Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 1

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1 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 1 La trigonométrie Mot grec : trigonon = le triangle metria = mesure Le but c est le calcul de la longueur des côtés (Seiten, le côté) et la grandeur des angles (Winkel) d un triangle quelconque (beliebiges Dreieck) Idées de base Si la construction d un triangle est bien définie, on peut calculer tous les angles et tous les côtés (le côté= Seite). Si la construction géométrique permet deux solutions il y en a aussi deux solutions algébriques. Pour un triangle quelconque il faut avoir au moins 3 informations. Pour un triangle rectangle 2 informations (+l angle droit = rechter Winkel) sont suffisantes. Il y a plusieurs cas spécifiques (Spezialfälle) de triangles triangle rectangle isocèle équilatéral trigonométrie : quelle est l utilité? quelles sont les applications? géométrie élémentaire : Presque toutes les figures de la géométrie (un carré (Quadrat) ou un polygone régulier =regelmässiges Vieleck etc.) peuvent être divisées en triangles La triangulation: fabrication d une carte géographique en astronomie : calculer la distance entre la terre et les planètes mesurer des distances

2 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 2 Notions dans le triangle (Bezeichnungen) la bissectrice la médiane la médiatrice la hauteur le sommet divise l angle en deux parties égales. L intersection des bissectrices donne le centre du cercle inscrit. (inscrire) divise le côté opposé en deux segments identiques. L intersection donne le centre de gravité. est verticale sur le point milieu du côté segment vertical du sommet au côté opposé A, B, C du triangle le triangle rectangle (avec un angle droit) La somme des trois angles intérieurs d'un triangle est égale à 180. On parle d un angle droit (rechter Winkel), d un angle optus (stumpf) et d un angle aigu (spitz). Si l'angle aigu (spitz) d un triangle rectangle est connu la forme du triangle est déterminée, mais cependant pas sa taille. Pour les triangles semblables (ähnlich) le rapport de côtés (Seitenverhältnis) reste fixe. On peut appliquer la proportionnalité (Strahlensatz)

3 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 3 Notions (Bezeichnungen) dans un triangle rectangle: En vue de l angle 30 H : l hypoténuse (opposé à l angle droit, le côté plus long) O : côté opposé (à l angle ; Gegenkathete) A : côté adjacent (Ankathete) A cause de la proportionnalité le rapport de 2 cotés est toujours identique. Le rapport des côtés dépend du choix de l angle aigu α l'angle rapport de côtés Verhältniszahl Pour un angle 30, le rapport entre le côté opposé et l hypoténuse est bien déterminé. On appelle ce rapport le sinus. côté opposé sin( 30 O ). hypoténuse H 0 5 cos(30) A O 0.86 tan(30) 0.57 H A Définition des fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle Si on fixe dans un triangle rectangle un angle aigu, alors les rapports des côtés sont bien déterminés. Ces rapports sont appelés les fonctions trigonométriques, désignés par sinus, cosinus, tangente, abrégées sin, cos, tan. Le sinus mesure le rapport entre le côté opposé (O) et l hypoténuse (H). sin cos tan O H A H O A Pour l instant les angles sont mesurés en degrés, indiqué sur la calculatrice par DEG.

4 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 4 En connaissant l angle on calcule le rapport des côtés. On utilise les fonctions trigonométriques sin(..), cos(..), tan(..). En connaissant le rapport des côtés on peut calculer l angle (fonction réciproques, Arcusfunktionen sin 1 (..),cos 1 (..),tan 1 (..) Exercice: On aimerait bien déterminer l angle? Comment trouver l angle en connaissant le côté opposé BC et l hypoténuse? sin( ) sin Déterminer l angle en connaissant le côté adjacent AC et l hypoténuse? cos( ) cos Calculer l angle en connaissant le côté adjacent AC et le côté opposé? tan( ) tan

5 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 5 Exemple 1 Détermine le côté x et le côté y. Regarde le chemin de solution, surtout l écriture de la solution. x tan( 25. 4) 10 x 10 tan( 25. 4) cm 10 cos( 25. 4) y y cos( 25. 4) y cm cos( 25. 4) Exemple 2 Détermine le côté z. 74. sin( 31. 3) z z sin( 31. 3) z cm sin( 31. 3) Exemple 3 Détermine le côté x. ( x 3.85cm)

6 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 6 exemple 4 Un bateau navigue du point A au point B (la direction est indiquée dans l esquisse). Calcule la distance AB et l angle? (69.9 / km) exemple 5 Un avion vole 400 km avec une direction de N25 E du point A au point B, après 700 km du point B jusqu au point C avec une direction de N80 E. a) Calcule le déplacement total en direction nord de l avion. (484 km) b) Calcule le déplacement total en direction est. (858.4 km)

7 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 7 Exemple 6 Voici la représentation d une coupe verticale de la sphère (Kugel) terrestre. Le rayon est de 6366 km et la latitude géographique (geographische Breite) de Thoune est de α=47 N. a) Quelle est la vitesse avec laquelle les habitants de Thoune tournent autour de la terre? chemin=vitesse * temps b) Applique la formule b) pour calculer la vitesse d une personne qui se trouve sur l équateur et au pôle. c) Un traversant l atlantique en avion (800 km/h) on remarque souvent un phénomène stupéfiant: le soleil semble rester tout le temps à la même position sur l horizon. Ca veut dire que la vitesse de l avion est identique à la vitesse de rotation de la terre. A quelle latitude se passe ce phénomène? Définition de la pente (Steigung) On peut définir la pente de 3 manières différentes : L angle d inclinaison (Neigungswinkel) En pour cent : Si on a un dénivellement de 40 mètres sur 100 m horizontales on dit que la pente est de 40%. Alors un angle de 45º correspond à une pente de 100%. distance verticale La pente (Steigung) = distance horizontale = tan( ) 46.6 Alors = 25. Alors la pente tan(25) % Alors = 50. Alors la pente tan(50) %. 100

8 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 8 Application de la trigonométrie pour calculer des forces Un tonneau avec un poids de 100 kg est sur un plan incliné. L angle d inclinaison du plan est =30º. La force de gravité dépend de la masse (100kg) et de l accélération à cause de la gravité terrestre 10 m s2 m. Ainsi G kg 1000 N (Newton) 2 s On veut déterminer la force verticale qui tient le tonneau sur le plan et la force T mettant le tonneau en mouvement. a) On fait une construction de la solution à l échelle 1:200 et on mesure les résultats. Ainsi 1000 N correspond à 5 cm sur notre esquisse (Skizze) b) Calcule la force verticale au plan (Normalkraft) et la force T (Hangabtrieb).

9 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 9 Voici un scooter (poids G m g ) roulant à une vitesse v. Les passagers sur le scooter doivent se pencher en prenant le virage d un angle pour ne pas tomber à cause de la force centrifuge F (Zentrifugalkraft, Fliehkraft). La force centrifuge virage. F 2 m v dépend de la masse de la moto, de la vitesse v et du rayon r du r a) Exprime avec m, v et r. b) Calcule l angle concrètement pour une vitesse v=72 km/h et un virage avec un rayon de 70 mètres. c) r= 10 m, =10º Indique la vitesse.

10 Théorie: trigonométrie dans les triangles rectangles 10 Deux inconnues, système d équations à 2 variables (méthode d insertion) Exemple A: D un bateau on mesure deux angles d élévations 2.6 et 3.7 jusqu à un phare. (=Leuchtturm). Calcule la hauteur et la distance du phare. Exemple B: On veut déterminer la hauteur d une tour. Pour ça on mesure un angle d élévation de 27, puis on se rapproche en ligne droite vers la tour de 15 m et on mesure de nouveau l angle qui est maintenant 38.