LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D

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1 LES PROBABILITÉS POUR LES OPTIONS B, C ET D PRÉPARATION À L AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L UNIVERSITÉ RENNES 1 1 ANNÉE 2009/ ESPACE PROBABILISÉ - VARIABLE ALÉATOIRE 1.1 ESPACE PROBABILISÉ Lors d u lacer de dé, o peut raisoablemet coveir que les 2 seules issues possibles sot "Pile" ou "Face". L esemble des résultats possibles de l expériece, ou uivers, est alors Ω = {Pile, Face}. Si la pièce est équilibrée, o peut affecter à cet esemble ue probabilité P telle que pour chaque ω Ω, appelé évetualité, P({ω}) = 1/2. Afi de redre compte de situatios plus complexes, o doit cosidérer le cas où l uivers Ω associé à l expériece est pas déombrable. Pour des raisos techiques, o est alors cotrait d associer à Ω ue tribu de parties F, et le couple (Ω,F ) s appelle espace probabilisable. Défiie à partir de l uivers, la tribu F représete les issues possibles de l expériece ; u élémet de F est doc aturellemet appelé évéemet. Si P est ue probabilité sur (Ω,F ), i.e. ue mesure de masse 1 sur (Ω, F ), le triplet (Ω, F, P) s appelle espace probabilisé. De maière implicite, o se place das toute la suite sur l espace probabilisé (Ω,F,P). Les propriétés ci-dessous sot des coséqueces immédiates de la défiitio d ue probabilité : P(/0) = 0 ; P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), pour 2 évéemets A,B [EGALITÉ DE POINCARÉ] ; P(A) = 1 P(A c ) pour u évéemet A ; P(A) P(B) et P(B \ A) = P(B) P(A) pour 2 évéemets A,B tels que A B ; P ( A ) P(A ), pour ue suite d évéemets (A ) [INÉGALITÉ DE BOOLE]. 1.2 VARIABLE ALÉATOIRE ET LOI Si l o veut décrire la durée de vie d ue ampoule par exemple, le cocept d espace probabilisé est pas adapté. O itroduit alors la otio de variable aléatoire : Défiitio. O appelle variable aléatoire à valeurs das R d ue applicatio mesurable de (Ω,F ) das (R d,b(r d )). O utilise l abbréviatio v.a., ou v.a.r. pour désiger ue v.a. à valeurs réelles (d = 1). Pour A B(R d ), o peut aisi calculer la probabilité de l évéemet X 1 (A), traditioellemet oté {X A} ; il s agit doc de calculer P({X A}). Cette otatio est écourtée e P(X A). Si X est ue v.a.r. associée à la durée de vie de l ampoule, cela sigifie que pour chaque évetualité ω, X(ω), appelé réalisatio de X, est la durée de vie pour la cofiguratio ω de l uivers. Il faut oter que l uivers Ω a chagé de rôle : il e représete plus l esemble des résultats possibles de l expériece (qui est ici R + ), mais plutôt des coditios expérimetales, qui mèet à telle ou telle valeur pour la durée de vie de l ampoule. Das le cadre de cette expériece, il est pas possible de décrire l applicatio X. O se toure alors vers ue otio plus faible, celle de loi (de probabilité). Défiitio. Soit X ue v.a. à valeurs das R d. La loi de X, otée P X, est la mesure image de P par X. Plus cocrètemet, P X est défiie par : P X (A) = P X 1 (A) = P(X A), A B(R d ). Si X = (X 1,,X d ) t est ue v.a. à valeurs das R d, la loi de chaque coordoée X i s appelle loi margiale et o appelle quelquefois loi joite la loi de X, afi de lui doer u statut à part. O otera à ce sujet les faits suivats : La coaissace de la loi joite permet de retrouver les lois margiales (cf [O, p. 12]), car, par exemple, pour chaque A B(R), P(X 1 A) = P(X A 1 ), si A 1 = {x R d : x 1 A} ; La coaissace des lois margiales e permet pas -sas autre iformatio- de retrouver la loi joite ; 1. Beoît Cadre - ENS Cacha Bretage 1

2 La loi d ue permutatio des coordoées de X est e gééral pas la loi de X, et ceci même si les lois margiales sot idetiques. Pour illustrer simultaémet les 2 derières assertios, o peut cosidérer le cotre-exemple suivat. Sur l espace probabilisé (Ω,P), où Ω = {a,b,c} et P est la probabilité uiforme sur Ω i.e. P({ω}) = 1/3 pour tout ω Ω, o ote X 1 et X 2 les v.a. telles que X 1 (a) = 0, X 1 (b) = 1, X 1 (c) = 2, X 2 (a) = 2, X 2 (b) = 0 et X 2 (c) = 1. Alors, X 1 et X 2 suivet la même loi uiforme sur {1,2,3} i.e. P(X 1 = i) = P(X 2 = i) = 1/3 pour i {1,2,3}, mais la loi de (X 1,X 2 ) est différete de celle de (X 2,X 1 ). Les exemples de lois usuelles sot absolumet cotiues par rapport à la mesure de Lebesgue sur R d ou la mesure de comptage sur Z d, que l o appelle das ce cotexte des mesures domiates. Le théorème de Rado-Nikodym [O, p. 6] ous doe alors ue foctio f X (otatio adoptée pour toute la suite), appelée desité de la loi de X par rapport à la mesure domiate ν, telle que f X est ν-p.p. positive et f X dν = 1. Exemples de lois de v.a.r. [FF1, chap. 7 et 14]. LOI UNIFORME U (D), avec D N fii. C est la loi sur D, dot la desité par rapport à la mesure de comptage sur D vaut 1/card(D). LOI BINOMIALE B(, p), avec N et p [0,1]. C est la loi sur {0,,}, dot la desité par rapport à la mesure de comptage sur {0,,} vaut C k p k (1 p) k. Cas particulier : LOI DE BERNOULLI B(p) = B(1, p). LOI DE POISSON P(λ), avec λ 0. C est la loi sur N, dot la desité par rapport à la mesure de comptage sur N vaut exp( λ)λ k /k!. Pour ue v.a. X à valeurs das N telle que P(X = k) 0 k N, o a l équivalece (cf [FF1, p. 76]) : λ 0 avec X P(λ) P(X = )/P(X = 1) = λ/ 1. LOI GÉOMÉTRIQUE G (p), avec p [0,1]. C est la loi sur N, dot la desité par rapport à la mesure de comptage sur N vaut p(1 p) k 1. LOI UNIFORME U ([a,b]), avec a < b. C est la loi sur [a,b], dot la desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur [a,b] vaut 1/(b a). LOI NORMALE, OU GAUSSIENNE N (m,σ 2 ), avec m R et σ > 0. C est la loi sur R, dot la desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R vaut 1/(σ 2π)exp ( (x m) 2 /(2σ 2 )). LOI GAMMA γ(a,λ), avec a,λ > 0. C est la loi sur R +, dot la desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R + vaut (λ/γ (a))exp( λx)(λx) a 1, avec Γ (a) = 0 exp( x)xa 1 dx. Cas particulier : LOI EXPONENTIELLE E (λ) = γ(1,λ). Pour ue v.a. X à valeurs das R + qui possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue, o a l équivalece (cf [FF1, p. 184]) : λ > 0 avec X de loi E (λ) P(X > x + y) = P(X > x)p(x > y) x,y > THÉORÈME DE TRANSFERT - ESPÉRANCE ET VARIANCE Reveos au problème de la modélisatio de la durée de vie d ue ampoule, représetée par ue v.a.r. X. Das le cadre d u modèle, o a fixé ue loi de probabilité suivie par X, par exemple ue loi E (λ). O ote alors X E (λ). Ue caractéristique importate de l ampoule est sa durée de vie moyee. Il s agit d ue moyee, podérée par la loi de probabilité suivie par X. Le théorème de trasfert permet de formaliser ce poit de vue : Théorème de trasfert [FF1, p.130]. Soit X ue v.a. à valeurs das R d, et g ue foctio boréliee de R d das R. Alors, si l ue des expressios Ω g XdP ou R d gdp X existe, il e est de même pour l autre et l o a : Ω g X dp = gdp X. R d Pour simplifier, o ote g(x) = g X et, sous les coditios d itégrabilité adéquates : E(g(X)) = g(x) dp. Ω E particulier, E(1 A (X)) = P(X A) pour tout borélie A. Par ailleurs, o a g(x) L 1 (P) si, et seulemet si g L 1 (P X ). Das les 2 cas fodametaux (discret et à desité), la formule de trasfert s éoce aisi : E(g(X)) = g(x) f (x)dx, si P X(dx) = f (x)dx; R d = k Z d g(k)p(x = k), si P X = k Z d P(X = k)δ k. 2

3 Ce théorème est aussi l occasio de défiir des quatités fodametales, les momet, variace, covariace et efi matrice de variace : MOMENT D ORDRE p DE LA V.A.R. X. Si X L p (P), so momet d ordre p est E(X p ). L espérace, ou moyee de X est E(X) ; VARIANCE DE LA V.A.R. X. Si X L 2 (P), la variace de X est : var(x) = E ( (X E(X)) 2) = E(X 2 ) ( E(X) ) 2. Elle représete l écart des valeurs de X par rapport à sa moyee. Noter que E(X) existe car L 2 (P) L 1 (P), et que si a R : var(ax) = a 2 var(x). Efi, E(X) est, pour le critère L 2 (P), la meilleure approximatio de X par ue costate. COVARIANCE ENTRE LES V.A.R. X ET Y. Si X,Y L 2 (P), la covariace etre X et Y est : cov(x,y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Elle joue u rôle crucial das la otio d idépedace (cf. Sectio 3). O otera e particulier les relatios cov(x, X) = var(x), var(x +Y ) = var(x) + var(y ) cov(x,y ) et cov(x + Z,Y ) = cov(x,y ) + cov(z,y ) si Z est ue v.a.r. de carré itégrable. ESPÉRANCE ET MATRICE DE VARIANCE D UN VECTEUR ALÉATOIRE. U vecteur aléatoire est rie d autre qu ue v.a. X = (X 1,,X d ) t à valeurs das R d. Sous les coditios d itégrabilité adéquates, so espérace E(X) est le vecteur des espéraces des coordoées, et sa matrice de variace est défiie par V(X) = (cov(x i,x j )) i, j. Noter que V(X) est ue matrice symétrique positive. Quelques calculs d espéraces et variaces. Si X B(, p), E(X) = p et var(x) = p(1 p) ; Si X P(λ), E(X) = var(x) = λ ; Si X N (m,σ 2 ), E(X) = m et var(x) = σ 2 ; Si X γ(a,λ), E(X) = a/λ et var(x) = a/λ 2 ; Si X G (p) avec p > 0, E(X) = 1/p et var(x) = (1 p)/p 2. Si l espérace et la variace e caractériset pas la loi d ue v.a., elles cotribuet éamois au cotrôle des déviatios de la v.a. E effet, si X L 1 (P) est ue v.a.r., o a t > 0 : P( X t) E( X ) t [INÉGALITÉ DE MARKOV]. Si X L 2 (P), o peut estimer plus précisémmet la probabilité de déviatio de X par rapport à sa moyee : t > 0 : P( X E(X) t) var(x) t 2 [INÉGALITÉ DE BIENAYMÉ-TCHEBITCHEV]. 2. CALCUL DE LOIS : FONCTION DE RÉPARTITION, FONCTION CARACTÉRISTIQUE ET TRANSFORMÉE DE LAPLACE 2.1 LE THÉORÈME DE LA LOI IMAGE Si X possède ue desité f sur R par rapport à la mesure de Lebesgue, et si ϕ : R R est u difféomorphisme de classe C 1, o a d après le théorème de trasfert, pour tout borélie A : P(ϕ(X) A) = 1 A (ϕ(x))p X (dx) = 1 A (ϕ(x)) f (x)dx = f ϕ 1 (y) ( ϕ 1) (y) dy. A R R Aisi, ϕ(x) possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue qui est f ϕ 1 (y) (ϕ 1 ) (y). O peut gééraliser ce résultat : Théorème de la loi image. [FF1, p. 195] Soit X ue v.a. à valeurs das u ouvert U de R d, et ϕ : U V u difféomorphisme de classe C 1. Si X possède ue desité f, alors Y = ϕ(x) possède ue desité, qui vaut : f ϕ 1 Jac ϕ 1 1 V. Le calcul de la loi image se ramèe doc das ce cas à u calcul d itégrale multiple. 3

4 Exemples. Si X est ue v.a.r. de desité f par rapport à la mesure de Lebesgue, la v.a.r. 1/X possède ue desité, qui est (1/x 2 ) f (1/x). E particulier, si X suit la loi de Cauchy, i.e. X est à desité f X (x) = 1/(π(1 + x 2 )) par rapport à la mesure de Lebesgue sur R, alors 1/X X ; Si m R et σ > 0, N (m,σ 2 ) = m + σ N (0,1) au ses suivat : X m + σy, si X N (m,σ 2 ) et Y N (0,1). 2.2 LA FONCTION DE RÉPARTITION Note prélimiaire. Nous e parleros ici que de foctio de répartitio pour ue v.a.r., car elle est essetiellemet utilisée das ce cotexte. Néamois, o peut, au prix de quelques complicatios techiques supplémetaires, défiir cette otio pour des v.a. à valeurs das R d (cf [FF1, p. 142]). Défiitio. O appelle foctio de répartitio (f.r.) toute foctio F : R [0,1] croissate, cotiue à droite, et telle que lim F = 0, lim + F = 1. Pour ue v.a.r. X, la foctio F X défiie par F X (x) = P(X x) est ue f.r., appelée foctio de répartitio de X (la otatio F X est adoptée pour toute la suite). Si X possède ue desité f par rapport à la mesure de Lebesgue, la dérivée de F X vaut f ; autremet dit, F X caractérise la loi, représetée ici par f. Ce phéomèe se gééralise à tous les types de lois, comme le motre le résultat suivat : Théorème [FF1, p ]. A toute foctio de répartitio correspod ue et ue seule mesure de probabilité sur (R, B(R)). E d autres termes, 2 v.a.r. ot même loi si, et seulemet si, elles ot même f.r. O souhaite calculer la loi de X 2, avec X N (0,1). Ce calcul e peut pas se faire e utilisat le théorème de la loi image. E revache, l usage de la f.r. permet de trouver la loi de X 2 : la dérivée de la f.r. de X 2 est la desité de la loi γ(1/2,1/2). Doc X 2 γ(1/2,1/2). Géérer ue réalisatio d ue v.a.r. Supposos que l o veuille géérer ue réalisatio d ue v.a.r. X. Pour simplifier, o suppose que F X est strictemet croissate (cf [O, p. 29] pour le cas gééral). O sait géérer ue réalisatio u d ue v.a.r. U U [0,1] (géérateur aléatoire). E remarquat que FX 1 (U) X car F FX 1 (U) = F X, o e déduit que FX 1 (u) est ue réalisatio de X. 2.3 LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE Défiitio. Soit X ue v.a. à valeurs das R d. O appelle foctio caractéristique (f.c.) de X, et o ote ϕ X, la trasformé de Fourier de P X. Autremet dit, pour tout t R d : ϕ X (t) = ˆP X (t) = E ( exp(i < t,x >) ). Ue f.c. est défiie et cotiue partout, et borée par 1. De plus, si X est ue v.a. à valeurs das R d, o a pour tout A M d,k et b R k, ϕ AX+b (t) = exp(i < b,t >)ϕ X (A t), t R k. Théorème d uicité [FF1, p. 166] ou [O, p. 201]. La foctio caractéristique d ue v.a. à valeurs das R d caractérise sa loi. E d autres termes, 2 v.a. à valeurs das R d ot même loi si, et seulemet si, elles ot même f.c. La loi de X est symétrique (i.e. X X) si, et seulemet si, ϕ X e pred que des valeurs réelles. Efi, toute combiaiso covexe de f.c. est ue f.c. Il est doc essetiel de calculer les f.c. des lois usuelles. Faisos-le pour X N (0,1). Comme la loi N (0,1) est symétrique, ϕ X (t) = E ( cos(tx) ) = 1 2π R cos(tx)e x2 /2 dx. O motre alors que ϕ X (t) = tϕ X(t). Comme ϕ X (0) = 1, o obtiet ϕ X (t) = e t2 /2. E utilisat l égalité N (m,σ 2 ) = m + σn (0,1) (cf sectio 2.1), o e déduit la f.c. de la loi N (m,σ 2 ). 4

5 Foctios caractéristiques de lois classiques [FF1, chap. 7 et 14]. LOI BINOMIALE B(, p), avec N et p [0,1]. Sa f.c. vaut (1 p + pe it ). LOI DE POISSON P(λ), avec λ > 0. Sa f.c. vaut exp(λ(e it 1)). LOI GÉOMÉTRIQUE G (p), avec p [0,1]. Sa f.c. vaut pe it /(1 (1 p)e it ). LOI EXPONENTIELLE E (λ), avec λ > 0. Sa f.c. vaut λ/(λ it). LOI NORMALE, OU GAUSSIENNE N (m,σ 2 ), avec m R et σ > 0. Sa f.c. vaut exp(itm σ 2 t 2 /2). LOI GAMMA γ(a,λ), avec a,λ > 0. Sa f.c. vaut (λ/(λ it)) a. Passos maiteat e revue d autres propriétés essetielles de la f.c. Das ce qui suit, o cosidère le cas d ue v.a.r. Le cas des v.a. à valeurs das R d se traite de maière similaire, au prix de quelques complicatios techiques supplémetaires. Théorème. Soit X ue v.a.r. (1). [O, p. 203]. Si ϕ X est Lebesgue-itégrable, alors X possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue, qui vaut e chaque x : 1 ϕ X (t)exp( ixt)dt. 2π R (2). [O, p. 208]. Si X L (P), alors ϕ C et pour chaque l = 1,, : ϕ (l) X (0) = il E(X l ). (3). [O, p. 208]. Si ϕ X est k fois dérivable e 0 (k 2), alors X L 2[k/2] (P). De plus, pour chaque l = 1,,2[k/2] : ϕ (l) X (0) = il E(X l ). (4). [O, p. 214]. Si X L (P) pour tout, et si limsup X L (P)/ = 1/R <, alors ϕ X est développable e série etière au voisiage de tout réel, le rayo de covergece état supérieur à R/e. D après (2), o a doc le développemet : (it) ϕ X (t) = l ] l 0 l! E(X l ), t R e, R [. e Difficile, das cette sectio, de e pas évoquer la otio de vecteur (aléatoire) gaussie. La otio de v.a. gaussiee est essetielle e probabilités (cf sectio 6.2). Défiitio. O dit que X est u vecteur gaussie de R d, et o ote X N d (m,σ), si il existe m R d et Σ M d (R) symétrique positive tels que la foctio caractéristique ϕ X de X s écrit : ( ϕ X (u) = exp i < u,m > 1 ) 2 ut Σu, u R d. Remarques [DD1, p ]. Cette défiitio iclut otammet le cas où X suit ue loi de Dirac e m (cas Σ = 0) ; Si X N d (m,σ), alors E(X) = m et V(X) = (cov(x i,x j )) i, j=1,,d = Σ. E particulier, u vecteur gaussie admet u momet d ordre 2 et, de maière plus géérale, des momets de tous ordres ; U vecteur gaussie admet ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue si, et seulemet si sa matrice de variace est iversible. 2.2 LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE Défiitio. Soit X ue v.a. à valeurs das R d. O appelle trasformée de Laplace de X, et o ote L X, la foctio défiie par pour chaque t R d tel que l itégrale soit défiie. L X (t) = E ( exp(< t,x >) ), La trasformée de Laplace jouit de propriétés très similaires à la f.c. E particulier, elle caractérise la loi et les momets d ue v.a. peuvet être déduits de dérivatios successives de la trasformée de Laplace. So icovéiet majeur est qu elle est e gééral pas défiie sur tout R d, cotrairemet à la f.c. Pour ue v.a. X à valeurs das R d, o ote I X = {t R d : L X (t) est défiie}. Propositio [DD1, p. 73]. Soit X ue v.a. à valeurs das R d. Alors, l esemble I X est covexe, et la foctio L X est de classe C das l itérieur de I X. De plus, la foctio ll X est covexe sur I X ; elle est même strictemet covexe si X e suit pas ue loi de Dirac. 5

6 Si la trasformée de Laplace de X est défiie sur u ouvert coteat 0, X possède des momets de tous ordres. E ce ses, l utilisatio de la trasformée de Laplace pour caractériser ue loi est doc mois pratique que l utilisatio de la f.c. E fait, l itérêt de la trasformée de Laplace e probabilités est à rechercher ailleurs. Si X est ue v.a.r., la trasformée de Cramer de X (cf [DD1, p. 78]) est la foctio h X défiie par : h X (u) = sup t I X ( ut llx (t) ). Théorème [DD1, p. 79]. Soit X ue v.a.r. telle que l itérieur de I X soit u voisiage de 0. Alors, h X (t) > 0 si t E(X), et : P(X t) exp( h X (t)) pour t > E(X) et P(X t) exp( h X (t)) pour t < E(X). Ces iégalités amélioret cosidérablemet l iégalité de Markov. Cepedat, elles e sot valables que pour des lois admettat des momets de tous ordres. Nous reviedros sur l utilisatio de la trasformée de Laplace pour ue somme de v.a.r. das la sectio LA NOTION D INDÉPENDANCE 3.1 INDÉPENDANCE D ÉVÉNEMENTS ET DE CLASSES D ÉVÉNEMENTS Le cocept d idépedace est l ue des spécificités majeures des probabilités par rapport à l aalyse. Défiitio. O dit que des évéemets A 1,,A sot idépedats si pour tout I {1,,}, o a ( ) P A i = P(A i ). i I i I Tout évéemet est doc idépedat de Ω et /0. De plus, si A et B sot idépedats, il e va de même pour A et B c. O trouvera bie d autres propriétés de cette ature das [FF1, p. 58]. Exemple. Le modèle probabiliste associé à l expériece aléatoire de 2 lacers idépedats d u dé équilibré est (Ω, P), avec Ω = {1,,6} 2 et P({ω}) = 1/6 pour chaque évetualité ω. Les évéemets A : "le 1er lacer doe u ombre pair" et B : "le 2d lacer doe u ombre impair" sot idépedats. Il est importat de oter que l idépedace des évéemets 2 à 2 est pas suffisate : si C est l évéemet "les 2 lacers doet des ombres de même parité", alors les 3 évéemets sot idépedats 2 à 2, mais A,B,C e costitue pas u système d évéemets idépedats, car P(A B C) = 0 P(A)P(B)P(C). Le cocept d idépedace s exporte aturellemet à ue suite ifiie. Défiitio. Soit (A ) 1 ue suite d évéemets. O dit que les évéemets A 1,A 2, sot idépedats si toute suite fiie extraite de la suite (A ) 1 est costituée d évéemets idépedats. Pour les classes d évéemets, la otio d idépedace est défiie comme suit : Défiitio. Les classes d évéemets C 1,C 2, sot dites idépedates si, pour tous A 1 C 1,A 2 C 2,, les évéemets A 1,A 2, sot idépedats. E particulier, cette défiitio gééralise la otio d idépedace de tribus. Le résultat ci-dessous, sur lequel o serait teté de jeter u coup d oeil distrait, est d utilité costate das la maipulatio des v.a. idépedates : Théorème [FF1, p. 60]. Soiet π 1,π 2, des classes d évéemets qui sot idépedates. Si, pour chaque i 1, π i est stable par itersectio fiie, les tribus σ(π 1 ),σ(π 2 ), sot idépedates. 6

7 3.2 INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES L idée est la suivate : deux v.a. sot idépedates si les tribus qu elles egedret le sot. O se permet das ce qui suit d aborder d emblée le cas d ue suite évetuellemet ifiie de v.a. Cela suppose que l o puisse défiir ue otio de mesure produit sur (R d ) N par exemple, ce que ous admettros ici. La costructio d ue telle probabilité fait l objet du théorème de prologemet de Kolmogorov, qui e figure pas au programme de l agrégatio. Défiitio. Les v.a. (X ) 1 à valeurs das R d sot idépedates si les tribus σ(x 1 ),σ(x 2 ), sot idépedates. O e déduit par u argumet habituel de desité que les v.a. (X ) 1 à valeurs das R d sot idépedates si, seulemet si, pour tout I N fii et toute famille de foctios mesurables borées (ou positives) (g i ) i I défiies sur R d et à valeurs das R (cf [O, p. 42]) : ( ) E g i (X i ) i I = E ( g i (X i ) ). i I L idépedace etre v.a. est ue propriété de la loi. Cosidéros le cas de 2 v.a. (extesio immédiate au cas de v.a.). Les v.a. X 1 et X 2 sot idépedates (o otera cette propriété X 1 X 2 ) si, et seulemet si, P (X1,X 2 ) = P X1 P X2 (cf [FF1, p. 132] ou [O, p. 41]). Selo la ature de la loi du couple (discrète ou à desité), o e déduit les critères d idépedace suivats (cf [O, p. 43]) : Si i, X i possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R d, o a : X 1 X 2 f (X1,X 2 )(x 1,x 2 ) = f X1 (x 1 ) f X2 (x 2 ), pour Lebesgue-presque tout (x 1,x 2 ); Si i, X i est à valeurs das u esemble discret D, o a : X 1 X 2 P(X 1 = x 1,X 2 = x 2 ) = P(X 1 = x 1 )P(X 2 = x 2 ), x 1,x 2 D. Remarquer ici l usage de la virgule, qui remplace le symbole " ". Combié au théorème de la loi image, o peut utiliser ces caractérisatios de l idépedace pour e déduire facilemet la loi de certaies trasformatios de v.a. A titre d exemple, si X Y avec X Y N (0,1), X/Y suit la loi de Cauchy. Par ailleurs, le derier théorème de la sectio 3.1 motre que des v.a.r. X 1 et X 2 sot idépedates dès que pour chaque s,t R : P(X 1 s,x 2 t) = P(X 1 s)p(x 2 t). Cette propriété s éted facilemet au cas d ue suite de v.a.r. De maière plus géérale, o a u critère d idépedace etre v.a. qui est relativemet simple : Théorème. Soit (X i ) i 1 ue suite de v.a. à valeurs das R d, et pour chaque i 1, π i B(R d ) ue classe stable par itersectio fiie et telle que σ(π i ) = B(R d ). Si les classes d évéemets X1 1 (π 1 ),X2 1 (π 2 ), sot idépedates, alors les v.a. (X i ) i 1 sot idépedates. Quelques exemples icotourables. Soiet X Y, avec X N (0,1) et Y N (0,1). Notos (R,Θ) la représetatio polaire du vecteur aléatoire (X,Y ) t. Alors, R Θ, R 2 E (1/2) et Θ U [0,2π] (cf [FF1, p. 198]). Soiet X Y, avec X E (λ 1 ) et Y E (λ 2 ). Alors, if(x,y ) E (λ 1 + λ 2 ). [Utilisatio de la f.r.] Soiet X 1,,X des v.a.r. idépedates et de même loi, de desité f par rapport à la mesure de Lebesgue, et de f.r. F. O ote σ ue permutatio aléatoire de {1,,} (e fait la seule p.s., car P(X i = X j ) = 0 si i j) telle que X σ(1) X σ(). Alors, la v.a. X σ(k) admet ue desité, qui vaut (cf [O, p. 79]) : f (x)c k 1 1 F(x)k 1 ( 1 F(x) ) k, x R. La suite X σ(1),,x σ() est la statistique d ordre associée à la suite X 1,,X. Soiet X, Y des v.a.r. avec X Y. O suppose que le vecteur aléatoire M = (X,Y ) t possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue, et que cette desité est strictemet positive e tout poit. Alors, o a l équivalece : σ > 0, tel que X Y N (0,σ 2 ) la desité de M est radiale (cf [FF1, p. 157]). Soiet (X ) 1 des v.a.r. idépedates et de même loi. O ote G = card{i {1,,} : X i 1} et D = G. Soit N P(k), avec N (X ) 1. Alors, D N P(kP(X 1 > 1)), G N P(kP(X 1 1)), et surtout D N G N. [Ue curiosité!] 7

8 Metioos efi u derier résultat importat (coséquece du théorème de Fubii) : Théorème [FF1, p. 132]. Soiet X 1,,X des v.a.r. itégrables. Alors : E [ ] X i = E[X i ]. 3.3 INDÉPENDANCE ET FONCTION CARACTÉRISTIQUE Comme la loi d ue v.a. est caractérisée par sa f.c., il est aturel de voir l idépedace, qui est ue propriété de loi, via ue propriété de la f.c. Théorème [O, p.205]. Soiet X 1,,X des v.a.r. Elles sot idépedates si, et seulemet si, ϕ (X1,,X )(t 1,,t ) = ϕ X1 (t 1 ),ϕ X (t ), t 1,,t R. O motre facilemet avec ce critère que si X et Y sot des v.a.r. avec X Y et X Y N (0,1), alors, (X + Y )/ 2 et (X Y )/ 2 sot idépedates et de même loi N (0,1). Si X et Y sot des v.a.r. idépedates et de carrés itégrables, cov(x,y ) = 0. Mais la réciproque est e gééral fausse (predre X N (0,1) et Y = X 2 ). Les 2 résultats qui suivet établisset des réciproques, das des cotextes particuliers (leurs preuves utiliset la f.c.) : Théorème. [O, p. 225]. Soiet X,Y des v.a.r. borées, i.e. il existe C > 0 tel que P( X C) = P( Y C) = 1. Alors, X Y cov(x k,y l ) = 0, k,l N. [O, p. 252]. Soit X = (X 1,,X d ) t u vecteur gaussie de R d. Alors, les composates de X sot des v.a.r. idépedates V(X) est diagoale. Si X est pas u vecteur gaussie, le derier résultat est faux. E effet, soiet Z ε, avec Z N (0,1) et P(ε = ±1) = 1/2. Si Y = εz N (0,1), le vecteur aléatoire (Z,Y ) t est pas gaussie. Or, cov(z,y ) = 0, mais Z et Y e sot pas idépedates. Citos efi u derier résultat remarquable, quoique aecdotique, dot la preuve utilise la f.c. La seule référece pour la preuve ([O, p. 280]) est beaucoup trop logue, et peut être cosidérablemet simplifiée (cf fascicule d exercice de M. Gradiaru pour le Master 1). Théorème [O, p. 280]. Soiet X et Y des v.a.r. idépedates et de même loi de carré itégrable. Alors, X et Y suivet des lois gaussiees X +Y X Y. Argumets de la preuve. O peut supposer que les 2 v.a. sot cetrées (i.e. d espérace ulle) et réduites (i.e. de variace 1). Si X et Y suivet ue loi gaussiee, u calcul de f.c. motre que X +Y X Y. Supposos maiteat que X +Y X Y, et otos ϕ la f.c. de X. Alors, ϕ(2t) = ϕ(t) 3 ϕ( t). Puisque ϕ(0) = 1, o e déduit par l absurde que ϕ e s aulle jamais. Par ailleurs, comme X L 2 (P), o sait (derier théorème de la sectio 2.1) que ϕ(t) = 1 t 2 /2 + o(t 2 ) au voisiage de 0. Par suite, si ψ(t) = ϕ(t)/ϕ( t), o a ψ(t) = 1 + o(t 2 ) au voisiage de 0. Comme ψ(2t) = ψ(t) 2 et ψ(0) = 1, cela etraîe que ψ 1, i.e. ϕ(t) = ϕ( t). Aisi, ϕ est à valeurs réelles positives et vérifie ϕ(t) = ϕ(t/2) 4. Comme ϕ est de classe C 2 avec ϕ(0) = 1, ϕ (0) = 0 et ϕ (0) = 1, o e déduit que ϕ(t) = e t2 / LE LEMME DE BOREL-CANTELLI Pour ue suite d évéemets (A ), o ote : lim supa = k A k et limifa = A k. L esemble limsup A cotiet les évetualités qui sot das ue ifiité des A, alors que limif A est l esemble des évetualités qui, à partir d u certai rag, sot das tous les A. Du coup, limif A limsup A. k 8

9 Lemme de Borel-Catelli [O, p. 51]. Soit (A ) ue suite d évéemets. (i) P(A ) < P(limsup A ) = 0; (ii) Si les évéemets (A ) sot idépedats, P(A ) = P(limsup A ) = 1. Das le cadre du lemme de Borel-Catelli, il est difficile de e pas évoquer les 2 applicatios qui suivet. Jeu de pile ou face. O joue à pile ou face ue ifiité de fois. L évéemet "N piles cosécutifs" apparaît ue ifiité de fois p.s. d après le lemme de Borel-Catelli. Marche aléatoire sur Z. Soiet (X i ) i 1 des v.a. idépedates et de même loi telle que P(X 1 = 1) = 1 P(X 1 = 1) = p. O pose S 0 = 0 et S = X X pour 1. La suite de v.a. (S ) 1, ou processus stochastique, est la marche aléatoire sur Z issue de 0. D après la formule de Stirlig, P(S 2 = 0) = C 2 p (1 p) 1 π ( 4p(1 p) ). O s itéresse au ombre de retour de (S ) 0 e 0 (cf [D, p. 188]). Cas p 1/2. D après le lemme de Borel-Catelli, P(limsup {S = 0}) = 0 ; Cas p = 1/2. Pour m 0 et k 1, otos A m,k = {S m = 0, S 0 m + k}. Par idépedace des accroissemets S m et S S m si m : P(A m,k ) = P(S m = 0, S S m 0, m + k) = P(S m = 0)P(S S m 0, m + k) = P(S m = 0)P(S j 0, j k). Ue évetualité est das au plus k évéemets (A m,k ) m 0, doc m 0 1 Am,k k. Par suite, k P(A m,k ) P(S m = 0)P(S j 0, j k). m 0 m 0 Comme m 0 P(S m = 0) =, o a forcémet P(S j 0, j k) = 0, et ceci pour tout k 1. O e déduit que P(limif {S 0}) = 0, soit P(limsup {S = 0}) = LA LOI DU 0 1 DE KOLMOGOROV Pour ue suite de tribus (A ) 1, o ote A la tribu asymptotique qui lui est associée, i.e. A = 1σ ( A k ). U évéemet fait partie de la tribu asymptotique s il est das chaque tribu σ( k A k ). Loi du 0-1 de Kolmogorov [O, p. 50]. Si les tribus (A ) 1 sot idépedates, alors A A : P(A) {0,1}. Cosidéros maiteat le cas particulier suivat : soit (X ) 1 ue suite de v.a. idépedates à valeurs das R, et A k = σ(x k ). La tribu asymptotique vaut : A = 1σ(X k, k ). Les v.a. limsup X et limif X, qui sot A -mesurable, sot doc p.s. costates. De plus, {(X ) 1 coverge das R} A. De ouveau, comme les (X ) 1 sot idépedates, cet évéemet est de probabilité 0 ou 1 d après la loi du 0-1. De même, { X coverge} A est de probabilité 0 ou 1. Séries etières à coefficiets aléatoires. E poursuivat das le même cotexte, cosidéros la série etière à coefficiets aléatoires 1 X z. So rayo de covergece R, qui est ue v.a. A -mesurable d après la règle d Hadamard, est doc p.s. costat. Si X 1 L 1 (P), R 1 p.s. car, par covergece mootoe : k E( X z ) E( X 1 ) z. 1 1 De plus, si P(X 1 = 0) < 1, il existe α > 0 tel que P( X α) =. Comme les v.a. (X ) sot idépedates, o e déduit du lemme de Borel-Catelli que P(limsup { X α}) = 1. Du coup, presque sûremet, il existe ue suite ( k ) k telle que X k α pour chaque k. O utilise maiteat la règle d Hadamard : R 1 = limsup X 1/ limα 1/ k = 1, k 9

10 pour e déduire que R 1. Sous les hypothèses metioées jusqu ici, le rayo de covergece de la série etière à coefficiets aléatoires vaut 1. O peut même motrer qu il y a pas covergece sur le bord du disque de covergece. 4. SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES 4.1 QUELQUES EXEMPLES DE SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES Soiet X 1,,X des v.a.r. idépedates, et M leur somme : M = X X. Si les v.a. sot de carré itégrables, alors, du fait de leur idépedace, cov(x i,x j ) = 0 si i j et doc : var(m ) = var(x i ). L utilisatio de la f.c. permet souvet de trouver facilemet la loi de la somme de v.a. idépedates, dot les lois fot partie d ue même famille. Das les cas stadards, o peut aisi retrouver : Si i, X i B( i, p), M B( i, p) ; Si i, X i P(λ i ), M P( λ i) ; Si i, X i N (m i,σi 2), M N ( m i, σ i 2) ; Si i, X i γ(a i,λ), M γ( a i,λ). Idetité de Wald [FF2, p. 23]. Soiet (X i ) i 1 des v.a. idépedates et de même loi itégrable, et S ue v.a. itégrable à valeurs das N telle que pour chaque k 1 : {S = k} σ(x 1,,X k ) (temps d arrêt). Alors, ( S ) E i = E(X 1 )E(S). X Ruie du joueur. Soiet (ξ i ) i 1 des v.a.r. idépedates, et de même loi de Rademacher, i.e. P(ξ 1 = ±1) = 1/2. O ote G 0 = 0 et pour 1, G = ξ ξ. Comme (ξ 1 + 1)/2 B(1/2), o a (G + )/2 B(,1/2). La suite de v.a. (G ) 0, appelée marche aléatoire simple symétrique sur Z, modélise le gai d u joueur qui affrote ue baque. E effet, G représete le gai d u joueur à l issue de la -ième partie de pile ou face, selo la règle : il met e jeu a euros au jeu de pile ou face ; il perd 1 euro à chaque pile, et il e gage 1 à chaque face ; s il arrive à b euros (cesé représeter la fortue totale de la baque), il a gagé le jeu, et s il arrive à a euro, c est ue défaite. La v.a. T = if{ 0 : G { a,b}} représete le uméro de la derière partie du jeu. Toute la questio est de savoir si P(T < ) = 1, i.e. le jeu s arrête-t-il? Das l affirmative, il faut calculer la loi de la v.a. G T, afi de répodre à la questio : quelle est la probabilité que le joueur gage? La répose à la 1ère questio est affirmative, car pour chaque k Z, P(G = k) 0 lorsque (formule de Stirlig) et pour chaque 1, {T = } {G { a + 1,,b 1}}. Ue autre preuve sera apportée avec le théorème cetral limite (cf sectio 6.2). Noter que, e particulier, P(G T { a,b}) = 1. Pour la 2ème questio, o remarque que pour tous,k 1, {if(t,) = k} σ(ξ 1,,ξ k ). Doc, d après l idetité de Wald, E(G if(,t ) ) = 0 pour chaque 1. Comme G if(,t ) G T p.s. et G if(,t ) max(a,b), o e déduit avec le théorème de Lebesgue que E(G T ) = 0. Par suite, P(G T = a) = b/(a + b). 4.2 UTILISATION DE LA TRANSFORMÉE DE LAPLACE POUR LES SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES Les résultats ci-dessous prologet le théorème pricipal de la sectio 2.2. Ce sot aussi des exemples d utilisatio de la trasformée de Laplace e probabilités. Théorème de grades déviatios [DD2, p. 174]. Soiet (X i ) i 1 des v.a.r. idépedates et de même loi, et S = X X. O suppose que l itérieur de I X1 est u voisiage de 0. Soit ε > 0. Alors, il existe a > 0 tel que pour chaque 1 : ( S P E(X 1) ε ) e a. La moyee de Césarro S / coverge doc -e u ses que ous préciseros (cf sectio 5)- vers E(X 1 ) à vitesse expoetielle, lorsque. Théorème de Cheroff [DD2, p. 174]. Soiet (X i ) i 1 des v.a.r. idépedates et de même loi, et S = X X. O suppose que l itérieur de I X1 est u voisiage de 0. Notos Ψ la dérivée de ll X1, α = if{ψ(t),t I X1 } et β = if{ψ(t),t I X1 }. Alors, 10

11 (i) (1/)lP(S t) h X1 (t) si β > t > E(X 1 ) ; (ii) (1/)lP(S t) h X1 (t) si α < t < E(X 1 ). Comme h X1 (t) > 0 si t E(X 1 ), le théorème de Cheroff ous doe des évaluatios très fies de la déviatio de la moyee S / par rapport à sa moyee E(X 1 ). Si l o compare au résultat doé par l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, o a pour chaque ε > 0, e otat t = ε + E(X 1 ) : P(S t) P( S E(X 1 ) ε) var(x 1) ε 2. O peut doc juste motrer que limsup (1/)lP(S t) 0. Sas commetaire LOI DE LA SOMME DE VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES ET PRODUIT DE CONVOLUTION O rappelle que le produit de covolutio de 2 mesures de probabilité µ et ν sur R d, oté µ ν, est défii par la propriété : f d(µ ν) = f (x + y) µ ν(dx,dy), Rd R d Rd pour chaque foctio f : R d R boréliee positive (cf [O, p. 63]). Noter que µ ν est ue probabilité. Par ailleurs, l opératio est commutative, et la mesure de Dirac e 0 est élémet eutre. Pour 2 v.a. X et Y idépedates et à valeurs das R d, o vérifie que ˆP X+Y = ϕ X+Y = ϕ X ϕ Y = ˆP X ˆP Y. Par ailleurs, cette derière quatité est aussi la trasformée de Fourier de la loi P X P Y. Par ijectivité, o e déduit le résultat : Théorème [O, p. 63]. Soiet X, Y des v.a. idépedates à valeurs das R d. Alors, P X+Y = P X P Y. E particulier, si la loi de X est diffuse, i.e. P X e charge pas les poits, alors la loi de X +Y est diffuse. E effet, pour chaque t R d, d après le théorème de Fubii-Toelli : P(X +Y = t) = {t}d(p X P Y ) = R d X({t y})p Y (dy) = 0. R d La loi de la somme de 2 v.a. idépedates état représetée par le produit de covolutio des lois, o peut doc écrire, d après les résultats de la sectio 4.1, P(λ 1 ) P(λ 2 ) = P(λ 1 + λ 2 ), N (m 1,σ 2 1 ) N (m 2,σ 2 2 ) = N (m 1 + m 2,σ σ 2 2 ), B( 1, p) B( 2, p) = B( 1 + 2, p)... E pratique, le produit de covolutio etre mesures e se prête pas très bie au calcul de la loi de la somme de v.a. idépedates. O lui préférera souvet u calcul basé sur la otio de f.c., sauf évetuellemet lorsque les v.a. possèdet des desités par rapport à la mesure de Lebesgue, ou si elles ot des lois discrètes. Das ces cas, le produit de covolutio pred ue forme simple, par exemple : Théorème [O, p. 64]. Soiet X et Y des v.a. idépedates à valeurs das R d. Si elles possèdet chacue ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue, alors X +Y possède ue desité par rapport à la mesure de Lebesgue, et f X+Y (z) = f X f Y (z) = X(x) f Y (z x)dx = R d R d Y (x) f X (z x)dx. 11

12 5. CONVERGENCES STOCHASTIQUES 5.1 LES DIFFÉRENTES NOTIONS DE CONVERGENCE Défiitio. Soiet (X ), X des v.a. à valeurs das R d, et. ue orme sur R d. Alors, p.s. (1). (X ) coverge p.s. vers X si P(X X) = 1. O ote X X ; P (2). (X ) coverge e probabilité vers X si P( X X ε) 0, ε > 0. O ote X X ; (3). (X ) coverge das L p (P) vers X si E( X X p L ) 0. O ote X p X ; (4). (X ) coverge e loi vers X si R d f dp X R d f dp X, f : R d R cotiue borée. O ote X L X. O trouvera das [FF1, chap. 16] les relatios etre ces différets modes de covergece, aisi que des cotre-exemples. Metioos seulemet que les faits suivats : La covergece p.s. et la covergece L p (P) etraîet la covergece e probabilité, et cette derière etraîe la covergece e loi ; Ue suite coverge e probabilité si, et seulemet si, de toute suite d etiers, o peut extraire ue sous-suite pour laquelle la covergece a lieu p.s. Cotrairemet aux autres otios de covergece, la covergece p.s. est doc pas associée à ue métrique ; Si ue suite coverge e loi vers ue v.a. dégéérée, i.e. ue v.a. de loi de Dirac, alors la covergece a lieu e probabilité. Par ailleurs, les covergeces p.s., e probabilité et e loi sot stables sous l actio des foctios cotiues : si X X p.s. (resp. e loi, e probabilité), et si f est ue foctio cotiue, alors f (X ) f (X) p.s. (resp. e loi, e probabilité). E revache, la covergece L p (P) e respecte pas ce pricipe. Das les espaces de probabilité, le théorème de Lebesgue admet ue versio sous des coditios plus faibles : Théorème de Lebesgue. Soiet (X ) et X des v.a. à valeurs das R d telles que X P X et sup X L 1 (P). Alors, X L 1 X. 5.2 LA CONVERGENCE PRESQUE SÛRE La covergece p.s., état pas associée à ue métrique, est sas doute la plus obscure. Pour illustrer ceci, cosidéros ue suite P d évéemets idépedats (A ), tel que P(A ) = 1/. O a 1 A 0, mais (1A ) e coverge pas p.s. E effet, pour chaque ε ]0,1], la série de terme gééral P(1 A ε) diverge et doc P(limsup {1 A ε}) = 1 d après le lemme de Borel-Catelli. E clair, P-presque toute évetualité est das ue ifiité des évéemets ({1 A ε}), ce qui motre que (1 A ) e coverge pas p.s. vers 0. Le lemme de Borel-Catelli ous doe u critère simple de covergece p.s. Ce critère ous motre que, d ue certaie maière, la covergece p.s. correspod à ue covergece e probabilité "suffisammet rapide". Théorème [FF1, p. 211]. Soiet (X ), X des v.a. à valeurs das R d. Alors, X p.s. X si, pour chaque ε > 0, la série de terme gééral P( X X ε) est covergete. Si (A ) est ue suite d évéemets tels que P(A ) = 1/ 2, o a doc 1 A p.s. 0. Par ailleurs, das le cotexte du théorème de grades déviatios de la sectio 4.1, o a S / p.s. E(X 1 ). C est ue forme "forte" de la loi des grads ombres, la covergece ayat lieu p.s. Cepedat, le cotexte est assez restrictif, puisque X 1 admet des momets de tous ordres. 5.3 LA CONVERGENCE EN PROBABILITÉ O peut doer ue forme "faible" à la loi des grads ombres, mais sous des coditios plus géérales. Soit (X i ) i 1 ue suite de v.a.r. idépedates et de même loi, et S = X X. Si X 1 L 2 (P), alors d après l iégalité de Bieaymé-Tchebychev, o a pour chaque ε > 0 : ( S P E(X 1) ε Par coséquet, S / P E(X 1 ) : c est la loi faible des grads ombres. ) var(s /) ε 2 = var(x 1) ε 2. 12

13 Ue preuve probabiliste du théorème de Weierstrass. Poursuivos avec les mêmes otatios. Soit f : [0,1] R ue foctio cotiue. Fixos x [0,1], et supposos que X 1 B(x). Puisque E(X 1 ) = x et f est cotiue borée, E( f (S /)) f (x) d après le théorème de Lebesgue et la loi faible des grads ombres. Comme S B(,x), o a ( ( S )) E f = k=0 ( k C k f x ) k (1 x) k, c est-à-dire que f a été approchée poctuellemet par ue suite de polyômes. O peut motrer avec u peu plus de travail que la covergece est e fait uiforme (cf [FF1, p. 234]) : cette méthode costitue ue démostratio efficace du théorème de Weierstrass. 5.4 LA CONVERGENCE EN LOI Tout d abord, le cas où les v.a. sot discrètes : Théorème [O, p. 317]. Soiet (X ), X des v.a. à valeurs das Z d. Alors : P(X = k) P(X = k) k Z d X L X. Il peut être utile de disposer de la versio de la covergece e loi ci-dessous lorsque l o a affaire à des suites de v.a. qui sot défiies par des sup ou des if, car le calcul de la f.r. est souvet simple : Théorème [O, p. 318]. Soiet (X ), X des v.a.r. Alors, F X F X e tout poit de cotiuité de F X X L X. Soit (X i ) i 1 ue suite de v.a. idépedates et de même loi E (1). O ote M = sup{x i, i {1,,}}. Pour chaque x R : P(M l x) = ( F X1 (x + l) ) = (1 1 e x) exp( e x ). Comme la foctio limite est ue f.r., elle est associée à ue loi (o peut oter aussi que cette loi est à desité par rapport à la mesure de Lebesgue). La suite (M l) coverge doc e loi. Le résultat ci-dessous est particulièremet adapté à des suites de v.a. qui sot défiies par des sommes de v.a. idépedates : Théorème de P. Lévy [FF1, p. 219]. Soiet (X ), X des v.a. à valeurs das R d. Alors : ϕ X ϕ X poctuellemet X L X. U simple calcul de f.c. motre alors que B(, p ) L P(λ), si p λ. Noter ici l abus de otatio cosistat à remplacer les v.a. par leurs lois. Plus gééralemet, u phéomèe aléatoire qui peut se représeter comme ue superpositio d évéemets rares et idépedats suit approximativemet ue loi de Poisso : Théorème des évéemets rares [O, p. 321]. Soit, pour chaque, {A, j, j M } ue famille fiie d évéemets idépedats. O pose p, j = P(A, j ), et o ote S = j M 1 A, j. O suppose que M, max j M p, j 0 et j M p, j λ. Alors, X L P(λ). Noter l usage de la otatio hybride "X L P(λ)". Le "problème des recotres" costitue u autre exemple où la loi de Poisso iterviet e tat que limite d ue suite de v.a. La preuve présetée das [FF1, p. 259] utilise le théorème de P. Lévy, et doc la f.c. 5.5 CONVERGENCE DE SOMMES ET DE PRODUITS DE VARIABLES ALÉATOIRES Soiet (X ), (Y ), X et Y des v.a.r. Si X X et Y Y p.s. ou e probabilité, alors la suite de vecteurs aléatoires (X,Y ) t coverge vers (X,Y ) t selo le même mode de covergece. Comme ces 2 formes de covergece sot stables sous l actio des foctios cotiues, o peut e déduire des résultats du type X +Y X +Y p.s. ou e probabilité. Cepedat, ce est plus vrai avec la covergece e loi : le fait que les suites (X ) et (Y ) coverget e loi vers X et Y etraîe pas que la suite des vecteurs aléatoires (X,Y ) t coverge (sauf si X Y ) : la raiso pricipale est que la coaissace 13

14 des lois margiales de X et Y e permet e gééral pas de retrouver la loi du vecteur aléatoire (X,Y ) t. Heureusemet, des résultats partiels existet quad même das ce ses : Lemme de Slutsky [O, p. 347]. Soiet (X ), (Y ), X des v.a.r et y R. Si X L X et Y X Y L Xy. P y, alors X +Y L X + y et A titre d exemple, cosidéros le cas d ue suite de v.a.r. (X ) telle que, pour ue suite croissate (v ), o ait v X L X. P Observos que X 0. Soit maiteat f : R R ue foctio boréliee ulle e 0, et dérivable e 0. Alors, d après le lemme de Slutsky : v f (X ) = f (X ) L v X f (0)X. X Cette remarque porte le om de δ-méthode. 6. LA LOI FORTE DES GRANDS NOMBRES ET LE THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE 6.1 LA LOI FORTE DES GRANDS NOMBRES Aisi que ous l avos déjà vu das les sectios 5.2 et 5.3, le titre de "loi des grads ombres" est e gééral coféré à u théorème limite portat sur ue moyee de Césarro de v.a. O y ajoute le qualificatif de "fort" lorsque la covergece à lieu p.s. (cf sectio 5.2). Il existe de ombreuses formes de la loi forte des grads ombres (cf [O, chap. 10]). Nous metioos ici la forme la plus habituelle. Doréavat, pour ue suite (X i ) i 1 de v.a., o ote X = 1 sa moyee de Césarro, ou moyee empirique, si l o cosidère, par abus, X 1,,X comme des observatios d u phéomèe aléatoire. Loi forte des grads ombres de Kolmogorov-Khitchie [O, p. 113]. Soit (X i ) i 1 ue suite de v.a. à valeurs das R d, supposées idépedates et de même loi. Les 2 assertios suivates sot équivaletes : p.s. (i) il existe m R tel que X m ; (ii) X 1 L 1 (P). Si (ii) est vérifiée, m = E(X 1 ) et la covergece à lieu das L 1 (P). O retrouve e statistique ue applicatio importate de la loi forte des grads ombres. Supposos que l o ait observé ue réalisatio (x 1,,x ) de (X 1,,X ), i.e. pour ue évetualité ω, x i = X i (ω). Ue questio fodametale de la statistique est : commet retrouver la loi, supposée commue, des v.a. à partir des observatios x 1,,x? Placos-ous das le cas de v.a.r., afi de faire iterveir leur f.r. commue otée F. Si l o a aucue idée de la loi de ces v.a.r., o peut chercher à l estimer avec la foctio de répartitio empirique F, défiie pour chaque x R par : F (x) = 1 X i, 1 {Xi x}. La loi des grads ombres suggère que p.s. cette suite de foctios coverge vers F. E effet, d après le théorème de Kolmogorov- Khitchie, F (x) p.s. F(x). Cepedat, l esemble de probabilité ulle sur lequel cette covergece a pas lieu déped de x, et x est das u esemble o déombrable. O e peut doc pas coclure directemet à la covergece p.s. de F vers F, et ceci quelque soit le mode de covergece. C est l objet du résultat ci-dessous : Théorème de Gliveko-Catelli [0, p. 116]. Avec les otatios ci-dessus, o a : sup F (x) F(x) p.s. 0. x R Puisque la covergece poctuelle des f.r. est u critère de covergece des lois associées, o déduit du théorème de Gliveko- Catelli que : ( 1 ) L P δ Xi PX1 = 1. 14

15 C est la versio uidimesioelle du théorème fodametal de la Statistique. Test de Kolmogorov-Smirov. La statistique issue du théorème de Gliveko-Catelli, sup x R F (x) F(x), est libre, i.e. sa loi e déped pas de la loi de X 1 (cf [O, p. 119]). E effet, das le cas simple où F est iversible : sup x R F (x) F(x) = sup 1 x R 1 {F(Xi ) F(x)} F(x) = sup y [0,1] 1 1 {F(Xi ) y} y. Comme F(X 1 ) U [0,1] (cf sectio 2.2), la loi est libre : c est la loi de Kolmogorov-Smirov. Cette remarque est à l origie du test de Kolmogorov-Smirov : o choisit ue foctio F qui semble représetative de la loi des observatios ; si la statistique de Gliveko-Catelli, évaluée sur les observatios, est das ue zoe de forte probabilité pour la loi de Kolmogorov-Smirov, o décide que F est bie la f.r. des v.a. 6.2 LE THÉORÈME CENTRAL LIMITE Le théorème cetral limite viet e refort de la loi des grads ombres, e ce ses qu il e précise la vitesse de covergece. Comme pour la loi des grads ombres, o e trouve de ombreuses versios. Les preuves reposet le plus souvet sur le théorème de P. Lévy (cf sectio 5.4). Théorème cetral limite [O, p. 325]. Soit (X i ) i 1 ue suite de v.a. à valeurs das R d, supposées idépedates et de même loi de carré itégrable. Alors, ( X E(X 1 ) ) L Nd (0,V(X 1 )). Il est essetiel de compredre pourquoi ce théorème est "cetral" : sous réserve que les v.a. soiet de carré itégrables et idépedates, la loi de leur somme est proche d ue loi gaussiee. C est ce pricipe d ivariace qui cofère à ce théorème u caractère cetral. L autre appellatio de loi "ormale" pour désiger ue loi gaussiee est doc amplemet méritée! La loi limite état libre, les applicatios de ce théorème sot souvet de ature statistique, par exemple le théorème de Pearso (cf [O, p. 326]). Metioos ici d autres types d applicatios. Calcul approché d itégrales. O cherche ue valeur approchée de I = g(x) f (x)dx, Rd avec g, f : R d R de produit Lebesgue-itégrable, et f ue desité de probabilité. U géérateur aléatoire peut calculer ue réalisatio d ue suite de v.a. idépedates distribuées selo la desité f. Notos (X i ) i 1 les v.a. dot ces réalisatios sot issues. O peut doc calculer ue réalisatio de la moyee de Césarro : I = 1 La loi forte des grads ombres ous doe I p.s. E(g(X 1 )) = I. Si la réalisatio est das l esemble de probabilité 1 das laquelle cette covergece à lieu (ce à quoi o peut légitimemet s attedre...), o a aisi ue approximatio de I. Cepedat, ce résultat e ous doe aucue iformatio sur la précisio de l approximatio. Ici iterviet le théorème cetral limite. Supposos que g(x 1 ) L 2 (P). Alors, (I I) L N (0,var(g(X 1 ))). E utilisat la caractérisatio de la covergece e loi via la f.r. (cf sectio 5.4), cela ous doe, pour chaque x 0 : ( [ var(g(x1 )) var(g(x1 )) ]) P I I x,i + x 1 x e x2 /2 dx. 2π g(x i ). Choisissos pour x ue valeur de sorte que le terme de droite soit égal à α (proche de 1). L itervalle [ var(g(x1 )) var(g(x1 )) ] I x,i + x est u itervalle de cofiace asymptotique au iveau α pour la valeur de I, e ce ses que I a (asymptotiquemet) α chaces de se trouver das cet itervalle. L icovéiet majeur de cette méthode est que l itervalle déped de la valeur de var(g(x 1 )), qu o e sait a priori pas calculer. So avatage est que la taille de l itervalle de cofiace e déped pas de la dimesio. x 15

16 Ruie du joueur (suite de la sectio 4.1). Pour chaque, o a si s = max(a,b) : ( P(T = ) = P { G { a + 1,,b 1} }) P( G s ) ( G P s k ), k. Lorsque, le terme de droite ted vers P( N (0,1) s/ k). E faisat esuite tedre k vers, o obtiet P(T = ) = 0, i.e. p.s. le jeu a u ombre fii de tours. BIBLIOGRAPHIE [D] - R. Durrett (1996) - Probability : Theory ad Examples - Secod Editio, Duxbury Press. [DD1] - D. Dacuha-Castelle & M. Duflo (1994) - Probabilités et Statistiques, 1. Problèmes à temps fixe - 2ème éditio, Masso. [DD2] - D. Dacuha-Castelle & M. Duflo (1993) - Probabilités et Statistiques, 2. Problèmes à temps mobile - 2ème éditio, Masso. [FF1] - D. Foata & A. Fuchs (1998) - Calcul des probabilités, Cours, exercices et problèmes corrigés, Duod. [FF2] - D. Foata & A. Fuchs (2002) - Processus stochastiques - Processus de Poisso, chaîes de Markov et martigales, Cours, exercices et problèmes corrigés, Duod. [O] - J.-Y. Ouvrard (2000) - Probabilités 2, Cassii. 16