Chapitre X Programmation linéaire et méthode du simplexe

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1 Chapitre X Programmation linéaire et méthode du simplexe Notes de cours préparées par Anik Soulière avec l aide des documents de Julie Milot, Bruno Perron et Alain Tranchida. Modification par Marc-Élie Lapointe. L objectif du présent chapitre est de voir comment on peut résoudre des problèmes où on veut maximiser ou minimiser une fonction qui dépendant de plusieurs variables qui sont soumises à plusieurs contraintes. Le nom du domaine qui traite ce genre de problème est la recherche opérationnelle. Recherche opérationnelle : (aussi appelée aide à la décision) peut être définie comme l'ensemble des méthodes et techniques rationnelles orientées vers la recherche de la meilleure façon d'opérer des choix en vue d'aboutir au meilleur résultat possible. Optimisation : recherche du maximum (ou du minimum) d une fonction ainsi que des valeurs des variables qui maximisent (ou minimisent) la fonction. Exercices Où sont les maximums et minimums (absolus) de ces fonctions? Exemple 1 Exemple 2 Exemple y x x x x x 3 3 avec 0 4 une variable indépendante y 2 x avec 0 x 1 une variable indépendante, fonction linéaire (droite) z 20x130 x2avec x12 x2 20 2x1x2 22 x1 x2 12 x1 0, x2 0 deux variables indépendantes, fonction linéaire (plan) Programmation linéaire (ou optimisation linéaire) : branche des mathématiques qui s intéresse à l optimisation de fonctions linéaires comportant plusieurs variables indépendantes soumises à des contraintes pouvant être représentées à l aide d équations ou d inéquations linéaires. Fonction économique : fonction qui traduit ce que l on veut maximiser ou minimiser (très souvent de l argent, mais pas toujours). Variables de décision : variables indépendantes dont la fonction économique dépend. Chapitre X : programmation linéaire, page 1

2 Deux façons de résoudre un problème de programmation linéaire Méthode graphique Pour résoudre un problème de programmation linéaire simple ayant seulement 2 variables de décisions. Cela permet de visualiser le principe général de la programmation linéaire. Cette méthode est beaucoup trop longue et difficile, voire impossible, à visualiser s il y a plus de 2 variables. Méthode du simplexe Méthode algorithmique plus rapide pour résoudre les problèmes comportant un grand nombre de variables. Elle est généralement programmée et calculée à l ordinateur. Les étapes seront données plus loin. Rappel : Une fonction linéaire à plusieurs variables peut être traduit par une équation de la forme : y a1x 1 a2x2... anxn où y est la variable dépendante, a1, a2,..., a n sont des coefficients constants réels, x1, x2,..., x n sont des variables indépendantes. Exercices Parmi ces fonctions, indiquez lesquelles correspondent à une fonction linéaire? Question A: y x 3x x 3 x B: y 3 x C: 2 P x D: M sint cos t Question 2 A : y ln x B: P 4x 7y 3z 9 w C: P e x D: P 4 x 7y Question 3 A: y log x B: y x 5 C: P 3x 45x 0,78 x D: M xyz x 3 z Remarque : une fonction linéaire peut être représentée par une droite, un plan, un hyper-plan, etc. Chapitre X : programmation linéaire, page 2

3 Exemple 1 (par la méthode graphique) Le directeur d une manufacture de meubles décide de fabriquer deux nouveaux modèles de tables ; le modèle «régulier» et le modèle «chic». Le modèle «régulier» requière 1 heure de sciage, 2 heures d assemblage et 1 heure de finition. Le modèle «chic» nécessite 2 heures de sciage, 1 heure d assemblage et 1 heure de finition. La manufacture dispose quotidiennement de 20 heures à l atelier de sciage, de 22 heures à l atelier d assemblage et de 12 heures à l atelier de finition. Les profits que la compagnie peut réaliser pour chacun des modèles sont de 20$ pour le modèle «régulier» et de 30$ pour le modèle «chic». Le directeur désire déterminer le nombre de tables de chaque modèle qu il doit fabriquer par jour pour obtenir un profit maximal. Solution : ce problème est assez simple puisqu il ne contient que 2 variables de décisions. Nous allons utiliser la méthode graphique. Voici les étapes à suivre. 1. Variables : identifier les variables du problème. 2. Fonction économique : déterminer la fonction économique et indiquer s il faut la maximiser ou la minimiser. 3. Contraintes technologiques : définir les contraintes technologiques à l aide d inéquations linéaires. Ajouter des contraintes de non-négativité sur les variables. 4. Polygone de contraintes : représenter graphiquement les contraintes et le polygone de contraintes. x 2x 20 (sciage) 1 2 Droite frontière Truc pour la tracer : trouver 2 points D 1 : x12x2 20 x 0 x 10 x x (0,10) et (20,0) Choisir la bonne région. Truc : est-ce que (0,0) satisfait l inéquation? Donc (0,0) fait partie de la région Chapitre X : programmation linéaire, page 3

4 Théorème fondamental de la programmation linéaire Si la valeur optimale d une fonction économique d un problème de programmation linéaire existe, alors cette valeur est atteinte à au moins un des sommets du polygone convexe délimitant le domaine réalisable. Pourquoi c est vrai, en image : Nous allons donc trouver les sommets à l intersection des droites. Chapitre X : programmation linéaire, page 4

5 5. Sommets du polygone de contraintes : calculer les coordonnées des sommets du polygone de contrainte. Cela revient à trouver l intersection de chaque paire de droites. 6. Valeur de la fonction économique aux sommets. Point (x 1,x 2) A(0,10) B(4,8) C(10,2) D(11,0) E(0,0) P = 20x 1+30x 2 200$ 260$ 220$ 0$ 7. Conclusion : interpréter le résultat dans le contexte. Chapitre X : programmation linéaire, page 5

6 Méthode du simplexe Reprenons le même problème que dans le dernier exemple pour vérifier que nous arrivons à la même solution en appliquant la méthode du simplexe. Les trois premières étapes sont identiques à la méthode graphique. 1. Identifier les variables du problème. x : le nombre d unités du modèle régulier, 1 x 2 : le nombre d unités du modèle chic et P : le profit en dollars à maximiser. 2. Déterminer la fonction économique à maximiser. P 20x 30x Définir les contraintes à l aide d inéquations linéaires. Ne pas oublier les contraintes de non-négativité. La fonction économique et ses contraintes ainsi définies constituent la forme canonique du problème. x12 x2 20 2x1x2 22 x1 x2 12 x1 0, x Traduire toutes les inéquations en équations en ajoutant des variables d écart aux contraintes. La nouvelle formulation du problème est appelée forme standard. Forme canonique x12 x2 20 2x1x2 22 x1 x2 12 x1 0, x2 0 P 20x 30x 1 2 Forme standard x1 2 x2 e x1x2 22 x1 x x1 30 x2 P 0 e 1 : variable d écart de la contrainte 1, explication : ce qu il manque à pour atteindre Représenter le problème sous forme matricielle Chapitre X : programmation linéaire, page 6

7 «Méthode de Gauss modifiée» Déterminer la colonne du pivot. C est la colonne (sauf la dernière) dont l élément de la dernière ligne a la plus grande valeur. L idée : on va d abord travailler sur la colonne de la variable qui influence le plus le profit (nombre de tables chics, c'est-à-dire x 2) 7. Déterminer la ligne du pivot. Pour ce faire, diviser chaque élément de la dernière colonne (sauf le dernier élément) par les éléments correspondant de la colonne du pivot. La ligne où le résultat de la division est le plus petit sans être négatif est la ligne du pivot. L idée : si toutes les variables étaient = 0 sauf x 2, quelle ligne serait la plus contraignante pour x 2? C est la ligne du pivot. 8. Encadrer le pivot. Le pivot est l élément situé à l intersection de la colonne et de la ligne du pivot. 9. Annuler tous les éléments de la colonne du pivot sauf le pivot lui-même en faisant des opérations élémentaires de lignes de la forme a L b L L (ligne du pivot toujours en 2 e ) 0 i p i ligne du pivot où L i est une ligne où on veut annuler un élément de la colonne pivot, Lp est la ligne du pivot et a etb sont des constantes réelles positives. NE PAS PERMUTER DES LIGNES. Chapitre X : programmation linéaire, page 7

8 10. Répéter les étapes 6,7,8 et 9 jusqu à ce que tous les éléments de la dernière ligne soient négatifs ou nuls. 11. Encadrer les pivots, ce sont les éléments qui sont les seuls à être non nuls dans leur colonne. L idée : les variables dont la colonne n a pas de pivot sont des variables libres. L algorithme garantie qu en fixant ces variables libres = 0, la solution obtenue est la solution qui maximise P. 12. Rendre tous les pivots unitaires en multipliant leur ligne par une constante appropriée au besoin. Rendre le coefficient de la fonction économique à 1 en multipliant la dernière ligne par une constante appropriée. (Remarque : cette étape est facultative lorsqu on travaille à la main. Elle est utile lorsqu on programme l algorithme à l ordinateur.) 13. Déterminer la solution optimale. Pour ce faire, poser toutes les variables libres égales à 0. Les variables libres sont celles dont la colonne ne contient pas de pivot. (Si l étape 12 a été effectuée, la réponse se trouve dans la colonne de droite.) 14. Interpréter le résultat dans le contexte. Le profit maximal est atteint lorsque Avec cette solution, il reste Chapitre X : programmation linéaire, page 8

9 Procédure pour résoudre un problème de maximisation par la méthode du simplexe 1. Variables : identifier les variables du problème. 2. Fonction économique : déterminer la fonction économique et indiquer s il faut la maximiser ou la minimiser. 3. Contraintes technologiques : définir les contraintes technologiques à l aide d inéquations linéaires. Ajouter des contraintes de non-négativité sur les variables. 4. Forme standard : traduire toutes les inéquations en équations en ajoutant des variables d écart aux contraintes. La nouvelle formulation du problème est appelée forme standard. 5. Forme matricielle : représenter le problème sous forme matricielle 6. Déterminer la colonne du pivot. C est la colonne (sauf la dernière) dont l élément de la dernière ligne a la plus grande valeur. 7. Déterminer la ligne du pivot. Pour ce faire, diviser chaque élément de la dernière colonne (sauf de dernier élément) par les éléments correspondant de la colonne du pivot. La ligne où le résultat de la division est le plus petit sans être négatif est la ligne du pivot. 8. Encadrer le pivot. Le pivot est l élément situé à l intersection de la colonne et de la ligne du pivot. 9. Annuler tous les éléments de la colonne du pivot sauf le pivot lui-même en faisant des opérations élémentaires de lignes de la forme a L b L L 0 i p i 10. Répéter les étapes 6,7,8 et 9 jusqu à ce que tous les éléments de la dernière ligne soient négatifs ou nuls. 11. Encadrer les pivots, ce sont les éléments qui sont les seuls à être non nuls dans leur colonne. 12. (FACULTATIF)Rendre tous les pivots unitaires en multipliant leur ligne par une constante appropriée au besoin. Rendre le coefficient de la fonction économique à 1 en multipliant la dernière ligne par une constante appropriée. ligne du pivot 13. Déterminer la solution optimale. Pour ce faire, poser toutes les variables libres égales à 0. Les variables libres sont celles dont la colonne ne contient pas de pivot. 14. Interpréter le résultat dans le contexte. Le maximal est atteint lorsque Avec cette solution, il reste Chapitre X : programmation linéaire, page 9

10 Exercices pour pratiquer séparément les différentes étapes de la méthode du simplexe. Exercice 1 Problème : On cherche à maximiser z 8x1 12x2 9x3 soumise aux contraintes 4x1 4x2 x3 24 4x1 12x2 9x3 72 4x13x3 24 x1 0, x2 0, x3 0 Trouver la forme standard, poser le problème sous forme matricielle et trouver le premier pivot. Exercice 2 Problème : On cherche à maximiser z 3x13x 2soumise aux contraintes x14 x2 12 2x1x2 10 x1 0 x2 0 Trouver la forme standard, poser le problème sous forme matricielle et trouver le premier pivot. Chapitre X : programmation linéaire, page 10

11 Exercice 3 Voici la matrice finale d un problème à 2 variables de décision après avoir appliqué la méthode du simplexe. Trouver la solution optimale si les variables sont x 1 et x 2 et la fonction économique est z Exercice 4 Voici la matrice finale d un problème à 3 variables de décision après avoir appliqué la méthode du simplexe. Trouver la solution optimale si les variables sont x 1 x 2 et x 3 la fonction économique est z ,6667-0, ,333 0, ,167-0,167 0, ,333-3, Chapitre X : programmation linéaire, page 11

12 Exercice 5 Voici la matrice d un problème à 3 variables de décision. Décrivez la prochaine étape qui permettrait de poursuivre le problème jusqu à trouver la solution optimale si les variables sont x 1 x 2 et x 3 la fonction économique est z Chapitre X : programmation linéaire, page 12

13 Exercice complet sans contexte Particularité : tous les coefficients des variables de décision sont égaux. z 10x 10x 10x avec x1 x2 x3 480 x1 2x2 2x3 480 x 1 x 2 3x x1 0, x2 0, x3 0 Réponse : La solution optimale est atteinte à (160; 160; 0). Le profit est alors de 3 200$. Remarque: en faisant un choix de pivot différent, on peut trouver le même profit à (160; 80; 80) et (160; 96; 64). Chapitre X : programmation linéaire, page 13

14 EXERCICES SUR LA MÉTHODE DU SIMPLEXE (sans contextes) (extrait des notes d Alain Tranchida) 1. Maximiser z 3x1 3x2, sujette aux contraintes suivantes : a) Par la méthode graphique b) Par la méthode du simplexe. x14 x2 12 2x1x2 10 x1 0 x2 0 Résoudre les problèmes suivants par la méthode du simplexe : x1x2 13 5x12 x Maximiser z 5x1 8x2, sujette aux contraintes suivantes : 4x15x2 60 x1 0 x2 0 2x1x2 22 x1 2x Maximiser z 300x1 200x2, sujette aux contraintes : x 1 x 2 12 x1 0 x2 0 x14 x2 24 3x1x Maximiser z 24x1 60x2, sujette aux contraintes suivantes : x1 x2 9 x1 0 x2 0 3x1 3x2 2x3 240 x1 x2 2x Maximiser z 2x1 1,5 x2 x3, sujette aux contraintes : 3x1 x2 x3 120 x1, x2 et x3 0 RÉPONSES 1. Z=18 à (4,2) 2. Z=96 à (0,12) 3. Z=3400 à (10,2) 4. Z=396 à (4,5) 5. Z=130 à (20,60,0) Chapitre X : programmation linéaire, page 14

15 Liste d exercices conseillés Chapitre X Programmation linéaire et simplexe Les exercices surlignés sont une présélection pour faire un survol complet de la matière en peu d exercices. Je vous recommande de faire la présélection d abord, puis de compléter les autres exercices ensuite. Exercices tirés de : AMYOTTE, Luc. Introduction à l algèbre linéaire et à ses applications, Quatrième édition, ERPI, p. Chapitre Exercices Algorithme du simplexe (sans contexte) Voir p.14 des notes de cours # 1, 2, 3, 4, 5 X Modélisation : poser le problème (programme linéaire) Livre p.451 #1 a), 4, 5, 8 et 10. Résolution avec la méthode graphique Livre p.452 #11 a) Résolution avec la méthode du simplexe Livre p.452 #21, 22. Chapitre X : programmation linéaire, page 15