Millman. On compt l nombr d branchs qui sont parcourus ffctivmnt par un courant (ici quatr voir cours sur ls O où ls courants d ntré sont nuls). On considèr ls quatr résistancs rliés au nœud. u dénominatur, on a donc la somm ds 4 conductancs. u numératur, on fait la somm d 4 trms : conductanc potntil d l autr côté d la résistanc. On l écrit parfois sous la form : ( ) V G + G + G + G GV + GV + GV + GV D 4 E résultat st très pratiqu pour ls montags comprnant ds amplificaturs opérationnls. Il xist un théorèm d Millman généralisé pour ds circuits comprnant ds génératurs d courant mais il st préférabl d'utilisr dirctmnt la loi ds nœuds n trms d potntil où l sns physiqu ds xprssions apparaît clairmnt. Un rrur fréqummnt commis st d'appliqur l théorèm d Millman avc ds différncs d potntil. ircuits linéairs (32-3) Pag 3 sur 9 JN ury

4 III. THÉOÈMES DE THÉVENIN ET NOTON Soint 2 points t qulconqus d un circuit linéair. On mt n évidnc 2 dipôls D 1 t D 2 ntr cs dux points, D 1 t/ou D 2 comportant ds génératurs d tnsion t/ou d courant. Théorèm d Thévnin : on put modélisr l dipôl D 1 par l association séri d un génératur d tnsion d f..m. E t d un résistanc. E st la tnsion à vid aux borns d D 1, st la résistanc équivalnt au dipôl D 1 n étignant tous ls génératurs indépndants. Étindr un génératur d tnsion (U E) rvint à l rmplacr par un intrruptur frmé (U ). Étindr un génératur d courant (I J) rvint à l rmplacr par un intrruptur ouvrt (I ). D1 D2 E D2 schéma 1 schéma 2 D1 D2 J D2 schéma 3 Théorèm d Norton : on put modélisr l dipôl D 1 par l association parallèl d un génératur d courant d courant élctromotur J t d un résistanc (la mêm qu dans l modèl d Thévnin). J st l courant d court-circuit qui circulrait dans un fil rliant t. E Ls 3 schémas sont équivalnts : J. L passag d la rprésntation d Thévnin à cll d Norton t invrsmnt prmt d simplifir ls montags. L dipôl D 2 st dans l mêm état élctriqu dans ls schémas 1, 2 t 3. L utilisation du théorèm d Thévnin (ou d Norton) prmt d trouvr l état élctriqu du dipôl 2 plus simplmnt avc l schéma 2 (ou schéma 3) qu avc l schéma 1 puisqu on réduit l nombr d nœuds. marqu : Ls théorèms d Thévnin t d Norton n sont pas valabls si on fait ds calculs d puissanc. ircuits linéairs (32-3) Pag 4 sur 9 JN ury

5 IV. OMMENT ODE UN IUIT ÉLETIQUE? IV.1 Simplifir l circuit Utilisr ls lois d association séri, parallèl d résistancs (attntion aux simplifications abusivs ). L théorèm d Thévnin ou d Norton [1] prmt d réduir l nombr d nœuds du circuit. On put dans crtains cas simplifir l montag n utilisant la transformation Thévnin-Norton puis Norton-Thévnin. IV.2 Écritur ds équations Pnsr aux divisurs d tnsion, ou d courant pour ls cas simpls. Pour un circuit séri, écrir la loi ds maills (choisir un grandur commun au circuit séri i par xmpl). Pour un circuit comprnant plusiurs nœuds : 1 èr possibilité souvnt très rapid : 1 èr étap : On chrch ls potntils ds (n 1) nœuds indépndants. Écrir (n-1) fois la loi ds nœuds n trms d potntils ou l théorèm d Millman. marqu important : si ntr dux nœuds, on a un fm : un ds équations s écrit : V V. 2 èm étap : On n déduit ls autrs potntils t ls intnsités ds branchs. Méthod pour trouvr u DE V D V E avc D t E points qulconqus : a) pnsr au divisur d tnsion b) cas particulir où t sont ds nœuds t, D, E t sur la mêm branch : 1. calculr l intnsité dans la branch. 2. n déduir immédiatmnt la tnsion u DE. 2 èm possibilité : souvnt utilisé pour ls régims transitoirs (modélisation d un câbl coaxial) : Écrir ls équations fondamntals d l élctrocinétiqu : loi ds maills t loi ds nœuds. IV.3 Utilisation d la méthod tt méthod s'appliqu aux circuits linéairs n régim continu, variabl t sinusoïdal forcé. L cas ds circuits non linéairs st plus délicat. Il faut d'abord fair ds hypothèss d fonctionnmnt (voir cours sur ls diods) pour s ramnr à ds zons d fonctionnmnt linéair. la fin ds calculs, il n faut pas oublir d vérifir ls hypothèss pour s'assurr d la cohérnc ds calculs. V. EXEIES V.1 Utilisation d la loi ds nœuds n trms d potntil g i r βi E 3 M L circuit comprnd trois nœuds :, t M. On choisit l point M comm mass. On a dux nœuds indépndants. Il faut donc écrir un systèm à dux équations t dux inconnus : loi ds nœuds n trms d potntil n t n : E V V V V + r g 1 V V V V V + βi avc i r r 2 V ttntion : n pas écrir qu l courant qui pass dans 3 vaut. st faux puisqu on n connaît pas la tnsion 3 aux borns du génératur d courant qui st d aillurs un génératur lié. ircuits linéairs (32-3) Pag 5 sur 9 JN ury

6 V.2 Utilisation d la loi ds nœuds n trms d potntil On considèr l montag suivant. alculr numériqumnt l intnsité i. 1 Ω 1 Ω 2 i 2 Ω 8 V M 1 èr étap : rchrch du potntil V avc la loi ds nœuds n trms d potntil. Simplifir l montag avc dux résistancs n séri. 8 V V LDN n : 2+, soit V 6 V 2 2 V 2 èm étap : on n déduit i : i 3 2 V.3 alcul du courant dans un court-circuit i 1 1 Ω 2 Ω 2 Ls résistancs 1 Ω t 2 Ω sont court-circuités. ucun courant n ls travrs. On a : i V.4 Schéma équivalnt d Thévnin t d Norton Détrminr l schéma équivalnt d Thévnin du montag suivant : a) Transformation Thévnin Norton. 1 1 ircuits linéairs (32-3) Pag 6 sur 9 JN ury

7 b) Théorèm d Thévnin tnsion à vid aux borns d : On put rdssinr l circuit n nlvant ls fils rliés aux points t puisqu au courant n circul dans cs fils. On rconnaît un divisur d tnsion, donc : résistanc équivalnt lorsqu on étint tous ls génératurs indépndants. On rdssin l montag. ttntion, il faut laissr ls fils rliés aux points t. En fft, pour calculr un résistanc équivalnt, il faut «la fair fonctionnr», c'st-à-dir injctr un courant qui rntr n t qui rssort n. On a donc dux résistancs n parallèl t non n séri I c) Théorèm d Norton J J courant d court-circuit ttntion à l orintation du courant dans l court-circuit. Si i st orinté d vrs, alors i J puisqu si on fait un court-circuit sur l schéma d Norton, la résistanc st court-circuité t l courant qui pass d vrs à travrs l fil st bin J. i ircuits linéairs (32-3) Pag 7 sur 9 JN ury

8 La résistanc st court-circuité. ucun courant n pass dans, on put donc l nlvr. On n déduit qu i J 1 résistanc équivalnt lorsqu on étint tous ls génératurs indépndants. Voir paragraph b). On vérifi qu : J V.5 Pont d Whatston On considèr l montag n pont suivant. alculr dirctmnt l courant i qui passag dans r g st assz compliqué puisqu il y a 4 nœuds. On va utilisr l théorèm d Thévnin au dipôl qui va alimntr la résistanc r g. On rprésnt ci-dssous l schéma du montag t l schéma équivalnt. i g i g 3 4 a) alcul d la tnsion à vid Pour calculr la tnsion à vid, on rdssin l montag sachant qu au courant n rntr n t. On rconnaît alors dux divisurs d tnsion prmttant d calculr facilmnt V t V puis d n déduir. On choisit un potntil d référnc comm mass. La tnsion aux borns d vaut V V. Ls résistancs t sont n séri. On a un divisur d tnsion, donc V 4 Ls résistancs 3 t 4 sont n séri. On a un divisur d tnsion, donc V On a donc u V V, d où. 3 4 ( )( ) b) alcul d la résistanc équivalnt ou résistanc intrn On étint tous ls génératurs indépndants t on rdssin l schéma équivalnt n faisant bin apparaîtr un courant I qui rntr n t qui sort n. On mt n évidnc l association parallèl d crtains résistancs. I I I ircuits linéairs (32-3) Pag 8 sur 9 JN ury

9 c) alcul d l intnsité i t condition d équilibr du pont i La loi ds maills s écrit : ( g ) i, d où i g g On dit qu l pont st équilibré si l courant qui circul dans g st nul, c'st-à-dir, soit L «produit n croix ds résistancs st nul». pplication : msur d un résistanc inconnu connaissant, 3 t 4. V.6 Transformation d Knnly Équivalnc triangl-étoil On vut transformr l montag n triangl n un montag plus simpl. On va montrr qu l montag n triangl st équivalnt au montag n étoil, c st l équivalnc triangl-étoil ou transformation d Knnly avc r 1. Moyn mnémotchniqu : la résistanc r 1 st rlié au nœud. On considèr au numératur ls dux résistancs rliés au nœud t au dénominatur, on fait la somm ds trois résistancs. r 1 r 2 r 3 Supposons qu l on coup la connxion n. On a ls dux schémas équivalnts suivants : r 1 r 2 r 3 ucun courant n sort par l point. On put supprimr la résistanc r 3. Ls résistancs t sont n séri. Si ( ) on injct un courant n, il rssort n, on a donc : r + r (q. 1) ( ) D mêm, si on coup n, on a : r + r 1 3 D mêm, si on coup n, on a : r (2) + (3) (1) : 2r ( + ) + r ( + ) + ( + ) ( + ) (q. 2) (q. 3) 2 d où r 3. On obtint d mêm r 1. t r 2 ircuits linéairs (32-3) Pag 9 sur 9 JN ury