CHAPITRE 7 : Statistiques Seconde, 2014, L. JAUNATRE

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1 CHAPITRE 7 : Statistiques Seconde, 2014, L. JAUNATRE 1. Introduction 1.1. Statistique Définition 1. La statistique est le domaine des mathématiques qui vise à recueillir des données et les interpréter, souvent dans le but de prendre une décision. On étudie un caractère x mesuré sur un ensemble d individus. Pour résumer une série de nombres x 1,...,x n (résultats d une expérience, d un sondage...), on donne souvent un couple de nombres : une valeur centrale et un paramètre de dispersion, qui permet d évaluer à quel points les valeurs sont éloignées de la valeur centrale Vocabulaire Population Définition 2. L ensemble des éléments étudiés est appelé la population Individus Définition 3. Les différents éléments de cet ensemble sont appelés les individus Effectif Définition 4. L effectif total est le nombre N d individus de la population Caractères Définition 5. Le caractère (ou variable) x d une série statistique est une propriété étudiée sur chaque individu (plusieurs individus peuvent avoir le même caractère) : Lorsque le caractère ne prend que des valeurs numériques, il est quantitatif : discret s il ne peut prendre que des valeurs isolées (notes, âge...) continu dans le cas contraire (poids, taille...). Dans ce cas on effectue souvent un regroupement des valeurs par classes. Sinon, on dit qu il est qualitatif (couleur des yeux, sport pratiqué...) : les caractères ne sont pas des nombres. Les valeurs du caractères pour les individus 1,2,...,N sont notées x 1,x 2,...,x N Modalités Définition 6. Les modalités a 1,...,a k sont différentes valeurs prises par le caractère x (donc pas de répétition). L effectif n j d une modalité a j représente le nombre d individus de la population dont le caractère vaut a j. (c est-à-dire le nombre de fois que a j apparaît parmi les x i ). La somme des effectifs des modalités est égal à l effectif total. : N = n 1 + +n k Fréquences Définition 7. La fréquence f j d une modalité a j est le quotient n j (effectif divisé par effectif N total). La somme des fréquences des modalités est égal à 1 : f 1 + +f n = 1. En multipliant f j par 100 on obtient le pourcentage de la population dont le caractère vaut a j. 1/5

2 Exemple 1. Soit la série de notes de 10 élèves : Élève n o Note x i La population étudiée est... Un individu de cette population est... Cette série statistique a un effectif total de... Remplir le tableau des modalités : Note a j Effectif n j Fréquence f j 2. Représentations graphiques 2.1. Caractère quantitatif discret Méthode 1. On utilise un diagramme en bâtons en portant en abscisse la modalité observée et en ordonnée l effectif ou la fréquence. La hauteur des bâtons est proportionnelle à l effectif. Exemple 2. Tracer le diagramme en bâtons pour l exemple Caractère quantitatif continu Méthode 2. On utilise un histogramme en portant en abscisse la classe observée et en construisant un rectangle dont l aire est proportionnelle à l effectif. Exemple 3. Soit la série des vitesses de cent véhicules (en km.h 1 ) observées par un radar. Vitesse [0;40[ [40;50[ [50;60[ [60;100] Les vitesses sont rangées par classe. Effectif Tracer l histogramme de cette série. 2/5

3 2.3. Caractère qualitatif Méthode 3. On utilise un diagramme circulaire ou camembert où l angle de chaque secteur angulaire est proportionnel à l effectif. Exemple 4. Soit la série des couleurs de cheveux de 60 élèves. Couleur noir brun blond roux Effectif Angle (degré) noir Tracer le diagramme circulaire de cette série statistique, après avoir rempli le tableau en déterminant pour chaque effectif, l angle correspondant. 3. Caractéristiques de position et de dispersion Remarque 1. Pour analyser une série statistique, on dispose de différents outils. Les paramètres de position (mode, médiane, moyenne) qui permettent de définir la tendance centrale. Les paramètres de dispersion associées (étendue, écart inter-quartile, écart-type) qui permettent d évaluer la position des valeurs par rapport à la tendance centrale Mode et étendue Définition 8. Le mode d une série est la modalité la plus représentée, ou la plus fréquente. L étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite modalité. Exemple 5. Avec l exemple 1, Le mode de cette série est..., son étendue est Moyenne et écart-type Définition 9. La moyenne x des caractères x i d une série statistique est : x = x x N = 1 N x i (avec les variables) N N i=1 x = n 1a n k a k = 1 k n j a j (avec les modalités) N N j=1 k x = n 1 f n k f k = n j f j (avec les fréquences) j=1 La définition de l écart-type sera vu en première. Exemple 6. Dans l exemple 1, calculer x de trois manières différentes... 3/5

4 Propriété 1. (Linéarité de la moyenne) La moyenne des images des valeurs du caractère par une fonction affine du type f(x) = ax+b est l image de la moyenne f(x) = f( x) = a x+b. Démonstration Propriété 2. (Moyenne partielle) Si la série z est composée de deux séries x et y d effectifs respectifs p et q, on a : z = p x+qȳ p+q Exemple 7. Dans une classe, les 20 garçons ont une moyenne de 9, les 10 filles une moyenne de 12. Quelle est la moyenne de la classe?... Méthode 4. Dans le cas où les valeurs sont regroupées en classe, on applique les définitions précédentes au centre de la classe. Exemple 8. Calculer la moyenne dans l exemple Médiane et écart interquartile Définition 10. On suppose les x i rangés dans l ordre croissant : Une médiane M est telle que 50% des caractères sont au dessus de M et 50% en dessous. Si N est impair, la médiane est la valeur du milieu. Si N est pair, une médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu. Définition 11.. Le premier quartile Q 1 est la valeur de la série, telle qu au moins 25% des valeurs lui soient inférieures. Le troisième quartile Q 3 est la valeur de la série, telle qu au moins 75% des valeurs lui soient inférieures. L intervalle interquartile est ]Q 1,Q 3 [. L écart interquartile est Q 3 Q 1. C est le paramètre de dispersion associé à la médiane. Exemple 9. Dans l exemple 1, déterminet la médiane et l écart interquartile... Remarque 2. On regroupe toutes ces valeurs dans un diagramme appelé : diagramme en boîte à moustaches 4/5

5 Exemple 10. On donne le diagramme en boîte à moustaches suivant : min Q 1 M Q 3 max min=...q 1 =...M =...Q 3 =...max=... Méthode 5. Dans le cas où les valeurs sont regroupées en classe, on suppose que les valeurs sont réparties uniformément sur chaque intervalle. On commence par déterminer par exemple les fréquences cumulées croissantes en pourcentage puis on représente les points dont les abscisses x sont les bornes supérieures de chacun des intervalle, et les ordonnées y les pourcentage cumulés correspondants. Q 1, M et Q 3 sont alors respectivement les antécédents de 25, 50 et 75. Exemple 11. Au niveau local, les résultats obtenus à un examen sont les suivants : Notes [0;4[ [4;8[ [8;12[ [12;16[ [16;20] Pourcentage des candidats Pourcentage cumulés croissants Pourcentages cumulés notes Q 1 =... Med=... Q 3 =... ]Q 1 ;Q 3 [=... Q 3 Q 1 =... x = L. JAUNATRE Seconde, CHAPITRE 7 : Statistiques 5/5