Signal 1 Signal et ondes progressives

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1 Signal Signal e ondes progressives Lycée Jules Viee - Grand Chenois - Physique-Chimie - TSI Conenu du programme officiel : Noions e conenus Eemples de signau, specre. Onde progressive dans le cas d une propagaion unidimensionnelle linéaire non dispersive. Célérié, reard emporel. Onde progressive sinusoïdale : déphasage, double périodicié spaiale e emporelle. Capaciés eigibles - Idenifier les grandeurs physiques correspondan à des signau acousiques, élecriques, élecromagnéiques. - Connaîre quelques ordres de grandeur de fréquences dans les domaines acousiques e élecromagnéiques. - Prévoir dans le cas d un onde progressive pure l évoluion emporelle à posiion fiée, e prévoir la forme à différens insans. - Éablir la relaion enre la fréquence, la longueur d onde e la célérié. - Mesurer la célérié, la longueur d onde e le déphasage dû à la propagaion d un phénomène ondulaoire. En gras les poins devan faire l obje d une approche epérimenale. Table des maières Ondes e signal. Les ondes Le signal Descripion d une onde progressive dans le cas unidimensionnel 2 2. Définiions Représenaions spaiales e emporelles Célérié e reard Passage d une représenaion à une aure L onde progressive sinusoïdale 5 3. Poin mahémaique : les foncions sin e cos Le signal sinusoïdal Specre d un signal Périodiciés spaiale e emporelle Transmission d un signal physique par une onde 9 Ondes e signal. Les ondes Sur la figure ci-conre, on observe une feuille qui ouche la surface de l eau. Localemen, au poin d impac, la haueur de l eau es perurbée. On consae que cee perurbaion se ransme depuis ce poin source sous la forme d un phénomène que l on nomme une onde. Définiion. Une onde es la propagaion d une modificaion des propriéés physiques d un milieu maériel ou immaériel engendrée par une acion locale. Cee propagaion s effecue à viesse finie déerminée par les caracérisiques du milieu. Fig. «Ronds» dans l eau : il s agi de la propagaion d une onde. - /9

2 Le phénomène ondulaoire nécessie donc une source e un milieu de propagaion. Un évenuel récepeur siué plus loin recevra l onde en un emps fini. Milieu de propagaion Source Onde Recepeur Eemple : Les ondes mécaniques : vagues, son, ondes sismiques... Les ondes élecromagnéiques : radio, lumière, UV... Les ondes élecriques....2 Le signal Définiion. Un signal physique correspond à la perurbaion porée par l onde en un poin donné de l espace. Le signal es ce qui es lu par le récepeur, placé en un poin donné de l espace. Eemple 2 : L onde radio pore le signal d une chanson. 2 Descripion d une onde progressive dans le cas unidimensionnel 2. Définiions Définiion. Un phénomène propagaif es di unidimensionnel lorsque la propagaion se fai dans une seule direcion de l espace. C es le cas des signau dans les câbles élecriques, dans les fibres opiques, les vagues dans les canau... Définiion. Une onde progressive es une perurbaion qui se rerouve à l idenique un peu plus loin un peu plus ard. Ce sera le cas des signau éudiés cee année. Ainsi, la propagaion ne de l onde ne modifie pas le conenu du signal. 2.2 Représenaions spaiales e emporelles Représenaion spaiale Epérience : Ébranlemen d une corde = _ = = 2 > Dans une représenaion spaiale, on regarde à un emps fié la perurbaion dans ou l espace. Eemple 3 : Une phoographie es une évoluion spaiale, à un insan donné, on regarde la disposiion des choses. 2/9

3 Représenaion emporelle Dans une représenaion emporelle, on regarde à un endroi fié la perurbaion sur oue sa durée. Eemple 4 : Dans l eemple de l ébranlemen de la corde, une représenaion emporelle serai représenée par le schéma ci-dessous. fié Eemple 5 : L évoluion d un piel à un endroi donné au cours d un film es une représenaion emporelle. Représenaion spaio-emporelle Au vu de ces deu représenaions, on consae qu une onde dépend de deu variables, le emps e la posiion. Cee représenaion spaio-emporelle es illusrée figure (a) (c) (b) (d) Fig. 2 Représenaion spaio-emporelle d une onde (à gauche). Les 4 figures de droies représenen l allure du signal suivan les coupes représenées par les ligne rouge du schéma de gauche. La figure (a) es la représenaion au emps = de la variaion spaiale de l onde, la figure (b) celle au emps = 3, la figure (c) es la représenaion emporelle du signal à la posiion = e la figure (d) es celle à la posiion = 3. Eemple 6 : Un film es la représenaions spaio-emporelle du piel (représenaion emporelle) e de la phoographie (représenaion spaiale). 2.3 Célérié e reard Epérience 2 : TP - Mesures de la célérié du son Lors du TP, on réalise l epérience schémaisée ci-dessous : un émeeur d ulrason envoie des salves mesurées par deu récepeurs siués à une disance L l un de l aure. Sur l oscilloscope, on visualise simulanémen les deu signau mesurés en foncion du emps. On observe une figure similaire au schéma ci-conre. Émeeur R R 2 L 3/9 τ R R 2

4 Le emps mesuré τ es le reard enre la récepion de l onde par le récepeur R e le récepeur R 2. Le reard d une onde correspond au emps nécessaire pour que le signal se propage. Définiion. On défini la célérié c d une onde comme sa viesse de propagaion. Elle s eprime en m/s. Dans l epérience du TP, la célérié correspond à la disance enre les deu récepeurs divisée par le emps nécessaire pour parcourir cee disance, on a donc c = L τ. Signal ondes élecromagnéiques dans le vide son dans l air à 2 C sous bar son dans les méau son dans l eau Célérié 3 8 m/s (viesse de la lumière) 34 m/s quelques km/s 5 m/s Tab. Quelques ordres de grandeurs de célériés à connaîre. Remarque : Comme le son se propage beaucoup plus vie dans les méau que dans l air, les Indiens d Amériques pouvaien aniciper l arrivée d un rain en écouan les rails. De même, une eplosion sera enendue beaucoup plus rapidemen sous la mer que dans l air. La célérié lie les évoluions spaiales e emporelles de l onde. Ce qui se passe en un poin donné à un emps donné es lié à ce qui s es passé à un poin précéden e à à un emps anérieur. Comme cela es représené figure 3, la célérié influe donc naurellemen sur la représenaion spaio-emporelle, e donc sur les représenaions spaiales e emporelles. (a) Célérié c =.5 m/s (b) Célérié c = m/s (c) Célérié c =.5 m/s Fig. 3 Représenaion spaio-emporelle de la propagaion de l onde de la figure 2 pour différenes célériés. 2.4 Passage d une représenaion à une aure Reprenons les représenaions spaiales e emporelles de la figure 2. Nous pouvons faire deu remarques visuelles, les deu représenaions semblen «inversées» e elles n on pas le même «éalemen». Aenion! Ces remarques son puremen visuelles. Les deu représenaions ne son pas en réaliés comparables car ce qui se passe dans le emps e ce qui se passe dans l espace son des choses oalemen différenes. Pour comprendre ces observaions, prenons l eemple d une «ola» dans un sade. Pour simplifier le schéma, chaque personne sera représenée par un poin dans la figure 4. En «lisan» la phoographie de gauche à droie, la première personne vue es en rain de se rasseoir (fin de l onde au niveau emporel) alors que la dernière personne vue se lève (débu de l onde au niveau emporel). Débu de l onde e fin de l onde s inverse au niveau de la lecure enre les représenaions spaiales e emporelles. 4/9

5 Par ailleurs, la phoographie ne donne pas d informaion sur la célérié à elle seule. Il y a oujours 5 personnes sur la «ola», mais selon la célérié, chaque personne rese plus ou moins longemps debou. Ainsi, le signal peu êre plus ou moins «éalé». Ce phénomène es visible en faisan des coupes de la figure 3 pour obenir des représenaions spaio-emporelles. Cee personne se rasseoi. Cee personne commence à se lever. Fig. 4 Représenaion spaiale (phoographie) d une «ola». Applicaion : Une onde progressive se propage le long d une corde à la célérié c = cm s vers les croissans. À =, le signal créé au poin A débue. En uilisan la figure, déerminer l insan correspondan à l image e la durée de la perurbaion. Tracer ensuie y A () puis représener la corde à = s. y A (dm) Applicaion 2 : Une onde progressive se propage le long d une corde à la célérié c = cm s vers les croissans. En = (poin A de la corde), on crée le signal représené sur le schéma. Déerminer la durée e la longueur de la perurbaion. Tracer ensuie y() à = s puis racer y M () avec AM = 3 cm. y A (cm) (s) 3 L onde progressive sinusoïdale 3. Poin mahémaique : les foncions sin e cos Relaions dans le riangle recangle Les foncions sinus e cosinus son avan ou des relaions dans le riangle recangle. Avec les noaions du riangle ci-dessous, il vien cos θ = c a = Adjacen Hypohénuse ; sin θ = b a = Opposé Hypohénuse ; an θ = sin θ cos θ = b c = Opposé Adjacen. θ a c b 5/9

6 Remarque : Pour se souvenir des relaions rigonomériques, on peu se souvenir par eemple de la phrase «CAHSOHTOA». Le cercle rigonomérique Le cercle rigonomérique es un cercle de rayon. Il perme la lecure direce des sinus e des cosinus grâce à des projecions direces sur les aes, comme racé figure 5. Ce cerle perme par ailleurs de rerouver la plupar des relaions rigonomériques enre les sinus e les cosinus. On pourra par eemple manipuler cee animaion []. Graphes Applicaion 3 : À l aide du cercle rigonomérique, monrer que sin θ = sin(π θ) ; cos θ = cos( θ) ; cos θ = sin(π + θ) ; sin θ = sin(π + θ). On rappelle le racé des foncions sinus e cosinus figure 6. Ce racé es à savoir refaire. f() sin θ cos sin θ cos θ 2π 3π 2 π π 2 π 2 π 3π 2 2π Fig. 5 Le cercle rigonomérique. Fig. 6 Graphes des foncions sinus e cosinus. 3.2 Le signal sinusoïdal Epérience 3 : Le son d un diapason : observaion à l oscilloscope du son d un diapason enregisré avec un microphone. Le signal mesuré es sinusoïdal. Définiion. Le son es une phénomène vibraoire, c es-à-dire un phénomène qui se reprodui idenique à lui même à inervalle de emps régulier. La durée enre deu phénomènes ideniques consécuifs es la période T, son unié es la seconde. Le nombre de périodes par seconde es la fréquence f, son unié es le herz (Hz). La période e la fréquence son liées par la relaion f = T. On défini la pulsaion ω par la relaion ω = 2πf. La pulsaion s eprime en radian par secondes (rad/s). Les différenes noaions son maérialisées figure 7. Un diapason es un insrumen qui éme une noe pure, c es-à-dire que le signal sonore émis es sinusoïdal de fréquence f donnée. Le signal émis es donc de la forme s() = A sin(2πf) = A sin(ω). Chaque noe de musique a une fréquence donnée. Par eemple, le La 3 vau 44 Hz, le La 4 vau 88 Hz e le Do 2 vau 3.8 Hz. 6/9

7 s() A A T = f Fig. 7 Un signal sinusoïdal. 3.3 Specre d un signal Le diapason produi des noes pures, mais ce n es pas le cas de ous les insrumens, e encore moins de ous les sons. Dans le cas général, un son es la superposiion de noes. À l aide de l animaion [2], on peu visualiser pour différens insrumens l ensemble des noes produies lors d un son. C es une propriéé générale des signau. Théorème. Théorème de Fourier Tou signal physique peu s écrire comme une somme de signau sinusoïdau. Ainsi, si l on sai ravailler sur un signal sinusoïdal, on sai éudier quasimen ous les signau car, à l aide de ce héorème, on peu décomposer n impore quel signal en sommes de signau que l on fai raier indépendammen les uns des aures. Définiion. Pour un signal physique donné, l ensemble des composanes sinusoïdales d un signal ainsi que leur ampliude consiuen son specre en fréquence. On le représene généralemen graphiquemen. Pour un signal périodique, la première fréquence s appelle la fréquence fondamenale e les suivanes son les harmoniques. Les fréquences des harmoniques son des muliples de la fréquence fondamenale. S(f) Premières harmoniques f f f 2 Fondamenale f Fig. 8 Specre d un signal. 7/9

8 3.4 Périodiciés spaiale e emporelle Définiion. Une onde sinusoïdale qui se propage es appelée onde progressive sinusoïdale. Mahémaiquemen, on écri le signal au poin M ( s(, M) = A sin 2πf 2π SM ) λ + φ où l on noe A l ampliude de l onde ; f sa fréquence (en herz) ; λ sa longueur d onde (en mères) ; S le poin source de l onde, e donc SM la disance enre le poin de mesure e la source ; φ sa phase à l origine. La grandeur Φ(, ) = 2πf 2π SM λ + φ es la phase de l onde. Une onde progressive sinusoïdale présene donc une double périodicié, l une dans sa représenaion spaiale e l aure dans sa représenaion emporelle. La longueur d onde λ es l équivalen spaial de la période T. T = /f Fig. 9 À fié, l onde progressive sinusoïdale es une foncion sinusoïdale en foncion du emps. λ Fig. À fié, l onde progressive sinusoïdale es une foncion sinusoïdale en foncion de la posiion. Relaion enre longueur d onde, période e célérié Considérons la phase Φ(, ) de l onde à un insan e à la posiion = SM. Supposons, pour se fier les idées, que cee phase es maimale. L onde se propage ensuie d une disance d pendan le emps τ. Dans ce cas, il vien Φ( + τ, + L) = Φ(, ). On peu alors uiliser la définiion de la phase donnée précédemmen e donc 2πf 2π λ + φ = 2πf( + τ) 2π + d + φ. λ Posiion Posiion + d + τ Fig. Le poin rouge maérialise le poin que l on sui. Enre les deu schémas, l onde, e donc le poin rouge, s es propagé pendan le emps τ sur une disance d. On monre alors que d τ = λf. Propriéé. La célérié c d une onde progressive sinusoïdale es reliée à la fréquence e à la longueur d onde par la relaion c = λf. 8/9

9 Remarque : On peu aussi démonrer cee relaion en noan () la posiion de la phase du poin rouge en foncion du emps. La célérié de l onde vau alors simplemen c = (), la dérivée de cee posiion. Par ailleurs, la foncion Φ(, ()) es une consane, e en la dérivan par rappor au emps, on arrive direcemen à la relaion précédene. Remarque : Un milieu es di dispersif si la célérié c dépend de la fréquence ou de la longueur d onde. Si c es le cas, les différenes composanes specrales d un signal ne von pas à la même viesse e donc le signal peu se déformer lors de la propagaion. Il s agi de la principale limie des ransmissions réelles. 4 Transmission d un signal physique par une onde Les signau acousiques Les signau acousiques se propagen par une modificaion locale de la pression e de la viesse locale du milieu. Il se propagen dans l air ( 34 m/s à 2 C sous bar) e dans les solides ou les liquides. Les fréquences audibles son siuées enre 2 Hz (grave) e 2 khz (aigu) mais ces valeurs varien selon les individus. Les signau élecromagnéiques Les signau élecromagnéiques se propagen par une modificaion locale du champ élecromagnéique ( # E, # B). Ils se propagen dans le vide (c 3 8 m/s) e dans cerains milieu ransparens pour ceraines fréquences, par eemple dans l eau à m/s e dans les verres enre.66 8 m/s m/s. Type Rayon X UV Visible Longueur d onde (dans le vide) µm - nm nm 4 nm 4 nm (viole) - 8 nm (rouge) Type IR Micro-ondes Radio Longueur d onde (dans le vide) 8 nm- mm mm - m m - 6 km Les signau élecriques Ils se propagen dans les conduceurs élecriques (méau noammen) e corresponden à une modificaion locale du couran I e de la ension U. Références [] hp://fleisch.profweb.ca/cercle-rigonomeacuerique.hml [2] hp:// 9/9