Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

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1 Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u = + ( ) π 5) u = cos 3+ 6) u = e e + 3 7) u = e u 0 = 3 0) (u ) et (v ) sot les suites défiies par : u + = 3 u a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique. b) Calculer v puis u e foctio de O ote S = v 0 + v + +v et S = u 0 + u + +u c) Calculer S et S e foctio de. d) E déduire les limites des suites (S ) et (S ) Exercice Mootoie et covergece 8) u = l(+e ) 9) u = et v = u + 3 ) (u ) et (v ) sot les suites défiies par : u = + et v = a) Prouver que est u majorat de u b) Prouver que pour, o a u < v c) De ces deux reseigemets, lequel est le plus itéressat? ) Pour les exercices suivats, préciser si la suite (u ) est majorée, miorée, borée. a) u = si b) u = + c) u = d) u = +cos 3) La suite u est défiie pour 4 par : u = 5+6 e) u = ( ) Prouver que la suite (u ) est majorée par. O pourra étudier la foctio associée. paulmila / 7 er février 0

2 4) Répodre par vrai ou faux aux propositios suivates e justifiat votre répose. a) Si u suite est pas majorée alors elle ted vers+ b) Si ue suite est croissate alors elle ted vers+ c) Si ue suite ted vers+ alors elle est pas majorée. d) Si ue suite ted vers+ alors elle est croissate. Exercice 3 Covergece La suite (u ) est défiie par : u 0 = 3 et u += u u + ) Visualiser la suite sur votre calculatrice. O predra : X mi = 0, X max =, Y mi = 0, Y max = ) Démotrer, par récurrece, que pour tout : u 3) a) Démotrer que pour tout : u + u = (u )(u ) b) E déduire que la suite (u ) est décroissate. 4) Est-elle covergete? Exercice 4 Bac Soit al suite (u ) défiie par : u 0 = 0 et u + = 3u + 4 ) a) Prouver que (u ) est majorée par 4. b) Prouver que (u ) est strictemet croissate. c) E déduire que (u ) coverge et détermier sa limite ) a) Prouver que pour tout o a : 4 u + (4 u ) b) retrouver le résultat du c) c) Etudier la covergece de la suite (v ) défiie surnpar : v = (4 u ) Exercice 5 Limite par comparaiso La suite (u ) est défiie pour par : u = ) Démotrer que pour : u + ) E déduire la covergece de la suite (u ). Quelle est la limite de la suite (u )? paulmila / 7 er février 0

3 Exercice 6 Suite homographique La suite (u ) est défiie par : u 0 = 0 et u + = u + u + ) Démotrer par récurrece que : a) pour tout, u 0 b) Pour tout : u < ) Démotrer que la suite u est mootoe et covergete. u 3) La suite (v ) est défiie pour tout etier par : u + Démotrer que (v ) est ue suite géométrique. Préciser la raiso et le premier terme. 4) Exprimer v, puis u e foctio de et trouver lim + u. 5) Trouver u etier N tel que, pour tout N: u > 0, 99 Exercice 7 Suite et foctio cotiue u ) est la suite défiie par : u 0 = 0 et u + = u + 6 ) Calculer u, u et u 3. ) Prouver que la suite u est croissate et majorée par 3. Que peut-o e déduire? 3) Quelle est la limite de (u )? Justifier la répose Exercice 8 Détermiatio d ue limite O a tracé ci-dessous, la courbe C représetative de f défiie dasrpar f (x)=e x, aisi que la droite d équatio y x La suite (u ) est défiie surnpar : u 0 = 0 et u + = f (u ). ) Visualiser cette suite sur votre calculatrice. Quelle cojecture peut-o faire sur les variatios et la covergece de la suite? ) Prouver à l aide d ue raisoemet par récurrece et les variatio de f que 3 O a) la suite (u ) est décroissate b) et que pour tout, o a : u 0. E déduire la covergece de la suite. 3 3) Détermiatio de la limites de (u ). a) Démotrer que l équatio f (x)= x a deux solutios et deux seulemet dasr. O pourra étudier la foctioϕdéfiie par :ϕ(x)= f (x) x b) Exploiter la questio précédete pour trouver u ecadremet de l à l amplitude 0 3 paulmila 3/ 7 er février 0

4 Exercice 9 Suites adjacetes ) Démotrer que les suites (u ) et (v ) défiie par : u = et v = + sot adjacetes puis trouver leur limite commue. ) Démotrer que les suites (u ) et (v ) défiie par : u = et v = u + sot adjacetes. Programmer sur votre calculatrice ces deux suites. Doer alors ue approximatio de leur limite à 0. 3) Démotrer que les suites (u ) et (v ) défiie par : u = et v = u + sot adjacetes. Programmer sur votre calculatrice ces deux suites. Doer alors ue approximatio de leur limite à 0. 4) (u ) et (v ) sot deux suites défiies par u 0 = 0, et v 0 = et pour tout etier aturel, u + = 3u + 4 et v + = 3v + 4 a) Démotrer par récurrece que : u v b) Démotrer que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes et trouver leur limite commue. Exercice 0 Bac Soit la foctio f défiie sur l itervalle [0 ; ] par f (x)= x+ x+. ) Étudier les variatios de f sur l itervalle [0 ; ]. Motrer que si x [ ; ] alors f (x) [ ; ]. ) (u ) et (v ) sot deux suites défiies surnpar : u 0 = et pour tout etier aturel, u + = f (u ). v 0 = et pour tout etier aturel, v + = f (v ). a) Costruire la foctio f sur l itervalle [0 ; ]. Costruire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacue des suites (u ) et (v ) e laissat apparets tous les traits de costructio. À partir de ce graphique, que peut-o cojecturer cocerat le ses de variatio et la covergece des suites (u ) et (v )? b) Motrer à l aide d u raisoemet par récurrece que : Pour tout etier aturel, v. Pour tout etier aturel, v + v. O admettra que l o peut démotrer de la même faço que : Pour tout etier aturel, u. Pour tout etier aturel, u u +. v u c) Motrer que pour tout etier aturel, v + u + = (v + ) (u + ). E déduire que pour tout etier aturel, v u 0 et v + u + 4 (v u ). paulmila 4/ 7 er février 0

5 ( ) d) Motrer que pour tout etier aturel, v u. 4 e) Motrer que les suites (u ) et (v ) coverget vers u même réelα. Détermier la valeur exacte deα. Exercice Nouvelle-Calédoie 005 O cosidère les suites (u ) et (v ) défiies par u 0 = 0 ; v 0 = ; u + = u + v et v + = u + v. 3 ) Démotrer que la suite (w ) défiie par w = v u est ue suite géométrique covergete et que tous ses termes sot positifs. ) Motrer que la suite (u ) est croissate puis que la suite (v ) est décroissate. 3) Déduire des deux questios précédetes que les suites (u ) et (v ) sot covergetes et ot la même limite. 4) O cosidère la suite (t ) défiie par t = u + 3v. Motrer qu elle est costate. E déduire la limte des suite (u ) et v ). Exercice Nouvelle-Calédoie décembre 004 O cosidère les deux suites (u ) et (v ) défiies, pour tout etier aturel, par : u 0 = 3 u + = u v 0 = 4 + v v + = u ++ v ) Calculer u, v, u et v. ) Soit la suite (w ) défiie pour tout etier aturel par : w = v u. a) Motrer que la suite (w ) est ue suite géométrique de raiso 4. b) Exprimer w e foctio de et préciser la limite de la suite (w ). 3) Après avoir étudié le ses de variatio de suites (u ) et (v ), démotrer que ces deux suites sot adjacetes. Que peut-o e déduire? 4) O cosidère à préset la suite (t ) défiie, pour tout etier aturel, par t = u + v. 3 a) Démotrer que la suite (t ) est costate. b) E déduire la limite des suites (u ) et (v ). Exercice 3 La méthode d Archimède Das u texte ititulé «De la mesure du cercle», Archimède imagie la première méthode jamais proposée permettat, e théorie, le calcul de π avec ue précisio aussi grade qu o le souhaite. Ce problème suit les idées d Archimède avec des méthodes moderes. paulmila 5/ 7 er février 0

6 Soit C u cercle de rayo : o costruit, pour tout deux polygoes réguliers P, et Q, ayat 3 côtés, P état iscrit das C, et Q, exiscrit à C (voir la figure ci-cotre). Q C Nous admettos que le périmètre du cercle (égal à π) est ecadré par ceux des deux polygoes. Das la suite, o ote p et q, les demi-périmètres respectifs de P et Q. Aisi, p <π<q P = (6 côtés) ) Le cas = Motrer que p = 3 et q = 3. ) Expressio de p, et q a) Évaluer, e foctio de, l agle au cetre qui itercepte l u des côtés de P ou de Q. ( b) E déduire les relatios : p = 3 π ) ( si et q 3 = 3 π ) ta 3 E pratique, ces expressios e permettet pas u calcul umérique de p, et q. Das la suite, ous ous orietos vers u calcul de proche e proche. 3) Relatios de récurrece π a) O poseα= 3. Exprimer p, et q +, e foctio de etα. b) Exprimer si(α) et +cos(α) e foctio de siα et cosα. c) E déduire que, pour tout : = ( + ) et p + = p q + q + p q d) Calculer q, et p à l aide des relatios précédetes. 4) Étude des suites (p ) et (q ) a) Soit a et b deux réels vérifiat 0 a b. Démotrer les relatios : a< ab<b (i) et a< ab a+b < a+b b) Motrer par récurrece que p < q. < b (ii) c) E déduire que la suite (p ) est croissate et que (q ) est décroissate. d) Démotrer que, pour tout : q + p + (q p ). (O pourra utiliser (i) et (ii) à bo esciet.) E déduire que, pour tout, q p puis que les suites (p ) et (q ) sot adjacetes. e) Que vaut lim + p et lim + q? 5) À l aide d ue calculatrice, calculer les valeurs de p et q jusqu à obteir u ecadremet de d amplitude 0 0. paulmila 6/ 7 er février 0

7 Exercice 4 Atille-Guyae jui 005 ) Démotrer que pour tout den et tout x de [0 ; ] : ) a) Calculer 0 x+ dx. b) Déduire e utilisat., que : x x+. pour N ( ) + l ( ) + puis que l. 3) O appelle U la suite défiie pour N par : () U()= k= k= k l()= l(). Démotrer que U est décroissate (o pourra utiliser. b..) 4) O désige par V la suite de terme gééral : V()= k= k= Démotrer que V est croissate. k l(+)= l(+). 5) Démotrer que U et V coverget vers ue limite commue otéeγ. Détermier ue valeur approchée deγà0 près par la méthode de votre choix. paulmila 7/ 7 er février 0