Trinôme du second degré -

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1 Trinôme du second degré - La calculatrice est autorisée. Correction 1S Khôlle n o 1 Corrigé de l exercice 1 Donner la forme canonique de chacun des trinômes du second degré ci-dessous : A(x) = 9x + 18x + 7 (x A(x) = 9 x ) + x + = (x ) = A(x) = 9 ( x + 1 ) + 18 B(x) = x + 10x + B(x) = x x B(x) = ( x 1 ) + 7 = (x 1) 1 = (x 1) 7 Corrigé de l exercice Résoudre les équations ou inéquations suivantes : a. x 1x + 1 = 0 Cherchons les racines de x 1x+1 : Le discriminant de ce polynôme du second degré est : = b ac = 1 1 = = 9 On obtient = 9 = 7 Les deux racines de ce trinôme sont : = 1 7 x = b + = = 6 = 0 = = { } ; b. x + 6x x = 0 x ( x + 6x ) = 0 x = 0 ou x + 6x = 0 Cherchons les racines de x +6x : Le discriminant est : = b ac = 6 () () = 6 = 1 On obtient = 1 = Les deux racines de ce trinôme sont : = 6 6 = 1 + x = b + = = 1 { 1 ; 0 ; 1 + }

2 c. x x + x + x 0 Étudions séparément les trinômes formant le numérateur et le dénominateur : Le discriminant de x x + est : = b ac = () = = 1 On remarque que = 1 = 1 Ce discriminant est strictement positif ; ce trinôme admet deux racines qui sont : x = b + = 1 = = = 1 Le coefficient du terme de degré est positif ; cette expression est négative entre ses racines. Le discriminant de x + x est : = b ac = () () () = 16 = 8 < 0 Le discriminant étant négatif ; l expression n admet aucune racine. Ainsi, cette expression a le signe de son coefficient du terme de degré pour toute valeur x Ê. Le coefficient du terme du second degré du numérateur est positif alors que celui du dénominateur est négatif. On obtient le tableau de signe suivant : x 1 + x x x x + x x + x x L ensemble des solutions de l équation de départ est : ; 1 ; +

3 Corrigé de l exercice Adossé à sa maison, Jean possède un jardin de forme rectangulaire ayant pour dimensions 9 m et m. Il souhaite construire sur trois des côtés de ce jardin une allée ayant la même largeur et il plantera de la pelouse sur le reste du jardin. Il propose le schéma ci-dessous où la partie hachurée est l espace de la pelouse Quelle doit-être la largeur de l allée pour que l ensemble de la pelouse ait une surface de 10 m? Le rectangle grisé représentant la pelouse a pour dimension 9x et x. Ainsi, ce rectangle a pour aire : A(x) = (9 x)( x) = 9x 10x + x = x 19x + Ainsi, pour que cette surface ait une aire de 10 m, il est nécessaire que la valeur de x vérifie : A(x) = 10 x 19x + = 10 x 19x + = 0 Étudions le polynôme x 19x +. Il admet pour discriminant : = b a c = (19) = = 81 On a la simplification suivante : = 81 = 9 Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes : x = b + a a = (19) 9 = (19) + 9 = 10 = = 8 = 7 La largeur du jardin valant m, la largeur de l allée ne peut dépasser cette mesure : ainsi, il n existe qu une seule possibilité pour que l aire de la pelouse soit 10 m : l allée doit avoir une largeur de, m

4 Trinôme du second degré - La calculatrice est autorisée. Correction 1S Khôlle n o Corrigé de l exercice 1 Donner la forme canonique de chacun des trinômes du second degré ci-dessous : A(x) = 8x x + 1 (x A(x) = 8 x 1 x = 8 1) 8 1 (x = 8 1) ( A(x) = 8 x 1 ) B(x) = x + x + (x B(x) = x x = ) 9 (x = ) 16 ( B(x) = x ) Corrigé de l exercice Résoudre les équations ou inéquations suivantes : a. x x + 8 = 0 x x + 8 = 0 x 8x + 16 = 0 (x ) = 0 x = { } b. 6x 7x + x = 0 x ( 6x 7x + ) = 0 x = 0 ou 6x 7x + = 0 Cherchons les racines de 6x 7x+ : Le discriminant est : = b ac = (7) 6 = 9 8 = 1 On obtient = 1 = 1 Les deux racines de ce trinôme sont : = x = b + = = 1 = { 0 ; 1 ; }

5 c. x + x + x 0 + x Pour étudier le signe de cette fraction rationnelle, nous devons étudier les deux polynômes du second degré du numérateur et du dénominateur : Le polynôme du numérateur a pour discriminant : = b ac = 16 () = = 6 On remarque la simplification : = 6 = 8. Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes : = 8 () = 1 6 = x = b + = + 8 () = 6 = Le polynôme du numérateur a pour discriminant : = b ac = 1 () = = 81 On remarque la simplification : = 81 = 9. Le discriminant étant strictement positif, ce polynôme admet les deux racines suivantes : = 1 9 = = 1 x = b + = = 8 10 = Pour établir le tableau des signes du numérateur et du dénominateur, on remarque que le coefficient du terme du second degré du numérateur est négatif alors que celui du dénominateur est positif ; on obtient le tableau de signe suivant : x 1 + x + x x + x x +x+ x +x L inéquation x + x + x + x 0 admet pour ensemble de solutions : 1 ; ;

6 Corrigé de l exercice On considère la figure ci-dessous : Quel doit-être la valeur de x pour que la figure grisée ait une aire de cm? Déterminons les aires des quatre triangles formés aux angles du rectangle : x ( x) (7 x) x x ( x) x (7 x) A DKL = A KCJ = A IJB = A = Le rectangle ABCD ayant pour dimensions 7 cm et cm, on en déduit que la partie hachurée a pour aire : x (x) A=7 + (7x) x + x (x) + x (7x) = x ( x) + (7 x) x = ( x x + 7x x ) = ( x + 1x ) = x 1x + Pour que l aire de la partie grisée soit de cm, il faut que la valeur x vérifie l égalité : x 1x + = x 1x + = 0 x 1x + 10 = 0 Ce polynôme a pour discriminant : = b a c = (1) 10 = 1 80 = 6 On a la simplification : = 6 = 8 Le discriminant étant strictement positive, cette équation admet les deux racines suivantes : = (1) 8 x = b = (1) + 8 = = 1 = 0 = Ainsi, la partie grisée a une surface de mesure cm lorsque la valeur de x vaut ou 1 Voici les représentations de ces deux cas :

7 Trinôme du second degré - La calculatrice est autorisée. Correction 1S Khôlle n o + Muet Corrigé de l exercice 1 Donner la forme canonique de chacun des trinômes du second degré ci-dessous : A(x) = x x + 8 A(x) = x 8x + 16 A(x) = (x ) = (x ) = (x ) B(x) = 6x + 7x B(x) = 6 x 7 6 x + 1 ( B(x) = 6 x 7 ) (x = 6 7 ) 1 9 = 6 (x ) 1 1 Corrigé de l exercice Résoudre les équations ou inéquations suivantes : a. 9x + 18x + 7 = 0 9x + 18x + 7 = 0 x + x + = 0 Cherchons les racines de x +x+ : Le discriminant de ce polynôme du second degré est : = b ac = 1 = 8 On obtient < 0 Ce trinôme n admet pas de racines. { } b. x +10x +x = 0 x ( x + 10x + ) = 0 x = 0 ou x + 10x + = 0 Cherchons les racines de x +10x+ : Le discriminant est : = b ac = 10 () = = 10 On obtient = 10 = Les deux racines de ce trinôme sont : = = 1 + x = b + = = 1 { 1 ; 0 ; 1 + }

8 c. x + x 8 9x x Étudions séparément les trinômes formant le numérateur et le dénominateur : Le discriminant de x + x 8 est : = b ac = (8) = + 6 = 68 On remarque que = 68 = 17 Ce discriminant est strictement positif ; ce trinôme admet deux racines qui sont : x = b + = 17 = + 17 = 1 17 = Le coefficient du terme de degré est positif ; cette expression est négative entre ses racines. Le discriminant de 9x x + 1 est : = b ac = () 9 1 = 9 6 = < 0 Le discriminant étant négatif ; l expression n admet aucune racine. Ainsi, cette expression a le signe de son coefficient du terme de degré pour toute valeur x Ê. Le coefficient du terme du second degré du numérateur est positif ainsi que celui du dénominateur. On obtient le tableau de signe suivant : x 1 17 x + x x x x +x8 9x x L ensemble des solutions de l équation de départ est : ;

9 Corrigé de l exercice Dans cet exercice, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. On considère un rectangle ABCD dont les dimensions sont données ci-dessous : AB = 6 m ; AD = m. Pour un nombre réel x compris entre 0 et, on place les points M et N respectivement sur les côtés AB et BC tels que : AM = x ; BN = x Déterminer la ou les valeurs possibles de x pour que l aire du triangle MBN soit égales à 1 de l aire totale du 6 rectangle ABCD. On a les mesures suivantes : BM = 6 x ; BN = x Ainsi, l aire du triangle MBN a pour expression en fonction de x : A MBN = MB BN (6 x) x = Le rectangle ABCD a pour longueur et largeur, respectivement les valeurs 6 m et m. Ainsi, son aire a pour mesure : A ABCD = L l = 6 =, m Pour que l aire du triangle MBN représente le sixième de celui du rectangle, la valeur de x doit vérifier l égalité suivante : A MBN = 1 6 A ABCD (6 x) x = 1 6 (6 x) x = (6 x) x = 8 6x x 8 = 0 x + 6x 8 = 0 Le polynôme du second degré du membre de gauche admet pour discriminant : = b a c = 6 (1) (8) = 6 = On a la simplification suivante : = = Le discriminant étant strictement positif, on en déduit que cette équation admet les deux solutions suivantes : x = b + a a = 6 = 6 + (1) (1) = 8 = = = Ainsi, le triangle aura une aire d un sixième celle du rectangle lorsque la longueur BN réalisera l une des conditions suivantes : BN = m ou BN = m