Trigonométrie dans le triangle rectangle.

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1 Trigonométrie dans le triangle rectangle. 1. Rappel 4 ème : le cosinus d un angle dans un triangle rectangle. a Soit C un triangle rectangle en, d angle de sommet noté α. Les droites (DH, (EI, (FJ et (C sont toutes parallèles. Les angles de sommet H, I, J et sont tous correspondants donc égaux. n a donc une série de triangles rectangles ayant tous angles égaux mais des longueurs de côtés différentes. b Depuis la 4ème, tu sais que si un triangle est coupé par une droite parallèle à un de ces côtés, il y a proportionnalité entre les longueurs des triangles. En utilisant les triangles DH et, on peut donc affirmer : D H D H H D D D n peut de même utiliser les triangles EI et pour démontrer que et encore FJ et pour démontrer que J F Finalement : quel que soit le point P sur [] et M sur [] de sorte que MP soit rectangle en P, on a toujours: I E P M, la valeur de ce quotient ne dépendant que de α. c Evolution de ce quotient : n remarque que si l angle α augmente, M et augmentent tous deux en devenant M et n a encore P M ' ' Comme P et ne changent pas, la valeur du quotient diminue quand l angle α augmente.

2 d Cosinus d un angle dans un triangle rectangle. Pour un angle donné, le coefficient de proportionnalité entre la longueur du côté de l angle et de l hypoténuse s appelle le cosinus de cet angle. savoir par cœur : cos(, soit : cos. hypoténuse Propriété : Pour un angle non-droit du triangle rectangle : son coté le plus grand sera toujours l hypoténuse. n aura toujours : bservons cas extrêmes : Côté. hypoténuse. < 1 Si le point C se rapproche de plus en plus de jusqu à se confondre avec lui, l angle  devient nul alors que côté et hypoténuse se confondent. Parallèlement : l angle augment pour atteindre la valeur limite de 90 pendant que le côté [C] devient nul. En conséquence : cos(0 1 et 0 cos(90 C 0 Finalement : Soit α un angle tel que 0 α 90 : 0 cos( α 1. Remarque : La calculatrice possède une touche qui donne la valeur des cosinus des angles. ttention : elle doit être réglée dans le mode «degré». (Un «D» doit être affiché dans la barre des modes. insi : vec la calculatrice, tu obtiens : cos (0 1 cos (60 0,5 cos (18 0,951. Pour certaines valeurs d angle, la valeur exacte du cosinus peut parfois s afficher sous la forme d une écriture fractionnaire avec des racines carrées en numérateur. cos(45 0, 707 cos(0 0,866 (Certaines valeurs de cosinus sont décimales exactes. Habitue-toi à utiliser les valeurs exactes en écritures fractionnaires avec racines carrées. Très souvent, tu n auras même-pas à écrire les valeurs des cosinus. Tu n écriras que cos(, sans te préoccuper de la valeur du quotient trigonométrique. Il en sera de-même pour le sinus et la tangente. e Utilisation du cosinus : En ème, le cosinus d un angle est utilisé essentiellement dans types d activités. Calculer des longueurs dans un triangle rectangle dont on connait les angles et une longueur. Calculer les valeurs des angles dans un triangle rectangle dont on connait au minimum longueurs.

3 e1 Calculer soi-même un cosinus en utilisant Pythagore : C triangle rectangle en. 4 cm et C 7 cm. Calculer puis cos( et cos (Ĉ. 1 D après Pythagore : ² ² + C² 4² cm 4 cos 0, 96 et C 7 cosc 0, 8 5 C 5 e is : XYZ triangle rectangle en X. YZ 10 cm et ZX,8 cm. Calculer cos( Z sous la forme d une fraction irréductible. Calculer YX. Calculer cos( Y sous la forme d une fraction irréductible. 1 ZX,8 8 7 cos Z ZY D après Pythagore : ZY ² YX ² + XZ ² 10²,8² + YX ² 100 7,84 + YX ² YX ² 100 7,84 9,16 YX 9,16 9, 6 YX YX 9, cosy YZ YZ n remarque que les valeurs des cosinus des angles des triangles C et XYZ sont égales. Nos deux triangles ont donc des angles égaux. C est forcement un agrandissement de XYZ à une certaine échelle calculée ci-dessous. 5,5 YZ 10 4,5 YX 9,6 C 7,5 ZX,8 Les longueurs de C sont,5 fois plus grandes que celles de XYZ. e Demontrer que cos ( 45. Soit un carré de côté noté c. Une diagonale du carré le coupe en triangles rectangles isocèles ayant angles de 45. Notons d la mesure de la diagonale. D après Pythagore : d ² c² + c² d ² c² d c² c² c c c c 1 1 cos(45 d c

4 e Calculer une longueur dans un triangle rectangle en connaissant un angle. D après la définition, on a : côté. cos( α. Deux produits en croix donnent alors : hypoténuse côté. cos( α côté. hypoténuse cos( α hypoténuse côté. côté. cos( α hypoténuse hypoténuse cos( α Exemples : toujours faire des croquis annotés de toutes les informations de l énoncé! PRS rectangle en P. R 5 et PR 4 cm. Calculer PS au mm près. 4 4 cos(5 PS cm 9, cm PS cos(5 L arrondi au mm près d une mesure en cm est son arrondi au 1 10 car 1 1mm cm 10 FM rectangle en F. 68 et M 5 m. Calculer M au cm près. F cos(68 F 5 cos(68 cm 5cos(68 cm 1,1. cm 5 Exo géométrie brevet 01.

5 1 Calcul de la distance R : 0,000 s est le temps mis par le signal pour parcourir l aller-retour, soit R. d Cours : v. pplication : R R , 000. km 90km R km 45 km. t 0, 000 L altitude de l avion correspond à la longueur I, si on néglige la hauteur de la tour radar. La partie 1 nous a fait calculer l hypoténuse du triangle RI. Dans cette question, nous devons calculer I, côté de l angle de sommet. Pour calculer cette longueur, il faut avant calculer l angle. 180 ( I cos(85 R I cos(85 I 45cos(85 km, 9km 45 L arrondi à la centaine de m d une mesure en km est son arrondi au 1 10 car 1 100m km 10 e4 Calculer un angle à partir de la connaissance de son cosinus : touche cos -1 (acs - arccos. Principe : Chaque angle a son cosinus. Si on connait le cosinus d un angle, on peut retrouver la mesure de l angle. XYZ est un triangle rectangle en Y tel que ZX 5, cm et YZ,8 cm. Calculer cos ( Ẑ puis donner la valeur de Z au degré près. cos Z ZY,8 19 ( 1 19 Z cos 4 ZX 5, 6 6 SURTUT NE PS RRNDIR LE CSINUS! UNE DIFFERENCE DE 1/10 SUR LE CSINUS PEUT ENTRINER UNE DIFFERENCE D NGLE DE PLUSIEURS! 1 cos (0, 7 45, 57 cos 0,8 6,87 1 (

6 . Sinus d un angle. a Définition : Côté opposé d un angle non droit dans le triangle rectangle : Le côté opposé d un angle non droit d un triangle rectangle est le seul côté du triangle qui n est pas un côté de l angle. insi, dans le triangle C ci-dessus : L angle de sommet est formé des côtés [] et []. Le côté [C] est son côté opposé. L angle de sommet C est formé des côtés [C] et [C]. Son côté opposé est le côté []. Sinus d un angle : Tu sais que, pour un angle donné d un triangle rectangle, il y a proportionnalité entre la longueur du côté et celle de l hypoténuse. n a cos C C. C Comme C est le côté opposé de l angle de sommet Â, il y a alors proportionnalité entre la longueur du côté opposé de l angle de sommet et celle de l hypoténuse. Le coefficient de proportionnalité entre le côté opposé de l angle et l hypoténuse est le sinus de l angle. savoir : C Côté. opposé sin C hypoténuse. b Propriétés : n remarque que sin cos C C avec + C 90. C ( α sin( α cos 90 cos( α sin(90 α Dans le triangle C rectangle en : d après l égalité de Pythagore : ( cos( ( ( C C sin sin C + + cos 1 cos x cos( x cos( x cos ( x. Notation : il est d usage de noter ( insi : ( x ( x cos + sin 1

7 Pour un angle non-droit du triangle rectangle : son côté le plus grand sera toujours l hypoténuse. n aura toujours : Côté. opposé 1 hypoténuse. < de même que Côté. < 1 hypoténuse. bservons cas extrêmes : Si le point C se rapproche de plus en plus de jusqu à se confondre avec lui, l angle  devient nul alors que côté et hypoténuse se confondent tandis que le côté opposé C devient nul. Parallèlement : l angle C augmente pour atteindre la valeur limite de 90. En conséquence : cos(0 1 et sin(0 C 0 0. cos(90 C 0 0 et sin(90 1 Finalement : Soit α un angle tel que 0 α 90 : 0 cos( α 1 et 0 sin( α 1. c Utilisation du sinus d un angle : Les mêmes que pour le cosinus. Les exemples ci-dessous sont basiques. sin C Calcul de (  sin et de ( ( C 5 1. et.sin( C sin 10 ² b² + C² 10² ² + 5² D après Pythagore : 100 ² + 5 ² Un angle α est tel que donc : cos 4 5 sin( C 5 10 cos( α. Calculons son sinus. n sait que cos ( α + sin ( α 1 5 ( α + sin ( α 1 + sin ( α + sin ²( α 1 sin ²( α 1 sin( α Calcul de longueur : Calculer C au mm près C sin( 4 C 14sin(4 cm 9,5cm 14 Calculer : C sin 60 cm 66,9 sin(60 ( cm Calcul d angle avec la touche 1 sin ; asn. Calculons l angle de sommet au 1/10 de degré près. sin ( C 18 1 sin 48,6 C 4 4 4

8 . Tangente d un angle non droit dans le triangle rectangle. a Définition : Pour un angle de sommet donné : la longueur du côté opposé est proportionnelle à celle de l hypoténuse et celle de l hypoténuse est proportionnelle à celle du côté. n en déduit que la longueur du côté opposé est proportionnelle à celle du côté. C Pour un angle de sommet donné : K. où K est une constante. Démonstration : ( ( sin ( C sin ( cos cos sin ( sin ( C K. C cos( cos( Ce coefficient de proportionnalité est appelé la tangente de l angle. Son abréviation est «tan». tan ( C opposé La démonstration (1 donne aussi comme définition de la tangente d un angle : tan ( Cette formule est peu utilisée au collège. En revanche, elle le sera par la suite pour certains d entre vous. ( C ( 1 remarque : tan...tan C C tan de son angle complémentaire. b Utilisation de la tangente. 1. Calcul de longueur : ( Calculons au mm près : 5 5 tan ( 8 C cm 47cm tan(8 Calculons au mm près : tan ( 7 0 tan(7 cm 9, cm C 0 sin cos ( ( avec + C 90.La tangente d un angle est égale à l inverse de celle.. Calcul d angle : touche 1 tan ; atn;arctan. Calculons les angles  et Ĉ au degré près en utilisant la tangente. ( C C 54 1 tan tan, 7 ( C ( C 1 tan tan 56,

9 4. Tableau de valeurs remarquables : Il est bon de connaître les valeurs exactes suivantes par cœur, surtout dans une perspective de de gale. ngle en degré Sinus 0 Cosinus 1 Tangente 0 5. Quart de cercle trigonométrique N EXISTE PS Considérons un repère du plan dont l unité de graduation est la même sur les deux axes qui sont perpendiculaires. Un tel repère est appelé un repère orthonormé. Le point est l origine du repère. Ses coordonnées sont ( 0;0 Le point I est le point unitaire sur l axe des abscisses. Ses coordonnées sont I ( 1;0. Le point J est le point unitaire sur l axe des ordonnées. Ses coordonnées sont J ( 0;1. Un tel repère est un repère orthonormé ( ; I; J.Traçons dans ce repère le cercle de centre et de rayon une unité. 1 0 Soit un point M de ce cercle, point aux coordonnées supérieures ou égales à 0. Un tel point appartient au quart de cercle de la figure de droite. Notons x M son abscisse et y M son ordonnée. Soit ( xm ;0 le point de l axe des abscisses ayant la même abscisse que le point M Soit ( 0; ym le point de l axe des ordonnées ayant la même ordonnée que le point M. Le triangle M est rectangle en. M 1 et M. M cos( α. sin( α. M 1 M 1 Conclusion : Les coordonnées du point M sont le cosinus et le sinus de l angleα. Pour cette raison, ce quart de cercle est appelé «Quart de cercle trigonométrique». Il sera étendu au cercle entier dans les classes supérieures.

10 6. Exercices diverse. 1. Du sinus vers π : a Périmètre d un polygone régulier. M M M M Voici une série de polygones réguliers : ; 4 ; 5 et 10 côtés. sont deux sommets consécutifs et M est le milieu du côté []. R Notons par R leur rayon et exprimons leur périmètre en fonction de R. * Comme et sont des points du cercle : : les triangles sont isocèles en. * M, médiane du triangle issu de son sommet principal, est donc aussi bissectrice et hauteur : les triangles M sont tous rectangles en M. * L angle mesure * Dans M : 60 nombre. de. côtés et M vaut la moitié de. ( M M M R ( M R ( M R ( M sin sin sin sin R * Finalement : le périmètre vaut dans chaque cas : ( P nombre. de. côtés R sin M * Tableau pour différents nombres de côtés. n M P Rsin(60 4 Rsin(45 5 Rsin(6 6 Rsin(18 0 Rsin(9 60 Rsin( b Notons par n le nombre de côtés : il vient 180 P n R sin n et. M n n n n c Plus le nombre de côté est grand, plus le polygone régulier devient proche d un cercle. or : le périmètre d un cercle vaut π R. Conséquence : Plus n augmente, plus 180 P n R sin se rapproche de π R n M

11 Ce qui impose que 180 nsin se rapproche de plus en plus de π lorsque n augmente. n Le tableau donne la valeur de 180 nsin ainsi que l écart par rapport à π au millionième près. n n nsin(180/n,090170,18689,141076,14146,141510,14157 Ecart à Pi 0,0514 0,0190 0, , , , Exercices tangentes : a. Un câble de tyrolienne est tendu entre le sommet de arbres, sommets représentés par les points E et C sur le schéma cicontre. et représentent les pieds des arbres. [E] et [C] sont perpendiculaires au sol horizontal représenté par (. [DC] est parallèle à (. Calculer la hauteur de l arbre, c'est-à-dire la longueur E, au 1/10 de mètre près. D [ E] E ED + D. Il est trivial de démonter que EDC est un triangle rectangle en D. ED ED tan(4 ED 40 tan(10 m 4, m DC 40 E ED + D , E 60,m S b. Le cône du schéma ci-contre a un rayon de 6 cm. L angle S mesure 0 Calculer le volume du cône au cm près π S 6 6 V...tan(0 S cm. S S tan(0 π S π π 6 6 V S tan(0 π π V cm cm 61. cm tan(0 tan( c. E est un triangle rectangle. est un point de []. n sait que tan( E 1et que la tangente de l angle * Quelle est la mesure de l angle E? 1 tan (1 45 E *Quelle est la mesure de l angle 1 tan ( 6 EC EC au degré près? EC vaut le double de celle de l angle E. ttention : ce n est pas parce que la tangente double que l angle double! Ce serait d ailleurs ridicule car l angle EC serait alors de 90 est le triangle aurait alors deux côtés parallèles.

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