(0) e iθ = e iθ = (e iθ ) 1

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1 hapitre Trigonométrie Dans tout ce chapitre nous allons utiliser de l exponentielle complexe et deux de ses propriétés fondamentales ainsi que celles qui s en déduisent) : Pour tout θ et φ réels on a : Remarquons que l on déduit de ) et ) ) e iθ = et ) e iθ+φ) = e iθ e) iφ ) e iθ = e ib θ φ [] 0) e iθ = e iθ = e iθ ) Le but de ce chapitre est de retrouver et non démontrer) certaines formules usuelles de trigonométrie, sachant que par définition iθ def e = cos θ + i sin θ. Relations fonctions Trigonométriques et l exponentiel complexes Soient a et b deux réels Les Formules d Euler : sont équivalentes à 0). cos a = eia + e ia et sin a = eia e ia i La formule de Moivre n N, cos a + i sin a) n = cos na + i sin na se retrouve isément à partir de ) La relation cos a + sin a = équivaut à ) Dans 0), e ia = e ia équivaut à dire que cosinus est une fonction paire et sinus une fonction impaire x R, cos x) = cosx) et sin x) = sinx) Enfin on retrouve grâce à ) que : cosinus et sinus sont périodiques x R, cosx + ) = cos x et sinx + ) = sin x

2 HAPITRE. TRIGONOMÉTRIE Remarque.. A partir des propriétés de l exponentielle complexe on retrouve que, pour tout a et b réels : cos a = cos b k Z; a = b + k ou a = b + k Preuve puisque sin a = sin b k Z; a = b + k ou a = b + k cos a = cos b e ia + e ia = cos b Z + = cos b Z avec Z = e ia omme le discriminant réduit de Z cos b Z + vaut = cos b = sin b 0 et que celui-ci admet comme racine carrée δ = i sin b, on en déduit que cos a = cos b Z = cos b + i sin b ou Z = cos b i sin b avec Z = e ia Soit cos a = cos b e ia = e ib ou e ia = e ib a b [] ou a b [] Pour les sinus les calculs sont analogues sin a = sin b e ia e ia = i sin b Z = i sin b Z avec Z = e ia le discriminant réduit vaut ici sin b = cos b une racine carrée est cos b d où les racines Z = i sin b + cos b ou Z = i sin b cos b Soit sin a = sin b e ia = e ib ou e ia = e ib e ia = e ib ou e ia = e i b) D où la conclusion on a utilisé ici e i = qui est une conséquence de ) et )). On définit nouvelle fonctions tan : {x R; k Z, x + k} R x sinx) cosx) cotan : {x R; k Z, x k} R x cosx) sinx) On a, pour tout x réel tan x = i e ix e ix ie ix e ix + e ix = eix e ix = i + + e ix x / [] Exercice: trouver une formule équivalente pour la cotangente Exercice: Montrer que si x [] + i tan x i tan x = eix tangente et cotangente sont -périodiques et impaires. En effet comme quotient d une fonction paire et impaire il s agit bien de fonctions impaires. Par ailleurs x R, tanx + ) = i eix+) eix+i eix = i = i = tan x + eix+) + eix+ + eix La périodicité de la cotangente s en suit puisqu il s agit de l inverse pour la multiplication de la fonction tangente.

3 .. FORMULES D ADDITION. Formules d addition Pour tout a, b réels cosa + b) = cos a cos b sin a sin b et sina + b) = sin a cos b + cos a sin b eci est strictement équivalent à e ia+b) = e ia e ib De même cosa b) = cos a cos b + sin a sin b et sina b) = sin a cos b cos a sin b es deux formules se déduisent des deux précédentes en prenant b en lieu et place de b et en exploitant les parités des fonctions sinus et cosinus. Proposition.. on a pour a [], b [] et a + b [] tana + b) = De même pour a [], b [] et a b [] tana b) = tan a + tan b tan a tan b tan a tan b + tan a tan b Preuve Puisque a + b [], tana + b) et bien défini et d après ce qui précède tana + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b sin a sin b Or, puisque a [] et b [], on a cos a cos b 0. On peut diviser numérateur et dénominateur de l expression de tana + b) par cos a cos b 0 tana + b) = sin a cos b cos a sin b cos a cos b + cos a cos b sin a sin b cos a cos b = tan a + tan b tan a tan b Enfin pour la dernière formule, il suffit d appliquer la formule précédente avec b en lieu et place de b sachant qu alors vu les hypothèses données sur a et b) on a bien a + b) [] et b [] On conclut alors grâce à la parité de la fonction tangente.. sommes et produit Proposition.. Quels que soient les réels a et b, on a : cos a cos b = cosa b) + cosa + b)) sin a sin b = cosa b) cosa + b)) sin a cos b = sina + b) + sina b))

4 4 HAPITRE. TRIGONOMÉTRIE Preuve En reprenant les formules précédentes et en additionnant membre à membre, on trouve cosa b) = cos a cos b + sin a sin b cosa + b) = cos a cos b sin a sin b D où cosa b) + cosa + b) = cos a cos b De même en soustrayant membre à membre, on trouve cosa b) = cos a cos b + sin a sin b cosa + b) = cos a cos b sin a sin b D où cosa b) cosa + b) = sin a sin b Enfin en faisant de même avec la fonction sinus, on trouve sina + b) = sin a cos b + cos a sin b sina b) = sin a cos b cos a sin b D où sina + b) + sina b) = sin a cos b Proposition.. Soient p et q deux réels : tan p + tan q = tan p tan q = cos p + cosq = cos p + q cos p cosq = sin p + q sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = sin p q sinp + q) cos p cos q sinp q) cos p cos q cos p q sin p q cos p q cos p + q avec p / [] et q / [] avec p / [] et q / [] Preuve es formules sont directement conséquence des précédentes avec a et b tels que p = a + b et q = a b, c est à dire D où a = p + q cos p + q sin p + q sin p + q cos p q sin p q cos p q et b = p q = cos q + cos p) = cos q cos p) = sin p + sin q) Enfin cette dernière identité devient lorsque l on prend q en lieu et place de q et grâce à la parité du sinus) sin p q cos p + q = sin p sin q) Pour finir tan p + tan q = sin p cos p + sin q sin p cos q + cos p sin q = cos q cos p cos q D où le résultat d après la formule d addition du cosinus. Enfin du fait que q / [] q / [] en prenant q en lieu et place de q dans la formule qui vient d être démontrée, on trouve l expression souhaitée pour tan p tan q 4

5 .4. ANGLE DOUBLE 5.4 angle double Proposition.4. Pour tout x réel, on a : cosx) = cos sin = cos = sin tanx = tan x tan x sinx) = sin x cos x avec x /[] et x /[] Exercice: le prouver Remarque: les formules de linéarisation suivantes sont souvent utiles : Pour x réel, on a cos + cos x x = et sin cos x x = et.5 l arc moitié + tan x = cos x pour x / [] Soit D la droite passant par A, 0) et ayant pour pente t. est la droite d équation y = tx + t. lorsque t parcourt R cette droite intersecte, en dehors de A, tous les points du cercle trigonométrique une une seule fois. Si on note Mcos θ; sin θ) un tel point, on a pour θ [] : cos θ = t + t et sin θ = t + t et tan θ = t pour θ /[]) t On a ainsi construit un paramétrage du cercle trigonométrique privé de A, 0) par des fonctions rationnelles. Or d après le théorème de l angle au centre t = tan θ/ pour θ [] es expressions portent donc le nom de formules de l arc moitié. Exercice: Etablir les calculs qui ont conduit jusqu aux formule de l arc moitié Solution : Notons Mx; y) le point autre que A sur le cercle trigonométrique et la droite D. x et y vérifient x + y = y = tx + ) et x; y) ; 0) e qui équivaut à x + y = y = tx + ) et x En remplaçant y = tx + ) dans la première équation on trouve. x + t x + ) = x t = x +x) t = x)+x) +x) D où. t = x +x t + xt = x + t )x = t x = t ş +t ť ş ť En injectant cette identité dans y = tx + ), on trouve : y = t t +t + = t t ++t +t = t +t Autre Méthode de y = tx + ) et x + y = on en tire par substitution x + t + x + x ) = Soit + t )x + t x + t ) = 0 D où pusique = t 4 + t )t ) = on trouve les racines, ou encore on sait est racine évidente plus interdite), d où si x est l autre racine x + = t +t ou encore x ) = t +t... Exercice: montrer ces formules à l aide des formules trigonométriques établies jusqu ici. Solution : Posons t = tan θ. On écrit cos θ = cos θ = cos θ, or + t = cos θ, D où. cosθ = +t = t +t = t +t. De même sin θ = sin θ = sin θ cos θ = tan θ cos θ. Or t = tan θ et cos θ = t +t, on en déduit. sin θ = +t 5

6 6 HAPITRE. TRIGONOMÉTRIE.6 Valeurs remarquables On connaît e i = et e i =. En admettant connu les sens de variations des fonctions cosinus et des sinus, on en déduit que e i i =, e = + i, ei 4 = + i ce qui est équivalent au tableau de valeurs remarquables. 0 6 sin 0 cos tan X 0 Par ailleurs, grâce à ), on en déduit que pour tout x réel et e i = + i e ix+) = e ix ) = e ix, e i x) = e ix, e ix+ ) = ie ix, e ix ) = ie ix, et e i x) = ie ix D où les relations sin cos tan x sin x cos x tan x x + sin x cos x tan x x sin x cos x tan x x sin x cos x tan x x + cos x sin x - cotanx x cos x sin x - cotanx x cos x sin x cotanx.7 Linéarisation et Anti-linéarisation.7. Linéarisation Il s agit d exprimer la puissance entière d une fonction trigonmétrique à l aide d une somme "pondérée" on parle plutôt de combinaison linéaire) de fonctions trigonométriques. Voici une proposition qui donne la formule générale, il s agira surtout de savoir retrouver ces formules et de bien connaître la méthode de résolution Proposition.7. Pour tout n entier et x réel on a : Si n = p avec p N, Alors : p n cos n x = n k cosn k)x + p n p n sin n x = ) p ) k n k cosn k)x + p n Si n = p + avec p N, Alors : p n cos n x = n k cosn k)x p n sin n x = ) p ) k n k sinn k)x 6

7 .7. LINÉARISATION ET ANTI-LINÉARISATION 7 Démonstration D après la formule d Euler, et en appliquant la formule du binôme de Newton on obtient : e ) n cos n x) = n ix + e ix ) n = n k ne ikx e in k)x = n k ne ik n)x Scindons cette somme en n cos n x) = ne k ik n)x + ne k ik n)x k [ 0, n ] k ] n,n ] Appliquons le changement de variable k = n k dans la deuxième somme ϕ : k n k envoie ] n, n ] de façon bijective sur [ 0, n [ ) : n cos n x) = ne k ik n)x + k [ 0, n ] n k n e ik n)x k [ 0, n [ Or pour tout k N, n n k = n k. D où en séparant en deux paquets la première somme et en renommant k l indice de la dernière somme, on voit que : n cos n x) = ne k ik n)x + ne k ik n)x + ne k ik n)x k [ 0, n [ k { n } N k [ 0, n [ Soit par regroupement de la première et dernière somme n cos n x) = ne k ik n)x + e ik n)x ) + ne k ik n)x k [ 0, n [ k { n } N D où par la formule d Euler A) n cos n x) = n k cosk n)x + ne k ik n)x k [ 0, n [ k { n } N Par des calculs similaires on trouve ) e n sin n x) = n ix e ix ) n = i)n i n ne k ikx ) n k e in k)x = in n ) k ne k ik n)x On a utilisé le fait que pour tout k N, on a ) k = ) k. Poursuivons les calculs comme pour la première partie : n sin n x) = in ) k ne k ik n)x + ) n k n k e ik n)x k [ 0, n ] k [ 0, n [ n sin n x) = in ) k ne k ik n)x + ) k ne k ik n)x + ) n k [ 0, n [ k { n } N ) k ne k ik n)x k [ 0, n [ Soit par regroupement de la première et dernière somme B) n sin n x) = in ) k ne k ik n)x + ) n e ik n)x ) + ) k ne k ik n)x k [ 0, n [ k { n } N Pour finir discutons sur la parité de n. 7

8 8 HAPITRE. TRIGONOMÉTRIE Si n = p est pair Alors, puisque le dernier terme dans les expressions A) et B) ne contient qu un terme et la première somme est indexée sur [ 0, p ], on a n sin n x) = )p Et on conclut grâce à la formule d Euler. p n cos n x) = n k cosk n)x + {}}{ p n e ip n)x {}}{ ) k ne k ik n)x + e ik n)x ) + ) p n p e ip n)x k [ 0, n [ Si n = p + est pair Alors, puisque le dernier terme dans les expressions A) et B) ne contient aucun terme est la première somme est indexée sur [ 0, p ], on a p n cos n x) = n k cosk n)x n sin n x) = )p i Et on conclut grâce à la formule d Euler. p ) k ne k ik n)x e ik n)x ) Remarque.7. On aurait pu conclure beaucoup plus rapidement en utilisant l astuce suivante à partir des expression ) et ) ) n cos n x) = Re n cos n n x)) = Re k ne ik n)x = n nree k ik n)x ) ) n sin n x) = Re n sin n i n n x)) = Re ) k k ne ik n)x = n ) k k nrei n e ik n)x ) Et donc n cos n x) = n sin n x) = n n k cosk n)x n ) k n k cos[k n)x + n ] ependant ces formules sont moins économiques car ayant deux fois plus de termes que les précédentes elles sont bien couteuses en temps de calcul à la main) Remarque.7. Les formules de linérasitation se déduisent les unes des autres grâce aux relations sin x = cos x ) et cos x = sin x + ) En effet, on a par exemple pour n = p n sin n x = n cos n x ) p [ = n k cos n k) x )] + p n D où le résultat grâce à [ cos n k) x )] = cos [n k)x p k)] = cos [p k)] cosn k)x = ) p k cosn k)x Il est à noter que ) p k = ) p ) k = ) p ) k Remarque: pour n =, on retrouve les linéarisations du paragraphe 4. pour n =, on a cos x = 4 cos x + cos x) et sin x = sin x sin x) 4 8

9 .7. LINÉARISATION ET ANTI-LINÉARISATION 9.7. Anti-Linéarisation Il s agit de l opération inverse à la précédente Proposition.7. Pour tout x réel et n entier, on a avec un léger abus de notation) cos nx = n k ) k cos n k x sin k x sin nx = 0 k n/ 0 k n )/ n k+ ) k cos n k x sin k+ x Démonstration d après la formule de Moivre n cos nx + i sin nx = cos x + i sin x) n = ncos k x) n k i sin x) k = Une sommation par paquets nous donne avec n ni k k cos n k x sin k x P = {k; k [ 0, n/ ]} et I = {k + ; k [ 0, n/[ } et donc cos nx + i sin nx = ni a a cos n a x sin a x + ni b b cos n b x sin b x a P b I Si l on a posé ϕ : k k resp. ψ : k k + ), comme il s agit de bijections de [ 0, n/ ] sur P resp. de [ 0, n/[ sur I on en déduit par changement de variable cos nx + i sin nx = n k i k cos n k x sin k x + n k+ i k+ cos n k x sin k+ x k [ 0,n/ ] Soit avec un léger abus de notation, on trouve cos nx + i sin nx = n k ) k cos n k x sin k x + i 0 k n/ k [ 0,n/[ 0 k n )/ D où la conclusion par identification des parties réelles et imaginaires n k+ ) k cos n k x sin k+ x Remarque.7. Dans la pratique on n applique pas la formule directement, mais on applique la méthode calcul adaptée au nombre n donné..7. Simplification d une somme Une façon souvent efficace de réaliser des calculs linéaires ne faisant intervenir qu un "type" de fonctions trigonométriques est de voir cette expression comme la partie réelle ou imaginaire d une expression complexe faisant intervenir l exponentielle complexe. Ainsi par exemple. Proposition.7. Pour tout x réel avec x 0[] et n entier on a n coskx) = sin[n + ) x nx ] cos[ ] n sin x et sinkx) = sin[n + ) x nx ] sin[ ] sin x Preuve Posons S n = n coskx) + i n sinkx). On en déduit d après la formule d une somme d une suite géométrique de raison e ix que n n S n = e inx = e ix ) n = ein+)x e ix = ein+) x [e in+) x e in+) x ] e i x [e i x e i x ] Soit d après la formule d Euler S n = e i i sin[n + ) x nx ] i sin x D où la conclusion en identifiant parties entières et imaginaires 9