Intersection arithmétique
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- Victorien Rondeau
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1 Université Lyon 1, 17 octobre octobre 2016
2 Plan Introduction 1 Introduction
3 Plan Introduction 1 Introduction 2 Généralités
4 Plan Introduction 1 Introduction 2 Généralités 3 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer
5 Problèmes diophantiens Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on cherche les solutions entières ou rationnelles.
6 Problèmes diophantiens Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on cherche les solutions entières ou rationnelles. Exemples :
7 Problèmes diophantiens Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on cherche les solutions entières ou rationnelles. Exemples : l équation x + y = 1 a une infinité de solutions entières (et rationnelles), (x, y) = (2, 1), (3, 2), etc. ;
8 Problèmes diophantiens Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on cherche les solutions entières ou rationnelles. Exemples : l équation x + y = 1 a une infinité de solutions entières (et rationnelles), (x, y) = (2, 1), (3, 2), etc. ; l équation x 2 + y 2 = 1 a un nombre fini de solutions entières ((x, y) = (0, ±1) ou (±1, 0)), mais un nombre infini de solutions rationnelles ((x, y) = ( 1 t2 2t, ) pour t rationnel) ; 1+t 2 1+t 2
9 Problèmes diophantiens Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers, dont on cherche les solutions entières ou rationnelles. Exemples : l équation x + y = 1 a une infinité de solutions entières (et rationnelles), (x, y) = (2, 1), (3, 2), etc. ; l équation x 2 + y 2 = 1 a un nombre fini de solutions entières ((x, y) = (0, ±1) ou (±1, 0)), mais un nombre infini de solutions rationnelles ((x, y) = ( 1 t2 2t, ) pour t rationnel) ; 1+t 2 1+t 2 l équation y 2 = x 3 + x a un nombre fini de solutions rationnelles ((x, y) = (0, ±1)).
10 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1.
11 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. Résolution dans Z x 1, y 1, on teste toutes les possibilités, et (x, y) = (±1, 0) ou (0, ±1).
12 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1.
13 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z.
14 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de X 2 + Y 2 = Z 2.
15 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de (X + iy )(X iy ) = Z 2.
16 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de (X + iy )(X iy ) = Z 2.
17 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de (X + iy )(X iy ) = Z 2. si p divise X + iy et X iy, alors il divise 2X et 2iY, donc divise 2 : impossible ;
18 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de (X + iy )(X iy ) = Z =(u+iv) 2 2. si p divise X + iy et X iy, alors il divise 2X et 2iY, donc divise 2 : impossible ; alors, X + iy = (u + iv) 2, et (X, Y, Z) = (u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2 ).
19 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. On pose x = X Z, y = Y Z, avec X, Y, Z Z. Résolution dans Q : méthode 1 On cherche les solutions entières et premières entre elles de (X + iy )(X iy ) = Z =(u+iv) 2 2. si p divise X + iy et X iy, alors il divise 2X et 2iY, donc divise 2 : impossible ; alors, X + iy = (u + iv) 2, et (X, Y, Z) = (u 2 v 2, 2uv, u 2 + v 2 ). On trouve : (x, y) = ( u2 v 2 u 2 +v 2, 2uv u 2 +v 2 ) = ( 1 t2 1+t 2, 2t 1+t 2 ), t = v u Q.
20 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. Résolution dans Q : méthode 2 y ( 1, 0) x
21 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. Résolution dans Q : méthode 2 y y = t(x + 1) ( 1, 0) x
22 Exemple introductif Introduction Considérons l équation x 2 + y 2 = 1. Résolution dans Q : méthode 2 y ( 1, 0) y = t(x + 1) ( 1 t2 1+t 2, x 2t 1+t 2 ) On trouve : (x, y) = ( 1 t2 2t, ), t Q. 1+t 2 1+t 2
23 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ;
24 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ; On gagne à voir géométriquement les équations ;
25 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ; On gagne à voir géométriquement les équations ; Pour x = a b Q, pgcd(a, b) = 1, on peut étudier la hauteur de x, définie par : h(x) = ln(max( a, b )).
26 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ; On gagne à voir géométriquement les équations ; Pour x = a b Q, pgcd(a, b) = 1, on peut étudier la hauteur de x, définie par : Pour tout c > 0, l ensemble est fini. h(x) = ln(max( a, b )). {x Q h(x) c}
27 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ; On gagne à voir géométriquement les équations ; Pour x = a b Q, pgcd(a, b) = 1, on peut étudier la hauteur de x, définie par : Pour tout c > 0, l ensemble h(x) = ln(max( a, b )). {x Q h(x) c} est fini. La fonction h s étend à Q.
28 Exemple introductif : quelques enseignements On gagne à étudier les équations dans Q (nombres algébriques) plutôt que dans Q ; On gagne à voir géométriquement les équations ; Pour x = a b Q, pgcd(a, b) = 1, on peut étudier la hauteur de x, définie par : Pour tous c, d > 0, l ensemble h(x) = ln(max( a, b )). {x Q h(x) c, [Q(x) Q] d} est fini. La fonction h s étend à Q.
29 Plan Introduction Généralités 1 Introduction 2 Généralités 3 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer
30 Définition Introduction Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y y y 2 = x y 2 = x 3 x x x
31 Généralités Courbe elliptique projective : Y 2 Z = X 3 + Z 3. O P
32 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y x
33 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y P x
34 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y P x Q
35 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y P x Q
36 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y P (P + Q) x Q
37 loi de groupe et points rationnels Généralités Soit K un corps de nombres. Une courbe elliptique E/K est une courbe d équation affine y 2 = x 3 + ax + b, où (a, b) K 2 est tel que 4a b 2 0, avec en plus un point à l infini. y P P + Q (P + Q) x Q
38 Structure Introduction Généralités Théorème de Mordell-Weil Le groupe (E(K), +) a un nombre fini de générateurs : on a E(K) Z r {torsion}.
39 Structure Introduction Généralités Théorème de Mordell-Weil Le groupe (E(K), +) a un nombre fini de générateurs : on a E(K) Z r {torsion}. Théorème de Siegel L ensemble E(O K ) est fini.
40 Structure Introduction Généralités Théorème de Mordell-Weil Le groupe (E(K), +) a un nombre fini de générateurs : on a E(K) Z r {torsion}. Théorème de Siegel L ensemble E(O K ) est fini. Théorème d uniformisation complexe Le groupe topologique (E(C), +) est isomorphe à un tore complexe, donc à pour τ bien choisi tel que Im(τ) > 0. C Z+τZ
41 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x O P 1 (2, 3) P
42 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x O P 1 (2, 3) (0, 1) P P
43 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x O P 1 (2, 3) (0, 1) ( 1, 0) P P P
44 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x P 1 O 3P P P P 1 (2, 3) (0, 1) ( 1, 0) (0, 1)
45 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x P 1 O 3P P P 5P P 1 (2, 3) (0, 1) ( 1, 0) (0, 1) (2, 3)
46 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 = x P = O O P 1 5P 3P P P P 1 (2, 3) (0, 1) ( 1, 0) (0, 1) (2, 3)
47 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. O P
48 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. O P 1 (0, 0) P
49 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. O P 1 (0, 0) ( 1, 1) P P 1 2 3
50 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. O P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) P P 1 3P 2 3
51 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x P O 4P P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3)
52 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P P O 4P P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 )
53 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P P O 4P 2 1 6P P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 ) ( 2 9, )
54 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P P O 4P 2 1 6P P 1 3P 2 3 P 1 7P (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 ) ( 2 9, ) (21, 98)
55 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P O P8P 4P 7P 2 1 6P P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 ) ( 2 9, ) (21, 98) ( 11 49, )
56 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P O P8P 4P 7P 29P 1 6P P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 ) ( 2 9, ) (21, 98) ( 11 49, ) ( , )
57 Généralités Courbe elliptique d équation affine y 2 + y = x 3 + x 2. 5P O P8P 4P 7P 29P 1 6P P 2P 1 3P 2 3 P 1 (0, 0) ( 1, 1) (1, 2) (2, 3) ( 3 4, 1 8 ) ( 2 9, ) (21, 98) ( 11 49, ) ( , ) ( , )
58 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0.
59 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On a : h(p + Q) + h(p Q) = 2(h(P ) + h(q)) + O(1) ;
60 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On a : h(p + Q) + h(p Q) = 2(h(P ) + h(q)) + O(1) ; h(φ(p )) = deg(φ)h(p ) + O(1) pour φ End(E) ; h(np ) = n 2 h(p ) + O(1) pour n Z ;
61 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On a : h(p + Q) + h(p Q) = 2(h(P ) + h(q)) + O(1) ; h(φ(p )) = deg(φ)h(p ) + O(1) pour φ End(E) ; h(np ) = n 2 h(p ) + O(1) pour n Z ; pour tout c > 0, l ensemble {P E(Q) h(p ) c} est fini ;
62 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On définit alors la hauteur canonique comme suit : On a : ĥ(p ) = lim n h(2 n P ) 4 n. h(p + Q) + h(p Q) = 2(h(P ) + h(q)) + O(1) ; h(φ(p )) = deg(φ)h(p ) + O(1) pour φ End(E) ; h(np ) = n 2 h(p ) + O(1) pour n Z ; pour tout c > 0, l ensemble {P E(Q) h(p ) c} est fini ;
63 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On définit alors la hauteur canonique comme suit : On a : ĥ(p ) = lim n h(2 n P ) 4 n. ĥ(p + Q) + ĥ(p Q) = 2(ĥ(P ) + ĥ(q)) ; ĥ(φ(p )) = deg(φ)ĥ(p ) pour φ End(E) ; ĥ(np ) = n 2 ĥ(p ) pour n Z ; pour tout c > 0, l ensemble {P E(Q) ĥ(p ) c} est fini ;
64 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On définit alors la hauteur canonique comme suit : On a : ĥ(p ) = lim n h(2 n P ) 4 n. ĥ(p + Q) + ĥ(p Q) = 2(ĥ(P ) + ĥ(q)) ; ĥ(φ(p )) = deg(φ)ĥ(p ) pour φ End(E) ; ĥ(np ) = n 2 ĥ(p ) pour n Z ; pour tout c > 0, l ensemble {P E(Q) ĥ(p ) c} est fini ; ĥ(p ) = 0 si, et seulement si P est de torsion.
65 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On peut étendre h à E( K). On définit alors la hauteur canonique comme suit : On a : ĥ(p ) = lim n h(2 n P ) 4 n. ĥ(p + Q) + ĥ(p Q) = 2(ĥ(P ) + ĥ(q)) ; ĥ(φ(p )) = deg(φ)ĥ(p ) pour φ End(E) ; ĥ(np ) = n 2 ĥ(p ) pour n Z ; pour tout c > 0, l ensemble {P E(Q) ĥ(p ) c} est fini ; ĥ(p ) = 0 si, et seulement si P est de torsion.
66 Généralités Soit E/Q une courbe elliptique. Pour P ( a b, c ) d E(Q), on pose h(p ) = ln(max( a, b )), et h(o) = 0. On peut étendre h à E( K). On définit alors la hauteur canonique comme suit : On a : ĥ(p ) = lim n h(2 n P ) 4 n. ĥ(p + Q) + ĥ(p Q) = 2(ĥ(P ) + ĥ(q)) ; ĥ(φ(p )) = deg(φ)ĥ(p ) pour φ End(E) ; ĥ(np ) = n 2 ĥ(p ) pour n Z ; pour tous c, d > 0, l ensemble {P E( K) ĥ(p ) c, [K(P ) K] d} est fini ; ĥ(p ) = 0 si, et seulement si P est de torsion.
67 Plan Introduction Généralités 1 Introduction 2 Généralités 3 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer
68 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique.
69 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
70 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
71 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
72 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
73 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
74 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
75 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
76 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
77 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. Intersection locale Soient P 1 et P 2 deux sections distinctes de X /O K, soient p un idéal premier et x X p. On pose : P 1, P 2 x = (mult. d intersection en x) ln(n K/Q (p)) ; P 1, P 2 p = x X p P 1, P 2 x. On pose alors P 1, P 2 = P 1, P 2 p. p K
78 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) Spec(Z)
79 Généralités Soit X /O K une surface arithmétique. {y 2 = x 3 + 2x 2 + 6}/Z (1, 3) (1, 3) (0) (2) (3) (5) (p) ( ) Spec(Z)
80 Intersection aux places infinies Généralités Si P 1 et P 2 sont deux sections distinctes, alors : P 1, P 2 σ = g σ (P σ 1, P σ 2 ) où g σ est la fonction de Green-Arakelov sur la surface de Riemann (X σ C)(C) (on a g σ (P σ 1, P σ 2 ) ln( P σ 1 P σ 2 σ)).
81 Intersection aux places infinies Généralités Si P 1 et P 2 sont deux sections distinctes, alors : P 1, P 2 σ = g σ (P σ 1, P σ 2 ) où g σ est la fonction de Green-Arakelov sur la surface de Riemann (X σ C)(C) (on a g σ (P σ 1, P σ 2 ) ln( P σ 1 P σ 2 σ)). Pour toute place v, la restriction de l intersection locale à Div 0 (X /O K ) Div 0 (X /O K ) est symétrique, continue (pour la topologie v-adique), localement bornée et diverge ainsi quand P 1 tend vers P 2 : P 1, P 2 v n v ln( P 1 P 2 v ).
82 Généralités On pose alors : P 1, P 2 = P 1, P 2 p + P 1, P 2 σ p K σ K C
83 Généralités On pose alors : P 1, P 2 = P 1, P 2 p + P 1, P 2 σ p K σ K C = P 1, P 2 v + n v P 1, P 2 v. v MK 0 v MK
84 Généralités On pose alors : P 1, P 2 = P 1, P 2 p + P 1, P 2 σ p K σ K C = P 1, P 2 v + n v P 1, P 2 v. v MK 0 v MK Cet accouplement bilinéaire se prolonge, et définit un accouplement d intersection, Ĉl(X ) Ĉl(X ) R.
85 Lien entre hauteur et intersection Généralités Soient E/K avec bonne réduction partout, et E B son modèle minimal régulier. Pour tout point P E(K) d adhérence P dans E, on a : ĥ(p ) = P, O K [K Q].
86 Deux applications Introduction Généralités Soit E/K une courbe elliptique ayant bonne réduction partout.
87 Deux applications Introduction Généralités Soit E/K une courbe elliptique ayant bonne réduction partout. Hindry-Silverman (1999) On a card(e(k) tors ) n K ln(n K ), où n K = [K Q].
88 Deux applications Introduction Généralités Soit E/K une courbe elliptique ayant bonne réduction partout. Hindry-Silverman (1999) On a card(e(k) tors ) n K ln(n K ), où n K = [K Q]. Laurent (1979), W. (2015) Supposons que Z End(E). Pour tout point P E( K) d ordre infini, de degré relatif D = [K(P ) K], on a : où c K n 20 K ĥ(p ) c K D 3 (ln (4D)) (ln ) ln (4D) si HRG (il existe une version inconditionnelle).
89 Plan Introduction Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer 1 Introduction 2 Généralités 3 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer
90 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Nous voulons montrer qu il existe un entier N 1 tel que : ( k 1, N kp O) ĥ(p ) > 0.
91 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Nous voulons montrer qu il existe un entier N 1 tel que : ( k 1, N kp O) ĥ(p ) > 0. Nous avons vu que ĥ(p ) = 0 P est de torsion. Corollaire Si P est de torsion, alors son ordre de torsion est inférieur à N.
92 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Nous voulons montrer qu il existe un entier N 1 tel que : ( k 1, N kp O) ĥ(p ) > 0. Nous avons vu que ĥ(p ) = 0 P est de torsion. Corollaire Si P est de torsion, alors son ordre de torsion est inférieur à N. Point de départ : pour tout k 1, N, on a k 2 ĥ(p ) = kp, O ĥ(kp ) = [K Q] 1 kp, O σ, [K Q] σ K C car kp, O p 0 pour p idéal premier, par définition.
93 Points «proches» sur le tore E( K v ) Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit v une place archimédienne. On a vu que E( K v ) C/(Z + τ v Z) pour un certain τ v C. Pour tout P E( K v ), notons z v (P ) = x v (P ) + y v (P )τ v son image dans C/(Z + τ v Z). Si 0 x(p Q), y(p Q) 1 24, alors : où J v = max(ln( j E v, 1)). P, Q v J v,
94 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Si kp O pour tout k 1, n K, Il existe k, l n K pour toute place v archimédienne : tels kp, lp v J v 288
95 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Figure: Exemple avec {(x, y) C 2 y 2 = x 3 + x} C/(Z + iz) (n K = 1). y x
96 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Figure: Exemple avec {(x, y) C 2 y 2 = x 3 + x} C/(Z + iz) (n K = 1). y x
97 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Figure: Exemple avec {(x, y) C 2 y 2 = x 3 + x} C/(Z + iz) (n K = 1). y x
98 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Si kp O pour tout k 1, n K, Il existe k, l n K pour toute place v archimédienne : tels kp, lp v J v 288
99 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Si kp O pour tout k 1, n K, Il existe k, l n K pour toute place v archimédienne : tels Alors : kp, lp v J v 288 ĥ((k l)p ) 1 n v kp, lp v n K v MK
100 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (1/2) Soit E = {kp 1 k 24 2n K (M + 1)} E(K). Si kp O pour tout k 1, n K, Il existe k, l n K pour toute place v archimédienne : tels Alors : kp, lp v J v 288 ĥ((k l)p ) 1 n v kp, lp v n K v MK 1 288
101 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (2/2) On a : ĥ((k l)p ) 1 288
102 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (2/2) On a : ĥ((k l)p ) Or ĥ((k l)p ) 4 (2 242n K )ĥ(p ), donc ĥ(p ) > 0.
103 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Démonstration du théorème de Hindry-Silverman (2/2) On a : ĥ((k l)p ) Or ĥ((k l)p ) 4 (2 242n K )ĥ(p ), donc ĥ(p ) > 0. Corollaire Si P est de torsion, alors son ordre de torsion est inférieur à 2 24 n K.
104 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Théorème On a : card ({P E(K) ĥ(p ) A/n K}) n K ln(n K ), avec A = 1/
105 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Théorème On a : card ({P E(K) ĥ(p ) A/n K}) n K ln(n K ), avec A = 1/ Corollaire 1 On a card(e(k) tors ) n K ln(n K ).
106 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Théorème On a : card ({P E(K) ĥ(p ) A/n K}) n K ln(n K ), avec A = 1/ Corollaire 1 On a card(e(k) tors ) n K ln(n K ). Corollaire 2 Pour tout P E(K) d ordre infini, on a : ĥ(p ) n 3 K (ln(n K)) 2.
107 Plan Introduction Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer 1 Introduction 2 Généralités 3 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer
108 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Laurent (1979), W. (2015) Supposons que Z End(E). Pour tout point P E( K) d ordre infini, de degré relatif D = [K(P ) K], on a : où c K n 20 K si HRG. ĥ(p ) c K D 3 (ln (4D)) (ln ) ln (4D)
109 Relèvements de Frobenius Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit E/K à multiplications complexes par O F (c est-à-dire End(E) O F, où F est un corps quadratique imaginaire), ayant bonne réduction partout, et tel que F K.
110 Relèvements de Frobenius Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit E/K à multiplications complexes par O F (c est-à-dire End(E) O F, où F est un corps quadratique imaginaire), ayant bonne réduction partout, et tel que F K. Prenons P E(K) d ordre infini.
111 Relèvements de Frobenius Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit E/K à multiplications complexes par O F (c est-à-dire End(E) O F, où F est un corps quadratique imaginaire), ayant bonne réduction partout, et tel que F K. Prenons P E(K) d ordre infini. Soit s 3, et soit Π s = {p 1,..., p r } l ensemble des nombres premiers qui se décomposent complètement dans K.
112 Relèvements de Frobenius Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit E/K à multiplications complexes par O F (c est-à-dire End(E) O F, où F est un corps quadratique imaginaire), ayant bonne réduction partout, et tel que F K. Prenons P E(K) d ordre infini. Soit s 3, et soit Π s = {p 1,..., p r } l ensemble des nombres premiers qui se décomposent complètement dans K. Relèvements de Frobenius Supposons que K contient F. Pour tout p i Π s, soit p i p i fixé ; alors (x, y) mod p i (x p i, y p i ) mod p i se relève en F pi E E.
113 Relèvements de Frobenius Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Soit E/K à multiplications complexes par O F (c est-à-dire End(E) O F, où F est un corps quadratique imaginaire), ayant bonne réduction partout, et tel que F K. Prenons P E(K) d ordre infini. Soit s 3, et soit Π s = {p 1,..., p r } l ensemble des nombres premiers qui se décomposent complètement dans K. Relèvements de Frobenius Supposons que K contient F. Pour tout p i Π s, soit p i p i fixé ; alors (x, y) mod p i (x p i, y p i ) mod p i se relève en F pi E E. On pose p 0 = 1 et F 1 = Id.
114 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)),
115 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) + O, O 0 i,j r (F pi + F pj )(P), O ).
116 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) + O, O 0 i,j r (F pi + F pj )(P), O ).
117 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) + O, O 0 i,j r n K (p i + p j )ĥ(p )).
118 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) + O, O 0 i,j r n K (p i + p j )ĥ(p )).
119 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) n K (p i +p j )ĥ(p )). 0 i,j r
120 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On pose : L = r i=0 m i ((F pi (P)) (O)), Par le théorème de l indice de Hodge : 0 L, L = m i m j ( F pi (P), F pj (P) n K (p i +p j )ĥ(p )). 0 i,j r On a donc r 2n K ( m i ) i=0 j=0 r m j p j ĥ(p ) m i m j F pi (P), F pj (P) 0 i,j r
121 Contributions aux places finies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a, en conservant les notations précédentes, 0 i,j r i j v M 0 K r m i m j F pi (P), F pj (P) v [K Q]m 0 m i ln(p i ). i=1
122 Contributions aux places finies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a, en conservant les notations précédentes, 0 i,j r i j v M 0 K r m i m j F pi (P), F pj (P) v [K Q]m 0 m i ln(p i ). Esquisse : si p divise p i, on montre que F pi (P), P p > 0. i=1
123 Contributions aux places finies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a, en conservant les notations précédentes, 0 i,j r i j v M 0 K r m i m j F pi (P), F pj (P) v [K Q]m 0 m i ln(p i ). Esquisse : si p divise p i, on montre que F pi (P), P p > 0. Si P O mod p : rien à dire ; i=1
124 Contributions aux places finies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a, en conservant les notations précédentes, 0 i,j r i j v M 0 K r m i m j F pi (P), F pj (P) v [K Q]m 0 m i ln(p i ). Esquisse : si p divise p i, on montre que F pi (P), P p > 0. Si P O mod p : rien à dire ; Sinon, comme P E(K), sa réduction est dans Ẽ(F p i ), et ses coordonnées sont fixées par l automorphisme de Frobenius. i=1
125 Contributions aux places finies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a, en conservant les notations précédentes, 0 i,j r i j v M 0 K r m i m j F pi (P), F pj (P) v [K Q]m 0 m i ln(p i ). Esquisse : si p divise p i, on montre que F pi (P), P p > 0. Si P O mod p : rien à dire ; Sinon, comme P E(K), sa réduction est dans Ẽ(F p i ), et ses coordonnées sont fixées par l automorphisme de Frobenius. Sinon, on utilise F pi (P), F pj (P) p 0. i=1
126 Contribution aux places infinies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Lemme d Elkies Soit v une place archimédienne, et soient P 1,..., P N des points distincts de E(K). Alors, P i, P j v N ( 1 1 i j N 2 ln(n) J v ).
127 Contribution aux places infinies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Lemme d Elkies Soit v une place archimédienne, et soient P 1,..., P N des points distincts de E(K). Alors, P i, P j v N ( 1 1 i j N 2 ln(n) J v ). Esquisse : Imaginons que P i, P i v soit bien défini. Alors : 1 i j N P i, P j v = N 2 λ v(p Q)dµ(P )dµ(q) P E(C) 2 i, P i v N i=1
128 Contribution aux places infinies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Lemme d Elkies Soit v une place archimédienne, et soient P 1,..., P N des points distincts de E(K). Alors, P i, P j v N ( 1 1 i j N 2 ln(n) J v ). Esquisse : Imaginons que P i, P i v soit bien défini. Alors : 1 i j N P i, P j v = N 2 λ v(p Q)dµ(P )dµ(q) P E(C) 2 i, P i v = N 2 χ λ v (χ) ˆµ(χ) 2 N i=1 P i, P i v N i=1
129 Contribution aux places infinies Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Lemme d Elkies «pondéré» Soit v une place archimédienne, et soient P 1,..., P N des points distincts de E(K). Soient m 1,..., m N des réels strictement positifs qui vérifient 3 N m 2 i < 2D ( N m i ) i=1 i=1 2. Alors, 1 i j N N m i m j P i, P i v m 2 i i=1 1 2 ln 2 ( N 2 m i ) i=1 N m 2 i i= J v
130 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2n K ( m i ) i=0 j=0 r m j p j ĥ(p ) m i m j F pi (P), F pj (P) 0 i,j r
131 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2n K ( m i ) r m j p j ĥ(p ) i=0 j=0 v M 0 K 1 i,j r i j + n v m i m j F pi (P), F pj (P) v v MK 1 i j r m i m j F pi (P), F pj (P) v
132 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2n K ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) n K m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 + n v m i m j F pi (P), F pj (P) v v MK 1 i j r
133 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2n K ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) n K m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 n K r i=0 m 2 1 ( r i 2 ln i=0 2 2 m i ) r m 2 i i=0 2 + h(j E)
134 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2n K ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) n K m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 n K r i=0 m 2 1 ( r i 2 ln i=0 2 2 m i ) r m 2 i i=0 2 + h(j E)
135 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2 n K ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) n K m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 n K r m 2 1 ( r i i=0 2 ln i=0 2 2 m i ) r m 2 i i=0 2 + h(j E)
136 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2 ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 r i=0 m 2 1 ( r i 2 ln i=0 2 2 m i ) r m 2 i i=0 2 + h(j E)
137 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, r 2 ( m i ) r r m j p j ĥ(p ) m 0 m i ln(p i ) i=0 j=0 i=1 r i=0 m 2 1 ( r i 2 ln i=0 2 2 m i ) r m 2 i i=0 On pose m i = 1 pour i > 0, et m 0 = r. 2 + h(j E)
138 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, 2 (m 0 + r) m 0 + r j=0 p j r ĥ(p ) m 0 ln(p i ) i=1 (m r) ( 1 2 ln (2(m 0 + r) 2 m r 2) + h(j E) ) On pose m i = 1 pour i > 0, et m 0 = r.
139 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer Pour résumer, 2 (m 0 + r) m 0 + r j=0 p j r ĥ(p ) m 0 ln(p i ) i=1 (m r) ( 1 2 ln (2(m 0 + r) 2 m r 2) + h(j E) ) On pose m i = 1 pour i > 0, et m 0 = r. On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ln(r) quand r.
140 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : ĥ(p ) r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ln(r) quand r. r m 0 ln(p i ) (m r) ( 1 2 ln (2 (m 0+r) 2 m i= r 2) + h(j E) ) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0
141 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : ĥ(p ) r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ln(r) quand r. r m 0 ln(p i ) (m r) ( 1 2 ln (2 (m 0+r) 2 m i= r 2) + h(j E) ) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0
142 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ĥ(p ) ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ln(r) quand r. r 3/2 ln(r) (m r) ( 1 2 ln (2 (m 0+r) 2 m 2 0 +r 2) + h(j E) ) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0
143 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ĥ(p ) ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ln(r) quand r. r 3/2 ln(r) (m r) ( 1 2 ln (2 (m 0+r) 2 m 2 0 +r 2) + h(j E) ) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0
144 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et ĥ(p ) r i=1 p i r2 2 r 3/2 ln(r) r ln(r) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0 ln(r) quand r.
145 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et ĥ(p ) r i=1 p i r2 2 r 3/2 ln(r) r ln(r) 2 (m 0 + r) (m 0 + r p j ) j=0 ln(r) quand r.
146 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ĥ(p ) r3/2 ln(r) r ln(r) r 3 ln(r) ln(r) quand r.
147 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ĥ(p ) 1 r 3/2 ln(r) quand r.
148 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ĥ(p ) ( ln(s) 3/2 ) s ln(r) quand r.
149 Cardinal du sous-groupe de torsion Problème de Lehmer On a : r i=1 ln(p i ) r ln(r), et r i=1 p i r2 2 ĥ(p ) ( ln(s) 3/2 ) s ln(r) quand r. En adaptant la démonstration à P E ( K) avec E aux bonnes propriétés, et avec un bon choix de s (Chebotarev explicite), on obtient ĥ(p ) c(k,ε) [K(P ) K] 1+ε.
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