Chapitre. Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables. 1. Fonctions à valeurs réelles. 1.1 Définition. 1.2 Calcul de dérivées partielles

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1 1 Chapitre Chapitre 1. Fonctions e plusieurs variables La TI-Nspire CAS permet e manipuler très simplement les onctions e plusieurs variables. Nous allons voir ans ce chapitre comment procéer, et éinir quelques onctions particulièrement utiles. On pourra également se reporter au chapitre 15 pour une escription e la bibliothèque e programmes icalc, téléchargeable sur le site 1. Fonctions à valeurs réelles 1.1 Déinition On procèe comme pour une onction une variable : 1. Calcul e érivées partielles On peut ensuite acilement aire es calculs e érivées partielles. Voici par exemple le calcul e x, et pour ax y x xy, a 0, 0. Pour entrer ces expressions, on utilise les moèles isponibles sur la TI-Nspire CAS : Philippe Fortin (Lycée Louis Barthou Pau) / Rolan Pomès (Lycée René Cassin Bayonne)

2 TI-Nspire CAS en prépa Aucun problème pour le calcul e x case u haut. On peut également utiliser irectement lonction e érivation et iniquer l orre comme troisième argument. Par contre, pour le ernier calcul, on oit imbriquer eux appels e lonction e érivation., on peut utiliser le secon moèle en entrant l orre ans la 1.3 Calcul es érivées partielles en un point onné Pour calculer ce type expression, utilisez l opérateur sachant que. Une autre solution consiste à éinir r comme une onction e x et y, ce qui permet ensuite e calculer acilement sa valeur en un point onné : Voici par exemple, le calcul e r en a xy x, a1, : T³ France 008 / Photocopie autorisée

3 Fonctions e plusieurs variables Intégrales multiples Pour calculer une intégrale multiple, il est nécessaire 'imbriquer le calcul 'intégrales simples. On peut là aussi utiliser irectement lonction intégration obtenue ans le catalogue, ou utiliser le moèle ou le menu Analyse. zz : Voici par exemple le calcul e ax, yxy 01, 1, 1.5 Graient, tangente, plan tangent Ces calculs ne posent aucun problème. Si vous utilisez souvent ces notions vous pourrez acilement éinir les onctions nécessaires. Voici par exemple les onctions permettant e calculer le graient une onction et la tangente à une courbe éinie par x, y C en un point ab,. gra(ex,a,b):=[ (ex,x); (ex,y)] x=a an y=b tang(ex,a,b):=otp([x-a;y-b],gra(ex,a,b))=0 otp est lonction permettant e calculer un prouit scalaire. La généralisation à la imension 3 (graient et plan tangent) est imméiate : gra3(ex,a,b,c):=[ (ex,x); (ex,y);(ex,z)] x=a an y=b an z=c ptan(ex,a,b,c):=otp([x-a;y-b;z-c],gra3(ex,a,b,c))=0 T³ France 008 / Photocopie autorisée

4 4 TI-Nspire CAS en prépa. Fonctions à valeurs vectorielles Les calculs sur les onctions vectorielles se ont aussi simplement que ceux sur les onctions à valeurs réelles. En eet la TI-Nspire CAS est paraitement capable e ériver en une seule opération un vecteur ou même une matrice. Exercices 1 Jacobien en sphérique Calculer le jacobien e lonction r,, rcos cos, rcos sin, rsin. Extrema 'une onction On consière lonction Étuier ses extrema. x, y x xy y x y. 3 Développement limité 'une onction implicite e x y On consière l équation arctan xy 1. On emane e montrer qu il existe eux intervalles ouverts U et V contenant 0 et une onction e classe C éinie e U ans V tels que x axy, UV arctana y xy 1 e y ax. On emane ensuite e éterminer un éveloppement limité à l orre en 0 e cette onction. 4 Calcul 'une intégrale ouble après passage en polaire Calculer X x y ZY X Z Y D e 1 x y j avec D x y x x oa, / y 1t. T³ France 008 / Photocopie autorisée

5 Fonctions e plusieurs variables 5 Solutions es exercices 1 Jacobien en sphérique On prenra soin e créer une nouvelle activité ce qui permet entre autres eacer la éinition e r, en tant que onction, aite ans le paragraphe 1.3. Il nous reste maintenant à regrouper les vecteurs u, v et w pour ormer la matrice jacobienne, cela peut se aire avec lonction augment. Il suit ensuite e calculer le éterminant e cette matrice pour obtenir le jacobien. Vous trouverez une onction permettant e calculer la matrice jacobienne, ainsi que autres onctions utiles ans la bibliothèque icalc, téléchargeable sur T³ France 008 / Photocopie autorisée

6 6 TI-Nspire CAS en prépa Voici comment utiliser cette onction : Voir le chapitre 15 pour plus inormation sur l utilisation es bibliothèques. Extrema 'une onction Nous evons chercher si es points vériient les eux conitions ax, y 0 et ax, y 0. x y Pour résoure le système équations, on peut utiliser la syntaxe ci-essus ou le moèle : T³ France 008 / Photocopie autorisée

7 Fonctions e plusieurs variables 7 Il reste à voir si ce point est eectivement un extremum : L expression h h k k est toujours strictement positive. On peut écrire k 3k h hkk Fh I H K 4 ou utiliser les résultats généraux sur la réuction es ormes quaratiques si ceux-ci sont à votre programme. Si l utilisation une ormule e Taylor à l orre ait partie e votre programme, vous pourrez très acilement écrire une onction calculant les coeicients e Monge : p x, q y, r x, s et t xy y puis étuiant le type extremum obtenu en onction u signe e r et e s rt au point consiéré. On peut en éuire que lonction amet un minimum en ce point. 3 Développement limité 'une onction implicite Cette onction est bien e classe C sur, avec g Pour commencer, on éinit gxy xy e x, arctan 1 y.. 00, 0. De plus, g y 00, 0 Le cours nous permet alors e justiier l existence e U, V et. De plus est e classe C au voisinage e 0 et amet onc es éveloppements limités à tout orre. Pour éterminer ce éveloppement limité, une es méthoes possibles consiste à procéer par ientiication. A priori, on a un éveloppement u type a e j. x abxcx o x T³ France 008 / Photocopie autorisée

8 8 TI-Nspire CAS en prépa On sait éjà quelles sont les valeurs e a et b : a 0 0 g 00, b a 0 x ga00, y Cette ernière valeur s obtient acilement avec la TI-Nspire CAS : (g(x,y),x)/ (g(x,y),y)p x=0 an y=0 a e j On a onc x xcx o x. Il suit en ait e aire un DL e hx pour éterminer la valeur e c. b gx, xg, et ientiier ce DL au DL e lonction nulle Cela peut être ait irectement sur la TI-Nspire CAS : on remplace x par son DL, et on emane un DL u résultat. Le résultat obtenu ans l écran e gauche montre que c 1 oit être nul et onc que c 1 : En ait, il serait même possible e parvenir au résultat sans utiliser les valeurs e a et b, comme le montre l écran e roite. Attention cepenant, la méthoe utilisée mériterait quelques justiications. Vous savez bien par exemple que le DL une partie une expression ne permet pas toujours obtenir le DL e l ensemble e celle-ci. Le rôle e la calculatrice est seulement e vous permettre e vériier votre calcul. T³ France 008 / Photocopie autorisée

9 Fonctions e plusieurs variables 9 4 Calcul 'une intégrale ouble après passage en polaire Le omaine D est élimité par les eux cercles 'équations x y 10 et x y x 0, ou encore F 1 x I 1 y H K F I H K. Pour calculer cette intégrale, on peut passer en cooronnées polaires. Les cercles ont pour équation 1 et cosa. Pour L, O, on oit avoir cos QP 1, pour 3 L N M, O, 0 1. NM QP On obtient ainsi 3 X F 1 X I X F 1 I Y H GZY X Y K J ZY H GZY 1 ZY 1 cos e j 0e j Ou encore, en utilisant la symétrie par rapport à Ox, X F 1 X I F 1 I Y H GZY X I Y K J H GZY K J 1 1 cos e j 0e j 0 Z 1 Il reste à aire les calculs 'intégrales nécessaires : I K J (suite u calcul au verso) T³ France 008 / Photocopie autorisée

10 10 TI-Nspire CAS en prépa En conclusion I 4. T³ France 008 / Photocopie autorisée