Exercice p 219, n 3 : Quatre droites sont tracées et les deux droites rouges sont parallèles. Enoncer le théorème de Thalès.
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- Cyril Roux
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1 Exercice p 219, n 3 : Quatre droites sont tracées et les deux droites rouges sont parallèles Enoncer le théorème de Thalès Les droites ( BA ) et ( ZI ) sont sécantes en R, et les droites ( AI ) et ( BZ ) sont parallèles, donc, d après le RA RI AI = = RB RZ BZ Exercice p 219, n 4 : Quatre droites sont tracées et les deux droites rouges sont parallèles Enoncer le théorème de Thalès Les droites ( KU ) et ( OL ) sont sécantes en P, et les droites ( KO ) et ( LU ) sont parallèles, donc, d après le PK PO KO = = PU PL UL Exercice p 219, n : Quatre droites sont tracées et les deux droites rouges sont parallèles Enoncer le théorème de Thalès Les droites ( ZE ) et ( FG ) sont sécantes en V, et les droites ( EG ) et ( ZF ) sont parallèles, donc, d après le VE VG EG = = VZ VF ZF
2 Exercice p 219, n 6 : Quatre droites sont tracées et les deux droites rouges sont parallèles Enoncer dans chaque cas le théorème de Thalès Les droites ( AR ) et ( GC ) sont sécantes en Y, et les droites ( AG ) et ( CR ) sont parallèles, donc, d après le Exercice p 220, n 13 : YA YG AG = = YR YC RC A GL E GK AE // LK [ ], [ ] et ( ) ( ) Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs GL et AE Les droites ( LA ) et ( KE ) sont sécantes en G, et les droites ( AE ) et ( ) GA GE AE, 4 3 AE GL GK LK GL = = 11 Pour GL : Pour AE : LK sont parallèles, donc, d après le, 4 3 =, donc 3, 4 GL GL = AE 3 =, donc AE = , donc GL = donc AE = 3 3 1,8 GL = AE = 33 3 GL = 9 cm AE = 6,6 cm Le segment [ GL ] mesure donc 9 cm Le segment [ AE ] mesure donc 6,6 cm
3 Exercice p 220, n 14 : D PK D EM [ ], [ ] et ( ) // ( ) PM EK Déterminer, en justifiant chaque réponse, les longueurs KD et DM Les droites ( EM ) et ( KP ) sont sécantes en D, et les droites ( EK ) et ( ) DE DK EK DM DP MP 6 DK 4 DM = 6,3 = Pour DM : Pour DK : PM sont parallèles, donc, d après le 6 4 DM =, donc 4 DM = 6 DK 4 =, donc DK = 4 6,3 6, ,3 donc DM = donc DK = ,9 DM = DK = 2 2 DM = 10, cm DK = 3,6 cm Le segment [ DM ] mesure donc 10, cm Le segment [ DK ] mesure donc 3,6 cm
4 Exercice p 220, n 1 : SE = cm, SL = 12 cm et GL = 9 cm ; les points S, E et L sont alignés ; les points S, A et G sont alignés Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur AE Les droites ( AE ) et ( GL ) sont perpendiculaires à la droite ( ) SG Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles GL sont parallèles Donc les droites ( AE ) et ( ) Dès lors : Les droites ( GA ) et ( ) AE 9 12 donc 12 AE = 9 donc 9 AE = AE = AE = 4 AE = 3, cm LE sont sécantes en S, et les droites ( AE ) et ( ) SA SE AE SG SL GL Le segment [ AE ] mesure donc 3, cm SA AE SG = 12 = 9 GL sont parallèles, donc, d après le
5 Exercice p 220, n 16 : D SE D OH ; [ ], [ ] DH = 9 cm, OE = 2 cm et DO = 3,6 cm Déterminer, en justifiant la réponse, la longueur SH Les droites ( OE ) et ( SH ) sont perpendiculaires à la droite ( ) OH Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles SH sont parallèles Donc les droites ( OE ) et ( ) Dès lors : Les droites ( OH ) et ( ) SH 9 2 3,6 donc 3,6 SH = 9 2 donc 9 2 SH = 3, SH = SH = 18 2 SH = cm Le segment [ SH ] mesure donc cm ES sont sécantes en D, et les droites ( OE ) et ( ) DS DH SH DE DO EO DS 9 SH DE = 3,6 = 2 SH sont parallèles, donc, d après le
6 Exercice p 223, n 3 : A EF B EG AB // FG [ ], [ ] et ( ) ( ) Calculer les longueurs EG et AB Justifier les réponses Les droites ( FA ) et ( GB ) sont sécantes en E, et les droites ( AB ) et ( ) EA EB AB EF EG FG 4,, AB 4, + 1,8 EG 4,9 Pour EG : Pour AB : FG sont parallèles, donc, d après le 4,, AB = = 6,3 EG 4,9, 4, =, donc 4,, 6,3 EG 6,3 EG = AB 4, =, donc 6,3 AB = 4, 4,9 4,9 6, 3, 6,3 4, 4,9 donc EG = donc AB = 4, 6,3 1,1 0,9 EG = 0,9 9 0, 0, AB = 9 0, EG =, cm AB = 3, cm Le segment [ EG ] mesure donc, cm Le segment [ AB ] mesure donc 3, cm
7 Exercice p 223, n 38 : UH = 1, cm, HF = cm, FX = 4,8cm et FO = 6 cm ; les points H, F et O sont alignés ; les points U, F et X sont alignés 1) Démontrer que : ( UH ) // ( OX ) 2) Calculer les longueurs UF et OX Justifier les réponses 1) Parallélisme des droites ( UH ) et ( OX ) : La droite ( UX ) coupe les droites ( UH ) et ( ) OX et détermine les angles alternes-internes HUX et OXU De plus, ces angles ont la même mesure Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites qui les déterminent sont parallèles OX sont parallèles Donc les droites ( UH ) et ( ) 2) Longueurs UF et OX : Les droites ( UX ) et ( OH ) sont sécantes en F, et les droites ( UH ) et ( ) d après le FU FH UH FX FO OX UF 1, = = 4,8 6 OX Pour UF : Pour OX : OX sont parallèles (question 1), donc, UF 1, =, donc 6 UF = 4,8 =, donc 1, 6 4,8 6 OX 6 OX = 4,8 1, 6 donc UF = donc OX = 6 6 0,8 0,3 6 UF = OX = 6 UF = 4 cm OX = 1,8 cm Le segment [ UF ] mesure donc 4 cm Le segment [ OX ] mesure donc 1,8 cm
8 Exercice p 223, n 39 : P JM R JB ; [ ], [ ] JP = 3,6 cm, PR = 1, cm, JB = 12 cm et MB = 4 cm Calculer les longueurs JM et JR Justifier les réponses La droite ( JM ) coupe les droites ( PR ) et ( ) MB et détermine les angles correspondants JPR et JMB De plus, ces angles ont la même mesure Or, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les droites qui les déterminent sont parallèles MB sont parallèles Donc les droites ( PR ) et ( ) Dès lors : Les droites ( MP ) et ( ) BR sont sécantes en J, et les droites ( PR ) et ( ) JP JR PR JM JB MB 3, 6 JR 1, JM = 12 = 4 Pour JM : Pour JR : MB sont parallèles, donc, d après le 3,6 1, =, donc 1, 4 3,6 JM 4 JM = JR 1, =, donc 4 JR = 1, ,6 1, 12 donc JM = donc JR = 1, JM = 1 Le segment [ JM ] mesure donc 9,6 cm 1, 4 3 JR = JM = 3 JR = 4, cm JM = 9,6 cm Le segment [ JR ] mesure donc 4, cm
9 Exercice p 226, n 61 : 1) Reproduire la figure ci-dessous avec : R AC T AB ; [ ], [ ] AC = 12cm, AB = 13 cm, BC = cm et AR = 9 cm 2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle 3) En déduire les longueurs AT et TR Justifier chaque réponse 1) Figure : RAS 2) Nature du triangle ABC : [ AB ] est le plus grand côté du triangle ABC 2 2 On a : AB = 13 = Par ailleurs : CA + CB = 12 + = = On constate que AB = CA + CB Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C 3) Longueurs AT et TR : D après la question 2, les droites ( BC ) et ( TR ) sont perpendiculaires à la droite ( ) AC Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles TR sont parallèles Donc les droites ( BC ) et ( ) Dès lors : Les droites ( BT ) et ( ) CR sont sécantes en A, et les droites ( BC ) et ( ) AT AR TR AB AC BC AT 9 TR = = Pour AT : Pour TR : TR sont parallèles, donc, d après le AT 9 3 TR 3 = =, donc 4 GL = 3 13 =, donc 4 TR = donc AT = donc TR = 4 4 AT = 9, cm TR = 3, cm Le segment [ AT ] mesure donc 9, cm Le segment [ TR ] mesure donc 3, cm
10 Exercice p 221, n 19 : On considère un quadrilatère ABCD Le point O est le point d intersection de ses diagonales On donne : OA = 1, cm, OB = 2,cm, OC = 2 cm et OD = 3, cm Démontrer que les droites ( AB ) et ( ) Les droites ( AC ) et ( ) BD sont sécantes en O OA 1, 3 1 On a : OC = 2 = 4 = 20 OB 2, 2 Par ailleurs : OD = 3, = 3 = 1 = = 21 On constate que OA OB OC OD CD ne sont pas parallèles Donc, d après le théorème de Thalès, les droites ( AB ) et ( ) CD ne sont pas parallèles Exercice p 221, n 1 : 1) Construire un triangle RGJ tel que : RG = 9 cm, GJ = cm et RJ = 8,6 Placer les points D et O tels que : D [ RG] 2) Démontrer que les droites ( DO ) et ( ) 1) Figure : RAS, 4 2) Les droites ( GD ) et ( JO ) sont sécantes en R RD = cm, O [ RJ ] GJ ne sont pas parallèles RD 4 On a : RG = 9 RO 3,8 Par ailleurs : RJ = 8,6 4 8,6 = 34, 4 et 9 3,8 = 34, 2, donc 4 8, 6 9 3,8 D où : RD RO RG RJ Donc, d après le théorème de Thalès, les droites ( DO ) et ( ) cm et RO = 3,8 cm GJ ne sont pas parallèles
11 Exercice p 221, n 18 : 1) Construire un triangle DCV tel que : DV = 6, 4 cm, DC = 3,6 cm et CV = 4 Placer les points A et O tels que : D [ VO], DO =, cm, D [ CA] 2) Démontrer que les droites ( CV ) et ( AO ) ne sont pas parallèles 1) Figure : RAS 2) Les droites ( AC ) et ( OV ) sont sécantes en D DA 3,1 On a : DC = 3,6 DO, Par ailleurs : DV = 6,4 3,1 6, 4 = 19,84 et, 3, 6 = 19,8, donc 3,1 6, 4, 3, 6 D où : DA DO DC DV Donc, d après le théorème de Thalès, les droites ( AO ) et ( ) cm et DA = 3,1cm CV ne sont pas parallèles Exercice p 223, n 40 : 2 I [ AB] et AI = AB ; J AC IJ // BC ; [ ] et ( ) ( ) K [ BC] et ( ) // ( ) JK AB 1) Démontrer que 2) Démontrer que 2 AJ = AC CK = CB 1) Les droites ( CJ ) et ( BI ) sont sécantes en A, et les droites ( IJ ) et ( ) AI AJ IJ = = AB AC BC 2 AI 2 Or, AI = AB, donc AB = AJ 2 D où : AC =, soit 2 AJ = AC BC sont parallèles, donc, d après le
12 2) Les droites ( AJ ) et ( BK ) sont sécantes en C, et les droites ( JK ) et ( ) CJ CK JK = = CA CB AB 2 Or, d après la question 1, AJ = AC, donc CJ = AC, soit CK D où : CB =, soit CK = CB CJ CA = AB sont parallèles, donc, d après le Exercice p 221, n 20 : 1) Construire un triangle DFG tel que : DF = 11cm, FG = 6 cm et DG =, cm Placer les points A et E tels que : A [ DF ], DA = 9cm, E [ DG] 2) Démontrer que les droites ( AE ) et ( FG ) sont parallèles 1) Figure : RAS et DE = 6, 3cm 2) Les points D, A et F sont alignés dans le même ordre que les points D, E et G DA 9 On a : DF = 11 DE 6,3 0, Par ailleurs : DG =, = 9 9 0, 11 = 11 On constate que DA = DE DF DG Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites ( AE ) et ( ) FG sont parallèles Exercice p 221, n 21 : 1) Construire un triangle OLK tel que : OL = 6,3cm, LK = cm et KO = 3, cm Placer les points M et P tels que : O [ LM ], OM = 4, cm, O [ KP] 2) Démontrer que les droites ( PM ) et ( LK ) sont parallèles 1) Figure : RAS et OP = 2,cm 2) Les points O, L et M sont alignés dans le même ordre que les points O, K et P OL 6,3 0,9 On a : OM = 4, = 0,9 = OK 3, 0, Par ailleurs : OP = 2, = 0, = On constate que OL OM = OK OP Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites ( PM ) et ( ) LK sont parallèles
13 Exercice p 221, n 22 : On considère un quadrilatère ABCD Le point O est le point d intersection de ses diagonales On donne : OA = 2,4 cm, OB = 3,6 cm, OC = 2,8cm, OD = 4, 2 cm et AB = 4, 2 cm 1) Démontrer que les droites ( AB ) et ( ) CD sont parallèles 2) En déduire la longueur DC Justifier la réponse Figure : RAS 1) Les points O, A et C sont alignés dans le même ordre que les points O, B et D OA 2,4 0,4 On a : OC = 2,8 = 6 6 0,4 = OB 3,6 0,6 Par ailleurs : OD = 4, 2 = 6 6 0,6 = On constate que OA = OB OC OD Donc, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites ( AB ) et ( ) 2) Longueur CD : Les droites ( AC ) et ( BD ) sont sécantes en O et les droites ( AB ) et ( ) d après le Donc : 6 CD = 4, 2 4, 2 donc CD = 6 6 0, CD = 6 CD = 4,9 cm Le segment [ CD ] mesure 4,9 cm OA OB AB 4, 2 6 OC OD CD CD = CD sont parallèles CD sont parallèles (question 1), donc,
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