EXTRAITS SUJETS DE BAC 1 C. Liban Mai PARTIE A : On considère la suite u n définie par u 0 = 10 et pour tout entier n par u = 0.9u 1.

Transcription

1 Liba Mai 203 PARTIE A : O cosidère la suite u défiie par u 0 = 0 et pour tout etier par u = 0.9u ) O cosidère la suite u défiie par pour tout etier, o pose v = u 2 a) Démotrer que (v ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. b) Exprimer v e foctio de. E déduire que u = 2x ) Détermier la limite de la suite (v ) et e déduire celle de la suite (u ). PARTIE B : E 202, la ville de Bellecité compte 0 milliers d habitats. Les études démographiques sur les derières aées ot motré que chaque aée : 0% des habitats de la ville meuret ou déméaget das ue autre ville ; 200 persoes aisset ou emméaget das cette ville. ) Motrer que cette situatio peut être modélisée par la suite (u ) où u désige le ombre de milliers d habitats de la ville de Bellecité l aée ) U istitut statistique décide d utiliser u algorithme pour prévoir la populatio de la ville de Bellecité das les aées à veir. Recopier et compléter l algorithme ci-dessous pour qu il calcule la populatio de la ville de Bellecité l aée a, i, du type ombre - hoisir - a pred la valeur 0 - Pour i allat de à - a pred la valeur. - SORTIE Afficher a 3) Résoudre l iéquatio >.5. 4) E doer ue iterprétatio. 2 Métropole (sujet dévoilé) Jui 203. U idustriel étudie l évolutio de la productio des jouets sur la machie VPOOO de so etreprise. E 2000, lorsqu il l a achetée, elle pouvait produire jouets par a. Du fait de l usure de la machie, la productio dimiue de 2% par a. O modélise le ombre total de jouets fabriqués au cours de l aée (2000+) par ue suite (U ). O a doc U 0 = ) Motrer que, pour tout etier aturel : U = ,98. 2) Quel a été le ombre de jouets fabriqués e 2005? 3) Détermier à partir de quelle aée, le ombre de jouets fabriqués sera strictemet iférieur à ) et idustriel décide qu il chagera la machie lorsqu elle produira mois de jouets par a. Recopier et compléter l algorithme ci-dessous afi qu il permette de détermier le plus petit etier aturel tel que U < A réel - du type ombre - A pred la valeur pred la valeur 0 - Tat que A pred la valeur. - SORTIE : Afficher 5) Exprimer + 0,98 + 0,98² e foctio de. 6) O pose S =U0 + U + U U. Motrer que S = ( 0,98 + ) 7) E déduire le ombre total de jouets fabriqués pedat les 5 premières aées de productio. FRLT Page 26/07/204

2 3 Polyésie Jui 203. La productio des perles de cultures de Tahiti est activité écoomique importate pour la Polyésie Fraçaise. Les motats réalisés à l exportatio des produits perliers de 2008 à 20 sot doés das le tableau suivat, e milliers d euros : Aées Valeurs brutes des produits perliers (e milliers d euros) Source : ISPF (Istitut de Statistiques de Polyésie Fraçaise) ) Motrer que le taux d évolutio auel moye des motats à l exportatio des produits perliers de Polyésie etre 2008 et 20 est de 8.06 % arrodi au cetième. O admet pour la suite de l exercice, que la productio cotiuera à baisser de 8% par a à partir de 20. 2) O cosidère l algorithme suivat : ENTREE Saisir u ombre P - Affecter la valeur 0 à la variable N - Affecter la valeur 6382 à U - Tat que U > P - N pred la valeur N + - U pred la valeur U x Fi tat que SORTIE Affecter la valeur N + 20 à N Afficher N Si o saisit P = e etrée, qu obtiet-o e sortie par cet algorithme? Iterpréter ce résultat das le cotexte de la productio de perles. 3) Pour prévoir les motats réalisés à l exportatio des perles de Tahiti, o modélise la situatio par ue suite (u ). O ote u 0 le motat e 20, e milliers d euros, et u le motat e 20+, e milliers d euros. O a doc u 0 = 6382 et o suppose que la valeur baisse tous les as de 8%. a) Motrer que (u ) est ue suite géométrique dot o précisera la raiso. b) Exprimer, pour tout etier aturel, u e foctio de. c) Avec ce modèle, quel motat peut-o prévoir pour l exportatio des produits perliers de Polyésie Fraçaise e 206? O arrodira le résultat au millier d euros. 4) alculer le motat cumulé des produits perliers exportés que l o peut prévoir avec ce modèle à partir de 20 (comprise) jusqu à 2020 (comprise). O doera ue valeur approchée au millier d euros. 4 Podichéry Avril 203 Le er javier 2000, u cliet a placé 3000 à itérêts composés au taux auel de 2.5%. O ote le capital du cliet au er javier de l aée , où est u etier aturel. ) alculer et 2. Arrodir les résultats au cetime d euro. 2) Exprimer + e foctio de. E déduire que pour tout ombre etier aturel, o a : = 3000 x ) O doe l algorithme suivat : Etrée : Saisir u ombre S supérieur à 3000 Iitialisatio : Affecter à la Valeur 0 Affecter à U la valeur 3000 Traitemet : Tat que U S Affecter à la valeur N +. Affecter à U la valeur.025 U. Fi Tat que Sortie : Afficher a) Pour la valeur S = 3300 saisie, recopier et compléter autat que écessaire le tableau suivat. Les résultats serot arrodis à l uité. Valeur de 0.. Valeur de U oditio U S Vrai b) E déduire l affichage obteu quad la valeur de S saisie est c) Das le cotexte de cet exercice, expliquer commet iterpréter le ombre obteu e sortie de cet algorithme quad o saisit u ombre S supérieur à ) Au er javier 203, le cliet avait besoi d ue somme de Motrer que le capital de so placemet est pas suffisat à cette date. 5) Détermier, e détaillat la méthode, à partir du er javier de quelle aée le cliet pourrait avoir so capital iitial multiplié par 0. FRLT Page 2 26/07/204

3 5 Amérique du Nord Mai 203. La bibliothèque muicipale état deveue trop petite, ue commue a décidé d ouvrir ue médiathèque qui pourra coteir ouvrages au total. Pour l ouverture prévue le er javier 203, la médiathèque dispose du stock de ouvrages de l aciee bibliothèque augmeté de ouvrages supplémetaires eufs offerts par la commue. Partie A : haque aée, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5% des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d acheter ouvrages eufs. O appelle u le ombre, e milliers, d ouvrages dispoibles le er javier de l aée (203 + ).O doe u 0 = 42. ) Justifier que, pour tout etier aturel, o a u + = u 0, ) O propose, ci-dessous, u algorithme, e lagage aturel. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. - U, N du type ombre - Mettre 42 das U - Mettre 0 das N - Tat que U < 00 - U pred la valeur U x N pred la valeur N + - Fi tat que SORTIE Afficher N À l aide de votre calculatrice, détermier le résultat obteu grâce à cet algorithme. Partie B : La commue doit fialemet revoir ses dépeses à la baisse, elle e pourra fiacer que ouveaux ouvrages par a au lieu des prévus. O appelle v le ombre, e milliers, d ouvrages dispoibles le er javier de l aée (203 + ). ) Idetifier et écrire la lige qu il faut modifier das l algorithme pour predre e compte ce chagemet. 2) O admet que v + = v 0, avec v 0 = 42. O cosidère la suite (w ) défiie, pour tout etier, par w = v 80. Motrer que (w ) est ue suite géométrique de raiso q = 0,95 et préciser so premier terme w 0. 3) O admet que, pour tout etier aturel : w = 38 (0,95). a) Détermier la limite de (w ). b) E déduire la limite de (v ). c) Iterpréter ce résultat 6 etres Etragers 203. Les services de la mairie d ue ville ot étudié l évolutio de la populatio de cette ville. haque aée, 2,5% de la populatio quitte la ville et 200 persoes s y istallet. E 202, la ville comptait habitats. O ote U le ombre d habitats de la ville e l aée O a doc U 0 = O admet que la suite (U ) est défiie pour tout etier aturel par U + = 0,875 U O cosidère la suite (V ) défiie pour tout etier aturel par V =U ) La valeur de U est : a) 6200 b) 3500 c) d) ) La suite (V ) est : a) Géométrique de raiso -2.5% b) Géométrique de raiso c) Géométrique de raiso d) Arithmétique de raiso ) La limite de la suite (U ) est : a) + b) 0 c) 200 d) ) O cosidère l algorithme suivat : Variables : U, N Iitialisatio : U pred la valeur N pred la valeur 0 Traitemet : Tat que U > 0000 Affecter à la valeur N +. Affecter à U la valeur U Fi Tat que Sortie : Afficher N. et algorithme permet d obteir : a) La valeur de U b) Toutes les valeurs de U 0 à U c) Le plus petit rag pour lequel U d) Le ombre de termes iférieurs à 200 5) La valeur affichée est : a) 33 b) 34 c) 9600 d) FRLT Page 3 26/07/204

4 7 Asie jui 203. Le gestioaire d ue salle de cocert costate que, chaque aée, le ombre d aboés est costitué de 70% des aboés de l aée précédete, auxquels s ajoutet 20 ouveaux aboés. Le ombre d aboés e 200 était de 600. ) alculer le ombre d aboés e 20 et ) O défiit la suite (u ) par : u 0 = 600 et, pour tout etier aturel, u + = 0,7u +20. O utilise u tableur pour calculer les termes de la suite (u ). A B u Proposer ue formule à écrire e B3 pour calculer u ; cette formule «tirée vers le bas» das la coloe devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (u ). 3) O pose, pour tout etier aturel : v = u 700. a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso 0,7. Préciser so premier terme. b) Justifier que pour tout etier aturel, u = ,7. 4) Soit u etier aturel. a) Démotrer que u 697 est équivalet à 0,7 0,03. b) Pour résoudre cette iéquatio, o utilise l algorithme suivat : Variables : N est u ombre etier aturel Iitialisatio : Affecter à N la Valeur 0 Affecter à U la valeur Traitemet : Tat que U > 0,03 Affecter à N la valeur N +. Affecter à U la valeur 0,7 U. Fi du Tat que Sortie : Afficher N. Quelle valeur de N obtiet-o e sortie?(o fera tourer l algorithme). c) Retrouvez ce résultat e résolvat l iéquatio 0,7 0,03. d) E utilisat l étude précédete de la suite (u ), détermier à partir de quelle aée le ombre d aboés atteidra au mois Métropole Septembre 203. Le resposable du foyer des jeues d u village a décidé d orgaiser ue brocate auelle. Pour la première brocate, e 202, il a recueilli 0 iscriptios. D après les reseigemets pris auprès d autres orgaisateurs das les villages voisis, il estime que d ue aée sur l autre, 90% des exposats se réiscrirot et que 30 ouvelles demades serot déposées. O désige par u le ombre d exposats e (202+) avec u etier aturel. Aisi u 0 est le ombre d exposats e 202, soit u 0 = 0. ) Quel est le ombre d exposats attedu pour 203? 2) Justifier que, pour tout etier aturel, u + = 0,9u ) Vu la cofiguratio actuelle de la maifestatio das le village, le ombre d exposats e peut pas excéder 220. Recopier et compléter l algorithme proposé ci-dessous afi qu il permette de détermier l aée à partir de laquelle l orgaisateur e pourra pas accepter toutes les demades d iscriptio. Variables : u est u ombre réel est u ombre etier aturel Iitialisatio : Affecter à u la valeur... Affecter à la valeur 202 Traitemet : Tat que... Affecter à u la valeur... Affecter à la valeur + Sortie : Afficher... 4) Pour tout etier aturel, o pose v = u 300. a) Démotrer que la suite (v ) est ue suite géométrique de raiso 0,9. b) E déduire que pour tout etier aturel, u = 90 0, c) Détermier le résultat recherché par l algorithme de la questio 3 e résolvat ue iéquatio. 5) L orgaisateur décide d effectuer ue démarche auprès de la mairie pour obteir assez de place pour e jamais refuser d iscriptios. Il affirme au maire qu il suffit de lui autoriser 300 emplacemets. A-t-il raiso de proposer ce ombre? Pourquoi? FRLT Page 4 26/07/204

5 9 Atilles Guyae Septembre 203. E 2005, aée de sa créatio, u club de radoée pédestre comportait 80 adhérets. hacue des aées suivates o a costaté que : - 0% des participats e reouvelaiet pas leur adhésio au club ; - 20 ouvelles persoes s iscrivaiet au club. O suppose que cette évolutio reste la même au fil des as. Partie A O doe l algorithme suivat : Etrée : Saisir etier positif Iitialisatio : X pred la valeur 80 Traitemet : Pour i allat de à Affecter à X la valeur 0,9X +20 Fi Pour X pred la valeur de X arrodie à l etier iférieur Sortie : Afficher X ) Pour la valeur = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme? 2) Iterpréter das le cotexte du club de radoée, pour la valeur = 2 saisie, le ombre affiché à la sortie de cet algorithme. Partie B Partie ) O cosidère la suite (a) défiie par a 0 = 80 et, pour tout etier aturel, a + = 0,9a +20. Pour tout etier aturel, o pose : b = a 200. a) Démotrer que (b ) est ue suite géométrique ; préciser sa raiso et so premier terme. b) Exprimer b e foctio de. 2) E déduire que, pour tout etier aturel, o a : a = ,9. 3) Quelle est la limite de la suite (a )? ) L objectif du présidet du club est d atteidre au mois 80 adhérets. et objectif est-il réalisable? 2) Même questio si l objectif du présidet du club est d atteidre au mois 300 adhérets. ORRIGE : Liba Mai 203 PARTIE A : O cosidère la suite u défiie par u 0 = 0 et pour tout etier par u = 0.9u ) O cosidère la suite u défiie par pour tout etier, o pose v = u 2 a) Démotrer que (v ) est ue suite géométrique dot o précisera le premier terme et la raiso. v + = u + 2 = 0.9u = 0.9u 0.8 = 0.9v doclasuite(v) est ue suite géométrique de raiso q = 0.9et de premier terme v0 = u0 2 = 2 b) Exprimer v e foctio de. E déduire que u = 2x v = v0q = 2x0.9 doc u = v + 2 = 2x ) Détermier la limite de la suite (v ) et e déduire celle de la suite (u ). 0 < 0.9 < doc lim v = 0 doc lim u = 2 >+ >+ PARTIE B : E 202, la ville de Bellecité compte 0 milliers d habitats. Les études démographiques sur les derières aées ot motré que chaque aée : 0% des habitats de la ville meuret ou déméaget das ue autre ville ; 200 persoes aisset ou emméaget das cette ville. FRLT Page 5 26/07/204

6 ) Motrer que cette situatio peut être modélisée par la suite (u ) où u désige le ombre de milliers d habitats de la ville de Bellecité l aée La dimiutio de 0% de la populatio de la ville peut se traduire par le coefficiet multiplicateur 0,9 soit 0,9u auquel il faut ajouter les 200 ouveaux habitats soit,2 milliers. O obtiet doc bie u+ = 0,9u +,2 2) U istitut statistique décide d utiliser u algorithme pour prévoir la populatio de la ville de Bellecité das les aées à veir. Recopier et compléter l algorithme ci-dessous pour qu il calcule la populatio de la ville de Bellecité l aée a, i, du type ombre - hoisir - a pred la valeur 0 - Pour i allat de à - a pred la valeur.0.9a SORTIE Afficher a 3) Résoudre l iéquatio >.5. Solutio : > 4 4) E doer ue iterprétatio. La populatio dépassera 500 habitats à partir de l aée Métropole (sujet dévoilé) Jui 203. U idustriel étudie l évolutio de la productio des jouets sur la machie VPOOO de so etreprise. E 2000, lorsqu il l a achetée, elle pouvait produire jouets par a. Du fait de l usure de la machie, la productio dimiue de 2% par a. O modélise le ombre total de jouets fabriqués au cours de l aée (2000+) par ue suite (U ). O a doc U 0 = ) Motrer que, pour tout etier aturel : U = ,98. 2) Quel a été le ombre de jouets fabriqués e 2005? Pour 2005 : u 5 = ) Détermier à partir de quelle aée, le ombre de jouets fabriqués sera strictemet iférieur à O a u 9 = et u 0 = Doc à partir de 200 4) et idustriel décide qu il chagera la machie lorsqu elle produira mois de jouets par a. Recopier et compléter l algorithme ci-dessous afi qu il permette de détermier le plus petit etier aturel tel que U < A réel - du type ombre - A pred la valeur pred la valeur 0 - Tat que A pred la valeur + - A pred la valeur Ax0.98 SORTIE : Afficher 5) Exprimer + 0,98 + 0,98² e foctio de = = ) O pose S =U0 + U + U U. Motrer que S = ( 0,98 + ) S = 20000( ) = = ( 0.98 ) ) E déduire le ombre total de jouets fabriqués pedat les 5 premières aées de productio. S 5 = jouets 7 Asie jui 203. FRLT Page 6 26/07/ Le gestioaire d ue salle de cocert costate que, chaque aée, le ombre d aboés est costitué de 70% des aboés de l aée précédete, auxquels s ajoutet 20 ouveaux aboés. Le ombre d aboés e 200 était de 600.

7 ) alculer le ombre d aboés e 20 et 202. E 20 : 630 aboés ; e 202 : 65 aboés. 2) O défiit la suite (u ) par : u 0 = 600 et, pour tout etier aturel, u + = 0,7u +20. O utilise u tableur pour calculer les termes de la suite (u ). A B u Proposer ue formule à écrire e B3 pour calculer u ; cette formule «tirée vers le bas» das la coloe devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (u ). E B3 : 0.7xB ) O pose, pour tout etier aturel : v = u 700. a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique de raiso 0,7. Préciser so premier terme. v u 700 = 0.7u = 0.7u 490 = 0.7v + = + doclasuite(v) est ue suite géométrique de raiso q = 0.7et de premier terme v b) Justifier que pour tout etier aturel, u = ,7. 0 v = v q = 00x0.7 doc u = v = x0.7 0 = u 700 = 00 4) Soit u etier aturel. a) Démotrer que u 697 est équivalet à 0,7 0,03. u x x b) Pour résoudre cette iéquatio, o utilise l algorithme suivat : Variables : N est u ombre etier aturel Iitialisatio : Affecter à N la Valeur 0 Affecter à U la valeur Traitemet : Tat que U > 0,03 Affecter à N la valeur N +. Affecter à U la valeur 0,7 U. Fi du Tat que Sortie : Afficher N. Quelle valeur de N obtiet-o e sortie?(o fera tourer l algorithme). = 0. c) Retrouvez ce résultat e résolvat l iéquatio 0,7 0,03. l(0.03) l(0.7) l(0.7) d) E utilisat l étude précédete de la suite (u ), détermier à partir de quelle aée le ombre d aboés atteidra au mois 697. A partir de = Métropole Septembre 203. Le resposable du foyer des jeues d u village a décidé d orgaiser ue brocate auelle. Pour la première brocate, e 202, il a recueilli 0 iscriptios. D après les reseigemets pris auprès d autres orgaisateurs das les villages voisis, il estime que d ue aée sur l autre, 90% des exposats se réiscrirot et que 30 ouvelles demades serot déposées. O désige par u le ombre d exposats e (202+) avec u etier aturel. Aisi u 0 est le ombre d exposats e 202, soit u 0 = 0. 6) Quel est le ombre d exposats attedu pour 203? 0.9x = 29. 7) Justifier que, pour tout etier aturel, u+ = 0,9u ) Vu la cofiguratio actuelle de la maifestatio das le village, le ombre d exposats e peut pas excéder 220. Recopier et compléter l algorithme proposé ci-dessous afi qu il permette de détermier l aée à partir de laquelle l orgaisateur e pourra pas accepter toutes les demades d iscriptio. Variables : u est u ombre réel est u ombre etier aturel Iitialisatio : Affecter à u la valeur... Affecter à la valeur 202 Traitemet : Tat que...u < 220 Affecter à u la valeur...0.9u + 30 Affecter à la valeur + Sortie : Afficher... 9) Pour tout etier aturel, o pose v = u 300. d) Démotrer que la suite (v) est ue suite géométrique de raiso 0,9. FRLT Page 7 26/07/204

8 v u + = = 0.9u = 0.9v doclasuite(v) est ue suite géométrique de raiso q = 0.9et de premier terme v0 = u0 300 = 90 e) E déduire que pour tout etier aturel, u = 90 0, f) Détermier le résultat recherché par l algorithme de la questio 3 e résolvat ue iéquatio. l(8/9) u x x /9 soit 9 l(0.9) 0) L orgaisateur décide d effectuer ue démarche auprès de la mairie pour obteir assez de place pour e jamais refuser d iscriptios. Il affirme au maire qu il suffit de lui autoriser 300 emplacemets. A-t-il raiso de proposer ce ombre? Pourquoi? 0 < 0.9 < doc lim v = 0 doc lim u = 300 >+ >+ Doc le ombre d emplacemet e dépassera jamais Atilles Guyae Septembre 203. E 2005, aée de sa créatio, u club de radoée pédestre comportait 80 adhérets. hacue des aées suivates o a costaté que : - 0% des participats e reouvelaiet pas leur adhésio au club ; - 20 ouvelles persoes s iscrivaiet au club. O suppose que cette évolutio reste la même au fil des as. Partie A O doe l algorithme suivat : Etrée : Saisir etier positif Iitialisatio : X pred la valeur 80 Traitemet : Pour i allat de à Affecter à X la valeur 0,9X +20 Fi Pour X pred la valeur de X arrodie à l etier iférieur Sortie : Afficher X ) Pour la valeur = 2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme? 02 2) Iterpréter das le cotexte du club de radoée, pour la valeur = 2 saisie, le ombre affiché à la sortie de cet algorithme. E 2007, le ombre d adhérets sera de 02. Partie B ) O cosidère la suite (a) défiie par a 0 = 80 et, pour tout etier aturel, a + = 0,9a +20. Pour tout etier aturel, o pose : b = a 200. a) Démotrer que (b ) est ue suite géométrique ; préciser sa raiso et so premier terme. b + = a = 0.9a = 0.9b doclasuite(b) est ue suite géométrique de raiso q = 0.9et de premier terme b0 = a0 200 = 20 b) Exprimer b e foctio de. b = 20 0, ) E déduire que, pour tout etier aturel, o a : a = ,9. 3) Quelle est la limite de la suite (a )? 200 Partie ) L objectif du présidet du club est d atteidre au mois 80 adhérets. et objectif est-il réalisable? oui. 2) Même questio si l objectif du présidet du club est d atteidre au mois 300 adhérets. o FRLT Page 8 26/07/204