(θ >0 fixé). Calculer E(X). Pour u 0, calculer E(e ux ). Rappel : t R, +

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1 66 FONCTIONS GÉNÉATICES 57 TD5 ) Soit X variable aléatoire réelle de loi de densité x λe λx, λ> fixé (loi exponentielle de paramètre λ) Calculer E(X) et Var(X) Calculer la densité de la loi de X Calculer E(X), Var(X) (x m) ) Soit X variable aléatoire réelle de loi de densité e σ πσ, σ, m fixés (loi N (m, σ )) Soit U variable aléatoire réelle de loi de densité π e x (a) Montrer que σu + m a même loi que X (b) Calculer E(X) et Var(X) (c) Calculer la densité de la loi de Y ax + b pour a et b réels (d) Calculer E(Y ) et Var(Y ) ) Soit X variable aléatoire à valeurs dans N telle que k, P(X k) θk e θ k! (θ > fixé) Calculer E(X) Pour u, calculer E(e ux ) appel : t, n tn n! et 4) Soit (X, Y ) variable aléatoire à valeurs dans de loi de densité (x, y) exp ( x +y x y ) 4 Calculer la densité de la loi de (X +Y,X Y ) puis les densités des lois de X et Y (On pourra utiliser un changement de variable approprié) 5) Soit Y variable aléatoire réelle de densité π(+x ) Montrer que /Y a même loi que Y 6) Soient U et V deux variables aléatoires indépendantes, de même loi U([; ]) (uniforme sur [; ]) (a) Calculer P(inf(U, V ) t) (On rappelle que x, y, inf(x, y) estlepluspetitdes deux réels x, y) (b) Calculer la fonction de répartition de inf(u, V ) 7) M Dupond attend son bus en moyenne min tous les matins Donner une majoration de la probabilité que M Dupond attende son bus plus de min 8) Soit (X, Y ) variable aléatoire à valeurs dans densité π +(+x ) y Calculer la loi de X 9) Soit (X, Y ) variable aléatoire à valeurs dans de densité π e x / e y / Calculer la loi de X/Y Cette variable est-elle intégrable? ) Soit X de loi N (, ) (loi normale centrée réduite) (a) Soit u Montrer que la variable eux X est d espérance finie (b) Soit M>quelconque Montrer que la dérivée de u E pour u <Mest e ux X u E(e ux ) eux e x / π Indication : on admettra l existence d une constante C M telle que M x x / C M x /4( x ) On laissera dans un premier temps la dérivée sous forme intégrale (c) Calculer pour aboutir à une expression de la dérivée sans espérance ni intégrale (d) Calculer la dérivée de u E pour tout u ) Soit >ety de loi N (, ) e ux X (a) Montrer que P(Y > ) π x x ( e x )dx En déduire une intégration par parties de cette intégrale qui donne que P(Y > ) π e (intégrale positive) En déduire que P(Y > ) e π

2 58 CHAPITE 6 FONDEMENTS DE LA THÉOIE DES POBABILITÉS (b) On remarque que P(Y > ) Déduire de la question précédente que avec P(Y > ) F (y) y y y e y π dy F (y)dy e x π dx (c) Intégrer par parties F (y)dy (en intégrant le et dérivant le F ) pour trouver (d) En déduire que F (y)dy P(Y > ) e x dx + e π π e + π ) Soient U, V des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [, ] (a) Calculer la densité de U + V (b) Calculer P( U V /) (Le résultat est une fraction) On pourra utiliser que pour tout événement A, P(A) E( A ) ) Soit X variable aléatoire réelle de densité (/π)e x / x (a) Soit φ : u ], [ φ(u) E(e ux ) Écrire φ(u) sous forme d une intégrale sur et montrer que φ est continue (b) Donner la limite de φ(n) quand n entier positif tend vers l infini (c) Donner la densité de la variable aléatoire Y e X

3 66 FONCTIONS GÉNÉATICES 59 TD5 Corrigés () On fait des intégrations par parties : E(X) λxe λx x dx λxe λx dx [ xe λx ] + +[ λ e λx ] λ e λx dx Var(X) E(X ) E(X) x λe λx dx λ [ x e λx ] Soit f : + continue bornée x e λx λ e λx λ + xe λx dx λ λ λ e λx λ dx λ E(f(X)) (changement de variable t x) f(x) x λe λx dx f(t) t/ λe λt/ dt λ Cela est vrai f donc la densité de la loi de X est t t e λt/ Calculons : E(X) E(X) λ (par linéarité de l espérance) et Var(X) E((X) ) E(X) 4E(X ) 4(E(X)) 4Var(X) 4 λ (par linéarité de l espérance) () (a) Soit f : + continue bornée E(f(σU + m)) (changement de variable t σx + m) f(σx + m) e x dx π f(t) πσ (t m) e σ dt Cela est vrai f donc la densité de la loi de σu + m est la même que celle de la loi de X donc σu + m et X ont même loi (b) E(X) E(σU + m) σe(u) +m m (car E(U) car intégrale de fonction impaire) et Var(X) Var(σU + m) E((σU + m) ) E(σU + m) σ E(U )+m +mσe(u) m σ E(U ) σ x e x dx π σ x e x π +σ + σ π e x dx

4 6 CHAPITE 6 FONDEMENTS DE LA THÉOIE DES POBABILITÉS () (c) Soit f : + continue bornée (changement de variable x at + b) E(f(Y )) E(f(aX + b)) f(at + b) πσ f(x) πa σ (t m) e σ dt (x b m) e a σ Cela est vrai f donc la densité de la loi de Y est x (x b m) e a σ πa σ (d) E(Y )E(aX + b) ae(x)+b am + b et Var(Y ) Var(aX + b) E((aX + b) ) E(aX + b) a E(X )+b +abe(x) a E(X) b abe(x) a E(X ) a E(X) a Var(X) a σ E(X) k k θ q (somme de série exponentielle) θ k θk e θ k! θ θk e θ (k )! θ q e θ q! dx E(e ux ) k e uk θk e θ k! (e u θ) k e θ k! k (somme de série exponentielle) exp(e u θ))e θ exp(θ(e u )) (4) Soit f : + continue bornée E(f(X +Y,X Y )) f(x +y, x y) exp ( x +y x y ) dxdy 4 On fait un changement de variable en : u x +y v x y x u+v y u v L application : φ : u +v (u, v), u v est bijective On calcule le jacobien (c est à dire que l on écrit dans une matrice les dérivées partielles de φ en u et v) :

5 66 FONCTIONS GÉNÉATICES 6 J(u, v) / / / / On fait le changement de variable dans l intégrale : E(f(X +Y,X Y )) f(u, v) e u e v det(j(u, v)) dudv 4 f(u, v) e u e v dudv 4 Cela est vrai f donc la densité de la loi de (X +Y,X Y )est(u, v) e u e v 4 Soit f : + continue bornée E(f(X)) f(x) exp ( x +y x y ) dxdy 4 (Fubini-Tonelli) f(x) exp ( x +y x y ) dy dx 4 On veut calculer ψ(x) : exp ( x +y x y ) dy Commençons par montrer que c est une fonction paire On fait un changement de variable en t y dans l intégrale suivante : ψ( x) exp ( x +y x y ) dy exp ( x t x + t )( )dt exp ( x +t x t ) dt ψ(x) On se contente donc de calculer ψ(x) pour x : ψ(x) x/ x + e x/ 4e x/ e (x+y) e (x y) dy x/ e (x+y) e (x y) dy + + e x/ e x + e x e x Donc par parité, ψ(x) 4e x / e x x Donc : E(f(X)) 4 4e x / f(x) e x x e (x+y) e (x y) dy Cela est vrai f donc la densité de la loi de X est x e x / e x Des calculs analogues conduisent à la densité suivante pour Y : y 4 e y ( + y )

6 6 CHAPITE 6 FONDEMENTS DE LA THÉOIE DES POBABILITÉS (5) Soit f : + continue bornée E(f(/Y )) f(/x) π( + x ) dx f(/x) π( + x ) dx + (changement de variable en u /x) f(u) u π( + /u ) du (changement de variable en v /x) + f(v) v π( + /v ) dv f(u) π( + u ) du + f(u) π( + u ) du f(/x) π( + x ) dx f(v) π( + v ) dv (emarque : on est obligé de découper l intégrale en deux morceaux pour faire des changements de variables bien définis) On a donc que u π(+u ) est la densité de /Y (6) (a) Si t, P(inf(U, V ) t) Si t, P(inf(U, V ) t) Si t : P(inf(U, V ) t) P(U t, V t) (indépendance) P(U t)p(v t) ( t) (b) sit P(inf(U, V ) t) ( t) si t [; ] sit (7) On utilise l inégalité de Bienaymé-Tchebichev : P(X ) E(X) (8) Soit f C + b (), on calcule : E(f(X)) par Fubini-Tonelli f(x) π +(+x ) y dxdy f(x) π +(+x ) y dy dx Donc la densité de X est la fonction de x suivante : π (9) Soit f C + b (), on calcule : +(+x ) y dy π π +x arctan(( + x )y) +x E(f(X/Y )) f(u/v) π e u / e v / dudv

7 66 FONCTIONS GÉNÉATICES 6 On fait un changement de variable en s u/v, t v, u st, v t La matrice jacobienne est : de déterminant t On a donc : J(s, t) t s E(f(X/Y )) par Fubini-Tonelli π f(s) t e (st) / e t / dsdt f(s) π e (st) / e t / t dt ds Donc la densité de X/Y est la fonction de s suivante (par parité) : On calcule : π e (st) / e t / t dt π ( changement de variable z +s t) π s +s s s E( X/Y ) (parité) s π s π π π e (st) / e t / tdt e z / z +s dz e z / +s +s ds +s ds +s car qui n est pas intégrable en Donc X/Y n est pas intégrable () (a) Pour tout ω, eux(ω) e X(ω) u Donc E ux X E(u) u (b) Pour tout u, E e ux X existe par la question précédente (c) Pour tout ω, u eux(ω) X(ω) est dérivable et de dérivée e ux(ω) Pour tout u <M, e ux e M X Et E(e M X ) e M x e x / π dx exp(c M x /4) π dx < Donc, par théorème de dérivation globale, la fonction considérée est dérivable sur ] M,M[ etdedérivéeu E(e ux ) E(e ux ) e u / e ux e x / π dx exp( (x u) + u π ) dx

8 64 CHAPITE 6 FONDEMENTS DE LA THÉOIE DES POBABILITÉS (d) L expression de la dérivée est valable sur ] M; M[ pour tout M donc elle est valable sur tout () (a) On a x ( e x )xe x On fait une intégration par parties : P(Y > ) π x e π x e π x x ( e x )dx π x e x dx (b) Par la question précédente : P(Y > ) y y e y π dy y P(Y > y)dy F (y)dy (c) F (y)dy [yf(y)] + F()+ e x y e y dy π y e π dx + e π π (d) D où P(Y > ) P(Y > )+ e π P(Y > ) e + π () (a) La densité de U + V est la convolée des densités de U et V, c est donc la fonction de t suivante [,] (u) [,] (t u)du [,] (t) [,] (t u)du inf(t,) sup(t,) du [,] (t)(inf(t, ) sup(t, ))

9 66 FONCTIONS GÉNÉATICES 65 (b) P( U V /) (Fubini-Tonelli) [,] u v dudv inf(v+/,) / sup(v /,) dudv inf(v +/, ) sup(v /, )dv v +/dv + (v +/) / 9/ / /dv + 9/ (/ v) v +/dv 9/ () (a) On a φ(u) e ux (/π)e x / dx Pour tout u>, x e ux (/π)e x / est mesurable (car continue) Pour tout u>, pour tout x, e ux (/π)e x / e x (/π)e x / qui est intégrable sur [, [ Pour tout x, u e ux (/π)e x / est continue Donc par théorème de continuité sous l intégrale, φ est continue (b) On a pour tous n etx, e nx (/π)e x / (/π)e x / qui est intégrable sur [, [ Pour tout x> (donc pour presque tout x de [, [), e nx (/π)e x / Donc par théorème de convergence domineée, n φ(n) n (c) Pour toute fonction h : continue bornée, on a : (changement de variable e x t) E(h(Y )) E(h(e X )) Donc la densité de Y est t t [,] (/π) e log(t) / t h(e x ) (/π)e x / dx h(t) (/π) e log(t) / dt t

10 66 CHAPITE 6 FONDEMENTS DE LA THÉOIE DES POBABILITÉS