Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

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1 Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une famille de parties de Ω P : Application de probabilité définie sur A A Є A Є P(Ω) P(A) Il faut toujours déterminer en premier lieu l espace probabilisé de travail : (Ω, A, P) 2- Théorèmes généraux : A doit avoir une structure de tribu, c est-à-dire : L application P(.) est une probabilité si et seulement si : Quelques axiomes :

2 3- Probabilité conditionnelle : Et on admet que si P(C) 0 alors : 3.1- Théorème de Bayès : 3.2- Formule de probabilités totales : Soit Cn une partition de Ω Cas fini On a La formule de Bayès devient pour P(A) 0 : Cas dénombrable : On a La formule de Bayès devient pour P(A) 0 :

3 4- Indépendances d évènements : Deux évènements A et B sont dits indépendants si par définition : Ou encore, dans le cas d une famille d évènements : II- Variables aléatoires : 1- Variables aléatoires : Une variable aléatoire est une application définie à partir d une expérience aléatoire. Elle peut être continue, discrète, mixte ou singulière. On note X la variable aléatoire et x la valeur numérique prise par cette fonction. On définit la probabilité Px image de P par l application X par : Exemples : Loi de Bernouilli de paramètre p : Px{1} = p Px{0} = 1- p

4 Loi binomiale de paramètres n et p : B (n, p) Loi géométrique de paramètre p Loi de Poisson de paramètre λ : 2- Types de variables aléatoires : Discrète, est caractérisée par : - Sa loi : : { }, P (X = ) = - Sa fonction de répartition : Continue, est caractérisée par : - Sa fonction de répartition - Sa densité de probabilité (y) = (t) dt Mixte, est caractérisée par : - Sa fonction de répartition : F(x) = (x) + (x) Partie continue Partie discrète - Sa «densité» : f (x) = (x - ). + (x)

5 3- Fonction de répartition : o Définition : Dans le cas d une variable bidimensionnelle X : o Propriétés : Fx(x) (x) Є [0,1] puisque Fx(x) désigne la probabilité d un intervalle Fx(x) est monotone croissante, continue à gauche Fx(x) peut étre discontinue à droite et Fx(x+0) Fx(x) = Px({x}) Fx(x) n admet que des points de discontinuité de 1 ère espèce, ces points étant en nombre fini ou dénombrable. 4- La densité de probabilité : Lorsque est continue et par morceaux sur R, la fonction = est appelée densité de probabilité de X Propriétés : est positive ou nulle Cas général : Pour tout ensemble A A : (A) = Variables aléatoires vectorielles ( Cas général ) La variable aléatoire X=(, ) caractérisée par la densité de probabilité

6 La fonction de répartition de X vérifie : ( ) = ( = d d Les fonctions de répartitions marginales vérifient : ( ) =,, )d Les densités marginales sont définies par dérivation : ( ) =,...,,,,, )d d Pour tout AЄA d d 5- Variables aléatoires indépendantes : Soient les v.a X et Y définies de (Ω, A, P) dans (Ω, A ), typiquement (R,B ) sont indépendantes si : Conséquence : Si u et v sont des applications mesurables alors u(x) et v(y) sont des variables aléatoires indépendantes 6- Changement de variables aléatoires : (x(u,u), y(u,v)) (u,v) On pose : (u,v) = J(u,v) : le Jacobien La fonction qu on souhaite obtenir est fonction de u et v!!!!

7 Espérance mathématique : μ Valeur numérique mesurant le degré d équité d un jeu de hasard Est aussi appelée moyenne (théorique) Cas d une variable aléatoire continue : X : (Ω, B) dans R, positive ou P-intégrable E[X] = (x) ATTENTION : Il faut vérifier que X est intégrable!!!!!!!!!!!!!!!!! Si X admet une densité de probabilité alors : E[X] = (x) dx Théorème de transfert Pour toute fonction réelle g, positive ou P-mesurable : E [ g(x) ]= Linéarité de l espérance : E[ ax + b] = a.e[x] + b E [ X+Y ] = E[X] + E[Y] Si X et Y sont indépendantes alors l espérance du produit est le produit des espérances :

8 Caractéristiques de localisation d une variable aléatoire : Le maximum Le minimum L espérance La médiane Le mode La médiane : Le mode : Pour une variable aléatoire discrète : la valeur de X dont la probabilité est la plus grande Pour une variable aléatoire continue : la valeur pour laquelle la densité de probabilité atteint son maximum La variance : σ² C est une caractéristique de la dispersion de la v.a, c est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Var [X] = E [(X E[X])²] Var [X] = E[X²] (E[X])²

9 ATTENTION : Bien vérifier que X² est intégrable!!!!!!! La variance n est pas linéaire : Var ( ax + b) = a² Var (X) Var (X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) Si X et Y sont indépendantes alors : Cov (X+Y) =E[XY] E[X].E[Y] = 0 Var (X+Y) = Var(X) + Var(Y) L écrat type : X = On peut mesurer la dispersion relative grace au coefficient de variation C.V : C.V = Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Soit X une v.a de moyenne μ et de variance finie σ² a 0, P( X μ a) P( - aσ < X μ < aσ) 1 1/a²

10 Régression linéaire : Consiste à trouver deux réels a et b tels que Y= ax+b minimise l erreur quadratique moyenne EQM c'est-à-dire : 1- On calcule EQM[a,b) = E[(X (Ax+b)²)] 2- On dérive par rapport à b, et on annule cette dérivée => équation1 3- On dérive EQM par rapport à a et on annule cette dérivée=> équation2 4- On implémente l équation1 dans l équation2 => conditions sur a et b 5- On remplace a et b dans EQMmin[a,b) = E[(X (Ax+b)²)] par les expressions trouvées 6-7- On pose : Coefficient de Corrélation linéaire 8- Finalement on a : EQMmin = Var(Y) ( 1 ) Généralisation pour les vecteurs aléatoires : Vecteur Espérance (thrm de transfert) : E[Xi]= Vecteur moyenne : M= E[X] = Variance : Var(Xi)= Covariance: Cov(Xi, Xj)= Var(X) = E [(X E(X)) ] )(Xi E[Xi]) dx1 dxn ) dx1 dxn )(Xi E[Xi]) (Xj E[Xj])dx1 dxn On note Σ la matrice de variance-covariance (matrice de covariance) Σ est une matrice inversible Σ = =

11 La loi normale : Propriétés : Loi continue, symétrique, en cloche La densité de proba. de la loi normale de paramètres (μ,σ²) : exp [ ] Méd(X) = Mod (X) = μ X suit une loi normale de paramètres (μ,σ²) => Y=aX + b (a>0) suit une loi normale de paramètres ((aμ+b), (a²σ²)) Z = réduite E[X] = μ Var[X] = σ² suit une loi normale, E[Z] = 0 et Var[ Z]= 1 : C est une loi normale centrée Fonction de répartition d une loi centrée réduite : C est la probabilité de trouver une valeur inférieure à u On se sert du tableau pour trouver la fdr Φ(-u) =1 ϕ(u) A retenir!!

12 La densité normale multivariée : ) = exp( (x M)) Cas bivarié : lorsque n=2 Densité conditionnelle (d une loi normale) Cas discret : Loi conditionnelle de Y sachant X=x : X et Y indépendantes x,y : P(Y=y X=x) = P(Y=y) L espérance conditionnelle de Y sachant X=x (l espérance par rapport à la loi conditionnelle)

13 Cas continu : (X,Y) un couple de densité (x,y) sur R² Loi conditionnelle de Y sachant X=x : X et Y indépendantes x,y : (y) = L espérance conditionnelle de Y sachant X=x (l espérance par rapport à la densité conditionnelle) Remarques et propriétés : g( x )= E [ Y X=x ] f( X ) = E [ Y X] Le calcul de l espérance conditionnelle peut être une étape intermédiaire dans le calcul de l espérance : E [ E[Y X] ] = E[Y] Linéarité de l espérance conditionnelle : E[ (a.y + b) X] = a.e[y X] + b L espérance conditionnelle a les mêmes propriétés que l espérance X et Y indptes => E [Y X] = E[Y] Soit h fonction mesurable et h(x) intégrable : E[ Y.h(x) X] = h(x).e [ Y X ]

14 La meilleure approximation au sens de l erreur quadratique moyenne est l espérance conditionnelle : Vecteur Gaussien Définition : VecteurX = ) X est gaussien si et seulement si toute combinaison linéaire des Xj est une variable aléatoire normale X suit une loi normale N (M, Σ) Propriétés : Si A est une matrice n colonnes et b un vecteur de alors : AX + b est un vecteur gaussien de loi normale N (AM+b, AΣ ) X gaussien => les variables marginales Xi sont gaussiennes (la réciproque est fausse) Si Xi et Xj sont non corrélés alors elles sont indépendantes ( dans le cas gaussien) Xi,Xj indépendantes 2 à 2 => indépendance globale des X1,,Xn Types de convergence : Convergence en moyenne d ordre α : suite de v.a converge en moyenne d ordre α vers la v.a X si :

15 Loi faible des grands nombres : suite de v.a i.i.d de variance finie alors E[ ] Convergence en probabilité : converge en probabilité vers la v.a X si 0 : Loi faible des grands nombres : suite de v.a i.i.d de variance finie alors E[ ] p Convergence presque sure : converge presque surement vers la v.a X si : (C est une convergence simple!) Loi forte des grands nombres : p.s suite de v.a i.i.d de variance finie alors E[ ]

16 Théorème central limite : suite de v.a i.i.d de variance σ² finie Soit = et On a : Théorème central limite : Sans faire aucune hypothèse sur la loi des Xi!!!!!!!!!!!!!!!!!! Résumé des convergences :

17 Tableau récapitulatif des lois discrètes classiques : Cas continu : Dénomination Loi Espérance Variance Exponentielle De paramètre λ ² Normale μ